【數(shù)學(xué)】河北省石家莊市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期中試題（解析版）

河北省石家莊市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期

期中數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.若點(diǎn)POM到直線/：+的距離為3,則a=（）

3

A.2B.3C.-D.4

2

【答案】A

,|4+9+〃||13+￡|13+。、

【解析】由點(diǎn)到直線距離公式知,a--/5--------=3(a>0)

A/42+325

解得a=2,故選：A

2.過兩點(diǎn)（1,2）和（—2,1）的直線的斜率為（）

A.3B.-3C.-D.--

33

【答案】C

,2-11

【解析】由斜率公式可知左故選：C

3.兩個(gè)不重合的平面a,B,平面。的法向量為〃=（2,-3,1）,AABC是平面廠內(nèi)的三角

形且AB=（l,0,-2）,AC=（1,1,1）,則（）

A.平面a//平面尸B.平面a_L平面廠

C.平面a,平面尸相交但不垂直D.以上均有可能

【答案】A

【解析】設(shè)平面廠的法向量為m=（羽y,z）,

m-AB=x—2z=0

則彳_.,設(shè)z=l,則％=2,y=-3,即沅=(2,—3,1),

Th-AC=x+y+z=0

由〃=根，得平面a〃平面廠.故選：A

4.在四面體Q43c中，OA=a,OB=b,OC=c,點(diǎn)M在0A上，且。W=2VA,N為

中點(diǎn)，則跖V=（）

12,121,1

A.—d——o+—cB.——d+—b+—c

232322

11,1D.網(wǎng)+竺+L

C.一ciH—b—c

222332

【答案】B

【解析】點(diǎn)M在線段Q4上，且OM=2AM,N為5C中點(diǎn),

21i]

OM=-OA,ON=-{OB+OC)=-OB+-OC,

3222

MN=ON-OM=-OB+-OC--OA=--d+-b+-c.

223322

5.設(shè)點(diǎn)“（2,—3）,N（—3,—2）,若直線/：y=A%+l—左與線段MN相交，則直線/的斜

率上的取值范圍是（）

331

A.左2一或左4-4B.k>—^k<—

444

33

C.-4<k<-D.——<k<4

44

【答案】A

_a_1_9_13

【解析】如圖所示：依題意直線/過點(diǎn)P（L1）,k=——=-4,k=~~=~,

PM2—1PN—3—14

3

要想直線I過點(diǎn)P（l,l）且與線段相交，則上之1或％W-4.

故選：A.

6.已知圓0:必+/=4,過作圓。的切線/,則直線/的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【解析】因?yàn)樵趫A。上，則切線只有一條，

圓心（0,0）,所以自”=6，

所以過M的切線/的斜率為-

73-3

設(shè)切線的傾斜角為凡貝Utane=-且，

3

由于6e[0,兀），故。=—,

即6=150。，

故選：D.

22

7.設(shè)￡,工分別是雙曲線二—L=1的下、上焦點(diǎn)，P是該雙曲線上的一點(diǎn)，且

445

3歸娟=5歸閭，則△產(chǎn)石耳的面積等于（）

A.1473B.7A/15C.5A/15D.1573

【答案】D

【解析】由題意可知

閨閭==14,|3|―戶閭=24=n戶周=10,|桃|=6,

在△「4心中，由余弦定理可知

cosNF1PF2=10+6T4=_j_（0<NF1PF2<兀）nsinZF{PF2=—，

2x10x622

所以△產(chǎn)片色的面積等于5=工、10乂6乂走=156.故選：D

22

8.己知橢圓C:二+當(dāng)=1（。〉6〉0）的左、右焦點(diǎn)分別是耳，工，A,8是橢圓C上關(guān)

ab

于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且|然|=3忸周，若N￡A￡=90。，則橢圓C的離心率是（）

【答案】D

【解析】由橢圓的對(duì)稱性,得|A聞=忸耳卜^\AF2\=m,則防=3%

由橢圓的定義，知閭=2a,即機(jī)+3機(jī)=2a,

解得機(jī)故/=

在RtZ\A￡g中，由勾股定理，得閨國2=14周2+|明「，

即4c2=%+且=紀(jì)，則e2=《=3,故6=典.

442a284

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

9.已知直線/：y=x—8,則下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)（2,6）在直線/上B.直線/的一個(gè)方向向量為a=（1,1）

C.直線/在y軸上的截距為8D.直線/的傾斜角為一

4

【答案】BD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，把x=2代入到y(tǒng)=x—8得y=—6,所以點(diǎn)（2,6）不在直線/上，A

錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)橹本€/：y=x-8,即為：x—y—8=0,直線的斜率為1,

所以〃為直線的一個(gè)方向向量，B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)x=0時(shí)，y=-8,所以直線/在＞軸上的截距為—8,C錯(cuò)誤；

7T

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)橹本€的斜率為1,所以直線/的傾斜角為一，D正確.

