2.1 圖形的軸對(duì)稱（解析版）

2.1圖形的軸對(duì)稱1、了解軸對(duì)稱圖形的概念；

2、理解軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：（1）對(duì)稱軸垂直平分連接兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)之間的線段；

（2）成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形

知識(shí)點(diǎn)一軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形,這條直線就是它的對(duì)稱軸.也可以說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱2.常見(jiàn)軸對(duì)稱圖形及其對(duì)稱軸名稱圖形及其對(duì)稱軸對(duì)稱軸的條數(shù)對(duì)稱軸角1角平分線所在的直線等腰三角形1底邊上的高(頂角平分線或底邊上的中線)所在的直線等邊三角形3各邊上的高(內(nèi)角平分線或中線)所在的直線等腰梯形1上、下底的中點(diǎn)的連線所在的直線圓無(wú)數(shù)過(guò)圓心的直線正方形4①對(duì)角線所在的直線;②對(duì)邊中點(diǎn)的連線所在的直線正五邊形5頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線所在的直線正六邊形6①相對(duì)的兩頂點(diǎn)的連線所在的直線;②對(duì)邊中點(diǎn)的連線所在的直線注意(1)對(duì)稱軸是一條直線,不是射線或線段.(2)一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸可以有1條,也可以有多條,還可以有無(wú)數(shù)條(3)軸對(duì)稱圖形是對(duì)于一個(gè)圖形而言的，反映的是其自身的對(duì)稱性對(duì)稱圖形有下面的性質(zhì):對(duì)稱軸垂直平分連結(jié)兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的線段即學(xué)即練（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A.

不是軸對(duì)稱圖形；B.

是軸對(duì)稱圖形；C.

不是軸對(duì)稱圖形；D.

不是軸對(duì)稱圖形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱圖形的定義，熟記軸對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)二軸對(duì)稱1.兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合,那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱,這條直線叫做對(duì)稱軸,折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)2.成軸對(duì)稱的圖形和軸對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系成軸對(duì)稱的圖形軸對(duì)稱圖形區(qū)別意義不同兩個(gè)圖形之間的特殊位置關(guān)系一個(gè)形狀特殊的圖形圖形個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)對(duì)稱軸的位置不同可能在兩個(gè)圖形的外部,也可能經(jīng)過(guò)兩個(gè)圖形的內(nèi)部或它們的公共邊(點(diǎn))一定經(jīng)過(guò)這個(gè)圖形對(duì)稱軸的數(shù)量只有一條有一條或多條聯(lián)系(1)如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體,那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形;(2)如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形,那么這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱3.圖形的軸對(duì)稱有下面的性質(zhì)成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形即學(xué)即練1（2023春·四川遂寧統(tǒng)考期末）一位交警在執(zhí)勤過(guò)程中，從汽車的后視鏡中看見(jiàn)某車牌的后5位號(hào)碼是，該車牌的后5位號(hào)碼實(shí)際是【答案】BA629【分析】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：如圖所示：故答案為：BA629．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱不改變物體大小和形狀．即學(xué)即練2（2023春·安徽宿州·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知△ABC和△AB'C'關(guān)于直線l對(duì)稱，小明觀察圖形得出下列結(jié)論：①△ABC≌△AB'C'；②∠BAC=∠B'AC'；③直線l

【答案】①②③【分析】利用軸對(duì)稱的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵△ABC和△∴△ABC≌△AB'C'，∠即正確的結(jié)論有①②③．故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，（1）軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形；軸對(duì)稱圖形的兩個(gè)部分也是全等圖形；（2）如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；（3）兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)一定在在對(duì)稱軸上．題型一軸對(duì)稱圖形的識(shí)別例1（2023秋·浙江寧波·八年級(jí)?？计谀┫旅媸强茖W(xué)防控新冠知識(shí)的圖片，其中的圖案是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B．

C． D．

【答案】A【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【詳解】解：B，C，D選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；A選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．舉一反三1（2023春·浙江寧波·八年級(jí)浙江省鄞州區(qū)宋詔橋中學(xué)?？计谀┫铝欣诸悎D標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，即可．【詳解】解：A、

