河北省張家口市2022-2023學(xué)年高一年級下冊期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

河北省張家口市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末

數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級和考號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題R答案』后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的k答案】標(biāo)

號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他K答案】標(biāo)號.回答非選擇題時，將工答

案》寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.數(shù)據(jù)68,70,80,88,89,90,96,98的第30百分位數(shù)為（）.

A70B.75C.80D.88

R答案』C

K解析』依題意，8x30%=2.4,所以所求第30百分位數(shù)為80.

故選：C

2.已知向量a,8滿足冋=2,網(wǎng)=3,a-b=1，則〃在。上的投影向量為（）.

11.1,1

A.—uB.—（XC.-bD.—b

4293

K答案HA

,a-ba\a\

K解析X根據(jù)投影向量的定義可得，2在4上的投影向量為=

\a\\a\224

故選：A

3.已知圓錐的體積為空兀，底面面積為2兀，則該圓錐的側(cè)面積為（）.

3

A.2&無B.y/WnC.37rD.2丿57r

R答案》B

K解析D令圓錐的高為〃，底面半徑為，母線為/,

由圓錐的體積公式丫=1S/7,可得還兀=1x2兀*力，解得/?=6,

333

由圓錐的底面積公式S=兀/，可得兀廠!=2兀，解得r=

所以圓錐的母線長/=J胃+/=石,

所以5鄕=K/7=KXA/2x75=V1O71.

故選：B.

4.某校為了讓學(xué)生度過一個充實的假期生活，要求每名學(xué)生都制定一份假期學(xué)習(xí)的計劃.已

知該校高一年級有400人，占全校人數(shù)的丄，高三年級占丄，為調(diào)查學(xué)生計劃完成情況，用

36

按比例分配的分層隨機抽樣的方法從全校的學(xué)生中抽取10%作為樣本，將結(jié)果繪制成如圖

所示統(tǒng)計圖，則樣本中高三年級完成計劃的人數(shù)為（）.

K答案HD

K解析D丁=12°°，1200xl0%=120,故樣本容量為服其中高三年級有120X：=20

36

人，

由圖可知，樣本中高三年級假期學(xué)習(xí)計劃的完成率為40%,

故樣本中高三年級完成計劃的人數(shù)為20x40%=8,

故選：D.

5.在厶鉆。中，G為△ABC的重心，〃為AC上一點，且滿足A/C=3AM，則（）

A.GM=-AB+—ACB.GM=--AB--AC

312312

1717

C.GM=——AB+—ACD.GM=-AB——AC

312312

（答案XB

工解析2由題意，畫出幾何圖形如下圖所示：

根據(jù)向量加法運算可得GM=GA+AM

因為G為AABC的重心，M滿足MC=3AM

2111

所以AG=—*—(A5+AC)=—(AB+AC),AM=-AC

3234

所以GM

312

所以選B

6.在三棱錐A-BCD中，NA4C=NC4D=NDW=40°,AB=AC=AO=2,一只

蝸牛從B點出發(fā)，繞三棱錐三個側(cè)面爬行一周后，到棱A3的中點E，則蝸牛爬行的最短距

離是（）.

A.&B.45C.76D.幣

K答案』D

［解析》如圖所示，將三棱錐的側(cè)面展開，則線段BE為所求，

由題意得，ZEAB=120°,AB=2,AE=l,

由余弦定理可得8爐=厶庁+4爐一2厶瓦厶后式05/34￡=4+1-2*2*1*1-丄）=7,

（2丿

則8E=J7,即蝸牛爬行的最短距離是J7.

故選：D.

7.在棱長為2的正方體ABC?！狝BCQ中，P,Q是CR,8c的中點，過點A作平面

a，使得平面。//平面BOPQ,則平面a截正方體所得截面的面積是（）

A.B.2C.-D.—

222

K答案》C

R解析D如圖，取中點/，44中點N,連接MN,AM,AN,

"PG

因PQHMN,MNN平面BOPQ，PQu平面BOPQ,所以MN//平面BOPQ,

又PQ//AN,ANz平面8QPQ,QDu平面BOPQ,所以AN//平面5QPQ,又

AMryAN=A,

A"u平面AA/N,ANu平面AMN,所以平面PQ8。//平面AMN,

即三角形AAW為所得截面a,

在dAM/V中，AM=AN=y/A^+^N2=V5-MN=6,

，…亠汨八…，AM2+AN2-MN25+5-2_4

由余弦定理得cos/MAN=='

2AMAN2xV5xV5-5

所以sin/MAN=Vl-cos24MAN=|,

3_3

所以S^=-AM-ANsinZMAN=-x45xy/5x

2252

故選：C.

