2023-2024學(xué)年重慶市高二數(shù)學(xué)（下）3月質(zhì)量檢測(cè)試卷及答案解釋

-2024學(xué)年重慶市高二數(shù)學(xué)（下）3月質(zhì)量檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚；2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，在試卷上作答無(wú)效；3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回；4.全卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知函數(shù)，集合，，則（

）A．B．C． D．2．一個(gè)口袋中裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，先摸出一個(gè)球后放回，再摸出一個(gè)球，則兩次摸出的球都是白球的概率是（

）A．B．C． D．3．函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（

）A． B．C． D．4．若5個(gè)正數(shù)之和為2，且依次成等差數(shù)列，則公差的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．定義在R上的函數(shù)滿足，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．6．，對(duì)，不等式恒成立，則正整數(shù)的最大值與最小值之和為（）A．8 B．6 C．5 D．27．設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)任意都有，且在上，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．8．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．若，則的值是（

）A． B． C． D．10．排球是一項(xiàng)深受人們喜愛的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，排球比賽一般采用5局3勝制．在每局比賽中，發(fā)球方贏得此球后可得1分，并獲得下一球的發(fā)球權(quán)，否則交換發(fā)球權(quán)，并且對(duì)方得1分．在決勝局（第五局）采用15分制，某隊(duì)只有贏得至少15分，并領(lǐng)先對(duì)方2分為勝．現(xiàn)有甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．已知前三局比賽中甲已經(jīng)贏兩局，乙贏一局，若甲隊(duì)最后贏得整場(chǎng)比賽，則甲隊(duì)將以或的比分贏得比賽B．若甲隊(duì)每局比賽獲勝的概率為，則甲隊(duì)贏得整場(chǎng)比賽的概率也是C．已知前三局比賽中甲已經(jīng)贏兩局，乙贏一局，且接下來(lái)兩隊(duì)贏得每局比賽的概率均為，則甲隊(duì)最后贏得整場(chǎng)比賽的概率為D．已知前四局比賽中甲、乙兩隊(duì)已經(jīng)各贏兩局比賽．在決勝局（第五局）中，兩隊(duì)當(dāng)前的得分為甲、乙各14分．若兩隊(duì)打了個(gè)球后甲贏得整場(chǎng)比賽，則的取值為2或411．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)數(shù)列數(shù)列中的每一項(xiàng)稱為斐波那契數(shù)，記作．已知．則（