不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；B、

不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；C、

是軸對(duì)稱圖形，符合題意；D、

不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱圖形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)識(shí)別軸對(duì)稱圖形．舉一反三2（2023春·浙江杭州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)世界奇妙無(wú)窮，其中曲線是微分幾何的研究對(duì)象之一，下列坐標(biāo)系里的數(shù)學(xué)曲線既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形及中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)每一項(xiàng)判斷即可解答．【詳解】解：A、項(xiàng)是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故AB、項(xiàng)既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故BC、項(xiàng)既是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故CD、項(xiàng)是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故D故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念及中心對(duì)稱圖形的概念，理解對(duì)應(yīng)概念是解題的關(guān)鍵．題型二成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的識(shí)別例2（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，小手蓋住的是兩個(gè)三角形中的一個(gè)，若這兩個(gè)三角形軸對(duì)稱，則小手蓋住的三角形是（）

A． B． C． D．

【答案】A【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義依次分析各項(xiàng)即可判斷.【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得小手蓋住的三角形是

故選：A．【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義：如果把一個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形.舉一反三1（2023秋·湖北襄陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在下列交通標(biāo)識(shí)圖案中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、B、C中的圖案是軸對(duì)稱圖形，D中的圖案不是軸對(duì)稱圖形，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱圖形的概念，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，這時(shí)，也可以說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱．舉一反三2（2023秋·河北保定·八年級(jí)校聯(lián)考期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．能夠完全重合的兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱B．全等的兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱C．形狀一樣的兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱D．沿著一條直線對(duì)折能夠重合的兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱【答案】D【詳解】試題分析：A．能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．C．如下圖可知，此兩個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．沿著一條直線對(duì)折能夠重合的兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，此選項(xiàng)正確；故選D．考點(diǎn)：軸對(duì)稱的性質(zhì)．題型三根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷例3（2023秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線A．A'B' B．B'C' C．BC【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵△ABC與△∴AC=A故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握成軸對(duì)稱圖形的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)邊相等．舉一反三1（2023秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（

）A．軸對(duì)稱圖形必有對(duì)稱軸 B．兩個(gè)能完全重合的圖形必是軸對(duì)稱圖形C．軸對(duì)稱圖形可能有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸 D．關(guān)于某直線成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形必能互相重合【答案】B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱及軸對(duì)稱圖形的定義，結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．軸對(duì)稱圖形必有對(duì)稱軸，說(shuō)法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；B．兩個(gè)能完全重合的圖形不一定是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；C．軸對(duì)稱圖形可能有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，如圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，故本選項(xiàng)不符合題意；D．關(guān)于某直線成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形必能互相重合，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的知識(shí)，注意軸對(duì)稱是針對(duì)兩個(gè)圖形來(lái)說(shuō)的，軸對(duì)稱圖形是針對(duì)一個(gè)圖形而言的．舉一反三2（2023秋·河南信陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．面積相等的兩個(gè)三角形成軸對(duì)稱；B．兩個(gè)等邊三角形是全等圖形；C．關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)三角形全等；D．成軸對(duì)稱的兩個(gè)三角形一定面積相等，且位于對(duì)稱軸的兩側(cè)．【答案】C【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和全等圖形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：面積相等的兩個(gè)三角形不一定成軸對(duì)稱，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；兩個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)不一定相等，因此不一定是全等圖形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)三角形一定全等，故C選項(xiàng)正確，符合題意；成軸對(duì)稱的兩個(gè)三角形一定面積相等，但不一定位于對(duì)稱軸的兩側(cè)，對(duì)稱軸可能在這兩個(gè)三角形中間，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)與運(yùn)用、全等圖形的識(shí)別，熟練掌握軸對(duì)稱的定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型四根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解例4（2022秋·浙江金華·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在正方形網(wǎng)格上有一個(gè)△ABC．(1)若網(wǎng)格上的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則△ABC的面積為_(kāi)_________．(2)在直線MN上找一點(diǎn)P，使PA+PB最短．【答案】(1)17(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用長(zhǎng)方形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積進(jìn)行求解即可；（2）作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，與MN【詳解】（1）解：△ABC的面積為4故答案為：172（2）如圖，點(diǎn)P即為所求；

