2022-2023學(xué)年河南省新鄉(xiāng)市高一年級(jí)下冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河南省新鄉(xiāng)市高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.設(shè)集合A={%|-爐+3%+1。>。},B={x|2x+1<9},則AB=()

A.(—2,5)B.(—2,4)C.(4,5)D.(—5,4)

【答案】B

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解，以及集合的交集運(yùn)算即可求解.

【詳解】由-d+3x+10>0,解得—2<x<5,即4=口|-2<x<5},又因?yàn)锽={x|x<4},所以

AB=(-2,4).

故選：B.

2.若復(fù)數(shù)z=(2i-l)i,則z的共軌復(fù)數(shù)彳=()

A.2+iB.-2+iC.2-iD.-2-i

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z,結(jié)合共規(guī)復(fù)數(shù)的定義可得共軌復(fù)數(shù).

2

【詳解】z=(2i-l)i=2i-i=-2-i,

則z的共輾復(fù)數(shù)5=—2+i.

故選：B.

3.已知向量。=(2,5),6=(-3,1),c=2a+Ab，若則彳=()

A.—B.-C.—D.一

5445

【答案】D

【分析】求出c的坐標(biāo)，根據(jù)向量的垂直的坐標(biāo)表示列式計(jì)算，可得答案.

【詳解】由題意得c=2"+助=2(2,5)+3,1)=(4-3月10+/1),b=(-3,1),且一b，

所以c/=-3(4-32)+(10+；l)=0,所以彳=1,

故選：D

4.已知_ABC外接圓的周長為4萬，=則3C=()

6

A.4B.2C.4GD.2>/3

【答案】B

【分析】利用正弦定理可求BC的長度.

【詳解】因?yàn)??C外接圓的周長為4兀，所以ABC外接圓的半徑為2,

7or--4

則根據(jù)正弦定理可得疝,解得3C=2.

6

故選：B.

5.在正/8C中,向量”在C4上的投影向量為（

3

A.—CAB.—CAC.-CA

222

【答案】B

【分析】先求出A4與C4的夾角，再根據(jù)投影向量的定義求解

【詳解】AB與C4的夾角為g,，cos（4B,CA）=-g,根據(jù)投影向量的定義有:

CA.1

43在CA上的投影向量為IAB|-cos〈AaC4〉?：一=-7CA；

|C4|2

故選：B.

6.已知正實(shí)數(shù)“，b滿足2a+6—9而=0,則a+4的最小值為（

【答案】B

1?

【分析】將條件2a+b-%活=0轉(zhuǎn)化為±+：=9,然后利用力的代換”和基本不等式可得.

12

【詳解】因?yàn)?。+6-%心=0,變形得一+[=9.

ab

f?2、2b2cz

由題意{a+2b}\^+~b）5+丁+至5+24,當(dāng)且僅當(dāng)竺即a=b=；時(shí),等號(hào)

a+2h=-------------------=------------>----------=1ab3

999

成立.

故選：B.

7.在“ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,sinA-sinB+即二笠=0,則工43c的形

c

狀一定為（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形

【答案】B

【分析】利用正弦定理邊化角計(jì)算即可.

【詳解】在一ABC中，sinA-sinB+2"*=0,

則由正弦定理得：則(sinA-sinB)+2'mA：in')=卜+A\(sinA-sinB)=0,

sinCIsinCJ

2

因?yàn)槿切沃?，AB、C“0㈤，故sinC>O=^+lwO,

所以sinA=sin3na=6,則：ABC的形狀一定為等腰三角形.

故選：B

8.若函數(shù)f(x)=|2ln4|-eT"的兩個(gè)零點(diǎn)分別為a,b,其中。<匕，則()

11

a=a>

A.b-B.C.0<a<-D.a+h=e

h

b-

【分析】作出函數(shù)y=llnx彳Dy=eTM(尤>0)的大致圖象，結(jié)合圖象可得答案.

【詳解】令/(x)=()，得|lnx|=e+i,作出函數(shù)y=|lnx|和yueWa〉。)的大致圖象,

如圖所示，因?yàn)?(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以這兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a，b,由""可得0<a<l<b,

因?yàn)橛蓤D可得|lna|>|ln〃|,所以—lna>lnb,

即lna+lnZ?=ln(ab)<0,所以0<彷<1,0<a<-.

二、多選題

20

9.已知復(fù)數(shù)z滿足z=3，則下列結(jié)論正確的是()

1-21

A.z=4+8i

B.z-4是純虛數(shù)

C.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限

D.若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在角a的終邊上，則sina=。

【答案】AB

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算、幾何意義、三角函數(shù)定義逐一判斷即可.

