2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：18 基本不等式歸類(lèi)（解析版）

18基本不等式歸類(lèi)

目錄

一、熱點(diǎn)題型歸納...............................................................................1

【題型一】基礎(chǔ)型.........................................................................1

【題型二】“1”的代換型.................................................................2

【題型三】“和”與“積”互消型..........................................................3

【題型四】以分母為主元構(gòu)造型............................................................5

【題型五】構(gòu)造分母：待定稀釋型..........................................................6

【題型六】分離分子型....................................................................8

【題型七】反解代入型消元法..............................................................9

【題型八】因式分解.....................................................................10

【題型九】均值用兩次...................................................................11

【題型十】換元型題.....................................................................13

【題型十一】“和”與索取和系數(shù)不一致型....................................................14

【題型十二】“均值裂項(xiàng)”湊配型............................................................15

【題型十三】整體化同乘方程型.............................................................17

【題型十四】三元最值型...................................................................18

【題型十五】恒成立求參數(shù)型...............................................................19

【題型十六】超難壓軸小題.................................................................20

二、最新?？碱}組練............................................................................22

【題型一】基礎(chǔ)型

【典例分析】

在下列函數(shù)中，最小值是2的是

冗2%+2「兀)

A.y=—+—B.y=,----(x>0)c.y=siiu+cosx,xe|0,—|D._y=7*+7T

2xvx+1v2)

【答案】D

Y2

【解析】A.y=—+—,當(dāng)x<o時(shí)yV-2,不符合題意；

2x

x+2x+1+1nG+上“'當(dāng)x=°時(shí)取等號(hào),不符合題意;

B.y二一i=-/

Vx+lyjx+l

D.y=r+7r>2,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，符合題意.故選D.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.基本公式(1)a2+Z?2>2ab；(2)a+b>2y[ab；(3)a"<("；"

2.一正二定三相等。是均值成立的前提條件。

【變式演練】

2

1.已知關(guān)于X的不等式x-5ax+2a2<0（a>0）的解集為（玉,x2）,則玉+/+2的最小值是

【答案】710

【詳解】由于。>0,故一元二次方程犬_5依+2a2=0的判別式：4=25/—4.2/=17/>0,

兀+5=5〃x+xH----—5a~i---——5aH---N2J5ax—=J10，

由韋達(dá)定理有:c2，則:y9

=2〃2a2aV2a

i./Tna.-

當(dāng)且僅當(dāng)5〃二工，。=Y”時(shí)等號(hào)成立.綜上可得：石+%+——的最小值是而?

2a10玉％2

2.若小8都是正數(shù)，貝+的最小值為（）.

A.5B.7C.9D.13

【答案】C

?bV4〃11Z74a廠Jb4a八…門(mén)…一八

【詳解】因?yàn)?。、b都是正數(shù)，所以Id■一Id---=5+—H---->5+2./-----=9,(當(dāng)且僅當(dāng)〃=2。>0

〃八b)abNab

時(shí)取等號(hào)），故本題選C.

3.在區(qū)間［-2,4］上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,使/+—國(guó)恒成立的概率是（）

a+111

A.-B.1C.-D.-

3234

【答案】A

【詳解】上崗恒成立，即+，設(shè)y=L+〃，則>=方二+（片+1）-止2-1=1,

a+111\a+1J.a+1a+1v7

當(dāng)且僅當(dāng)±=/+1,即a=0時(shí)，等號(hào)成立，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為忖<1,即-1W1,所以在區(qū)間卜2,4］上

11-（-1）1

隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)X時(shí)，使區(qū)恒成立的概率是尸=故選擇A.

