2023年北京高考數(shù)學(xué)試卷 含答案解析

2023年北京高考數(shù)學(xué)卷

閱卷入

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)

得分選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).

1.(2023?北京卷)已知集合M={%|%+2>0},N={x\X-1<0},則MnN=()

A.{%|—2<x<1]B.{x|-2<x<1]

C.{x\x>—2}D.{%|%<1]

2.（2023?北京卷）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1,V3）,貝!lz的共輾復(fù)數(shù)Z=（）

A.1+V3iB.1-V3iC.一1+D.-1-V3i

3.（2023?北京卷）已知向量力至滿足五+3=（2,3）,a-b=（-2,1）,則同2一?山2()

A.—2B.-1C.0D.1

4.（2023?北京卷）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（)

1_1

A./(x)=—InxB./(%)=￡C.7'(%)=--D./(x)=341|

（2023,北京卷）（2x—I、的展開(kāi)式中工的系數(shù)為（）.

5.

A.—80B.—40C.40D.80

6.（2023?北京卷）已知拋物線C：/=8久的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上.若M到直線久=—3的距離為5,則

\MF\=()

A.7B.6C.5D.4

7.（2023?北京卷）在△2BC中,(a+c)(sin力—sinC)=b(sinA-sinB),則=()

兀7T27r57r

AB.rD.

63~6

8.（2023?北京卷）若久yHO,貝廣汽+y=0”是‘曰+]=-2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.（2023?北京卷）坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒出建筑

輪廓，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全

等的等腰三角形.若力B=25zn,BC=AD=10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與

平面ABCD的夾角的正切值均為孚，則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為（)

FE

A.102mB.112mC.117mD.125m

10.(2023?北京卷)已知數(shù)列滿足即+1=/(即—6)3+6(71=1,2,3,…)，貝!J()

A.當(dāng)?shù)?3時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)MW0,使得冊(cè)>“恒成立

B.當(dāng)?shù)?5時(shí),為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)MW6,使得an<M恒成立

C.當(dāng)?shù)?7時(shí)，｛%｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M>6,使得an>M恒成立

D.當(dāng)4=9時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M>0,使得與<“恒成立

閱卷人

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.

得分

11.（2023?北京卷）已知函數(shù)/（x）=4*+log?久，則/（｝=

12.（2023?北京卷）已知雙曲線C的焦點(diǎn)為（—2,0）和（2,0）,離心率為遮，則C的方程

為_(kāi)_____________

13.（2023?北京卷）已知命題p：若a,0為第一象限角，且a>/?,貝hana>tan￡.能說(shuō)明p為假命題的

一組a,4的值為a=，6=?

14.（2023?北京卷）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于祛碼的、用來(lái)測(cè)量

物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”.已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列｛a",該數(shù)列的前3

項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且臼=1,。5=12,09=192,則。7=；數(shù)列｛&J所有項(xiàng)

的和為?

%+2,x<—a,

Va2-%2,-a<x<a,,給出下列四個(gè)結(jié)論：

（—V%—1,x>a.

①/（x）在區(qū)間（a-1,+8）上單調(diào)遞減；

②當(dāng)a21時(shí)，/（久）存在最大值；

③設(shè)M（久1，/（%i））（%i<a）,N（X2>/（久2））（%2>a）,則|MN|>1；

④設(shè)P（久3,，（久3））（久3<-a），Q（尤4,/（久4））（久42-a）.若|PQ|存在最小值，則a的取值范圍是（0,

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

閱卷人

三、解答題：本題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明'證明過(guò)程或

得分演算步驟.

16.（2023?北京卷）如圖，在三棱錐P—ABC中，PA1平面ABC,PA=AB=BC=LPC=V3.

（1）求證：BC1平面PAB；

（2）求二面角A—PC—B的大小.

17.（2023?北京卷）設(shè)函數(shù)/（%）=sino）xcos^+cos3%sing（3>0,\（p\<,）.

（1）若/（o）=一字,求8的值.

（2）已知"%）在區(qū)間［-不爭(zhēng)上單調(diào)遞增，"等=1，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件

中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)/Q）存在，求3,0的值.

條件①：f（J）=V2;

條件②：=-1;

條件③："x）在區(qū)間［-9-勺上單調(diào)遞減.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第

一個(gè)解答計(jì)分.

18.（2023?北京卷）為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價(jià)格變化數(shù)

據(jù)，如下表所示.在描述價(jià)格變化時(shí)，用“+”表示“上漲”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高；用表示“下

跌”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同.

時(shí)段價(jià)格變化

第1天到第

-++0---++0+0--+-+00+

20天

第21天到0++0---++0+0+---+0-+

第40天

用頻率估計(jì)概率.

