2013年上海市嘉定區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷含解析（b卷）

2013年上海市嘉定區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷（B卷）一、選擇題（共6小題，每小題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個是正確的】1．（4分）對于線段a、b，如果a：b＝2：3，那么下列四個選項一定正確的是（）A．2a＝3b B．b﹣a＝1 C．＝ D．＝2．（4分）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)P（3，4），那么OP與x軸正半軸的夾角a的正弦值為（）A． B． C． D．3．（4分）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c如圖所示，那么b、c的取值范圍是（）A．b＜0，c＜0 B．b＜0，c＞0 C．b＞0，c＜0 D．b＞0，c＞04．（4分）下列四個命題中，真命題的個數(shù)為（）①面積相等的兩個直角三角形相似：②周長相等的兩個直角三角形相似：③有一個銳角相等的兩個直角三角形相似：④斜邊和直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似．A．4 B．3 C．2 D．15．（4分）正多邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)不可能是（）A．80° B．135° C．144° D．150°6．（4分）已知⊙O1的半徑長為2，若⊙O2（O2與O1不重合）上的點(diǎn)P滿足PO1＝2，則下列位置關(guān)系中，⊙O1與⊙O2不可能存在的位置關(guān)系是（）A．相交 B．外切 C．內(nèi)切 D．外離二、填空題（共12小題，每小題4分，滿分48分）7．（4分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE與邊AB相交于點(diǎn)D，與邊AC相交于點(diǎn)E，如果AD＝6，BD＝8，AE＝4，那么CE的長為．8．（4分）已知||＝2，||＝4，且與反向，如果用向量表示向量，那么＝．9．（4分）如圖，飛機(jī)在目標(biāo)B的正上方2000米A處，飛行員測得地面目標(biāo)C的俯角α＝30°，那么地面目標(biāo)B、C之間的距離為米．（結(jié)果保留根號）10．（4分）如果關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣3x2﹣x+m﹣1的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，那么m＝．11．（4分）二次函數(shù)y＝﹣x2+3x的圖象在對稱軸右側(cè)的部分是的．12．（4分）二次函數(shù)：y＝x2+4x+5的對稱軸為直線．13．（4分）把拋物線y＝（x﹣1）2+4先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．14．（4分）已知⊙O的半徑長為2，點(diǎn)P滿足PO＝2，那么點(diǎn)P的直線l與⊙O不可能存在的位置關(guān)系是（從“相交”、“相切”、“相離”中選擇）．15．（4分）正六邊形的邊心距與半徑的比值為．16．（4分）對于平面圖形A，如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圓形A被這個圓“覆蓋”．例如圖中的三角形被一個圓“覆蓋”．如果邊長為1的正六邊形被一個半徑長為R的圓“覆蓋”，那么R的取值范圍為．17．（4分）已知⊙O1與⊙O2相交于點(diǎn)A、B，AB＝8，O1O2＝2，⊙O1的半徑為5，那么⊙O2的半徑為．18．（4分）如圖，弧EF所在的⊙O的半徑長為5，正三角形ABC的頂點(diǎn)A、B分別在半徑OE、OF上，點(diǎn)C在弧EF上，∠EOF＝60°，如果AB⊥OF，那么這個正三角形的邊長為．三、解答題（共7小題，滿分78分）19．（10分）計算：cot60°﹣cos30°+．20．（10分）如圖已知△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，矩形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)D、G分別在AB、AC上，設(shè)DE的長為x，矩形DEFG的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出這個函數(shù)的定義域．21．（10分）如圖，已知點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB和AC上，DE∥BC，AD＝DB，四邊形DBCE的面積等于16．（1）求△ABC的面積；（2）如果向量＝，向量＝，請用、表示向量．22．（10分）如圖，一條細(xì)繩系著一個小球在平面內(nèi)擺動，已知細(xì)繩從懸掛點(diǎn)O到球心的長度OG為50厘米，小球在左、右兩個最高位置時（不考慮阻力等其他因素），細(xì)繩相應(yīng)所成的角90°．（1）求小球在最高位置和最低位置時的高度差：（2）聯(lián)結(jié)EG，求∠OGE的余切值．