a+1114-（-2）3

【題型二】“1”的代換型

【典例分析】

已知X,y均為正實(shí)數(shù)，且生土2=（+n，則x+3y的最小值為_(kāi)_________

xy2

2x+y217

【詳解】x,y均為正實(shí)數(shù),------=—+一=彳+.6,

xyyx2

c1(cJ2n1「3y2x、

-v+3j=-----(x+3y)-+-=------(7+=+—)27+&，+2斯）=2當(dāng)6^二年時(shí)等

L+瓜㈠率7+瓜x(chóng)y

22

號(hào)成立.故答案為：2.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

“1”代換是基本型，要注意

1.一正二定三相等

2.見(jiàn)分子想分母，見(jiàn)分子想分子。

【變式演練】

32

1.已知Q>0,b>0,-+—=1,貝！］2Q+3Z?的最小值為()

ba

A.20B.24C.25D.28

【答案】C

【分析】湊配出積為定值后用基本不等式求最小值.______

【詳解】由題意2a+3b=(2a+3b)(2+3)=13+強(qiáng)+絲213+2、慳x竺=25,當(dāng)且僅當(dāng)半=的，即a=>=5

abba\baba

時(shí)等號(hào)成立.故選：C.

41

2.已知Q>0,b>0,3a+—=l,則—H3b的最小值為()

ba

A.13B.19C.21D.27

【答案】D

【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值.

-+3ft=[-+3/?j|3?+4|=3+12+—+9^..15+2A/4^9=27,當(dāng)且僅當(dāng)汽=9a6,即。=工，b=6

ayaJvb)abab9

時(shí)，等號(hào)成立，故工+36的最小值為27。故選：D

a

3.已知正實(shí)數(shù)。，6滿(mǎn)足。+6=1,則空士1+”上的最小值為

ab

【詳解】因?yàn)榍?都是正實(shí)數(shù).所以知+力3+小。了

ababyab

12

當(dāng)且僅當(dāng)。=—一時(shí),等號(hào)成立.所以2/+I2”+4的最小值為

_f14、3c(14Y)b4arc仍4r,,,b=11

=2七+]卜=2+(九J()=7-->7J--=11---+----

a+fc+++233ab

【題型三】“和”與“積”互消型

【典例分析】

已知小y都是正數(shù)，且滿(mǎn)足x+2y+盯=30,則孫的最大值為.

【答案】18.

【分析】

根據(jù)基本不等式x+2y22歷，得到關(guān)于而的不等式，解得向的范圍，從而得到孫的范圍，求出答案.

【詳解】因?yàn)闊o(wú)，>>。，且x+2y+孫=3。，所以30-孫=x+2y227^,(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)，取等號(hào))

即(而『+2"而-30V0,解得-504而<3應(yīng)，所以得—V18，

所以孫的最大值是18.此時(shí)x=6,"3.故答案為：18.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.有“和”、“積”無(wú)常數(shù)，可以同除，化回到“1”的代換型。如變式1

2.有“和”、“積”有常數(shù)求積型，可以借助基本不等式構(gòu)造不等式求解，如典例分析

3..有“和”、“積”有常數(shù)求和型，可以借助基本不等式構(gòu)造不等式求解，如變式2

授課時(shí)，注意這類(lèi)求和時(shí)，基本所求和與原式和系數(shù)“一致”，不一致，則可以用反解代入消參等方法

【變式演練】

1.已知尤>0,y>0,且4x+2y-個(gè)=。，則2尤+y的最小值為()

A.16B.8+4應(yīng)C.12D.6+472

【答案】A

24

【分析】由題意得，-+—=1,再根據(jù)基本不等式乘“1”法即可得最小值.

【詳解】由題可知2+±=1,乘"1”得2x+y=(2x+y)(Z+3]=皂+苴+822,旺&+8=16,當(dāng)且僅當(dāng)

2y

---時(shí)，取等號(hào)，則2%+y的最小值為16.故選：A

yx

2.已知犬>。,丁>。，且2x+9y+6孫=9,則2x+9y的最小值為.