4

故選：BD

10.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（）

A.若向量a,。,c與向量a,7力,c分別構(gòu)成空間向量的一組基底，則加〃b

B.若非零向量滿足。J_〃，Z?_Lc，則有a〃c

C.若。4,05OC是空間向量的一組基底，且0D=g(0A+03+0C)，則四

點(diǎn)共面

D,若向量。+匕，b+c，c+a是空間向量的一組基底，則a,O,c也是空間向量的一組基

底

【答案】CD

【解析】對(duì)于A,因?yàn)閍,c可以和任意不屬于a,c所在平面的非零向量構(gòu)成空間向量的一組

基底，

所以若向量之a(chǎn)c與向量3,九c分別構(gòu)成空間向量的一組基底，則比與人的位置關(guān)系不確

定，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)非零向量a,。,c滿足。］_b>b±c時(shí)，￡與c不一定平行，也可能垂直，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若04,050c是空間向量的一組基底，且

則OD-04=工04+工03+！0。-04,

333

即AD=L(O3—OA)+：(OC—。4)=，45+:4。，所以4瓦。,。四點(diǎn)共面，€：正確；

3、,3、>33

對(duì)于D,若向量a+b，b+c<c+a是空間向量的一組基底，

則對(duì)空間中的任何一個(gè)向量d存在唯一的實(shí)數(shù)組(x,y,z),使得

d=x(a+b)+y(/?+c)+z(c+a),

于是d=(x+z)a+(九+y)b+(y+z)c,所以a,。,c也是空間向量的一組基底，D正確；

故選：CD.

11.已知曲線C的方程為x2+y2+4x=(),給出下列四個(gè)結(jié)論中正確的是()

A.曲線C為一個(gè)圓

B.曲線C上存在點(diǎn)。，使得。到點(diǎn)(1,1)的距離為6

C.直線/:依―y+2左+1=0(%為常數(shù))，無論％為何值，直線/與曲線C恒有兩個(gè)交點(diǎn)

D.曲線C上存在點(diǎn)P,使得P到點(diǎn)8(2,0)與點(diǎn)(—2,0)的距離之和為8

【答案】ACD

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,由一+/+4%=0,得(％+2『+/=4,曲線C為一個(gè)圓，所以

A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,點(diǎn)(1,1)在圓(x+2y+y2=4的外部，因?yàn)?1,1)到圓心(—2,0)的距離

d=4-2-6+1=M,半徑為2,所以圓上的點(diǎn)D到(1,1)的距離的范圍為

[屈—2,加+2],而60[屈一2,胸+2],所以B不正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,直線/:6―y+2左+1=0(%為常數(shù))，則y—1=左(1+2),則直線過定點(diǎn)

2(-2,1),且點(diǎn)Q在圓(x+2)2+y2=4內(nèi)，所以無論人為何值，直線/與曲線C恒有兩

個(gè)交點(diǎn)，所以C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P,使得尸到點(diǎn)B與點(diǎn)(-2,0)的距離之和為8,則尸在以

22

點(diǎn)(2,0)與點(diǎn)(—2,0)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為8的橢圓上，即p在橢圓%+看=1上，聯(lián)立橢圓

f22

土+匕=1wIx——4/、

與圓的方程《1612，解得，_0,故曲線C上存在點(diǎn)尸(T,o),使得P到點(diǎn)

d+/+4x=0、y

8(2,0)與點(diǎn)(—2,0)的距離之和為8,所以D正確.

故選：ACD.

12.已知橢圓三+>2=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，B，橢圓上兩點(diǎn)A,8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)

9

P(異于A,8兩點(diǎn))為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是()

A.巴的周長為12

B.橢圓的離心為2包

3

C.|P巴|的最大值為3+2a

D.若直線PA,PB的斜率都存在，則kPA-kpB=

【答案】BCD

【解析】由橢圓方程三+/=1可知，〃=912=1,

9'

所以a=3力=1,。=//一/=2夜,

由橢圓定義知，APFF?周長等于|?/"+|P&|+|Kg|=2a+2c=6+4jL故A

錯(cuò)誤；

橢圓的離心率e=￡=2也，故B正確;

a3

由橢圓的幾何性質(zhì)可知，的最大值為O+C=3+2J5，故C正確;