8.在銳角三角形ABC中，併A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足

(22

rV3c-a]則2的取值范圍為（）.

sinB-A/3COSC-----------------,

labc

、加（11

B.一，+8

12丿

C.—,2D.—,+oo

212

R答案XA

K解析』sinB->/3cosC=-^-^--------2absinB-2y/3abcosC=y/3c2-y/3a2?

2ab

2absinB=V3c2-y/3a2+26abeosC=6(c1-a2+2abeosC)=>/3(c2-tz2+t/2+b2-c2),

即2absinB=\[3b2,:.2sinAsin2B=>/3sin2B,

「.siriBwO,sinA=V

Ac0,訃.A、,—]

b_sinB_sin(A+C)_sinz4cosC+cosAsinC_61

csinCsinCsinC2tanC2

,40,訴《0,撲告一°《。,#4展)

tanC6f,+℃,-----e(0,6),—Gf—,2^.

(3JtanCc12丿

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.實數(shù)x,y滿足(l+i)x+(i—l)y=2,設(shè)2=%+同，貝ij().

A.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限B.|z|=V2

2

C.z的虛部是-1D.—=-i

z

K答案HBCD

/、/、fx-y=2

K解析U由(l+i)x+(i—l)y=2,得(x—y)+(x+y)i=2,而x,yeR,則<*+),_0

解得x=-y=l,即z=l—i,

對于A,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，A錯誤;

對于B,|z|=-ijl'+(—1)=>B正確;

對于C,z的虛部是-1,C正確；

對于D，3=下=而1淳6=亍-i,D正確.

故選：BCD

10.已知函數(shù)"x)=4cos(2x-；),則()

A./(x)圖象的對稱中心為ZeZ

/JTTC?

B./(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為一§+2E,q+2E,ZreZ

C.為了得到函數(shù)y=4cos2x的圖象，可將/(x)的圖象上所有的點向左平移殳個單位長

6

度

D.為了得到函數(shù)y=4sin2x的圖象，可將/(x)的圖象上所有的點向右平移g個單位長度

K答案》AC

K解析》令2冶專+広，解得x=*g,keZ,所以函數(shù)/(X)圖象的對稱中心為

故A正確；

兀712兀

令2E42x—<7C+2A7T,解得一+---\-kit,

363

7T2兀

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為-+kn,—+knMGZ,故B錯誤:

將/(x)的圖象上所有的點向左平移g個單位長度得y=4cos2x+J-弓=4cos2x,

故C正確；

將/(x)的圖象上所有的點向右平移:個單位長度得

6

/J兀、兀彳(2兀、).入

y=4cos2x————=4cos2x-----w4sin2x,

?[I6丿3」I3J

故D錯誤；

故選：AC

11.一個裝有6個小球的口袋中，有編號為1,3的兩個紅球，編號為2,4的兩個藍球，編

號為5,6的兩個黑球.現(xiàn)從中任意取出兩個球，設(shè)事件A="取出的兩球顏色相同"，8=“取

出的兩球編號之差的絕對值為1"，C="取出的兩球編號之和為6或7"，￡>="取出的兩球編

號乘積為5”，則下列說法正確的是().

A.事件A與事件B相互獨立B.事件A與事件C相互獨立

C.事件B與事件C相互獨立D.事件B與事件D互斥

工答案』ABD

K解析］根據(jù)題意可知,6個小球任意取出兩個球，共有15種可能，分別為(1,2),(1,3),(1,4),

(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6).

31

事件A包含3種可能，即(1,3),(2,4),(5,6),P(A)=,=g；

事件B包含5種可能，即(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),：.尸(B)=得=g；

事件。包含5種可能，即(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(3,4),.?.尸(C)=小;；

事件。包含1種可能，即(1,5),；/(。)=厶.

事件A氏AC,3c分別為(5,6),(2,4),(3,4)各1種可能，

對于A,P(AB)$=P(A)P(8),A對;

對于B,P(AC)=,=P(A)P(C),B對；

對于C,P(BC)=/P(B)P(C),C錯；

對于D,事件B與事件。不能同時發(fā)生，故事件8與事件?；コ?，D對.

故選：ABD.

12.如圖，已知正方體ABCD-A4GA的棱長為1,M是。。中點，E是線段4G(包含

端點)上任意一點，則().