【答案】6

【分析】利用基本不等式有6個(gè)=；x2xx9yV；x(二空：，再利用一元二次不等式的解法，由

9-(2x+9y)W、(2x+9y)2求解.【詳解】

由2x+9y+6取=9,得6孫=9-(2x+9y),又x>0,y>0,6xy=1x2%x9y<|x^2x^9y^,

9-(2x+9>)<(2x+9>)2,BP(2x+9y)2+12(2%+9y)-108>0,解得：2x+9y26或2x+9yV-18,

31

又2x+9y>0,，2x+9y?6,當(dāng)且僅當(dāng)2x=9y,即時(shí)取等號(hào).故答案為：6.

3.已知》,y>0,x+2y+xy-6=0,貝！)(多選題)

A.孫的最大值為2B.》+2y的最小值為4

C.x+V的最小值為3D.無(wú)+V的最小值為4五-3

【答案】ABD

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：由均值不等式得x+2y22小2孫,貝Ux+2y=6-孫22&,

令而=(/>0),產(chǎn)+2萬(wàn)一6V0=>卜+忘/一840,解得O<fV0，即而《血，移<2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=2,y=l時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：由均值不等式得

x+2y22也孫n芯[2)72J’2孫n2孫’又孫=6—(x+2y),

二(x+j)26—(x+2y)n(x+2?+8(尤+2y)—4820,解得x+2”4,x+2y<-12(舍),

當(dāng)且僅當(dāng)x=2,y=l時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；

對(duì)于C,D選項(xiàng)：令x+y=m,fn>0,貝l|y=m—x,

貝|J%+2丁+呼—6=0可化為1+2(加一%)+1(加一—6=0,整理f+(l-m)x+6-2m=0,

??.此方程一定有解，???△20,即(1一根)2-4義(6-2根)20,解得根240-3，m<-4>/2-3(舍)，故C錯(cuò)

誤，D正確.

故選：ABD.

【題型四】以分母為主元構(gòu)造型

【典例分析】

已知非負(fù)數(shù)x，》滿(mǎn)足x+y=l,則---;+一二的最小值是（）

x+1y+2

A.3B.4C.10D.16

【答案】B

【分析】根據(jù)基本不等式，結(jié)合"1"的妙用即可得解.

19119，一、

—7+=T(z—7++1+y+2)

x+1y+24x+1y+2

【詳解】由x+V=l,可得x+l+y+2=4,

」(l+9+9+3410+2心3=4

4x+1y+24\x+1y+2

當(dāng)且僅當(dāng)>+2=3（x+l）取等號(hào)，故選：B

【提分秘籍】

基本規(guī)律

構(gòu)造分母型：

L以分母為主元構(gòu)造，對(duì)于普通學(xué)生，也可以直接分母換元，變化后為“1”的代換，如典例分析

2.構(gòu)造過(guò)程中，分子會(huì)有分母參數(shù)的變化，可以分離常數(shù)后再構(gòu)造分母，如變式2

3.變式3是三項(xiàng)構(gòu)造，且無(wú)條件等式。

【變式演練】

一12.

1.已知且—?+—=1,貝!|%+2，一1的最小值為（）

x-1y

A.9B.10C.11D.7+2遙

【答案】A

12

【詳解】Qx>l,.-.x-l>0,又>>0,且---—=1,

x-1y

?”+2，T=［（f+2,信+；卜+茨二^5+2信

當(dāng)且僅當(dāng)烏一4山，解得x=4,y=3時(shí)等號(hào)成立，故x+2y-l的最小值為9.故選：A.

x-1y

〃

2.已知正數(shù)。、6滿(mǎn)足4+b=l,則4=+h二的最小值是（）

1-a1-b

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

〃〃

【分析】得出4產(chǎn)+匕h=41-5,將代數(shù)式上1+：4與a+力相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得，4+二h

1—a1—bbaab1—a1—b

的最小值.

【詳解】已知正數(shù)“、6滿(mǎn)足“+6=1,則也+上=11^+"=&+，-5

1—a1—bbaba

4/7h

當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)，等號(hào)成立，因此，產(chǎn)+二的最小值是4.故選：C.