23．（12分）已知：點(diǎn)D是Rt△ABC的BC邊的一個動點(diǎn)（如圖），過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，點(diǎn)F在AB邊上（點(diǎn)F與點(diǎn)B不重合），且滿足FE＝BE，聯(lián)結(jié)CF、DF．（1）當(dāng)DF平分∠CFB時，求證：：（2）若AB＝10，tanB＝．當(dāng)DF⊥CF時，求BD的長．24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y＝ax2+4ax+c（a≠0）經(jīng)過A（0，4），B（﹣3，1），頂點(diǎn)為C．（1）求該拋物線的表達(dá)方式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）將（1）中求得的拋物線沿y軸向上平移m（m＞0）個單位，所得新拋物線與y軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)D．當(dāng)△ACD時等腰三角形時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P在（1）中求得的拋物線的對稱軸上，聯(lián)結(jié)PO，將線段PO繞點(diǎn)P逆時針轉(zhuǎn)90°得到線段PO′，若點(diǎn)O′恰好落在（1）中求得的拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．25．（14分）已知點(diǎn)A、B、C是半徑長為2的半圓O上的三個點(diǎn)，其中點(diǎn)A是弧BC的中點(diǎn)（如圖），聯(lián)結(jié)AB、AC，點(diǎn)D、E分別在弦AB、AC上，且滿足AD＝CE．（1）求證：OD＝OE；（2）聯(lián)結(jié)BC，當(dāng)BC＝2時，求∠DOE的度數(shù)；（3）若∠BAC＝120°，當(dāng)點(diǎn)D在弦AB上運(yùn)動時，四邊形ADOE的面積是否變化？若變化，請簡述理由；若不變化，請求出四邊形ADOE的面積．

2013年上海市嘉定區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷（B卷）參考答案與試題解析一、選擇題（共6小題，每小題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個是正確的】1．（4分）對于線段a、b，如果a：b＝2：3，那么下列四個選項一定正確的是（）A．2a＝3b B．b﹣a＝1 C．＝ D．＝【考點(diǎn)】S2：比例線段．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、由a：b＝2：3，得3a＝2b，故本選項錯誤；B、當(dāng)a＝4，b＝6時，a：b＝2：3，但是b﹣a＝2，故本選項錯誤；C、由a：b＝2：3，得3a＝2b，則3a+6＝2b+6，即3（a+2）＝2（b+3），所以＝，故本選項正確；D、由a：b＝2：3，得＝，故本選項錯誤．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)及式子的變形，用到的知識點(diǎn)：在比例里，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積，比較簡單．2．（4分）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)P（3，4），那么OP與x軸正半軸的夾角a的正弦值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】KQ：勾股定理；T1：銳角三角函數(shù)的定義．【分析】作PM⊥x軸于點(diǎn)M，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解．【解答】解：作PM⊥x軸于點(diǎn)M，根據(jù)勾股定理可得OP＝5．∴sinA＝＝．故選：C．【點(diǎn)評】本題用到的知識點(diǎn)為：一個角的正弦值等于它所在直角三角形的對邊與斜邊之比．3．（4分）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c如圖所示，那么b、c的取值范圍是（）A．b＜0，c＜0 B．b＜0，c＞0 C．b＞0，c＜0 D．b＞0，c＞0【考點(diǎn)】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，再根據(jù)對稱軸在y軸的左側(cè)判斷b與0的關(guān)系；由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，【解答】解：∵圖象開口向下，∴a＜0，∵對稱軸在y軸左側(cè)，∴﹣＜0，∴b＜0；∵圖象與y軸交于正半軸，∴c＞0．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，用到的知識點(diǎn)：對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）來說，①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越?。