2014年上海市普陀區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

2014年上海市普陀區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷一、單項(xiàng)選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）[下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上]1．（4分）下列各數(shù)中，能化為有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)是（）A． B． C． D．2．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，將正比例函數(shù)y＝kx（k＞0）的圖象向上平移一個(gè)單位，那么平移后的圖象不經(jīng)過(guò)（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（4分）已知兩圓的圓心距是3，它們的半徑分別是方程x2﹣7x+10＝0的兩個(gè)根，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)切 B．外切 C．相交 D．外離4．（4分）一個(gè)不透明的盒子中裝有2個(gè)白球，5個(gè)紅球和8個(gè)黃球，這些球除顏色外，沒(méi)有任何其他區(qū)別，現(xiàn)從這個(gè)盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到紅球的概率為（）A． B． C． D．5．（4分）下列命題中，錯(cuò)誤的是（）A．三角形重心是三條中線交點(diǎn) B．三角形外心到各頂點(diǎn)距離相等 C．三角形內(nèi)心到各邊距離相等 D．等腰三角形重心、內(nèi)心、外心重合6．（4分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，D為BC上一點(diǎn)，∠DAC＝30°，BD＝2，AB＝，則AC的長(zhǎng)是（）A． B． C．3 D．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）[請(qǐng)將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置]7．（4分）36的平方根是．8．（4分）因式分解：2a3﹣8a＝．9．（4分）函數(shù)y＝的定義域是．10．（4分）一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（0，3）且與直線y＝﹣x平行，那么函數(shù)解析式是．11．（4分）已知△ABC∽△DEF，且相似比為3：4，S△ABC＝2cm2，則S△DEF＝cm2．12．（4分）解方程﹣＝，設(shè)y＝，那么原方程化為關(guān)于y的整式方程是．13．（4分）在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，設(shè)向量＝，＝．用含、的式子表示向量＝．14．（4分）1納米等于0.000000001米，用科學(xué)記數(shù)法表示：2014納米＝米．15．（4分）一山坡的坡度為i＝1：，那么該山坡的坡角為度．16．（4分）直角坐標(biāo)系中，第四象限內(nèi)一點(diǎn)P到x軸的距離為2，到y(tǒng)軸的距離為5，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是．17．（4分）在△ABC中，AB＝AC＝5，tanB＝．若⊙O的半徑為，且⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，那么線段OA的長(zhǎng)等于．18．（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，如果以點(diǎn)C為圓心，r為半徑，且⊙C與斜邊AB僅有一個(gè)公共點(diǎn)，那么半徑r的取值范圍是．三、解答題（本大題共7題，其中第19---22題每題10分，第23、24題每題12分，第25題14分，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：（）﹣1+（π﹣1）0+27．20．（10分）先化簡(jiǎn)分式（﹣）÷，再?gòu)牟坏仁浇M的解集中取一個(gè)非負(fù)整數(shù)值代入，求原分式的值．21．（10分）汶川地震牽動(dòng)著全國(guó)億萬(wàn)人民的心，某校為地震災(zāi)區(qū)開(kāi)展了“獻(xiàn)出我們的愛(ài)”賑災(zāi)捐款活動(dòng)．八年級(jí)（1）班50名同學(xué)積極參加了這次賑災(zāi)捐款活動(dòng)，下表是小明對(duì)全班捐款情況的統(tǒng)計(jì)表：捐款（元）1015305060人數(shù)3611136因不慎兩處被墨水污染，已無(wú)法看清，但已知全班平均每人捐款38元．（1）根據(jù)以上信息請(qǐng)幫助小明計(jì)算出被污染處的數(shù)據(jù)，并寫(xiě)出解答過(guò)程．（2）該班捐款金額的眾數(shù)，中位數(shù)分別是多少？22．（10分）如圖，已知AD既是△ABC的中線，又是角平分線，請(qǐng)判斷：（1）△ABC的形狀；（2）AD是否過(guò)△ABC外接圓的圓心O，⊙O是否是△ABC的外接圓，并證明你的結(jié)論．23．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），B（2，2）．連接OB，AB．（1）求該拋物線的解析式；（2）求證：△OAB是等腰直角三角形；（3）將△OAB繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)135°得到△OA′B′，寫(xiě)出△OA′B′的邊A′B′的中點(diǎn)P的坐標(biāo)．試判斷點(diǎn)P是否在此拋物線上，并說(shuō)明理由．24．（12分）如圖，港口B位于港口O正西方向120海里處，小島C位于港口O北偏西60°的方向．