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2021秋·浙江杭州·八年級(jí)杭州采荷實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，CD是△ABC的角平分線，△ABC的面積為12，BC長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CD，AC上的動(dòng)點(diǎn)，則AE+EF的最小值是（）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】作A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)H，由CD是△ABC的角平分線，得到點(diǎn)H一定在BC上，過(guò)H作HF⊥AC于F，交CD于E，則此時(shí)，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值=HF，過(guò)A作AG【詳解】解：作A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)H，∵CD是△∴點(diǎn)H一定在BC上，過(guò)H作HF⊥AC于F，交CD于則此時(shí)，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值=HF，過(guò)A作AG⊥BC于∵△ABC的面積為12，BC∴AG=4∵CD垂直平分AH∴AC=CH∴S∴HF=AG=4∴AE+EF故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確的作出對(duì)稱點(diǎn)和利用垂直平分線的性質(zhì)證明AE+EF的最小值為三角形某一邊上的高線．舉一反三2（2022秋·浙江金華·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC和△ADE關(guān)于直線MN對(duì)稱，BC與DE的交點(diǎn)F在直線MN上．(1)若∠BAC=100°，∠CAD=30°，求∠EAF的度數(shù)．(2)若BC∥AD，AE平分∠BAM，∠BFE+∠C=81°，求【答案】(1)35(2)33【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知△ABC?△ADE，∠CAF=∠EAF，可得（2）根據(jù)BC∥AD，可得∠C=∠CAD，根據(jù)AE平分∠BAM可得【詳解】（1）∵△ABC和△ADE關(guān)于直線∴△ABC?△ADE∴∠DAE=∵∠CAD=30∴∠CAE=100∴∠EAF=70（2）∵BC∴∠C=∵∠DAC=∠BAE又∵AE平分∠BAM∴∠DAC=∵∠BFE+∴∠D+∴∠CAF+∵∠C=∴3∴∠EAF=33【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型五臺(tái)球桌面上的軸對(duì)稱問(wèn)題例5（2020秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，是一個(gè)經(jīng)過(guò)改造的臺(tái)球桌面的示意圖，圖中四個(gè)角上的陰影部分分別表示四個(gè)入球孔，如果一個(gè)球按圖中所示的方向被擊出，該球最后落入1號(hào)袋，經(jīng)過(guò)反射的次數(shù)是()A．4次 B．5次 C．6次 D．7次【答案】C【分析】根據(jù)入射光線與水平線的夾角等于反射光線與水平線的夾角，動(dòng)手操作即可．碰到邊為一次，所以共有6次．【詳解】解：如圖，共碰到邊6次．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查生活中的軸對(duì)稱問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是結(jié)合對(duì)稱的知識(shí)畫(huà)出圖形求解．舉一反三1（2022秋·北京·八年級(jí)101中學(xué)?？计谥校┎僮黝}：臺(tái)球桌的形狀是一個(gè)長(zhǎng)方形，當(dāng)母球被擊打后可能在不同的邊上反彈，為了使母球最終擊中目標(biāo)球，擊球者需作出不同的設(shè)計(jì)，確定擊球方向．如圖，目標(biāo)球從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)B點(diǎn)到C點(diǎn)，相當(dāng)于從A'點(diǎn)出發(fā)直接擊打目標(biāo)球C(1)如下圖，小球起始時(shí)位于點(diǎn)3,0處，沿所示的方向擊球，小球運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示．如果小球起始時(shí)位于點(diǎn)2,0處，仍按原來(lái)方向擊球，那么在點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H中，小球會(huì)擊中的點(diǎn)是___________；(2)在下圖中，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條路徑，使得球P依次撞擊臺(tái)球桌邊AB，BC反射后，撞到球Q．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡．）【答案】(1)B,F(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)畫(huà)出小球從起始點(diǎn)2,0處出發(fā)的路徑，即可求解；（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，找到P,Q關(guān)于AB,BC的對(duì)稱點(diǎn)P',Q'，連接P'Q'分別交【詳解】（1）解：如圖，所以小球會(huì)擊中的點(diǎn)是B,F，故答案為：B,F（2）解：如圖所示，找到P,Q關(guān)于AB,BC的對(duì)稱點(diǎn)P',Q'，連接P'Q'分別交【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2022秋·黑龍江雙鴨山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是臺(tái)球桌面示意圖，陰影部分表示四個(gè)入球孔，小明按圖中方向擊球（球可以多次反彈），則球最后落入的球袋是（