虎谝淮雾椣禂?shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）；③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點(diǎn)，拋物線與y軸交于（0，c）．4．（4分）下列四個命題中，真命題的個數(shù)為（）①面積相等的兩個直角三角形相似：②周長相等的兩個直角三角形相似：③有一個銳角相等的兩個直角三角形相似：④斜邊和直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似．A．4 B．3 C．2 D．1【考點(diǎn)】O1：命題與定理；S8：相似三角形的判定．【分析】根據(jù)真命題的定義和有關(guān)性質(zhì)定理分別對每個命題進(jìn)行判斷即可．【解答】解；①面積相等的兩個直角三角形相似，錯誤，是假命題，②周長相等的兩個直角三角形相似，錯誤，是假命題，③有一個銳角相等的兩個直角三角形相似，正確，是真命題，④斜邊和直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似，正確，是真命題；真命題的個數(shù)是2個，故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．5．（4分）正多邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)不可能是（）A．80° B．135° C．144° D．150°【考點(diǎn)】L3：多邊形內(nèi)角與外角．【專題】11：計算題．【分析】設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n，再分別解方程（n﹣2）×180°＝80°×n；（n﹣2）×180°＝135°×n，（n﹣2）×180°＝144°×n，（n﹣2）×180°＝150°×n，然后根據(jù)n≥3的整數(shù)進(jìn)行判斷．【解答】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n，當(dāng)（n﹣2）×180°＝80°×n，解得n＝3.6，n不為正整數(shù)；當(dāng)（n﹣2）×180°＝135°×n，解得n＝8；當(dāng)（n﹣2）×180°＝144°×n，解得n＝10；當(dāng)（n﹣2）×180°＝150°×n，解得n＝12．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角：n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）×180°；多邊形的外角和為360°．6．（4分）已知⊙O1的半徑長為2，若⊙O2（O2與O1不重合）上的點(diǎn)P滿足PO1＝2，則下列位置關(guān)系中，⊙O1與⊙O2不可能存在的位置關(guān)系是（）A．相交 B．外切 C．內(nèi)切 D．外離【考點(diǎn)】MJ：圓與圓的位置關(guān)系．【分析】兩圓的位置關(guān)系有：相離（d＞R+r）、相切（d＝R+r或d＝R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）．【解答】解：∵⊙O1的半徑為2，根據(jù)圓與圓之間的位置關(guān)系，可知當(dāng)兩圓外離時，PO1＞2．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查兩圓的位置關(guān)系．兩圓的位置關(guān)系有：相離（d＞R+r）、相切（外切：d＝R+r或內(nèi)切：d＝R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）．二、填空題（共12小題，每小題4分，滿分48分）7．（4分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE與邊AB相交于點(diǎn)D，與邊AC相交于點(diǎn)E，如果AD＝6，BD＝8，AE＝4，那么CE的長為．【考點(diǎn)】S4：平行線分線段成比例．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴EC＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，注意：對應(yīng)線段成比例．8．（4分）已知||＝2，||＝4，且與反向，如果用向量表示向量，那么＝﹣．【考點(diǎn)】LM：*平面向量．【分析】根據(jù)向量b向量的模是a向量模的2倍，且與反向，即可得出答案．【解答】解：||＝2||，與反向，故可得：＝﹣．故答案為：＝﹣．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的知識，關(guān)鍵是得出向量b向量的模是a向量模的2倍．9．（4分）如圖，飛機(jī)在目標(biāo)B的正上方2000米A處，飛行員測得地面目標(biāo)C的俯角α＝30°，那么地面目標(biāo)B、C之間的距離為米．（結(jié)果保留根號）【考點(diǎn)】TA：解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【分析】由題意得，在直角三角形中，知道了已知角的鄰邊求對邊，用正切函數(shù)計算即可．