一艘科學(xué)考察船從港口O出發(fā)，沿北偏西30°的OA方向以20海里/小時(shí)的速度駛離港口O．同時(shí)一艘快艇從港口B出發(fā)，沿北偏東30°的方向以60海里/小時(shí)的速度駛向小島C，在小島C用1小時(shí)裝補(bǔ)給物資后，立即按原來(lái)的速度給考察船送去．（1）快艇從港口B到小島C需要多少時(shí)間？（2）快艇從小島C出發(fā)后最少需要多少時(shí)間才能和考察船相遇？25．（14分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點(diǎn)D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），過(guò)D作射線DE交AB邊于E，使∠BDE＝∠A，以D為圓心、DC的長(zhǎng)為半徑作⊙D．（1）設(shè)BD＝x，AE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域．（2）當(dāng)⊙D與AB邊相切時(shí)，求BD的長(zhǎng)．（3）如果⊙E是以E為圓心，AE的長(zhǎng)為半徑的圓，那么當(dāng)BD的長(zhǎng)為多少時(shí)，⊙D與⊙E相切？

2014年上海市普陀區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）[下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上]1．（4分）下列各數(shù)中，能化為有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】27：實(shí)數(shù)．【分析】本題需根據(jù)有理數(shù)的除法法則分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，即可求出結(jié)果．【解答】解：A.＝0.3…，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.＝0.2，故本選項(xiàng)正確；C.＝0.42857…，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.＝0.1…，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的除法，在解題時(shí)要根據(jù)有理數(shù)的除法法則分別計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，將正比例函數(shù)y＝kx（k＞0）的圖象向上平移一個(gè)單位，那么平移后的圖象不經(jīng)過(guò)（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考點(diǎn)】F9：一次函數(shù)圖象與幾何變換．【分析】先由“上加下減”的平移規(guī)律求出正比例函數(shù)y＝kx（k＞0）的圖象向上平移一個(gè)單位后的解析式，再根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【解答】解：將正比例函數(shù)y＝kx（k＞0）的圖象向上平移一個(gè)單位得到y(tǒng)＝kx+1（k＞0），∵k＞0，b＝1＞0，∴圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，不經(jīng)過(guò)第四象限．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，正確得出函數(shù)平移后的解析式是解題的關(guān)鍵．3．（4分）已知兩圓的圓心距是3，它們的半徑分別是方程x2﹣7x+10＝0的兩個(gè)根，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)切 B．外切 C．相交 D．外離【考點(diǎn)】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；MJ：圓與圓的位置關(guān)系．【分析】由兩圓的半徑分別是方程x2﹣7x+10＝0的兩根，利用因式分解法即可求得兩圓的半徑，又由兩圓的圓心距為3，即可求得這兩個(gè)圓的位置關(guān)系．【解答】解：∵x2﹣7x+10＝0，∴（x﹣2）（x﹣5）＝0，解得：x1＝2，x2＝5，∴兩圓的半徑分別是2，5，∵3＝5﹣2，∴這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是：內(nèi)切．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓與圓的位置關(guān)系與一元二次方程的解法．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是掌握兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系得出兩圓位置關(guān)系．4．（4分）一個(gè)不透明的盒子中裝有2個(gè)白球，5個(gè)紅球和8個(gè)黃球，這些球除顏色外，沒(méi)有任何其他區(qū)別，現(xiàn)從這個(gè)盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到紅球的概率為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】X4：概率公式．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題．【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．【解答】解：根據(jù)題意可得：一個(gè)不透明的盒子中裝有2個(gè)白球，5個(gè)紅球和8個(gè)黃球，共15個(gè)，摸到紅球的概率為＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）＝．5．（4分）下列命題中，錯(cuò)誤的是（）A．三角形重心是三條中線交點(diǎn) B．三角形外心到各頂點(diǎn)距離相等 C．三角形內(nèi)心到各邊距離相等 D．等腰三角形重心、內(nèi)心、外心重合【考點(diǎn)】O1：命題與定理．