1-a1-b

41

3.設(shè)…>。，則x+斗+不的最小值為（）

A.3亞B.2A/3C.4D.平

【答案】A

4ii4ii

【分析】原式可變形為x+——+——=彳（x+y）+——+4（x-y）+——，然后根據(jù)基本不等式即可求

%+yx-y\_2%+）」［2x-y

解

411411

【詳解】%>y>。，:.x-y>0,:.x+-------+-------=-(x+y)+-------+-(x-y)+-------

x+yx-y|_2工+)_|[2x-y

>2H(x+)；)x-^—+2P(x-y)x-^—=2A/2+V2=3A/2,當(dāng)且僅當(dāng)〈(％+y)==

\2V7x+y、2'7x-y2%+y2%-y

即.逑,y=也時(shí)取等號(hào)故選：A

22

【題型五】構(gòu)造分母：待定系數(shù)

【典例分析】

已知正實(shí)數(shù)X,》滿(mǎn)足4x+3y=4,則4+的最小值為（）

2x+l3y+2

.3V21V2_1V2_1V2

A.—H-----BD.——|-----C.——|-----D.——|-----

84232322

【答案】A

【分析】

將4x+3y=4變形為含2x+l和3y+2的等式，即2（2x+l）+（3y+2）=8,再將式子換元，由基本不等式換"1"法求解即可

【詳解】

由正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足4x+3y=4,可得2(2x+l)+(3y+2)=8.令a=2x+l,b=3y+2,可得2a+b=8.

11112a+b(c2abi

所求-----------1-----------=一+—=14X

2x+l3y+2abab8\ba

+2展+）|+日當(dāng)且僅寸J時(shí)取等號(hào)，所以答案冷亨.故選A

【提分秘籍】

基本規(guī)律

特征：條件等式和所求式子之間變量系數(shù)“不一致”

方法：直觀湊配或者分母換元

【變式演練】

1.知正實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足」+=則尤+y的最小值為（）

x+5y2x+y

.3+2&D3+3應(yīng)r2+20c2+30

5555

【答案】A

【分析】

利用待定系數(shù)法可得出x+y=U（x+3y）+2（2x+y）］,與二^+不^相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求

5L」x+3y2%+y

得x+y的最小值.

【詳解】

1

m=—

m+2n=l5

設(shè)x+y=m(x+3y)+w(2x+y)=(m+2ri)+(3m+H)y,可得

筋+e,解得2

n=一

5

(

(1113?22A-+V)

所以，％+y=|[(x+3y)+22x+y)]?-------------1-------------

x+3y2x+y~5x+3y

2(2x+y三!走.當(dāng)且僅當(dāng)x+3y=^（2x+y）時(shí)，等號(hào)成立,

3+2,

-Ix+3yy

因此，尤+y的最小值為三|也.故選：A.

2.已知。>0,b>Q,a+2b=l,則一—+取到最小值為

3。+46a+3b

—3+2返

【答案］—

幽+〃=1；=5

[解析】試題分析：令〃+26=4(3〃+4Z?)++3b)=(32++(42+3,

42+3//=2_2

11,11.l.,2.__31.2(。+3仞3〃+4久

------1---=--(/+/獷寧r加+枷7+二(。+3與7X層+《七育+力pl

3〃+4/?a+3b

a+2b=1

、32l2(a+3b)3a+4b—3+黃2及一，當(dāng)且僅當(dāng)<

2(〃+3。)3a+4b時(shí),等號(hào)成立,

55V3a+4ba+3b

、3〃+4ba+3b

113+2y

即------1-----的最小值是——-——?

3。+4ba+3b

【題型六】分子含參型：分離分子型

【典例分析】

若4x>y>0,則+土的最小值為_(kāi)__________.