【解答】解：∵飛行員測得地面目標(biāo)C的俯角α＝30°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝＝＝＝2000（米）．∴B、C之間的距離為2000米．故答案為：2000．【點(diǎn)評】本題考查俯角的定義，要求學(xué)生能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．10．（4分）如果關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣3x2﹣x+m﹣1的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，那么m＝1．【考點(diǎn)】H5：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【分析】將原點(diǎn)坐標(biāo)（0，0）代入二次函數(shù)解析式，列方程求m即可．【解答】解：∵點(diǎn)（0，0）在拋物線y＝﹣3x2﹣x+m﹣1上，∴m﹣1＝0，解得m＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評】此題考查了二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)與解析式的關(guān)系，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式是解題的關(guān)鍵．11．（4分）二次函數(shù)y＝﹣x2+3x的圖象在對稱軸右側(cè)的部分是下降的．【考點(diǎn)】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)做題．【解答】解：∵a＝﹣1＜0，∴函數(shù)圖象開口向下，∴在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而減?。簿褪怯覀?cè)部分是下降的．【點(diǎn)評】考查二次函數(shù)的增減性．12．（4分）二次函數(shù)：y＝x2+4x+5的對稱軸為直線x＝﹣2．【考點(diǎn)】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】利用配方法或拋物線的對稱軸的公式即可求解．【解答】解：∵y＝x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∴對稱軸為x＝﹣2．故答案為：x＝﹣2．【點(diǎn)評】此題主要考查了求拋物線的對稱軸，既可以利用配方法，也可以利用對稱軸的公式解決問題．13．（4分）把拋物線y＝（x﹣1）2+4先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4，2）．【考點(diǎn)】H6：二次函數(shù)圖象與幾何變換．【分析】先寫成平移前的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加，向下平移，縱坐標(biāo)減解答即可．【解答】解：拋物線y＝（x﹣1）2+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），∵向右平移3個單位，向下平移2個單位，∴橫坐標(biāo)為1+3＝4，縱坐標(biāo)為4﹣2＝2，∴所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）．故答案為：（4，2）．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖形與幾何變換，是基礎(chǔ)題，掌握平移規(guī)律“左加右減，上加下減”是解題的關(guān)鍵．14．（4分）已知⊙O的半徑長為2，點(diǎn)P滿足PO＝2，那么點(diǎn)P的直線l與⊙O不可能存在的位置關(guān)系是相離（從“相交”、“相切”、“相離”中選擇）．【考點(diǎn)】MB：直線與圓的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系來判定．判斷直線和圓的位置關(guān)系：①直線l和⊙O相交?d＜r；②直線l和⊙O相切?d＝r；③直線l和⊙O相離?d＞r．分OP垂直于直線l，OP不垂直直線l兩種情況討論．【解答】解：當(dāng)OP垂直于直線l時，即圓心O到直線l的距離d＝2＝r，⊙O與l相切；當(dāng)OP不垂直于直線l時，即圓心O到直線l的距離d＜2＝r，⊙O與直線l相交．故直線l與⊙O的位置關(guān)系是相切或相交，∴點(diǎn)P的直線l與⊙O不可能存在的位置關(guān)系是相離，故答案為：相離．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系．解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關(guān)系完成判定．15．（4分）正六邊形的邊心距與半徑的比值為．【考點(diǎn)】MM：正多邊形和圓．【分析】設(shè)正六邊形的半徑與外接圓的半徑相等，構(gòu)建直角三角形利用勾股定理即可求出邊心距．