【分析】利用三角形的內(nèi)心、外心及重心的定義逐項(xiàng)分析后即可確定正確的答案．【解答】解：A、三角形的重心是三條中線的交點(diǎn)，正確；B、三角形的外心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，到各頂點(diǎn)的距離相等，故正確；C、三角形的內(nèi)心是三角平分線的交點(diǎn)，到各邊的距離相等，故正確；D、等邊三角形的重心、內(nèi)心和外心才重合，故錯(cuò)誤，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)心、外心及重心的定義，了解其性質(zhì)及定義是解答本題的關(guān)鍵．6．（4分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，D為BC上一點(diǎn)，∠DAC＝30°，BD＝2，AB＝，則AC的長(zhǎng)是（）A． B． C．3 D．【考點(diǎn)】T7：解直角三角形．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題．【分析】設(shè)CD＝x，在Rt△ACD中，根據(jù)∠DAC＝30°的正切可求出AC．在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得到關(guān)于x的方程，解得x，即可求出AC．【解答】解：設(shè)CD＝x，則AC＝＝x，∵AC2+BC2＝AB2，AC2+（CD+BD）2＝AB2，∴（x）2+（x+2）2＝（2）2，解得，x＝1，∴AC＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了勾股定理和銳角三角函數(shù)的概念求解．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）[請(qǐng)將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置]7．（4分）36的平方根是±6．【考點(diǎn)】21：平方根．【分析】根據(jù)平方根的定義求解即可．【解答】解：36的平方根是±6，故答案為：±6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方根的定義，解答本題的關(guān)鍵是掌握一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)．8．（4分）因式分解：2a3﹣8a＝2a（a+2）（a﹣2）．【考點(diǎn)】55：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【分析】觀察原式，找到公因式2a，提出公因式后發(fā)現(xiàn)a2﹣4符合平方差公式的形式，利用平方差公式繼續(xù)分解即可得求得答案．【解答】解：2a3﹣8a，＝2a（a2﹣4），＝2a（a+2）（a﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．9．（4分）函數(shù)y＝的定義域是x＜3．【考點(diǎn)】E4：函數(shù)自變量的取值范圍．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開(kāi)方數(shù)大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根據(jù)題意得：3﹣x＞0，解得：x＜3．故答案是：x＜3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．10．（4分）一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（0，3）且與直線y＝﹣x平行，那么函數(shù)解析式是y＝﹣x+3．【考點(diǎn)】FA：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．【分析】一次函數(shù)的解析式是：y＝﹣x+b，把（0，3）代入解析式，求得b的值，即可求得函數(shù)的解析式．【解答】解：設(shè)一次函數(shù)的解析式是：y＝﹣x+b，把（0，3）代入解析式，得：b＝3，則函數(shù)的解析式是：y＝﹣x+3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確理解平行的兩個(gè)一次函數(shù)的解析式之間的關(guān)系是關(guān)鍵．11．（4分）已知△ABC∽△DEF，且相似比為3：4，S△ABC＝2cm2，則S△DEF＝cm2．【考點(diǎn)】S7：相似三角形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，相似三角形面積的比等于相似比的平方，可求S△DEF的值．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比為3：4∴S△ABC：S△DEF＝9：16∴S△DEF＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形面積的比等于相似比的平方．12．（4分）解方程﹣＝，設(shè)y＝，那么原方程化為關(guān)于y的整式方程是3y2﹣4y﹣3＝0．【考點(diǎn)】B4：換元法解分式方程．【分析】換元法即是整體思想的考查，解題的關(guān)鍵是找到這個(gè)整體，此題的整體是，設(shè)y＝，換元后整理即可求得．【解答】解：設(shè)y＝，則原方程可變?yōu)閥﹣＝，去分母得3y2﹣4y﹣3＝0．故答案為：3y2﹣4y﹣3＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用換元法解方程，解題關(guān)鍵是能準(zhǔn)確的找出可用替換的代數(shù)式，再用字母y代替解方程．13．（4分）在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，設(shè)向量＝，＝．用含、的式子表示向量＝+．【考點(diǎn)】L5：平行四邊形的性質(zhì)；LM：*平面向量．