設(shè)「（小，%），A（%，X），則8（—所以

“k:%—?%+x_￥-5

KPAKpB—_22，

xo-%1%0+玉Xo-玉

5%—1Y2

由點(diǎn)在橢圓上可得V,，兩式相減可得工工+y―y；=0,

x；9,°力

—+w=1

971

2_2i］

化簡可得四二與=一；；,即左以,左PB=一—,故D正確.

x0一芍99

故選：BCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.與向量@=（1,2,—2）方向相同的單位向量是

【答案】匕（1，12J2、

【解析】:同=在/---+--2-2-+--（-_-2-）7=3，.,.a時(shí)=（12］2

/、（122、

即與向量&=。2—2）方向相同的單位向量是§,§,一1

故答案為：［［，］,一〕.

14.已知直線/：y=依被圓C:Y+y2-6x+5=0截得的弦長為2,則悶的值為

【答案】叵

2

【解析】由題意，圓C:（x-3y+y2=4,故圓心C（3,0）,半徑r=2,故圓心到直線

=6,故7^=6,即3左2=公+1，解得左2=《,

l-kx-y=。的距離為

yjk2+l2

即小與

故答案為：昱

2

15.如圖,長方體ABCD-44Goi中，CQ=GR=2,￡用=1,點(diǎn)尸為線段BtC上

一點(diǎn)，則GP?〃P的最小值為

4

【答案】y

【解析】以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以G2，C]C為x,y,z軸，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镃G=C[D]=2,￡用=1,點(diǎn)尸為線段6c上一點(diǎn)，

則G(0,0,0),〃(2,o,o),

可設(shè)P(0,機(jī),2—2〃?)，0<m<1,

22

則C}P'D[P=(0,m,2—2m)"(—2,m,2—2m)=m+(2—2m)

(4丫4

=5m2—8m+4=5m—+一,

I5)5

44

當(dāng)根時(shí)，。]尸.2尸的最小值為彳.

16.已知雙曲線5=1(?！?力〉0)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，耳，工為其左、右焦點(diǎn)，若左

支上存在一點(diǎn)P,使得的中點(diǎn)/滿足|OM|=1c，則雙曲線的離心率e的取值范圍是

【答案】■，：

9

【解析】因?yàn)榉謩e為E0尸鳥的中點(diǎn)，所以歸用=2|。叫=不.

又雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為c-。，

2c5

所以一cNc—?！?,解得1<—V—,

5a3

因此雙曲線的離心率e的取值范圍是|.

在J5]

故答案：[L§.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.己知圓E經(jīng)過點(diǎn)4(0,0),5(1,1),且圓E與V軸相切.

(1)求圓E的一般方程；

(2)設(shè)P是圓E上的動(dòng)點(diǎn)，求線段Q的中點(diǎn)/的軌跡方程.

解：(1)設(shè)圓的方程為必+_/+￡)x+Ey+p=o,

因?yàn)閳AE過點(diǎn)4(0,0)，8(1,1),又跟V軸相切，

???圓E必在y軸右側(cè)，且跟y軸的切點(diǎn)為A(O,O),

，圓心的縱坐標(biāo)為0.

F=0D=-2

l+l+D+E+F=0,解得＜E=0

F=0

--=0

2

.■.圓E的方程為無2+y2_2x=0,化間得(x-1)~+y-=1.

(2)設(shè)M(x,y).因?yàn)椤榫€段AP的中點(diǎn)，所以P(2x,2y),

因?yàn)辄c(diǎn)P是圓E上的動(dòng)點(diǎn)，所以(2%y+(2y)2—2x2x=0,即爐+產(chǎn)一X=0,

所以M的軌跡方程為k+寸―x=0.

18.如圖，直四棱柱ABC?！?，底面ABC。是菱形，ZABC=60°,設(shè)

(1)求AG的長;

(2)求二面角?！狾B1—G的余弦值?

解：(1)AC^AB+AD+A^,

貝“ACJ=|呵+|3+|M|2+2AS-AD+2AS-AA+2AD-M

=4+4+4+2x2x2義8.

.?.何|=20.

(2)?.,四邊形ABC。為菱形，ACJ.BD.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB-0。正方向?yàn)閤,y軸的正方向，過點(diǎn)。且平行于AA］的直線為z

軸，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由題意得。。o,o),4(G,o,2),q(o,i,2),

OB]=(V3,0,2),oq=(0,1,2).

設(shè)平面OBXCX的法向量n=(x,y,z),

OB.-n=-j3x+2z=0「「/rr\

則<，令x=2,解得y=2百，z=-\/3,=12,2^3,—v3).