20(1+2i)

【詳解】z=匚五=4+8iA正確;

(l-2i)(l+2i)

z-4=8i,為純虛數(shù)，B正確;

z=4+8i,其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(4,8),在第一象限，C錯(cuò)誤;

82石

D錯(cuò)誤.

次+82

故選：AB

10.已知函數(shù)/(x)=6tan(ox+m)+6(0>0)的最小正周期為則()

A.刃=6

B./(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(一看,5)

C.7(x)的定義域?yàn)椴?

D.不等式/(x)>9的解集為，弓+”],keZ

I31o3)

【答案】BCD

【分析】根據(jù)正切型函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一計(jì)算即可.

TTTT

【詳解】由正切函數(shù)的周期7=二=?,解得。=3.故A錯(cuò)誤；

CD3

因?yàn)?[-F)=Gtan[-5+方)+6=5,所以f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(一己,5).故B正確;

令3xH—w—I-ku,k￡Z,得xw—H—,kEZ,

32183

jrkit

x\x^—+—,keZ\.故C正確；

{10JJ

令百tan(3x+g)+6〉9,則tan(3x+1)>G,所以三十攵兀<3工+]<]+而，ZeZ,得

"<x<2+"，"Z,即不等式/(尤)>9的解集為件2+”],k￡Z.故D正確;

3183V3Io5)

故選：BCD

11.在平行四邊形ABCQ中，BE=2EC，DF=3FA?AE與BF交于點(diǎn)。，設(shè)D4=a，DB=b，則

()

5

A.AE=——a+bB.AE=a——b

33

C.DO=—a+—bD.DO=—a+—b

11111111

【答案】AC

2—2—

【分析】由8E=2EC得5石=—]D4,從而AE=43+BE=(Q8—ZM)—,整理即可判斷A,B；

33

設(shè)A石與3D交于點(diǎn)M,則△/?劭/與AQ4M相似，可得。=DF=-DA因?yàn)槭?，。，B

54f

三點(diǎn)共線，A,0,知三點(diǎn)共線，^DO=xDF+(\-x)DB^DA+^^-DM,則當(dāng)+^1^=1,

4343

Q

求得x=H，求出OO即可判斷C,D.

【詳解】在平行四邊形ABCD中，BE=2EC，所以8E=-(2D4,

一一—一?5一5--

則AE=48+8E=(/)8-OA)—-DA=--DA+DB=--a+b,A正確，B錯(cuò)誤；

333

設(shè)AE與8。交于點(diǎn)M,則在平行四邊形ABC。中，ZXBEM與△￡>/!"相似，

所以也=些=2,則。DM=-DB=-b,DF=-DA=-a,

DMDA355544

因?yàn)槭?，O,B三點(diǎn)共線，A,O,M三點(diǎn)共線，

]^DO=xDF+(\-x)DB~DA+^^-DM,則苧<)=1,即x=(,

所以。O=—DA+(1—x)DB=—aH—b,C正確，D錯(cuò)誤.

41111

故選：AC.

12.地震震級(jí)根據(jù)地震儀記錄的地震波振幅來測(cè)定，一般采用里氏震級(jí)標(biāo)準(zhǔn).里氏震級(jí)的計(jì)算公式

為M=ig勺(其中常數(shù)為是距震中100公里處接收到的0級(jí)地震的地震波的最大振幅，4儂是指

我們關(guān)注的這次地震在距震中100公里處接收到的地震波的最大振幅).地震的能量￡(單位：焦耳)

是指當(dāng)?shù)卣鸢l(fā)生時(shí)，以地震波的形式放出的能量.已知E=1048xl0L5M,其中M為地震震級(jí).下列

說法正確的是()

A.若地震震級(jí)M增加2級(jí)，則最大振幅4”增加到原來的20倍

B.若地震震級(jí)M增加2級(jí)，則放出的能量E增加到原來的1000倍

C.若最大振幅4皿增加到原來的100倍，則放出的能量E增加到原來的1000倍

D.若最大振幅4,*增加到原來的100倍，則放出的能量E增加到原來的100倍

【答案】BC

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

【詳解】因?yàn)镸'=M+2=2+lg?=愴粵獨(dú)，所以小心=100A1ax.故A錯(cuò)誤；

A)A)

因?yàn)椤?1043x1()15"=1()48xl0l3(M+2>=]048X10L5M+3=]000K,所以g正確；

148

因?yàn)镸"=1gI*"=M+2,所以E"=l0X1015"=1048x101.5(M+2)=104.8x}()L5M+3=10Goe，所以C

A)

正確，D錯(cuò)誤.