4x-yy

【答案】I

4

【詳解］因?yàn)?x>y>0,則4x_y>0,__________

y,尤y,4-ry（4x-y+yy4x-y,1~4x-y1>,1,15

4x-yy4x-y4y4x-y4y4x-y4y4\4x-y4y4244

當(dāng)且僅當(dāng)4尤-y=2y,即當(dāng)3y=4光時(shí)，等號(hào)成立，

因此，7匚+2的最小值為J故答案為：7-

4x-yy44

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.分離分子原理題，如典例分析

2.分子二次型換元分離，如變式2

3.分子二次型湊配構(gòu)造分離，如變式3

【變式演練】

1.已知正實(shí)數(shù)方滿(mǎn)足。+26=2,則口+9的最小值是（）

ab+\

971713

A.-B.-C.—D.-

4343

【答案】A

【分析】根據(jù)已知等式把代數(shù)式=+型進(jìn)行變形為工+五J；,再結(jié)合已知等式，利用基本不等式進(jìn)

ab+1a2（6+1）

行求解即可.

-、a2+l2bz126(6+1)-2(b+l)+21,2^

【詳解】----+——=?+-+—-——-~-——--=a+-+2b+--------2,因?yàn)閍+2Z?=2,

ab+1ab+1ab+1

,,a2+l2b-1214

所er以----+----=—+----=—+------，因?yàn)閍+2b=2,所以a+2S+l)=4,

ab+1ab+1a2(b+1)

因此;x4d+57^]=%[a+2S+l)]/+:^;]=J[5+^±^+57^],

4a2s+1)4a2(b+1)4a2s+1)

因?yàn)?是正實(shí)數(shù)’所以5+券2+肅^%5+2.14。

2(5+1)

41

時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，即。=；*=；時(shí)取等號(hào)），故選：A

Y22V2

2.若…且x+2y=l,則3+W的最小值為

【答案】|

0

丫2y21o

【分析】令加=x+L〃=y+2,可得m+2〃=6,化簡(jiǎn)可得三+左丁上+2-4,再結(jié)合基本不等式可求解.

x+1y+2mn

【詳解】令機(jī)=%+l，〃=y+2,則％=加一1,丁=〃-2,貝ijx+2y=m-1+2(〃-2)=1,即根+2〃=6,

則￡+-=(^+2("以=機(jī)+2〃+4曰_10=_1+“4=：化+§](加+2〃)一4

x+1y+2mnmnmn6\mnJ

2n8m1f/2n8m1rl1、“n『2〃8m612._

-7-----h—+17-4>—2j-----------H17-4zt=—,當(dāng)且僅當(dāng)一二—,即nrlm==,〃=-^-時(shí)等號(hào)a成乂，

m〃/6(Vmn)6mn55

故*7+^^的最小值為:?故答案為：:.

x+1y+266

3.若正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足2x+y=2,則4,y2的最小值是.

-----+——

y+121+2

4

【答案】y

聲2x+v-2m..4x2,y2(2_?(2_2x『

【蟀桁】根據(jù)題意，西XX+〉一/,UILI------+-------=------------1--............-

V4-12x4-21y+12(x4-1)

[―了[(x+l)-2了2J6V16八

----------------------F工+--------------9;又由

y+1x+1-v+12(x+l)v+12(x+D

,、,、22、(

Axv,9162x+2)+(:v+l)

2x+y=2,5UJ有2(x+l)+(、+D=5，貝!J——+—^~-=(-----+—-----T-)-----------：~~----------9

y+12x+2v+12(x+l)5

.(]6+9+^^+^b-9$25+27；當(dāng)且僅當(dāng)

5y+1x+15\y+1x+15

y+l=2(x+l)=4時(shí),等等成立；即土J+J、的最小值是:，故答妄為之.

2v+12x4-255

【題型七】反解代入型:消元法

【典例分析】

113

已知正數(shù)明〃滿(mǎn)足上+；=2,則1?一。的最大值為_(kāi)_____.

abb+l

［答案］三回

3

［3=3=3(2G-1)

［詳角軍］由上+［=2,得6=4，由。＞0,6＞0,得a＞9所以商一"a

ab2(2-12------+1

2a—1

=1」+(”94-2昌?(曰=^1^，當(dāng)且僅當(dāng)占=。一(，即”=告叵時(shí)等號(hào)成立，、

33a-133\3a-l333a-133

所以工-。的最大值為三怨.故答案為：乏2叵.