【解答】解：設(shè)正六邊形的半徑是r，則外接圓的半徑r，內(nèi)切圓的半徑是正六邊形的邊心距，因而是，則可知正六邊形的邊心距與半徑的比值為．【點(diǎn)評】正多邊形的計算一般是通過中心作邊的垂線，連接半徑，把正多邊形中的半徑，邊長，邊心距，中心角之間的計算轉(zhuǎn)化為解直角三角形．16．（4分）對于平面圖形A，如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圓形A被這個圓“覆蓋”．例如圖中的三角形被一個圓“覆蓋”．如果邊長為1的正六邊形被一個半徑長為R的圓“覆蓋”，那么R的取值范圍為R≥1．【考點(diǎn)】MM：正多邊形和圓．【專題】23：新定義．【分析】根據(jù)正六邊形的邊長等于它的外接圓半徑得出R的最小值，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵正六邊形的邊長等于它的外接圓半徑，∴邊長為1的正六邊形被一個半徑長為R的圓“覆蓋”，那么R的取值范圍為：R≥1．故答案為：R≥1．【點(diǎn)評】此題主要考查了正多邊形和圓，根據(jù)正六邊形的邊長等于它的外接圓半徑得出是解題關(guān)鍵．17．（4分）已知⊙O1與⊙O2相交于點(diǎn)A、B，AB＝8，O1O2＝2，⊙O1的半徑為5，那么⊙O2的半徑為或．【考點(diǎn)】ML：相交兩圓的性質(zhì)．【專題】11：計算題．【分析】分3種情況考慮：①當(dāng)兩圓心O1與O2位于公共弦AB兩側(cè)時，如圖所示，由AB為兩圓的公共弦，可得出兩圓心的連線垂直平分AB，由AB的長求出AC的長，Rt△AO1C中，由⊙O1的半徑及AC的長，利用勾股定理求出O1C的長，而O1C大于O1O2，矛盾，故此情況不成立；②當(dāng)兩圓心O1與O2位于公共弦AB一側(cè)時，如圖所示，由AB為兩圓的公共弦，可得出兩圓心的連線垂直平分AB，由AB的長求出AC的長，Rt△AO1C中，由⊙O1的半徑及AC的長，利用勾股定理求出O1C的長，由O1C﹣O1O2求出O2C的長，在Rt△AO2C中，根據(jù)O2C及AC的長，根據(jù)勾股定理求出AO2的長，即為⊙O2的半徑，綜上，得到⊙O2的半徑．③O2在O1左側(cè)2個單位時，同法可求．【解答】解：分三種情況考慮：①當(dāng)兩圓心O1與O2位于公共弦AB兩側(cè)時，如圖所示：∵AB為⊙O1與⊙O2的公共弦，∴O1O2⊥AB，且C為AB的中點(diǎn)，∵AB＝8，∴AC＝AB＝4，在Rt△AO1C中，AO1＝5，AC＝4，根據(jù)勾股定理得：O1C＝＝3，又O1O2＝2＜3＝O1C，矛盾；②當(dāng)兩圓心O1與O2位于公共弦AB一側(cè)時，如圖所示：∵AB為⊙O1與⊙O2的公共弦，∴O1O2⊥AB，且C為AB的中點(diǎn)，∵AB＝8，∴AC＝AB＝4，在Rt△AO1C中，AO1＝5，AC＝4，根據(jù)勾股定理得：O1C＝＝3，又O1O2＝2，∴O2C＝O1C﹣O1O2＝3﹣2＝1，在Rt△AO2C中，O2C＝1，AC＝4，根據(jù)勾股定理得：AO2＝＝，③O2在O1左側(cè)2個單位時，AO2＝＝，綜上，⊙O2的半徑為或，故答案為：或【點(diǎn)評】此題考查了兩圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有：勾股定理，以及連心線與公共弦的關(guān)系，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，本題注意考慮兩種情況，得出符合題意⊙O2的半徑．18．（4分）如圖，弧EF所在的⊙O的半徑長為5，正三角形ABC的頂點(diǎn)A、B分別在半徑OE、OF上，點(diǎn)C在弧EF上，∠EOF＝60°，如果AB⊥OF，那么這個正三角形的邊長為．【考點(diǎn)】KK：等邊三角形的性質(zhì)；KO：含30度角的直角三角形；KQ：勾股定理．【分析】過C作CM⊥AB于M，連接OC，設(shè)正三角形ABC的邊長是x，則MB＝AB＝x，由勾股定理求出CM＝x，根據(jù)勾股定理求出OA2＝25﹣x2，在Rt△ABO中，OA＝＝，得出方程25﹣x2＝，求出即可．【解答】解：過C作CM⊥AB于M，連接OC，設(shè)正三角形ABC的邊長是x，則MB＝AB＝x，∠BAC＝60°，由勾股定理得：CM＝x，∵∠EOF＝∠CAB＝60°，AB⊥OF，∴∠OAB＝30°，∠OBA＝90°，∴OA2＝OC2﹣AC2＝25﹣x2，在Rt△ABO中，OA＝＝，OA2＝，25﹣x2＝，x＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能得出關(guān)于x的方程．三、解答題（共7小題，滿分78分）19．（10分）計算：cot60°﹣cos30°+．【考點(diǎn)】T5：特殊角的三角函數(shù)值．【分析】分別將各特殊角的三角函數(shù)值代入，然后進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：原式＝﹣+＝﹣．【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練記憶一些特殊角的三角函數(shù)值．20．