【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得＝＝，又由三角形法則求得，繼而求得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，OA＝OC，∴＝＝，∵＝，∴＝+＝+，∴＝＝（+）＝+．故答案為：+．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平面向量的知識(shí)以及平行四邊形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握三角形法則的應(yīng)用，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．14．（4分）1納米等于0.000000001米，用科學(xué)記數(shù)法表示：2014納米＝2.014×10﹣6米．【考點(diǎn)】1J：科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)．【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【解答】解：2014納米＝2014×0.000000001m＝2.014×10﹣6m．故答案為：2.014×10﹣6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．15．（4分）一山坡的坡度為i＝1：，那么該山坡的坡角為30度．【考點(diǎn)】T9：解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題．【分析】根據(jù)坡度i等于坡角的正切即可求解．【解答】解：設(shè)坡角為α，由題意得，tanα＝＝，∴α＝30°．故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坡度和坡角的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握坡度和坡角的概念．16．（4分）直角坐標(biāo)系中，第四象限內(nèi)一點(diǎn)P到x軸的距離為2，到y(tǒng)軸的距離為5，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5，﹣2）．【考點(diǎn)】D1：點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】根據(jù)第四象限點(diǎn)的橫坐標(biāo)是正數(shù)，縱坐標(biāo)是負(fù)數(shù)，點(diǎn)到x軸的距離等于縱坐標(biāo)的長(zhǎng)度，到y(tǒng)軸的距離等于橫坐標(biāo)的長(zhǎng)度解答．【解答】解：∵第四象限內(nèi)一點(diǎn)P到x軸的距離為2，到y(tǒng)軸的距離為5，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是5，縱坐標(biāo)是﹣2，∴點(diǎn)P（5，﹣2）．故答案為：（5，﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，熟記點(diǎn)到x軸的距離等于縱坐標(biāo)的長(zhǎng)度，到y(tǒng)軸的距離等于橫坐標(biāo)的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．17．（4分）在△ABC中，AB＝AC＝5，tanB＝．若⊙O的半徑為，且⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，那么線段OA的長(zhǎng)等于3或5．【考點(diǎn)】KH：等腰三角形的性質(zhì)；M2：垂徑定理；T7：解直角三角形．【分析】分兩種情況考慮：（i）如圖1所示，由AB＝AC，OB＝OC，利用線段垂直平分線逆定理得到AO垂直平分BC，在直角三角形ABD中，由AB及cos∠ABC的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出BD的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，在直角三角形OBD中，由OB與BD的長(zhǎng)，利用勾股定理求出OD的長(zhǎng)，由AD+DO即可求出AO的長(zhǎng)；（ii）同理由AD﹣OD即可求出AO的長(zhǎng)，綜上，得到所有滿足題意的AO的長(zhǎng)【解答】解：分兩種情況考慮：（i）如圖1所示，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO垂直平分BC，∴OA⊥BC，D為BC的中點(diǎn)，在Rt△ABD中，AB＝5，tan∠ABC＝＝，設(shè)AD＝4x，BD＝3x，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝52，x＝1，∴BD＝3，AD＝4，在Rt△BDO中，OD＝＝1，BD＝3，則AO＝AD+OD＝4+1＝5；（ii）如圖2所示，AO＝AD﹣OD＝4﹣1＝3；綜合上述，OA的長(zhǎng)為3或5．故答案為：3或5．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．18．（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，如果以點(diǎn)C為圓心，r為半徑，且⊙C與斜邊AB僅有一個(gè)公共點(diǎn)，那么半徑r的取值范圍是r＝或5＜r≤12．【考點(diǎn)】MB：直線與圓的位置關(guān)系．【分析】因?yàn)橐箞A與斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以該圓和斜邊相切或和斜邊相交，但只有一個(gè)交點(diǎn)在斜邊上．若d＜r，則直線與圓相交；若d＝r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．【解答】解：根據(jù)勾股定理求得直角三角形的斜邊是＝13．當(dāng)圓和斜邊相切時(shí)，則半徑即是斜邊上的高，等于；當(dāng)圓和斜邊相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)在斜邊上時(shí)，可以讓圓的半徑大于短直角邊而小于長(zhǎng)直角邊，則5＜r≤12．