）A．1號(hào)袋 B．2號(hào)袋 C．3號(hào)袋 D．4號(hào)袋【答案】B【分析】利用軸對(duì)稱畫(huà)圖可得答案.【詳解】解：如圖所示，球最后落入的球袋是2號(hào)袋，故選：B.【點(diǎn)睛】此題主要考查了生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象，關(guān)鍵是正確畫(huà)出圖形.題型六軸對(duì)稱中的光線反射問(wèn)題例6（2022秋·北京海淀·八年級(jí)?？计谥校┕皇兰o(jì)，正在亞歷山大城學(xué)習(xí)的古希臘數(shù)學(xué)家海倫發(fā)現(xiàn)：光在鏡面上反射時(shí)，反射角等于入射角．如圖1，法線NO垂直于反射面，入射光線與法線的夾角為入射角，反射光線與法線的夾角為反射角．臺(tái)球碰撞臺(tái)球桌邊后反彈與光線在鏡面上反射原理相同．如圖2，長(zhǎng)方型球桌ABCD上有兩個(gè)球P，Q．請(qǐng)你嘗試解決臺(tái)球碰撞問(wèn)題：(1)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條路徑，使得球P撞擊臺(tái)球桌邊AB反射后，撞到球Q．在圖2中畫(huà)出，并說(shuō)明做法的合理性．(2)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一路徑，使得球P連續(xù)三次撞擊臺(tái)球桌邊反射后，撞到球Q，在圖3中畫(huà)出一種路徑即可．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）作點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P'，連接QP'交AB（2）作點(diǎn)P關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)P'，作點(diǎn)Q關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)Q'，作點(diǎn)Q'關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)Q″，連接P'Q″交AD于E，交DC【詳解】（1）解：如圖2中，作點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P'，連接QP'交AB原理：∵點(diǎn)P'和點(diǎn)P關(guān)于AB∴∠P∵∠P∴∠PTA=（2）如圖3中，作點(diǎn)P關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)P'，作點(diǎn)Q關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)Q'，作點(diǎn)Q'關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)Q″，連接P'Q″交AD于E，交DC【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決實(shí)際問(wèn)題．舉一反三1（2023秋·黑龍江鶴崗·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，一束光沿CD方向，先后經(jīng)過(guò)平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB=120°，∠CDB=20°，則∠AEF=．【答案】40°/40度【分析】根據(jù)入射角等于反射角，可得∠CDB=∠EDO,【詳解】解：依題意，∠CDB=∵∠AOB=120°，∴∠CDB=∴∠OED=180∴∠AEF=故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2021秋·湖南婁底·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，兩平面鏡α、β的夾角∠θ，入射光線AO平行于β，入射到α上，經(jīng)兩次反射后的出射光線CB平行于α，則∠θ等于（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】利用反射的性質(zhì)得到入射光線與水平線的夾角等于反射光線與水平線的夾角，再利用平行的性質(zhì)把相應(yīng)的角轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中求解．【詳解】如圖，由題意得，∠1=∠θ=∠3，由鏡面成像原理可知，∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2=∠θ=∠4，∴∠θ=60°，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了鏡面對(duì)稱問(wèn)題，需注意利用反射的性質(zhì)、平行的性質(zhì)把相應(yīng)的角轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中求解是正確解答本題的關(guān)鍵．題型七折疊問(wèn)題例7（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABD的周長(zhǎng)為20cm，把△ABC的邊AC對(duì)折，使頂點(diǎn)C和點(diǎn)A重合，折痕交BC邊于點(diǎn)D，交AC邊于點(diǎn)E，連接AD，若AE=4cm，則△ABC的周長(zhǎng)是【答案】28cm【分析】首先根據(jù)折疊方法可得AE=CE，AD=CD，再根據(jù)AE的長(zhǎng)可以計(jì)算出【詳解】解：根據(jù)折疊方法可得AE=CE，∵AE=4cm，∴CE=4cm，∵△ABD的周長(zhǎng)為20cm∴AB+BD+CD=AB+CB=20（∴△ABC的周長(zhǎng)是：AB+BC+AC=20+8=28cm故答案為：28cm．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形的折疊，關(guān)鍵是找準(zhǔn)折疊以后重合的線段．舉一反三1（2023秋·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一張三角形紙片ABC，∠ABC=90°，點(diǎn)M是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，將△BCE沿BE折疊，使點(diǎn)C落在邊AC上的點(diǎn)D處，若MD=BC，則∠BCA=（