A.三棱錐3—AWE的體積為定值

B.存在點E,使得直線BE與平面A8CD所成角為30°

C.在平面BCGg內(nèi)一定存在直線/,使得///平面

D.存在點E,使得8A丄平面AME

K答案DAC

K解析》yH-AME=^EABM=TXxl=—x—lxlxl=—,故A正確；

JARM5Zo

過￡作。1AC,垂足為尸，連接防，則/￡8/為直線班與平面A5CZ)所成角，則

EF

tanZEBF=—f又因為想//5片，AA.=BB]9BBJICC、,BB,=CC,,

BF

則四邊形AACG為平行四邊形，因為AA丄平面A3C。，ACu平面ABC。，

則A4丄AC,則四邊形4ACG為矩形，奐lEF//Cq,EF=CG，.?.EF=l,

當(dāng)尸與A或C重合時，(BF)=1,當(dāng)8尸丄AC時，(斯)所以BFe坐』

\/max\/min?2

tanAEBFe[1,72],tan30=]宏[1,收],故B錯誤；

對C,顯然直線A"與BC在底面內(nèi)相交，故平面AEM與平面8CG4相交，在平面

BCG4內(nèi)一定存在直線/與交線平行，則/〃平面AEM，故C正確；

對D,因為丄底面A8CO,厶。匚平面厶8。。，二。4丄厶。，

又因為AC_ZB￡),且B。1rDD、=D,BD,DRu平面BDD1,

所以AC丄平面因為B"u平面BO。一所以AC丄B。，

延長CG使得C,N=1,再分別連接D】N,BN,

因為A。//8cAe>=8C,BC//B]G，BC=B￡,

所以A。//qG,AD=與G,所以四邊形厶。與G為平行四邊形,

所以A4//DG，因為DDJ/C]N,DDi=GN,所以四邊形"OGN為平行四邊形，

所以。G//RN,所以厶4//。N,則異面直線。乃與AB｝的夾角即為NBAN或其補角,

因為D/MJF+F+F=5DN=叵,BN=S+*=后,

所以D1B、口儲=BN?,所以8。丄。N,所以8厶丄AB-

又因為AC丄BA，AC厶用=A,AC,A4u平面4CA,

所以BR丄平面厶。烏，假設(shè)8。丄平面WE,

則平面4WE與平面AC耳重合，顯然假設(shè)不成立，故D錯誤.

故選：AC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.一枚質(zhì)地均勻的骰子，拋擲三次，事件A為“三次拋擲的點數(shù)均為奇數(shù)”，事件B為“恰

有一次點數(shù)為偶數(shù)”，事件C為“至少有兩次點數(shù)是偶數(shù)”，則P（A）+P（B）+P（C）=

K答案』1

K解析》依題意，一枚骰子拋擲三次的試驗的所有基本事件構(gòu)造的空間C=ADBUC,

而事件A,6,C兩兩互斥，

所以P（A）+P（B）+P（C）=pg）=1.

故K答案』為：1

14.已知|z-2+i|=2,則目的取值范圍是.

K答案』［75-2,75+2］

K解析U因為Iz-2+i|表示復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點與點(2,-1)的距離,

故z所對應(yīng)的點在以C(2,-1)為圓心，半徑廠=2的圓上，如下圖所示,

則同最小值為|OA|=QC—逐一2,最大值為|0回=|0。+「=石+2,

故慟的取值范圍是［石-2,石+2］.

故K答案』為：［石-2,6+2］

15.已知函數(shù)/(x)=2sin"+：?>0)在區(qū)間［0,對上恰有三個零點，則0的取值范

圍是__________

11

R答案』4'4丿

K解析》因為則+<W7T+-

444

又因為函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,河上恰有三個零點，

me?！癷J115

則3兀<“>兀+—<4兀，解得一<co<——，

444

所以①的取值范圍為

_44)

故K答案U為：|

16.已知正四面體4-58,0是底面BCO的中心，以。4為旋轉(zhuǎn)軸，將正四面體旋轉(zhuǎn)180°

后，與原四面體的公共部分的體積為迪，則正四面體A-BC。外接球的體積為

2

K答案』紐57r

8

K解析》以。4為旋轉(zhuǎn)軸，將正四面體A-3CD旋轉(zhuǎn)180°后，公共部分為正六棱錐

A-EFGHIJ,如圖,

則AO=1AB。-BO?=並。，

3

22

正六邊形EFGHIJ的邊長EF=丄6。=@,SFFrHII=6x^-EF=—a，

33EFGHIJ46

因此公共部分的體積匕?AOu'x旦建X旦”顯

A—t,i（jiiij3trKJtiij363]82

解得a=3,

顯然正四面體的外接球球心O'在AO上，設(shè)此球半徑為R,由/?2=（也Q）2+（如Q—R）2,

得甘”平

所以正四面體A—BCD外接球的體積V=—7?3=—.（—）3="匹7T.

3348

故K答案》為：込但無

8

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知向量a=（-1,2）,b=（2"）.

（1）若a〃b，求|可的值；

(2)若卜一耳=,+可，求實數(shù)2的值;

(3)若。與。的夾角是鈍角，求實數(shù)4的取值范圍.