（10分）如圖已知△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，矩形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)D、G分別在AB、AC上，設(shè)DE的長為x，矩形DEFG的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出這個函數(shù)的定義域．【考點(diǎn)】HD：根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式；KH：等腰三角形的性質(zhì)；S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】首先過點(diǎn)作AM⊥BC于點(diǎn)M，由AB＝AC＝10，BC＝16，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與勾股定理，即可求得AM的長，又由四邊形DEFG是矩形，易證得△ADG∽△ABC，由相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，即可得方程，則可表示出DG的長，繼而求得答案．【解答】解：過點(diǎn)作AM⊥BC于點(diǎn)M，∵AB＝AC＝10，BC＝16，∴BM＝BC＝8，在Rt△ABM中，AM＝＝6，∵四邊形DEFG是矩形，∴DG∥EF，DE⊥BC，∴AN⊥DG，四邊形EDMN是矩形，∴MN＝DE＝x，∵DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，∴DG：BC＝AN：AM，∴，解得：DG＝﹣x+16，∴y＝S矩形DEFG＝DE?DG＝x?（﹣x+16）＝﹣x2+16x（0＜x＜6）．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．21．（10分）如圖，已知點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB和AC上，DE∥BC，AD＝DB，四邊形DBCE的面積等于16．（1）求△ABC的面積；（2）如果向量＝，向量＝，請用、表示向量．【考點(diǎn)】LM：*平面向量．【分析】（1）設(shè)△ADE的面積為x，則△ABC的面積＝x+16，再由△ADE∽△ABC，根據(jù)面積比等于相似比平方可得出x的值，繼而得出△ABC的面積；（2）先表示出DE，根據(jù)BC＝3DE，即可表示出向量．【解答】解：（1）設(shè)△ADE的面積為x，則△ABC的面積＝x+16，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2，解得：x＝2，故△ABC的面積為18．（2）∵向量＝，向量＝，∴＝﹣＝﹣，∵＝＝，∴BC＝3DE，∴＝3﹣3．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量及相似三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方．22．（10分）如圖，一條細(xì)繩系著一個小球在平面內(nèi)擺動，已知細(xì)繩從懸掛點(diǎn)O到球心的長度OG為50厘米，小球在左、右兩個最高位置時（不考慮阻力等其他因素），細(xì)繩相應(yīng)所成的角90°．（1）求小球在最高位置和最低位置時的高度差：（2）聯(lián)結(jié)EG，求∠OGE的余切值．【考點(diǎn)】KQ：勾股定理；M3：垂徑定理的應(yīng)用；T1：銳角三角函數(shù)的定義．【分析】（1）連接EF交OG于點(diǎn)H，由∠EOF＝90°可知∠EOH＝45°，故EH＝OH，設(shè)OH＝h，在直角△OEH中利用勾股定理即可求出h的長，故可得出結(jié)論；（2）連接EG，根據(jù)（1）中OH的長可得出EH及HG的長，根據(jù)cot∠OGE＝即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）連接EF交OG于點(diǎn)H，∵∠EOF＝90°，∴∠EOH＝45°，∴EH＝OH，設(shè)OH＝h，在Rt△OEH中，OH2+EH2＝OE2，即h2+h2＝502，解得h＝25cm，∴小球在最高位置和最低位置時的高度差＝OG﹣OH＝50﹣25（cm）；（2）連接EG，∵由（1）可知EH＝OH＝25，HG＝50﹣25，∴cot∠OGE＝＝＝﹣1．【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意畫出圖形，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．23．（12分）已知：點(diǎn)D是Rt△ABC的BC邊的一個動點(diǎn)（如圖），過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，點(diǎn)F在AB邊上（點(diǎn)F與點(diǎn)B不重合），且滿足FE＝BE，聯(lián)結(jié)CF、DF．（1）當(dāng)DF平分∠CFB時，求證：：（2）若AB＝10，tanB＝．當(dāng)DF⊥CF時，求BD的長．【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）利用由兩對角相等的三角形相似即可證明△CFD∽△CBF，由相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等即可證明；（2）利用已知條件可求出AC＝6，BC＝8，因為tanB＝．