）A．B．C．若斐波那契數(shù)除以4所得的余數(shù)按照原順序構(gòu)成數(shù)列，則D．若．則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．曲線在點(diǎn)處的切線方程為．13．已知函數(shù)，其中，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．14．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．各項(xiàng)均不為0的數(shù)列對(duì)任意正整數(shù)滿足：．(1)若為等差數(shù)列，求；(2)若，求的前項(xiàng)和．16．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直.(1)求的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值.17．已知二項(xiàng)式．(1)若，，求二項(xiàng)式的值被7除的余數(shù)；(2)若它的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．18．某單位進(jìn)行招聘面試，已知參加面試的名學(xué)生全都來(lái)自A，B，C三所學(xué)校，其中來(lái)自A校的學(xué)生人數(shù)為.該單位要求所有面試人員面試前到場(chǎng)，并隨機(jī)給每人安排一個(gè)面試號(hào)碼，按面試號(hào)碼由小到大依次進(jìn)行面試，每人面試時(shí)長(zhǎng)5分鐘，面試完成后自行離場(chǎng).(1)求面試號(hào)碼為2的學(xué)生來(lái)自A校的概率.(2)若，，且B，C兩所學(xué)校參加面試的學(xué)生人數(shù)比為，求A校參加面試的學(xué)生先于其他兩校學(xué)生完成面試（A校所有參加面試的學(xué)生完成面試后，B，C兩校都還有學(xué)生未完成面試）的概率.(3)記隨機(jī)變量X表示最后一名A校學(xué)生完成面試所用的時(shí)長(zhǎng)（從第1名學(xué)生開始面試到最后一名A校學(xué)生完成面試所用的時(shí)間），是的數(shù)學(xué)期望，證明：.19．在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA加密算法中的應(yīng)用．設(shè)p，q是兩個(gè)正整數(shù)，若p，q的最大公約數(shù)是1，則稱p，q互素．對(duì)于任意正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是不超過(guò)n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，記為．(1)試求，，，的值；(2)設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)，p，q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)．試求，與φ（p）和φ（q）的關(guān)系；(3)RSA算法是一種非對(duì)稱加密算法，它使用了兩個(gè)不同的密鑰：公鑰和私鑰．具體而言：①準(zhǔn)備兩個(gè)不同的、足夠大的素?cái)?shù)p，q；②計(jì)算，歐拉函數(shù)；③求正整數(shù)k，使得kq除以的余數(shù)是1；④其中稱為公鑰，稱為私鑰．已知計(jì)算機(jī)工程師在某RSA加密算法中公布的公鑰是．若滿足題意的正整數(shù)k從小到大排列得到一列數(shù)記為數(shù)列，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．1．C【解析】分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算,難度容易.2．D【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率公式計(jì)算即可．【詳解】設(shè)A＝“第一次摸出的是白球”，B＝“第二次摸出的是白球”，則P(AB)＝×＝．故選：D3．B【分析】由已知函數(shù)的圖象，先判斷它的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)圖象斜率的變化，從而求解．【詳解】觀察函數(shù)的圖象知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，隨著逐漸增大，函數(shù)圖象由陡逐漸變緩，，，，而（即點(diǎn)B）處切線的傾斜角比（即點(diǎn)A）處的傾斜角小，且均為銳角，，又是割線AB的斜率，顯然，所以.故選：B4．D【分析】先求出，再由5個(gè)數(shù)均為正數(shù)，列d的不等式求解.【詳解】設(shè)5個(gè)正數(shù)組成數(shù)列，則，則，解得.故選：D5．D【分析】構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合已知判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可得出結(jié)論.【詳解】解：令，則，因?yàn)?，，所以，所以函?shù)為減函數(shù)，所以，即，所以.故選：D.6．B【分析】將在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立求解.【詳解】由在上恒成立，可得，即在上恒成立，只需求出的最小值，的最大值.設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞減，得.再設(shè)，易得在上單調(diào)遞減，∴，故有.若存在，則必有，即，又，且n為整數(shù)，故滿足要求，的整數(shù)都不成立，故整數(shù)n的最大值為4，最小值為2，∴最大值與最小值之和為6.故選：B.7．A【解析】令，可得．因此是上的偶函數(shù)．在上，，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．再利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可得出．【詳解】令，則．，是上的偶函數(shù)．在上，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．若（a），即（a），（a），，，，解得，或．實(shí)數(shù)的取值范圍是，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、構(gòu)造法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．8．B【分析】構(gòu)造函數(shù)，，，作差然后換元，最后求導(dǎo)利用函數(shù)單調(diào)性即可比較大小.【詳解】不妨設(shè)，，，其中，則，，，令，則，其中，設(shè)，求導(dǎo)得，所以在時(shí)單調(diào)遞減，所以，所以，令，求導(dǎo)得，所以在時(shí)單調(diào)遞增，所以，所以.綜上所述有.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)后作差要適當(dāng)換元，且有時(shí)候當(dāng)作差比較大小時(shí)計(jì)算量比較大，我們應(yīng)該轉(zhuǎn)換一種思路用作商來(lái)和1比較大?。ó?dāng)然要主要一般來(lái)說(shuō)兩個(gè)比較的數(shù)的符號(hào)相同）.9．AD【分析】利用組合數(shù)的性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，由此可求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以，或，解得?故選：AD.10．AD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A:由題意易得要使甲隊(duì)最后贏得整場(chǎng)比賽，則甲隊(duì)將以或的比分贏得比賽；對(duì)于選項(xiàng)B:甲隊(duì)要贏得整場(chǎng)比賽，比分可能為，分別計(jì)算概率求和即可判斷;對(duì)于選項(xiàng)C:要使甲隊(duì)最后贏得整場(chǎng)比賽，則甲隊(duì)可能以或的比分贏得比賽，計(jì)算概率求和即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)D:兩隊(duì)打了個(gè)球后甲贏得整場(chǎng)比賽，所以甲接下來(lái)可以以或贏得比賽，進(jìn)而判斷答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:若前三局比賽中甲已經(jīng)贏兩局，乙贏一局，若甲隊(duì)最后贏得整場(chǎng)比賽，則甲隊(duì)將以或的比分贏得比賽，故A正確;對(duì)于選項(xiàng)B:甲隊(duì)贏得整場(chǎng)比賽的概率是:，故B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C:若甲隊(duì)以的比分贏得比賽，則第4局甲贏，若甲隊(duì)以的比分贏得比賽，則第4局乙贏，第5局甲贏，所以甲隊(duì)最后贏得整場(chǎng)比賽的概率為，故C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D:若前四局比賽中甲、乙兩隊(duì)已經(jīng)各贏兩局比賽．