解：(1)al1b,ci—(-1,2),/?=(2,A),l)xA—4=0,/./l=-4,

：.b=(2,-4),：\b|=722+(-4)2=26

(2)-.U-b^a+bl，兩邊同平方得|。一)|2=|￡+川2,則化簡得。m=0，

.ciA_b.a.-b——2+2A-0'—1■

(3)q與。的夾角是鈍角，.?.二］＜(),且a與。不反向共線，

即GA=-2+22＜()，由(1)可知2工-4，

則丸＜1,且之工-4,故實數(shù)4的取值范圍為(—,-4)u(-4,1).

18.為了了解全校學(xué)生計算能力的情況，某校組織了一次數(shù)學(xué)計算能力測驗.現(xiàn)對全校學(xué)生

的測驗成績做統(tǒng)計，得到了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求此次測驗成績的平均數(shù)：

(2)為了更加深入了解學(xué)生數(shù)學(xué)計算能力的情況，從成績在［80,1(X)］之間的學(xué)生中，采用

按比例分配的分層隨機抽樣方法，選取7名學(xué)生進行訪談，再從這7名學(xué)生中任選2名學(xué)生

在總結(jié)大會上發(fā)言，求抽到的兩人中至少一人的成績在［90,10()］的概率.

解：(1)由題意得(0.005+2a+0.035+0.01)x10=1,可得。=0.025,

所以［0.005x55+0.025x(65+85)+0.035x75+0.01x95］x10=76,

所以此次測驗成績的平均數(shù)為76分.

(2)由(1)知，成績在［80,90)與［90,100］的樣本比例為5:2,

所以7名學(xué)生中有5名成績在［80,90),2名成績在［90,100L

若［80,90)中5人分別為。厶Gd,e,［90,100］中2人分別為乂y,

則從中抽取2人的所有組合為

{ab,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de,ax,ay,bxyby,ex,cy,dx,dy,ex,ey9xy},有21種情況,

兩人中至少一人的成績在［90,100］的有{ax,ay,bx,by,ex,cy,clx,dy,ex,ey},11種情況,

所以抽到的兩人中至少一人的成績在［90,1()0］的概率為'.

19.如圖，在直三棱柱ABC-中，D,M,N,P分別是AB，，CQ的中

點.

(1)求證：32//平面又。。；

(2)設(shè)AB=AC=CB=2,BB］=4,求異面直線GN與CM所成角的余弦值.

(1)證明：在直三棱柱ABC-A4G中，連接針，設(shè)APC|MC=O,連接。O,如圖,

由"，尸分別是矩形A4GC對邊A4「CG的中點，得四邊形M4CP是矩形，即。是AP的

中點,

而。是A3的中點，于是ODUBP,又平面MDCOOu平面"DC,

所以5P//平面MDC

（2）解：因為N,尸分別是矩形BBC。對邊BM，CG的中點，^C\P//NB，GP=NB,

因此四邊形BPC】N是平行四邊形，則NCJ/BP//OD,

于是NMOD或其補角是異面直線C】N與CM所成角,

由AB=AC—CB—2,BB]=4,得BP=CM=2>/2,DM=\[5>

2+2-5

在中，OD=OM=&DM=也則cosZMOD=

2x>/2x>/24

所以異面直線GN與CM所成角的余弦值若

20.如圖，在.ABC中，ZR4C為鈍角，。在8C上,且滿足NC4D=C，AB=3,BC=3日

（2）若M是8C的中點，cosZBAC=-—,求AM的長度.

12

解：（1）在一ABC中，由正弦定理可得四-=-^—,

sinCsinABAC

.-BCsinC3Kx百

sinABAC=----------=----------=——，

AB32

2兀

N84C為鈍角，二/氏4。=7，

7T

ZBAD=ZBAC-ZCAD=-.

2

（2）在,ABC中，由余弦定理可得BO?=AB2+AC2—2AB.ACCOSN8AC，

即27=9+AC2-2X3XACX［一卷），解得AC=4（負值舍去）,

1

M為8c中點，則AM=—（A8+AC）,

2

1）_23

--9+16+2x3x4x

412；

.?.|AM|=X空，即A"的長度為'互

22

21.已知函數(shù)/(x)=4s嗚

5

(1)若/(0)=-,求cosOCH----兀

6

兀71

(2)若不等式|尸(X)-</(X)+2對任意的Xe恒成立，求之的取值范圍.

63

X71

解:(1)因為=4sin5cos—+—+A/3=2sin—cos--273sin2—+V3

23222

=sinx-^3(1-cosx)+百=sinx+gcosx=2sinfx+^J,

若/(a)=2sin(a+g71)=g,則5巾(0+1兀)=丄

336

’71、

f517兀171丄

所以COSQ+—兀=COSa+一+—=-sina+一

I6)I323丿6

71兀

(2)令f=/(x),xe

6,3

「，兀兀71712兀

因為,，所以x+彳^-

o3