(1)試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的概率；

(2)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的.在未來(lái)的日子里任取4天，試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格

在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；

(3)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格變化的影響.判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”“下

跌”和“不變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大.(結(jié)論不要求證明)

19.(2023?北京卷)已知橢圓E：芻+咚=l(a>b>0)的離心率為卓A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，

Clb3

B,D分別是E的左、右頂點(diǎn)，|AC|=4.

(1)求E的方程；

(2)設(shè)P為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線PD與直線BC交于點(diǎn)M,直線PA與直線y=-2交于點(diǎn)N.求

證：MN//CD.

20.(2023?北京卷)設(shè)函數(shù)/■(%)=%一久30。久+6,曲線y=f(久)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=-尤+

1.

(1)求a,b的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(%)=/'(%),求g(久)的單調(diào)區(qū)間；

(3)求/(%)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

21.(2023?北京卷)已知數(shù)列{%J,{,}的項(xiàng)數(shù)均為m(m>2),且an,bne{1,2,-,m},{aj也}

的前n項(xiàng)和分別為4，Bn,并規(guī)定4o=Bo=O.對(duì)于ke{0,1,2,…，m],定義力=max{EI<

Ak,ie(0,1,2,…，m)},其中，maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).

(1)若％=2,a2=1，=3,/=1,b2=3,久=3,求r0,「1，r2>心的值；

ET

(2)若的之名，JL2)-<rj+1+rj_r,j=1,2,…，m-1,,求rn;

(3)證明：存在p,q,s,tE[0,1,2,…，m),滿足p>q,s>t,使得/+=&+工.

答案解析部分

L【答案】A

【解析】【解答】M={x|x+220}={x\x>—2},N={x|x—1<0}=(x\x<1},

MnN—{x\—2<x<1).

故答案為：A

【分析】先化簡(jiǎn)集合M,N再求兩集合交集。

2.【答案】D

【解析】【解答】???復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,V3)，

z——1+

z的共輾復(fù)數(shù)為2=-1-V3io

故答案為：D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義寫(xiě)出復(fù)數(shù)z,再利用共輒復(fù)數(shù)定義寫(xiě)出2。

3.【答案】B

【解析】【解答】???a+b=(2,3),a—b=(—2,1)，

a=(0,2),b=(2,1)，

.1.|a|=2,b-V22+1=V5,

??\a\2-\b\2=4-5=-1-

故答案為：B

【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別求出向量Zb,再根據(jù)向量模長(zhǎng)公式進(jìn)而求解.

4.【答案】C

【解析】【解答】A、???y=In久在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，.?./■(久)=-In%在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞

減，A不符合題意；

1

B、???y=2x在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，.??"久)=/在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，B不符合題意;

C、?.?？=”在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，.??/(x)=—/在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，C符合題意；

D、???/&)=3礙=遮，f(l)=3°=1,.?./&)>/(1),〃久)在區(qū)間(0,+8)上不單調(diào)遞增,

D不符合題意。

故答案為：C

【分析】利用函數(shù)單調(diào)性判斷選項(xiàng).

5.【答案】D

［解析］［解答］???(2x-i)5展開(kāi)式通項(xiàng)為7『+1=Cg(2x)5T(_1)'=累5-2r,

令5-2r=1,解得r=1,

展開(kāi)式中光的系數(shù)為(-1)225-2牖=80.

故答案為：D

【分析】根據(jù)(2%-1)5展開(kāi)式通項(xiàng)公式得出答案.

6.【答案】D

【解析】【解答】vM到直線x=—3的距離為5,

M到直線準(zhǔn)線久=芻=—2的距離為4,由拋物線定義知|MF|=4

【分析】M到直線x=-3的距離為5得出M到直線準(zhǔn)線％=-2的距離為4,所以=4.