故半徑r的取值范圍是r＝或5＜r≤12．故答案為：r＝或5＜r≤12．【點(diǎn)評(píng)】考查了直線與圓的位置關(guān)系，此題注意考慮兩種情況，只需保證圓和斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn)即可．三、解答題（本大題共7題，其中第19---22題每題10分，第23、24題每題12分，第25題14分，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：（）﹣1+（π﹣1）0+27．【考點(diǎn)】2C：實(shí)數(shù)的運(yùn)算；2F：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；6E：零指數(shù)冪；6F：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題．【分析】原式第一項(xiàng)利用負(fù)指數(shù)冪法則計(jì)算，第二項(xiàng)利用零指數(shù)冪法則計(jì)算，第三項(xiàng)變形后化為最簡(jiǎn)二次根式，計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝+1+3＝﹣1+1+3＝4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．20．（10分）先化簡(jiǎn)分式（﹣）÷，再?gòu)牟坏仁浇M的解集中取一個(gè)非負(fù)整數(shù)值代入，求原分式的值．【考點(diǎn)】6D：分式的化簡(jiǎn)求值；CC：一元一次不等式組的整數(shù)解．【專(zhuān)題】26：開(kāi)放型．【分析】首先利用分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)分式，利用不等式組的求解方法求出不等式的解集，即可求得其非負(fù)整數(shù)解，然后由不等式有意義的條件確定x的取值即可求得答案．【解答】解：∵（﹣）÷＝（﹣）?＝3（x+1）﹣（x﹣1）＝2x+4，∵，解①得：x≤2，解②得：x＞﹣3，∴此不等式組的解集是﹣3＜x≤2；∴非負(fù)整數(shù)值有0，1，2，∵x2﹣1≠0，x≠0，∴x≠±1且x≠0，∴當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝8．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值與不等式組的解法．題目難度不大，但解題時(shí)需細(xì)心．21．（10分）汶川地震牽動(dòng)著全國(guó)億萬(wàn)人民的心，某校為地震災(zāi)區(qū)開(kāi)展了“獻(xiàn)出我們的愛(ài)”賑災(zāi)捐款活動(dòng)．八年級(jí)（1）班50名同學(xué)積極參加了這次賑災(zāi)捐款活動(dòng)，下表是小明對(duì)全班捐款情況的統(tǒng)計(jì)表：捐款（元）1015305060人數(shù)3611136因不慎兩處被墨水污染，已無(wú)法看清，但已知全班平均每人捐款38元．（1）根據(jù)以上信息請(qǐng)幫助小明計(jì)算出被污染處的數(shù)據(jù)，并寫(xiě)出解答過(guò)程．（2）該班捐款金額的眾數(shù)，中位數(shù)分別是多少？【考點(diǎn)】8A：一元一次方程的應(yīng)用；VA：統(tǒng)計(jì)表；W4：中位數(shù)；W5：眾數(shù)．【專(zhuān)題】27：圖表型．【分析】（1）所求人數(shù)＝50減去圖中已有人數(shù)，捐款數(shù)＝（38×50﹣各類(lèi)捐款錢(qián)數(shù)×人數(shù)）÷前面算出的人數(shù)；（2）50出現(xiàn)的次數(shù)最多，為13次，所以50是眾數(shù)；50個(gè)數(shù)，中位數(shù)是第25個(gè)和第26個(gè)數(shù)的平均數(shù)．【解答】解：（1）被污染處的人數(shù)為50﹣3﹣6﹣11﹣13﹣6＝11人被污染處的捐款數(shù)＝[50×38﹣（10×3+15×6+30×11+50×13+60×6）]÷11＝40元答：被污染處的人數(shù)為11人，被污染處的捐款數(shù)為40元．（2）捐款金額的中位數(shù)是（40+40）÷2＝40（元），捐款金額的眾數(shù)是50（元）．答：捐款金額的中位數(shù)是40元，捐款金額的眾數(shù)是50元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是：給定一組數(shù)據(jù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)，稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，把中間數(shù)據(jù)（或中間兩數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做中位數(shù)．22．（10分）如圖，已知AD既是△ABC的中線，又是角平分線，請(qǐng)判斷：（1）△ABC的形狀；（2）AD是否過(guò)△ABC外接圓的圓心O，⊙O是否是△ABC的外接圓，并證明你的結(jié)論．【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；MA：三角形的外接圓與外心．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)HL定理可得出△BDE≌△CDF，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知AD⊥BC，再由BD＝CD，可知AD過(guò)圓心O，故可得出結(jié)論．【解答】（1）答：△ABC是等腰三角形．證明：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．∵AD是角平分線，∴DE＝DF．又∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在Rt△BDE與Rt△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（HL）．∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形；（2）答：AD過(guò)△ABC的外接圓圓心O，⊙O是△ABC的外接圓．證明：∵AB＝AC，AD是角平分線，∴AD⊥BC，又∵BD＝CD，∴AD過(guò)圓心O．作邊AB的中垂線交AD于點(diǎn)O，交AB于點(diǎn)M，則點(diǎn)O就是△ABC的外接圓圓心，∴⊙O是△ABC的外接圓．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外接圓與外心，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．23．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），B（2，2）．連接OB，AB．（1）求該拋物線的解析式；（2）求證：△OAB是等腰直角三角形；（3）將△OAB繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)135°得到△OA′B′，寫(xiě)出△OA′B′的邊A′B′的中點(diǎn)P的坐標(biāo)．試判斷點(diǎn)P是否在此拋物線上，并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題．【專(zhuān)題】15：綜合題．【分析】（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過(guò)聯(lián)立方程組即可求出拋物線的解析式；（2）過(guò)B作BC⊥x軸于C，根據(jù)A、B的坐標(biāo)易求得OC＝BC＝AC＝2，由此可證得∠BOC、∠BAC、∠OBC、∠ABC都是45°，即可證得△OAB是等腰直角三角形；（3）當(dāng)△OAB繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)135°時(shí)，OB′正好落在y軸上，易求得OB、AB的長(zhǎng)，即可得到OB′、A′B′的長(zhǎng)，從而可得到A′、B′的坐標(biāo)，進(jìn)而可得到A′B′的中點(diǎn)P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入拋物線中進(jìn)行驗(yàn)證即可．【解答】解：（1）方法一：由題意得，解得；∴該拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x；方法二：∵B（2，2）∴設(shè)拋物線方程為：y＝a（x﹣2）2+2；將A（4，0）代入得：a（4﹣2）2+2＝0，∴a＝，∴該拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣2）2+2＝﹣x2+2x；（2）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，則OC＝BC＝AC＝2；∴∠BOC＝∠OBC＝∠BAC＝∠ABC＝45°；∴∠OBA＝90°，OB＝AB；∴△OAB是等腰直角三角形；（3）∵△OAB是等腰直角三角形，OA＝4，∴OB＝AB＝2；由題意得：點(diǎn)A′坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）∴A′B′的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，﹣2）；當(dāng)x＝﹣時(shí)，y＝﹣×（﹣）2+2×（﹣）≠﹣2；∴點(diǎn)P不在二次函數(shù)的圖象上．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、等腰直角三角形的判定、圖形的旋轉(zhuǎn)變化等知識(shí)．24．（12分）如圖，港口B位于港口O正西方向120海里處，小島C位于港口O北偏西60°的方向．一艘科學(xué)考察船從港口O出發(fā)，沿北偏西30°的OA方向以20海里/小時(shí)的速度駛離港口O．同時(shí)一艘快艇從港口B出發(fā)，沿北偏東30°的方向以60海里/小時(shí)的速度駛向小島C，在小島C用1小時(shí)裝補(bǔ)給物資后，立即按原來(lái)的速度給考察船送去．（1）快艇從港口B到小島C需要多少時(shí)間？（2）快艇從小島C出發(fā)后最少需要多少時(shí)間才能和考察船相遇？【考點(diǎn)】TB：解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題．【分析】（1）要求B到C的時(shí)間，已知其速度，則只要求得BC的路程，再利用路程公式即可求得所需的時(shí)間．（2）過(guò)C作CH⊥OA，垂足為H．設(shè)快艇從C島出發(fā)后最少要經(jīng)過(guò)x小時(shí)才能和考察船在OA上的D處相遇，則CD＝60x，OD＝20（x+2）．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可解得x的值，從而求得快艇從小島C出發(fā)后和考察船相遇的最短的時(shí)間．【解答】解：（1）由題意可知：∠CBO＝60°，∠COB＝30度．∴∠BCO＝90度．在Rt△BCO中，∵OB＝120，∴BC＝60，OC＝60．∴快艇從港口B到小島C的時(shí)間為：60÷60＝1（小時(shí)）．（2）設(shè)快艇從C島出發(fā)后最少要經(jīng)過(guò)x小時(shí)才能和考察船在OA上的D處相遇，則CD＝60x．過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CO于點(diǎn)E，∵考察船與快艇是同時(shí)出發(fā)，∵快艇從港口B到小島C的時(shí)間是1小時(shí)，在小島C用1小時(shí)裝補(bǔ)給物資，∴考察船從O到D行駛了（x+2）小時(shí)，∴OD＝20（x+2）．過(guò)C作CH⊥OA，垂足為H，在△OHC中，∵∠COH＝30°，OB＝120，∴CO＝60，∴CH＝30，OH＝90．∴DH＝OH﹣OD＝90﹣20（x+2）＝50﹣20x．在Rt△CHD中，CH2+DH2＝CD2，∴+（50﹣20x）2＝（60x）2．整理得：8x2+5x﹣13＝0．解得：x1＝1，x2＝﹣．