余弦函數(shù)圖像

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高中課程標(biāo)準(zhǔn)?數(shù)學(xué)必修4

1.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像

一、教學(xué)內(nèi)容及其解析

1、內(nèi)容：

本次課主要內(nèi)容是教同學(xué)畫(huà)出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像外形，采納類(lèi)比，突出兩種曲線的相同與不同之處。

2、解析：

本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)教材必修41.4《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)》的第一節(jié)，是同學(xué)在已把握了一些基本函數(shù)的圖像及其畫(huà)法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論三角函數(shù)的畫(huà)法。其中要了解利用正弦線畫(huà)出函數(shù)y?sinx，x?[0，2?]的圖像，并利用正弦曲線和誘導(dǎo)公式畫(huà)出余弦曲線。會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖。為今后學(xué)習(xí)正弦型函數(shù)y?Asin(?x??）的圖像及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想討論正、余弦函數(shù)的性質(zhì)打下基礎(chǔ)。

二、教學(xué)目標(biāo)及解析

1、目標(biāo)：

《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)本模塊、本章和本節(jié)的內(nèi)容要求是：

（1）了解如何利用正弦線畫(huà)出正弦函數(shù)的圖像，并在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫(huà)出余弦函數(shù)的圖像。

（2）把握“五點(diǎn)法”畫(huà)出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖。

（3）體會(huì)探究利用“五點(diǎn)法”畫(huà)與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有關(guān)的某些簡(jiǎn)潔函數(shù)在[0，2?]的簡(jiǎn)圖。

（4）體驗(yàn)利用圖像變換作圖的方法，體會(huì)整體劃歸的思想。

2、目標(biāo)解析：

依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)本模塊、本章和本節(jié)的內(nèi)容提出要求，結(jié)合教科書(shū)對(duì)當(dāng)前內(nèi)容和后續(xù)內(nèi)容的分析，這兩節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定位應(yīng)當(dāng)是：

（1）利用誘導(dǎo)公式，由正弦函數(shù)的圖像通過(guò)平移法得到余弦函數(shù)圖像，培育同學(xué)應(yīng)用分析、探究、化歸、類(lèi)比、數(shù)形結(jié)合等數(shù)形思想方法在解決問(wèn)題中的應(yīng)用力量。

2.體會(huì)“五點(diǎn)法”作圖給我們學(xué)習(xí)帶來(lái)的好處，并會(huì)嫻熟地畫(huà)出一些簡(jiǎn)潔的函數(shù)圖像，進(jìn)一步了解從特別到一般，從一般到特別的辯證思想方法。

3.通過(guò)試驗(yàn)、作圖，使同學(xué)感受波形曲線的流暢美、對(duì)稱美，使同學(xué)體會(huì)事物周期變化的神秘，培育同學(xué)自主探究和學(xué)習(xí)的力量。

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

這節(jié)課同學(xué)可能遇到的困難是：利用正弦線畫(huà)出函數(shù)y?sinx，x?[0，2?]的圖像，把握“五點(diǎn)法”畫(huà)出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖。在這里，幾何描點(diǎn)法中，單位圓中的三角函數(shù)線是一些有向線段，它們可以用來(lái)表示單位圓中的三角函數(shù)值，這種思路是同學(xué)不簡(jiǎn)單想到的，需要適當(dāng)引導(dǎo)。畫(huà)正弦函數(shù)圖像的“五點(diǎn)法”中的五點(diǎn)選取可以是不一樣的，依據(jù)各自的取值區(qū)間，只要都是一個(gè)周期內(nèi)的圖像均可。在觀看正弦函數(shù)圖像向左或向右平移時(shí)，同學(xué)不簡(jiǎn)單想到相關(guān)的誘導(dǎo)公式，這就要求老師的引導(dǎo)，也要求充分復(fù)習(xí)正弦線、函數(shù)圖

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像的變換等學(xué)問(wèn)，體現(xiàn)了學(xué)問(wèn)間的聯(lián)系。在作圖時(shí)，仔細(xì)梳理好講解的挨次，采納類(lèi)比，突出兩種曲線的相同與不同之處，并讓同學(xué)充分參加。

四、教學(xué)支持條件

收集“簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)”的試驗(yàn)裝置。利用多媒體、實(shí)物教具等手段可關(guān)心同學(xué)更直觀地熟悉正弦、余弦函數(shù)曲線，以及它們之間圖像變換。

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)基本流程

（二）教學(xué)情境

1.探究這些函數(shù)圖像的畫(huà)法

問(wèn)題1：（1）我們可以用單位圓中的三角函數(shù)線來(lái)刻畫(huà)三角函數(shù)，那是否可以用它來(lái)關(guān)心作正弦函數(shù)圖像呢？如何畫(huà)出函數(shù)y?sinx，x?[0，2?]的圖像呢?