在第五局中，兩隊(duì)當(dāng)前的得分為各分，若兩隊(duì)打了個(gè)球后甲贏得整場(chǎng)比賽，所以甲接下來(lái)可以以或贏得比賽，則x的取值為2或4，故D正確.故選:AD．11．BC【分析】A，B，結(jié)合遞推公式，寫出前14項(xiàng)即可；C，是以6為最小正周期的數(shù)列；D，結(jié)合遞推公式迭代即可.【詳解】對(duì)于A，斐波那契數(shù)列，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，由斐波那契數(shù)除以4所得的余數(shù)按照原順序構(gòu)成數(shù)列，因?yàn)?，，，，，，根?jù)數(shù)列的性質(zhì)以及的定義可得，，，，，，.同理可推得，當(dāng)時(shí)，有，，，，，，所以是以6為最小正周期的數(shù)列，又因?yàn)?，，，C正確；對(duì)于D，由斐波那契數(shù)列性質(zhì)，，．可知，D錯(cuò)誤．故選：BC．12．【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，故答案為：.13．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出，即可得出切線方程.【詳解】因?yàn)?，所以，則，，所以所求切線的方程為.故答案為：.14．【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得在上恒成立，討論a的取值范圍，參變分離，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，故函數(shù)，由題意可知在上恒成立，（不恒等于0），當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，則在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，故，故，當(dāng)時(shí)，僅在時(shí)取等號(hào)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，則在上恒成立，即在上恒成立，由上述分析可知無(wú)最小值，且當(dāng)時(shí)，，比如取時(shí)，，即此時(shí)在上不恒成立，綜合上述可得a的取值范圍為，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求解參數(shù)范圍，實(shí)質(zhì)上是不等式恒成立問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的一般方法是：利用導(dǎo)數(shù)列出不等式恒成立，然后參變分離，根據(jù)分離后的式子特征構(gòu)造合適的函數(shù)，進(jìn)而將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題解決.15．(1)(2)【分析】（1）由遞推關(guān)系首先得，進(jìn)一步結(jié)合已知為等差數(shù)列，并在已知式子中令，即可得解.（2）由（1）得時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，故首先求得的值，進(jìn)一步分類討論即可求解.【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，在式子：中令，得，所以，所以或，若，則，但這與矛盾，舍去，所以.（2）因?yàn)?，所以，而?dāng)時(shí)，，所以此時(shí)，所以此時(shí)，而也滿足上式，綜上所述，的前項(xiàng)和.16．(1)(2)單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為，的極大值為，極小值為.【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，利用直線垂直列式求解即可；（2）求出導(dǎo)數(shù)方程的根，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系列表即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，故，解得；（2）因?yàn)?，所以，令，解得或，令得或，令得，列表如下?0+0↘極小值↗極大值↘故的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為，的極大值為，極小值為.17．(1)(2)【分析】（1）代入，，將二項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為，利用二項(xiàng)式定理即可得解；（2）先由題意求得，再利用二項(xiàng)展開通項(xiàng)公式得到關(guān)于系數(shù)最大的項(xiàng)的不等式組，解之即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，，，顯然能被7整除，，所以二項(xiàng)式的值被7除的余數(shù)為.（2）因?yàn)榈亩?xiàng)式系數(shù)之和為128，，則的展開通項(xiàng)公式為，假設(shè)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)，則，即，即，解得，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第6，7項(xiàng)，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第2小問(wèn)解決的關(guān)鍵是熟練掌握組合數(shù)公式，從而得解.18．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）按古典概型的計(jì)算方法求解.（2）先確定來(lái)自各校的學(xué)生人數(shù)，再利用條件概率公式進(jìn)行計(jì)算.（3）先求出分布列，再按期望的公式進(jìn)行化簡(jiǎn).【詳解】（1）記“面試號(hào)碼為2的學(xué)生來(lái)自A校”為事件A，將A校n名學(xué)生面試號(hào)碼的安排情況作為樣本空間，則樣本點(diǎn)總數(shù)為，事件A表示A校有1名學(xué)生的面試號(hào)碼為2，其他名學(xué)生的面試號(hào)碼在剩余個(gè)面試號(hào)碼中隨機(jī)安排，則事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)為，故．（2）設(shè)B校參加面試的學(xué)生有x名，由題意得，解得．所以B校參加面試的學(xué)生有10名，C校參加面試的學(xué)生有20名．記“最后面試的學(xué)生來(lái)自B?！睘槭录﨎，“最后面試的學(xué)生來(lái)自C?！睘槭录﨏，顯然事件B，C互斥．記“A校參加面試的學(xué)生先于其他兩校學(xué)生完成面試”為事件D，則．當(dāng)事件B發(fā)生時(shí)，只需考慮A，C兩所學(xué)校所有參加面試的學(xué)生中最后面試的那位來(lái)自C校，則．當(dāng)事件C發(fā)生時(shí)，只需考慮A，B兩所學(xué)校所有參加面試的學(xué)生中最后面試的那位來(lái)自B校，則．所以．（3）由題知隨機(jī)變量X的取值為，，…，，則隨機(jī)變量X的分布列為，，，…，N．所以隨機(jī)變量X的期望．所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在第三問(wèn)的證明過(guò)程中，利用組合數(shù)的性質(zhì)：進(jìn)行化簡(jiǎn)是關(guān)鍵.19．(1)；(2)，；(3).【分析】（1）利用歐拉函數(shù)的定義直接求值.（2）利用歐拉函數(shù)的定義求出，進(jìn)而分析計(jì)算.（3）根據(jù)給定信息求出，再利用差角的正切公式，借助裂項(xiàng)求和法求解即得.【詳解】（1）由歐拉函數(shù)的定義知，不越過(guò)3且與3互素的正整數(shù)有1，2，則，不越