）A．18° B．54° C．60° D．72°【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得∠A+∠BCA=90°，AM=BM，則∠BCA=90°-∠A，∠A=∠【詳解】解：∵∠ABC=90°，點(diǎn)M是邊∴∠A+∠BCA=90∴∠BCA=90°-∠A根據(jù)折疊的性質(zhì)得：BC=BD，BE⊥CD，∵M(jìn)D=BC，∴∠BMD=∵BE⊥∴∠BCA+∴∠A=∵∠ABC=90∴∠ABM+∴∠A=18∴∠ACB=72故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2022春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）將一張正方形紙片按如圖步驟①,②沿虛線對(duì)折兩次,然后沿③中平行于底邊的虛線剪去一個(gè)角,展開(kāi)鋪平后的圖形是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】【分析】根據(jù)兩次折疊都是沿著正方形的對(duì)角線折疊,展開(kāi)后所得圖形的頂點(diǎn)一定在正方形的對(duì)角線上,根據(jù)③的剪法，中間應(yīng)該是一個(gè)正方形.【解答】根據(jù)題意，兩次折疊都是沿著正方形的對(duì)角線折疊的，根據(jù)③的剪法，展開(kāi)后所得圖形的頂點(diǎn)一定在正方形的對(duì)角線上,而且中間應(yīng)該是一個(gè)正方形.故選A．【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵是要理解折疊的過(guò)程，得到關(guān)鍵信息，如本題得到展開(kāi)后的圖形的頂點(diǎn)在正方形的對(duì)角線上是解題的關(guān)鍵．單選題1.（2023秋·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：△ABC紙片，將紙片分別按以下兩種方法翻折：①如圖1．沿著∠BAC的平分線AD翻折△ABD，得到△AED，設(shè)△CDE的周長(zhǎng)為m．②如圖2，沿著AB的垂直平分線翻折△BFG，得到△AFG，設(shè)△AGC的周長(zhǎng)為n．線段AB的長(zhǎng)度用含m，n的代數(shù)式可表示為（）A．n-m B．m+n2 C．m D．【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得△ABD≌△AED，從而得到AB=AE,BD=DE，再由△CDE的周長(zhǎng)為m，可得BC=m-CE，再由折疊的性質(zhì)可得△BFG≌AFG【詳解】解：∵沿著∠BAC的平分線AD翻折△ABD，得到∴△ABD∴AB=AE,BD=DE，∵△CDE∴CD+DE+CE=CD+BD+CE=BC+CE=m，即BC=m-∵沿著AB的垂直平分線翻折△BFG，得到△∴△BFG∴AG=BG，∵△AGC∴AG+CG+AC=BG+CG+AC=BC+AC=n，即BC=n-∴m-∴AC-∵AC∴AB=n-故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的折疊問(wèn)題，全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)D形的折疊性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┈F(xiàn)有一直角三角形紙片，先將共一個(gè)侻角∠ABC折疊（如圖1），?點(diǎn)A落在斜邊BC上的A'處，折痕與邊AC交于點(diǎn)D．再將另一銳角∠DCB折疘（如圖2），使CD也落在斜邊上，折痕與A'D交于點(diǎn)P，量得DP=32A'A．4 B．3 C．2 D．3【答案】C【分析】過(guò)P作PM⊥CD與M，根據(jù)將其一個(gè)銳角∠ABC折疊，使點(diǎn)A落在斜邊BC上的A'處，可得PA'⊥BC，根據(jù)將另一銳角∠DCB折疊，使CD也落在斜邊BC上，可得CP是∠BCD【詳解】過(guò)P作PM⊥∵將其一個(gè)銳角∠ABC折疊，使點(diǎn)A落在斜邊BC上的A∴∠B∴P∵將另一銳角∠DCB折疊，使CD也落在斜邊BC∴∠DCP=∠BCP，即CP∵PA∴PM=A∵32∴A'∴PM=2，即點(diǎn)P到CD的距離為2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形中的翻折問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．3.