設(shè)計(jì)意圖：體會(huì)用學(xué)過(guò)的粗略描點(diǎn)法作正弦函數(shù)圖像的麻煩和不精確?????。建立單位圓的三角函數(shù)線與三角函數(shù)圖像之間的聯(lián)系，引出用正弦線作正弦函數(shù)圖像的方法。進(jìn)一步明確如何利用單位圓中的正弦線畫(huà)正弦函數(shù)圖像。

師生活動(dòng)：留意引導(dǎo)同學(xué)分析圖像上的點(diǎn)與單位圓中的圓心角及其所對(duì)應(yīng)的正弦線之間的關(guān)系。根據(jù)教科書(shū)敘述的步驟，指導(dǎo)同學(xué)動(dòng)手操作，描出12個(gè)點(diǎn)，做出y?sinx，x?[0，2?]的圖像。形成對(duì)正弦函數(shù)圖像的感知。

作圖過(guò)程：

（1）在直角坐標(biāo)系x軸上任意取一點(diǎn)O1,以為圓心作單位圓；

（2）從圓O1與x軸的交點(diǎn)起A把圓分成12等份（份數(shù)宜取6的倍數(shù)，份數(shù)越多，畫(huà)出的圖像越精確?????）；

（3）再把x軸上從0到2?這一段（?6,28）分成12等份；

(4)把圓O1上的各分點(diǎn)作x軸的垂線,可以得到對(duì)應(yīng)于0，?,2?,3?

666,??,等角的正

弦線；

（5）把角x的正弦線向右平移，使它的起點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)x重合；

（6）再用光滑的曲線把這些正弦線的終點(diǎn)連接起來(lái)，就得到函數(shù)y?sinx，x

?[0，

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2?]的圖像。

問(wèn)題2：如何作出函數(shù)y?sinx，x?[2k?，2(k?1)?),k?Z且k?0的圖像。設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)同學(xué)利用誘導(dǎo)公式（一），只要將函數(shù)y?sinx，x?[0，2?]的圖像左、右平移（每次2?個(gè)單位長(zhǎng)度）就可以得到y(tǒng)?sinx，x?R的圖像。

師生活動(dòng)：因?yàn)榻K邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，三角函數(shù)值有周而復(fù)始的變化規(guī)律。所以函數(shù)y?sinx在x?[2k?，2(k?1)?),k?Z且k?0的圖像與函數(shù)y?sinx，x?[0，2?]的圖像的外形完全一樣，只是位置不同，于是只要將函數(shù)y?sinx，x?[0，2?]的圖像左、右平移（每次2?個(gè)單位長(zhǎng)度）就可以得到y(tǒng)?sinx，x?R的圖像，即正弦曲線

2余弦函數(shù)圖像

問(wèn)題3：以正弦函數(shù)的圖像為基礎(chǔ)，怎樣通過(guò)適當(dāng)?shù)膱D形變換得到余弦函數(shù)的圖像嗎？設(shè)計(jì)意圖：使同學(xué)從函數(shù)解析式之間的關(guān)系思索函數(shù)圖像之間的關(guān)系，進(jìn)而學(xué)習(xí)通過(guò)圖像變換畫(huà)余弦函數(shù)圖像的方法，讓同學(xué)感受有了一個(gè)函數(shù)圖像作為基礎(chǔ)時(shí)，可以通過(guò)函數(shù)圖像變換得到另一個(gè)函數(shù)的圖像，降低作圖的難度。

師生活動(dòng)：由誘導(dǎo)公式cosx??

2?x)知，把正弦函數(shù)的圖像向左平移?

2個(gè)單位即

得余弦函數(shù)y?cosx,x?R的圖像，叫做余弦曲線

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3.五點(diǎn)畫(huà)圖法

問(wèn)題4：在作出正弦函數(shù)的圖像時(shí)，應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：從對(duì)圖像的整體觀看入手，引出“五點(diǎn)法”。

師生活動(dòng)：觀看正弦函數(shù)y?sinx，x?[0，2?]的圖像，起關(guān)鍵作用的點(diǎn)有以下五個(gè)：(0,0),(?

2,1),(?,0),(3?

2,?1),(2?,0)。在精確度要求不高的狀況下，我們經(jīng)常線找

出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，正弦函數(shù)y?sinx，x?[0，2?]的圖像外形就基本上確定了。這種近似的“五點(diǎn)畫(huà)圖法”是特別有用的。

探究：類(lèi)似于正弦函數(shù)圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，你能找出余弦函數(shù)圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)嗎？請(qǐng)將它們的坐標(biāo)寫(xiě)出來(lái)，然后作出函數(shù)y?cosx,x?[0,2?]的簡(jiǎn)圖。

4.例題講解

例1：畫(huà)出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖

（1）y?1?sinx，x?[0，2?]；

（2）y??cosx,x?[0,2?]。

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解：

（1）y?1?sinx，x?[0，2?

]；

（2）y

??cosx,x?[0,2?]

思索：你能否從函數(shù)圖像變換的角度動(dòng)身，利用函數(shù)y?sinx，x?[0，2?]的圖像來(lái)得到y(tǒng)?1?sinx，x?[0，2?]的圖像？同樣的，你能否從函數(shù)y?cosx,x?[0,2?]圖像得到函數(shù)y??cosx,x?[0,2?]的圖像？

設(shè)計(jì)意圖：使同學(xué)從圖像變換的角度熟悉函數(shù)之間的關(guān)系。

師生活動(dòng)：老師提出問(wèn)題，同學(xué)獨(dú)立完成，回答問(wèn)題。

補(bǔ)充例題：畫(huà)出函數(shù)y?sin(2x??

3)，x?R.的簡(jiǎn)圖

5.課內(nèi)目標(biāo)檢測(cè)

課本P34頁(yè)第1題；

6.課堂小結(jié)

問(wèn)題6：通過(guò)這次課的