7.【答案】B

【解析】【解答】由正弦定理知(a+c)(sin力-sinC)=b(sinA—sinB)=(a+c)(a—c)=b(a—b),

??.a2+b2-c2=ab,由余弦定理小十j=2abeosC，

cosC=I，

Tl

,?zC=3

故答案為：B

【分析】利用正弦定理化簡(jiǎn)再結(jié)合余弦定理求解角C。

8.【答案】C

【解析】【解答】Vxy^O,

???％wo,y。。，

充分性：由％yW0和x+y=0得%和y互為相反數(shù),

??尾+]=-2；

必要性：壯+弓=一2,

人y

?■x2+y2=—2xy,

(%+丫產(chǎn)=0,

x+y=0o

故答案為：C

【分析】充分性：由久yH0和%+y=0得x和y互為相反數(shù)，.,.有＜+"=-2；必要性：將＜+]=—2

化簡(jiǎn)得到％+y=0即可。

9.【答案】C

【解析】【解答】如圖：

設(shè)點(diǎn)E在底面ZBCD上的投影為0,連接EO,作OG1BC,OHLAB,垂足分別為G,H,

???四邊形BHOG是矩形，

側(cè)面4BEF和側(cè)面BCE與底面的夾角分另U為NEH。,乙EGO,

由題知tanzEH。=需=tanzFGO=器=斗5，

OG=OH=^BC=5,OE=V14，

...AB~EF=粵,即EF=AB-BC=15,

BE=VOE2+OB2=VOF2+OG2+BG2=8，

五面體的所有棱長(zhǎng)之和為8x4+10x2+25x2+15=117m.

故答案為：C

【分析】設(shè)點(diǎn)E在底面ABCD上的射影為。，貝!JtanzEH。=tan/EG。=孚，進(jìn)而求解。

10.【答案】B

【解析】【解答】由ciji+i~不(a?i—6)3+6(H—1,2,3,…)d導(dǎo)O-n+i—=不(即—6)^+6—ctn)令

/(%)=1(%-6)34+6-X,則廣⑺=京久—6)2—1,令/⑺=0,解得為=6士孕，,當(dāng)久C

(-00,6—蜉)時(shí)，f(%)>0,“支)單調(diào)遞增，當(dāng)久C(6—竽，6+竽)時(shí)，f(%)<0,八久)單調(diào)遞

減，當(dāng)xC(6+孥，+8)時(shí)，/(%)>0,fO)單調(diào)遞增，注意到4<6—竽<5,7<6+竽<8，

A%G(-00,4)和％e(8,+00)時(shí)，/(%)單調(diào)遞增，%E(5,7)時(shí)，/(%)單調(diào)遞減，??.％E(-8,4)和％C

(6,8)時(shí)/(%)<0,%G(4,6)和％E(8,+oo)時(shí)/(%)>0

1313

A、v。幾+i=4(an-6)+6(?1=1,2,3,…)，,a幾+i-6=4(Qn—6)，

當(dāng)幾=1時(shí)，的=3,??.g-6=qQi—6/<—3,?,?g<3,

假設(shè)當(dāng)7i=k時(shí)，ak<3,

當(dāng)?1=k+1時(shí),cik+i-6=4(以一6尸<—39,,,。上+1<3,

綜上：a九43,即a九e(—8,4),

???x6(-8,4)時(shí)/(%)<0,Aan+1<an,{an}為遞減數(shù)列,

I19

a—a=312

由n+in+14("九一6)+7—a幾=4an—工an+26an—47，

1qw

3

令h(%)=7%—TTX2+26%—47(x<3),則"(%)=-TX2—9%+26,

4Z4

由二次函數(shù)知/i'(x)在(-8,6)單調(diào)遞減，

%G(一8,3)時(shí)，h'M>"⑶=|X32-9X3+26=^>0

?1■/i(久)在尤6(一8,3)上單調(diào)遞增，/i(x)<八(3)=/x33—x3之+26X3—47——<0,

???an+1-an+1<0,即。幾+1<an—1,

假設(shè)存在常數(shù)M<0,使得斯>M恒成立，

取m=-[M]+4,其中M-1<[M]<M,且[M]GZ

,?*CLn+l<。九一1，a-[M]+4<a-[M]+3—1，a-[M]+3<a-[M]+2—L…，的<。2-1，。2<-L

上式相加得。_網(wǎng)+4V的—(—[M]+3)=[M]<M,

??.am=Q_[M]+4VM,與an>M恒成立矛盾，A錯(cuò)誤；

11

B、—5，當(dāng)7i—1時(shí)，a1=5<6,Q，2—~T(Q]—6尸+6=彳(5—6)?+6<6,?'?a2<6,

44

假設(shè)當(dāng)71=k時(shí),ak<6,

當(dāng)?1=k+1時(shí)，在+1—4(cik—6)3+6<6,。上+1<6,

33

又當(dāng)n=l時(shí)，a2-5=1（ai-6）+1=1（5-6）+1>0,a2>5,

假設(shè)當(dāng)?！=k時(shí)，耿>5,

當(dāng)=k+1時(shí),cik+i-5=4（以-6）3+1>0,**?>5,

綜上：5<an<6,

??,xE（4,6）時(shí)/（%）>0,an+1>an,???{a九}為遞增數(shù)列

.?.取M=6時(shí)，滿足題意，B正確；

1O1O

C、???冊(cè)+i=4（冊(cè)—6）+6（11=1,2,3,…），???a幾+i—6=4（即一6），

111311

當(dāng)%=7時(shí)，做=4（a1—6）3+6=4+6,由一4（。2—6）+6―+6,（的-6）^+6=

+6,

猜想當(dāng)心2時(shí),『（薩一）+6,

當(dāng)n=2與九=3時(shí)滿足忽=④細(xì)T+6，

假設(shè)當(dāng)九=卜時(shí)，Qk=（*WT+6,

3

當(dāng)7i=/c+l時(shí)‘/+1=]（四—6）3+6=/GY+6=GJ+6'Q/c+i>5'