故選：BC

三、填空題

13.己知復(fù)數(shù)z滿足3z+i=6—2i,則慟=.

【答案】非

【分析】先解方程求出z,再根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義求解.

【詳解】由題意可得z=2—i，則|z|="7T=如；

故答案為：A/5.

14'已知+：卜冬

則sin2?=

【答案】49

【分析】由兩角和的正弦公式展開，得出sina+cosa,兩邊平方，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和

二倍角公式即可求出答案.

【詳解】因?yàn)閟in(a+；)=#，

所以等(sina+cosa)=72,得sina+cosa=g,

則sin2a+cos2a+2sinacosa=2，

因?yàn)閟i/a+cos2a=1,2sinacosa=sin2a,

45

所以sin2a=§-1=一§,

故答案為：-

15.位于河北省承德避暑山莊西南十公里處的雙塔山，因1300多年以前，契丹人在雙塔峰頂建造的

兩座古塔增添了諸多神秘色彩.雙塔山無法攀登，現(xiàn)準(zhǔn)備測(cè)量兩峰峰頂處的兩塔塔尖的距離.如圖,

在與兩座山峰、山腳同一水平面處選一點(diǎn)4,從A處看塔尖C的仰角是45。，看塔尖B的仰角是60。，

又測(cè)量得ZBAC=45。，若塔尖B到山腳底部D的距離為20a米，塔尖C到山腳底部E的距離為

【答案】20后

【分析】先解直角三角形得4C=60米，AB=40五米，再利用余弦定理解BC即可.

CE...30A/2

【詳解】在RtAAEC中，CE=30夜米，NE4c=45。，則sin45°一也一米.

彳

同理，在RI4）8中，AB=4O0米，

在中，A3=40&米，AC=60米，Nfi4c=45°,

由余弦定理，得8C=J+3-2A8.ACcos45

=卜200+3600-2x4072x60x*=J2002=20^5米.

故答案為：2075.

ax-4,X<0

16.已知函數(shù)/*）=L./吟9…，（〃>0且。。1）有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則〃的取值范圍

為.

【答案】由卜崗

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，分類討論。的范圍，結(jié)合指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得答

案.

【詳解】當(dāng)時(shí)，x<0時(shí)，-4<ar-4<-3,

fM在（7,0）上沒有零點(diǎn)，則fix）在[0,K]上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，

由xe[0,7i],可得以+二€-,an+-,

6|_66

兀11cLLhI13兀,7T17兀5,八/8

由2sinQXH——1=0,所以---<cmH—<---,即2W〃<一.

<6J6663

當(dāng)Ovavl時(shí)，xvO時(shí)，ax>1,，一4二0有一解,

即，（X）在（V,O）上恰有1個(gè)零點(diǎn)，故，（X）在[0,用上有且僅有2個(gè)零點(diǎn),

則變4〃兀+工〈包，即2?。＜2,因?yàn)樗?/p>

66633

故0的取值范圍為|，1）2,1）.

故答案為：|■[[2,g）

四、解答題

17.設(shè)0,b是兩個(gè)不共線的向量.

⑴若。=（-1,3）,。=（2,-1）,求〈〃）〉；

（2）若（4〃+加〃（34+2。），求之的值.

【答案】（1）〈。,加=芋3兀

4

（2）/1=+^

【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求夾角即可；

（2）根據(jù)向量平行的充要條件計(jì)算參數(shù)即可.

【詳解】（1）因?yàn)閏os〈??=看鬲=如:6=_苧,又向量夾角范圍為[0,用,

所以血力=一3jr.

4

（2）因?yàn)椋ǎ+/?）〃（3a+/U?）,設(shè)/la+b="（34+%b）,〃為實(shí)數(shù)，

[A=3u

BPXa+b-31M+A/tb，則＜1.,BP22=3＞

l辦=1

解得4=土6.

18.已知復(fù)數(shù)z是方程工2+6工+13=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，且z的虛部大于零.

⑴求z；

⑵若az=Z?-i（。，〃wR,i為虛數(shù)單位），求出?.

【答案】⑴z=-3+2i

【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)根的求解即可得x+3=±2i,進(jìn)而可求，

(2)利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等的充要條件即可列方程求解.