6+133

【提分秘籍】

基本規(guī)律

條件等式和所求等式之間互化難以實(shí)現(xiàn)，可以借助反解代入消元，再重新構(gòu)造。

【變式演練】

2m

1.已知相>1,心0,且“+2〃=3加，貝!)7+h的最小值為()

m—14n

993

A.—B.—C.-D.2

422

【答案】A

2m21

【分析】由已知得2〃=3機(jī)一機(jī)2>o,所以;+-=7+/v記々=加-1/=3一根，可得

m—i4〃m—Y2p—mJ

9m9bti

f+F=J+2+三，然后利用基本不等式可得答案.

m—14〃4a4。

【詳解】因?yàn)樘K+2〃=36，所以2〃=3機(jī)—機(jī)2,因?yàn)閚X),加＞1,所以2〃=3機(jī)—機(jī)？＞。，得1＜相＜3,

2m2TTI21

所以病+而=石+2(3〃一//)=啟+^^5,記。=，"1,6=3-根，所以a+八加一1+3-切=2,

2m__2___?-----1---=_2_?--1-=.,a+ba+b9ba

所以與=1,且。＞?！?所以吁1+小+=—+—+——

m-12(3-m)a2ba4b4a4b

當(dāng)且僅當(dāng)詈=2即6=W等號(hào)成立，此時(shí)〃二，_7,

4\4ba44ba333〃----~~

31

2.若正數(shù)。，6滿(mǎn)足a+Z?+2=a〃，則-+--；的最小值是_____,此時(shí)〃=_______.

a-1b-1

【答案】22

【分析】先由。+%+2="求出。=雪，再根據(jù)基本不等式求解即可.

b-1

A2A_|_2

解：a+b+2=ab,:.b+2=ab—a,a=,因?yàn)閍>0、b>0,所以■;>0,HP&>1

Z?-lb-1

313131〃1、1c1八八I-

+=++=-

???^rn^23^i=7^2RO^r，

b—lb—\

即告3+占.I.2,當(dāng)且僅當(dāng)6-1==I，即卜=2時(shí)取等號(hào)，故答案為：2；2.

a-1b-\b-l

3.若正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足一+―+—=4,貝!|x+—+一的最小值為_(kāi)_________.

xyyxy

【答案】2^-1

【詳解】由'+'+±=4且x,y>。知：>=軍士?，

Xyy4.X-1

%+-+-=%+-+4%-1=x~+x+5=x+l+—--122/。+1).工-1=2式-1當(dāng)且僅當(dāng)工+1=工時(shí)等

xyxx(x+l)x+1x+1Vx+1x+1

號(hào)成立，即工=石-1時(shí)等號(hào)成立.故答案為：2后-1

【題型八】因式分解型

【典例分析】

非負(fù)實(shí)數(shù)無(wú)，》滿(mǎn)足2孫+x+6y-6=0,貝?。輝+2y的最小值為.

【答案】2

【分析】根據(jù)題意化簡(jiǎn)得1+3)(2y+1)=9，結(jié)合基本不等式求得(％+2卜+”>9,即可求得尤+2y的最小值.

4

【詳解】由題意，非負(fù)實(shí)數(shù)羽,滿(mǎn)足2孫+x+6y-6=0,可得(x+3)(2y+l)=9,

又由5+3)(2了+1)4仁+3；2丫+1)2=5+2：+4)2,當(dāng)且僅當(dāng)》+3=2y+l,即x=0,y=1時(shí)等號(hào)成立，

所以(x+2y+4/29,ap(x+2y+4)2>36,所以x+2y+4N6或x+2y+44-6,所以x+2yN2,

4

即x=0,y=l時(shí)，％+2y的最小值為2.故答案為：2.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

特征：條件式子復(fù)雜，一般有一次和二次(因式分解展開(kāi)就是一次和二次)，可能就符合因式分解原理

【變式演練】

1.已知a,beR+,且(a+b)(a+2b)+a+b=9,則3a+4》的最小值等于.