（2023秋·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）用數(shù)學(xué)的眼光觀察下面的網(wǎng)絡(luò)圖標(biāo)，其中可以抽象成軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、可以抽象成軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；B、不可以抽象成軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、不可以抽象成軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、不可以抽象成軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的定義，熟練掌握若一個(gè)圖形沿著一條直線折疊后兩部分能完全重合，這樣的圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵．二、填空題1.（2023春·廣西桂林·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，長(zhǎng)方形紙帶ABCD，AD∥CB，將ABCD沿EF折疊，C、D兩點(diǎn)分別與C'、D'對(duì)應(yīng)，若∠1=2∠2，則∠AEF的度數(shù)為【答案】108度/108【分析】根據(jù)AD∥BC、折疊性質(zhì)以及∠1=2∠2【詳解】解：由折疊可知：∠DEF=∵AD∴∠1=∵∠1=2∴∠DEF=∴∠2+∴∠2=36∴∠D∴∠AEF=故答案為：108°【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，掌握平行線性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·湖北恩施·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)P為AB和BC垂直平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于AC對(duì)稱，連接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一個(gè)角是50°，則∠B=度．【答案】50或65【分析】連接AP、BP，由點(diǎn)P為AB和BC垂直平分線的交點(diǎn)，得PA＝PB＝PC，知∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，又點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于AC對(duì)稱，可得PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，∠CPQ＝∠CQP，分兩種情況：①當(dāng)∠CPQ＝∠CQP＝50°時(shí)，∠PCQ＝80°，可得∠PCA＝40°，∠PAC＝40°，即得2∠ABP+2∠PBC＝100°，∠ABC＝50°，②當(dāng)∠PCQ＝50°時(shí)，同理可得∠ABC＝65°．【詳解】解：連接AP、BP，如圖：∵點(diǎn)P為AB和BC垂直平分線的交點(diǎn)，∴PA＝PB＝PC，∴∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，∵點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于AC對(duì)稱，∴PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，∴∠CPQ＝∠CQP，①當(dāng)∠CPQ＝∠CQP＝50°時(shí)，∠PCQ＝80°，∴∠PCA＝40°，∴∠PAC＝40°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝100°，∴2∠ABP+2∠PBC＝100°，∴∠ABP+∠PBC＝50°，即∠ABC＝50°，②當(dāng)∠PCQ＝50°時(shí)，∠PCA＝25°，∴∠PAC＝25°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝130°，∴2∠ABP+2∠PBC＝130°，∴∠ABP+∠PBC＝65°，即∠ABC＝65°，綜上所述，∠ABC為50°或65°，故答案為：50或65．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用及軸對(duì)稱的性質(zhì)．3．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線AD是三角形ABC的對(duì)稱軸，點(diǎn)E，F(xiàn)是線段AD上的兩點(diǎn)．若BD=2，AD=3，則圖中陰影部分的面積是．【答案】3【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，由AD是三角形ABC的對(duì)稱軸得到AD垂直平分BC，則AD⊥BC，BD＝DC，根據(jù)三角形的面積公式得到S△EFB=【詳解】∵直線AD是三角形ABC的對(duì)稱軸，∴AD垂直平分BC，即AD⊥BC，∴S△∴S陰影部分故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)：關(guān)于某直線對(duì)稱的兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段被對(duì)軸軸垂直平分．