?〃=y+2z=0''

?.?平面OBXD，y軸，；.平面OBQ的一個(gè)法向量m=(0,1,0)

設(shè)平面。耳。與平面O4G所成角為a，

.,?\m-n\2G2歷

??|cosa|------------—--------,

11\m\-\n\M19

V二面角D-OBX-G為銳二面角，.?.二面角D-OBy-G的余弦值為2叵.

19

2222

19.已知雙曲線：C：二—與=l(a>0,b>0)與匕—L=1有相同的漸近線，且經(jīng)過

crb242

點(diǎn)M(0,-夜).

（1）求雙曲線。的方程；

（2）已知直線x—，+機(jī)=0與雙曲線。交于不同的兩點(diǎn)A、B,且線段A3的中點(diǎn)在圓

/+/=20上，求實(shí)數(shù)加的值.

22

解：（1）由題意，設(shè)雙曲線的方程為乙―二=4（4wO）,又因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)

42

__。。12

M（y/2,-y/2,y,2=----=—,所以雙曲線的方程為：x2--=1

'/4222

y=x+m

（2）由＜y2得爐—2mx—m2—2=0

/一匕=1

I2

2

設(shè)3（%2，％），則為1+兀2=2相，xrx2=-2-m,所以％+%=4加

則AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（小2帆），代入圓7+丁=20,得5/=20,所以加=±2.

20.已知橢圓C兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為片（—0,0）,月（、歷,0）,一個(gè)頂點(diǎn)為A。T）.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在斜率為女傳。0）的直線/，使直線/與橢圓。交于不同的兩點(diǎn)M，N,滿足

\AM\=\AN\.若存在，求出發(fā)的取值范圍；若不存在，說明理由.

解：（1）因?yàn)闄E圓C兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為片（-A歷,0）,月（行,0）,

X2

所以設(shè)橢圓。的方程為由y+y-=l(a>Z?>0)c=V2，

ab2

因?yàn)橐粋€(gè)頂點(diǎn)為A（0,T）,所以匕=1，所以/=廿+°2=3,

2

所以橢圓。的方程為r工+V=1；

3

（2）假設(shè)存在直線/：y=Ax+b符合題意.

(2

X2_1

與橢圓方程聯(lián)立，得：《可+，=,消去y得(3左2+1)尤2+6必r+3/_3=0,

y=kx+b

設(shè)朋■(七,%),N(%2,%)，

A=36b。E-4(1+3/)(3加一3)=12(1+3〃一")>0

6bk

則有X+X=------

1}291+3/

3b2-3

MF

~?7/\2/6bk）?2b

所以％+%=左（而+/）+2匕-彳1于\+2b=TZ^'

（3bkb\

所以MN的中點(diǎn)尸的坐標(biāo)-——y,——y，

I1+3Fl+3Zr2J

因?yàn)?AMi=|AN|,所以AP是線MN的垂直平分線，所以APLMM

b?]

根據(jù)斜率之積為-1,可得左MN=1+3§：=—!即二1,將其代入

3bkk2

-1+3左2

A=12（l+3/—/）＞0,

并整理得：（3公+1）（公_]）＜0,解得：—1（左＜1且左wo,

故存在滿足條件的直線I,其斜率的取值范圍（-1,0）。（0』）.

/、/、PM

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M（—2,0）,N（l,0）,若動(dòng)點(diǎn)P滿足\悶\=2.

（1）求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程;

（2）若直線/過點(diǎn)M,且點(diǎn)N到直線/的距離為1,求直線/的方程，并判斷直線/與動(dòng)

點(diǎn)P的軌跡方程所表示的曲線C的位置關(guān)系.

/、\PM\/、

解：⑴設(shè)P(x,y),由題意得而^=2.又M(—2,0),N(1,0),

所以耳+2『+/=2^(x-l)2+y2，

整理得(x—21+丁2=4.

故動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程為（x—2『+V=4.

（2）顯然圓（x-2）~+y2=4的圓心坐標(biāo)為C（2,0）,半徑為r=2,

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，不符合題意.

設(shè)直線/的方程為丁=左"+2）,即依—y+2左=0

_\k+2k\,1

因?yàn)辄c(diǎn)N到直線/的距離為1,所以1^=1,解得左=±F7s，

A/FTI2V2

1

所以直線/的方程為y=±x+2)即x+2s/2y+2=0,

2V2

12+2114

所以圓心C到直線/的距離為*+[±2近j3,因?yàn)椤臁磖，所以直線/與曲線C相交.

22.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為辛，且過點(diǎn)4（2,1）.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點(diǎn)