【答案】66-1

[詳解]eR+,且(Q+b)(Q+2/?)+Q+b=9,即有(“+力(〃+2b+D=9,

即(2a+2b)(〃+2b+l)=18,可得

3〃+4Z?+l=(2a+2Z?)+(〃+2b+l)>2,(2“+21)(〃+2Z?+1)=6/

當(dāng)且僅當(dāng)2a+?=a+2Z?+l時(shí)，上式取得等號(hào)，即有3a+46的最小值為6拒—1.故答案為：672-1

2.已知x>0,y>0,且2x+4y+孫=1,則x+2y的最小值是__.

【答案】6A/2-8

【解析】原式可變形為(x+4)(，+2)=9,兩邊同時(shí)乘以2,得(x+4)(2y+4)=18,所以

30=J(x+4)(2y+4)w2+7+8,即*+2丫、60—8,當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立。

2[(x+4)(2y+4)=18

填6夜-8。

3.已知a,beR+,且(a+b)(a+2b)+a+b=9,貝!]3a+4b的最小值等于.

【答案】6V2-1

【詳解】a,bGR+,且(a+b)(a+2b)+a+b=9,即有(a+b)(a+2b+1)=9,

即C2CL+2b)(CL+2b+1)—18,可得3a+4b+1—12a+2b)+(CL+2b+1)>

2j(2a+2b)(a+2b+l)=6或，

當(dāng)且僅當(dāng)2a+2b=a+26+1時(shí)，上式取得等號(hào)，即有3a+46的最小值為6位—1.故答案為：6^2-1

【題型九】均值用兩次

【典例分析】

〃也'是不同時(shí)為。的實(shí)數(shù),則右上的最大值為（

)

1「V2

AB.-?--D.上

-I422

【答案】A

【分析】對(duì)原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.

ab+bca+ca+ca+c

----------=----------?——

【詳解】因?yàn)閍,6均為正實(shí)數(shù)，則"+2〃+c2式±《+26-2a2+c2212(/+02)

-x2Z?

b

a?+2ac+，1/Iac」11ac

+22+22

22(a2+c22\26/+C~2p24axc2

22

當(dāng)且僅當(dāng)巴士=2心，且a=c取等，即a=b=c取等號(hào),

b

即則的最大值為;,故選：A.

a+2b+c2

【提分秘籍】

基本規(guī)律

兩次均值，逐次消去，取等條件一致

【變式演練】

14x2V2

1.設(shè)正實(shí)數(shù)X,y滿(mǎn)足x>5，y>l,不等式戶(hù)+丁12加恒成立，則機(jī)的最大值為()A.8

B.16C.2&D.472

【詳解】.A

設(shè)y—1="2工一1=a,則y=b+l僅>0),x=g(a+l)(a>0)

所以至+^L=(a+1>?伍+1『:2("1)e+1)=2加(。+>+1

y-12x-lba4ab4ab

=2心+二+*/2斯；+理］=2.(2+2)=8

ITab<ab)('<ab7ab,

4r2y2

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1即％=2,y=1時(shí)取等號(hào)所以--+-2―的最小值是8,則機(jī)的最大值為8.故選A

y-12x-l

2.已知。>0,b>0,則>+"二3的最小值為_(kāi)________.

〃2b

【答案】2

【分析】由〃2+1224萬(wàn)+222后可得答案.

【詳解】因?yàn)镼>0,b>0,所以a+122〃/+2N2J2Z?,-----『—=-----『——>-----『—=2,

a+y/2ba+-j2ba+72b

當(dāng)且僅當(dāng)“=1,6=加時(shí)等號(hào)成立，所以"一卡臂3最小值為2.故答案為:2.

a+72b

3.已知正實(shí)數(shù)〃，b,c滿(mǎn)足。2+4廿=302,則￡+白的最小值為_(kāi)___.

a2b

【答案】巫

3

4

1

【詳解】因?yàn)?c2=〃+4〃之4a"BPc>-abf所以