可設(shè)DE＝3x，則BE＝4x，則BD＝5x，CD＝BC﹣BD＝8﹣5x，再證明三角形ACF是等腰三角形，進(jìn)而得到CF＝6，根據(jù)勾股定理建立方程求出x的值即可．【解答】（1）證明：∵DF平分∠CFB，∴∠CFD＝∠EFD，∵DE⊥AB，F(xiàn)E＝BE，∴DF＝BD，∴∠EFD＝∠DBF，∵∠FCD＝∠BCF，∴△CFD∽△CBF，∴，∵DF＝BD，∴；（2）解：∵AB＝10，tanB＝，∴AC＝6，BC＝8，∵tanB＝．設(shè)DE＝3x，則BE＝4x，則BD＝5x，CD＝BC﹣BD＝8﹣5x，∵DE⊥AB，F(xiàn)E＝BE，∴DF＝BD，∴∠DFB＝∠B，∵DF⊥CF，∴∠AFC+∠BFD＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∴∠A＝∠AFC，∴AC＝FC＝6，∴62+（5x）2＝（8﹣5x）2，解得：x＝，故當(dāng)DF⊥CF時，BD的長是．【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，題目的綜合性很好，難度中等．24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y＝ax2+4ax+c（a≠0）經(jīng)過A（0，4），B（﹣3，1），頂點(diǎn)為C．（1）求該拋物線的表達(dá)方式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）將（1）中求得的拋物線沿y軸向上平移m（m＞0）個單位，所得新拋物線與y軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)D．當(dāng)△ACD時等腰三角形時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P在（1）中求得的拋物線的對稱軸上，聯(lián)結(jié)PO，將線段PO繞點(diǎn)P逆時針轉(zhuǎn)90°得到線段PO′，若點(diǎn)O′恰好落在（1）中求得的拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）將A與B坐標(biāo)代入拋物線解析式中求出a與c的值，即可確定出拋物線解析式，配方后即可求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）由平移規(guī)律即C的坐標(biāo)表示出D的坐標(biāo)，在直角三角形AOC中，由OA與OC的長，利用勾股定理求出AC的長，由圖形得到∠DAC為鈍角，三角形ACD為等腰三角形，只有DA＝AC，求出DA的長，即為m的值，即可確定出D的坐標(biāo)；（3）由P在拋物線的對稱軸上，設(shè)出P坐標(biāo)為（﹣2，n），如圖所示，過O′作O′M⊥x軸，交x軸于點(diǎn)M，過P作PN⊥O′M，垂足為N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到一對邊相等，再由同角的余角相等得到一對角相等，根據(jù)一對直角相等，利用AAS得到△PCO≌△PNO′，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到O′N＝OC＝2，PN＝PC＝|n|，再由PCMN為矩形得到MN＝PC＝|n|，分n大于0與小于0兩種情況表示出O′坐標(biāo)，將O′坐標(biāo)代入拋物線解析式中求出相應(yīng)n的值，即可確定出P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將A，B坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得：，解得：，∴拋物線解析式為y＝x2+4x+4＝（x+2）2，∴頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣2，0）；（2）由題意得：D（0，m+4），在Rt△AOC中，OA＝4，OC＝2，根據(jù)勾股定理得：AC＝＝2，由圖形得到∠DAC為鈍角，要使△ACD為等腰三角形，只有DA＝AC＝2，∴DA＝m＝2，則D坐標(biāo)為（0，2+4）；（3）設(shè)P（﹣2，n），如圖所示，過O′作O′M⊥x軸，交x軸于點(diǎn)M，過P作PN⊥O′M，垂足為N，易得PO＝PO′，∠PCO＝∠PNO′＝90°，∠CPO＝∠NPO′，∴△PCO≌△PNO′（AAS），∴O′N＝OC＝2，PN＝PC＝|n|，∵四邊形PCMN為矩形，∴MN＝PC＝|n|，①當(dāng)n＞0時，O′（n﹣2，n+2），代入拋物線解析式得：n2﹣n﹣2＝0，解得：n＝2或n＝﹣1（舍去）；②當(dāng)n＜0時，O′（n﹣2，n+2），代入拋物線解析式得：n2﹣n﹣2＝0，解得：n＝2（舍去）或n＝﹣1，綜上①②得到n＝2或﹣1，則P的坐標(biāo)為（﹣2，2），（﹣2，﹣1）．【點(diǎn)評】此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，平移及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及方程的思想，是一道中檔題．25．（14分）已知