【詳解】(1)由f+6尤+13=(X+3)2+4=0,即(X+3>=Y,

可得x+3=±2i,解得x=-3±2i,

因?yàn)閦的虛部大于零，所以z=-3+2i

(2)由(1)知z=—3+2i,因?yàn)閍z=b—i,所以oz=a(—3+2i)=—3a+2qi=b-i

,(~3a=b

則。,

\2a--\

解得"=-2，b=&,

22

3

所以必=-=.

4

19.在..ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,c,且人sinB-osinA+(b+c)sinC=O.

(1)求角A的大??；

(2)若角A的角平分線AD與BC交于點(diǎn)。，AD=4,AC=6,求.ABC的面積.

【答案】⑴>=專

⑵186

【分析】(1)利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可得解；

(2)根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合等面積法求出c,即可得解.

【詳解】(1)因?yàn)閎sinB-asinA+S+c)sinC=。，

222222

所以根據(jù)正弦定理可得h-a+hc+c=Of^b+c-a=-be，

由余弦定理可得COSA=1二/=-1,

與2b:c2

因?yàn)?e(0,兀)，所以A咚;

(2)由S^ABD+SMCD=S&ABC，

—x4xcxsin—+—x4x6xsin—=—x6cxsin—,解得c=12,

232323

所以一ABC的面積為:x6xl2xsin==18百.

23

20.已知函數(shù)/(x)=Asin(ox+小>0,。>0,［以苫)的部分圖像如圖所示.

⑴求f(X)的解析式.

(2)先將f(x)的圖像向左平移合個(gè)單位長度，再將所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得

到函數(shù)g(x)的圖像.當(dāng)xe一三7時(shí)，求g。)的值域.

66

【答案】(D/(x)=4sin(6xq)

(2)[-2,4]

【分析】(1)根據(jù)最值求出A=4,再由周期求出。=6,最后根據(jù)對(duì)稱中心求出夕=-?，可得解析

6

式；

TT7T

(2)先根據(jù)平移伸縮求出g(x),再根據(jù)xe求出值域即可.

OO

【詳解】(1)根據(jù)圖像可得A=4,

4=普一則;,/=?，因?yàn)?lt;?>0，所以3=6.

2363662\(o\6

將原，。)代入"X)的解析式，得4"6'玄+?)=0,

兀

則6X；Z+0=E，kwZ,

36

TT

得8=-7+&兀,keZ.

TTjr

因?yàn)樗?=—占，

2o

所以/(x)=4sin[.

(2)由(1)知/(x)=4sin(6xq),

將f(x)的圖像向左平移]個(gè)單位長度得y=4sin(6x+,q)=4sin(6x+1

再將所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，

得g(x)=4sin(3x+弓)的圖像，

msi兀兀fr-ixlO兀兀57c

因?yàn)閄W_—,所以3工+彳￡--,

66J3L66_

則-g4sin（3x+1）41,

所以-2V4sin（3x+邪4,

故g（x）在-晨上的值域?yàn)閇-2,4]

21.為了響應(yīng)國家改善民生、給老百姓創(chuàng)造更好的生活環(huán)境的號(hào)召，某地的南湖公園準(zhǔn)備再建一個(gè)

花壇，種植花卉以供老百姓觀賞.花壇的設(shè)計(jì)圖如圖所示，30與CD的長均為20米，ZBDC=M°,

ZR4C=120°.

⑴如果NABO=105。，求AC的長；

（2）新建花壇的周長的最大值是多少？

【答案】（1）迎近米

3

⑵竺也+40米.

3

【分析】（1）連接BC,確定BC長，在中，利用正弦定理即可求得答案；

（2）設(shè)NA8C=8（0<?<1）在ABC中，由正弦定理表示出48,4C的長，結(jié)合三角函數(shù)恒等變

換以及三角函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案。

【詳解】（1）連接3C,因?yàn)?0=8,ZBDC=60°,

所以△BCD是等邊三角形，所以3c=20米，而4453=1（）5。,

在“ABC中，^/WC=105°-60°=45°,N8AC=120。，

ACBC

所以由正弦定理得

sinNA3CsinZ.BAC

AC20

即邁=近，所以4。=生色r米.

~TT3

（2）在中，設(shè)NA3C=，0<8<g］,由正弦定理得.人二二—^

\3）sinZABCsinZB/

AC_20廠

即嬴萬=百，所以AC=3坦sin。米，

T3

同理NAC8=乂-e,則A3=g5sin!巴-e1米，

33（3）

迪3畝。+且海

所以A8+AC=-^sin6>+sin(^-6)

322

4073.GJ1

3I3）

因?yàn)樗援?dāng)e時(shí)，43+AC取得最大值竺叵,

V3；6