綜上飛=（承產(chǎn)、】）+6（心2）

??3X-12。522）,....=②婀-E+6e⑸7],

??,x6（6,8）時(shí)f（6<0,an+1<an,{an}為遞減數(shù)列，

假設(shè)存在常數(shù)M>6,使得冊(cè)>M恒成立,

記N=log321ogi（M-6）+1,取zn=[N]+1,其中N-1<[N]<N,且[N]6Z

4

mW

...3>3=21ogi（M-6）+l；-I（3-—1）>logi（M-6）,即（鏟口）+6<M

an<M,故斯〉M不恒成立，C錯(cuò)誤；

i27

D、,**a]—9，a2-6=7Q]—6>=-j—>3,*'?的》9,

假設(shè)當(dāng)幾=憶時(shí)，怒>9,

當(dāng)72=k+1時(shí)，以+i-6=/（cik-6）3之.（9—6）3>3,/+1>9,

綜上：an>9,

??,xe（8,+8）時(shí),/（%）>0,an+1>an,???{an}為遞增數(shù)列,

.131292

田dn_|_^_un_1=4(Qn—6)+5—ccn—4cin—2ccn+26(zn—49，

1gq

令g(%)=4%3--x2+26x(%>9),貝!)〃(％)=-^x2—9%+26,

由二次函數(shù)知》(久)在(6,+8)單調(diào)遞增，

%e[9,+8)時(shí),h'M>h'(9)=,X92-9塞9+26=詈>0

1g

???h(%)在冗e[9,+8)上單調(diào)遞增，???/i(x)>h(9)=4x93—2x92+26x9—49>0,

。九+1—c1n—1>0,即a九+1>a幾+1,

假設(shè)存在常數(shù)M>0,使得冊(cè)<M恒成立

取血=[M]+1,其中M-1<[M]<M,且[M]GZ

。九+1>a九+1,???Q[M]+1>a[M]+1，a[M]>a[M]-l+1,…，。3>。2+1，。2>+1，

上式相加得。網(wǎng)+1>的+[M]=9+[M]>M,

??.am=a[M]+1>M,與an<“恒成立矛盾，D錯(cuò)誤。

故選：B

【分析】將。幾+1—4(。幾—6)3+6(?1—1,2,3,…)變形得到a九+i—c1n—4(冊(cè)—6)?+6—un構(gòu)造

函數(shù)/(%)=J(X_6)3+6-久，利用導(dǎo)數(shù)判斷〃%)單調(diào)性進(jìn)而得到數(shù)列的增減性，逐一分析選項(xiàng)。

11.【答案】1

X

【解析】【解答】??,/■(%)=4+log2x,y(l)=42+log21=2-1=1.

故答案為：1

【分析】將久=#弋入函數(shù)解析式計(jì)算求解/(1)o

12.【答案彩—底=1

【解析】【解答】由題意知c=2,e=^=V2,

解得a=V2,

又&=a2+b2

解得b=V2,

???雙曲線方程為妥胃=1。

故答案為：妥吟=1

【分析】由題意知c=2,e/3,又02=02+房，進(jìn)而寫(xiě)出雙曲線方程。

13.【答案】字；

【解析】【解答】取a=2TT+A竽，夕=半滿足a,￡為第一象限角，且a>/?，但tana=1<

tan。=6，

???能說(shuō)明p為假命題一組a,6的值為a=孚，夕=也

4D

故答案為：竽；5

【分析】舉反例即可.

14.【答案】48；384

【解析】【解答】由題意知an>0,設(shè)后7項(xiàng)公比為q>0

???后7項(xiàng)成等比數(shù)列，

二公比q==4俘=V16=2,

7a5

—TH_%_12_2

，首項(xiàng)。3="2="47=3,

q

即=。3,q4=3X16=48,

^^后壬口弟,,,_a-aq_3-192x2_

?,?后7項(xiàng)和為。3+。4+。5+。6+。7+。8+。9=-31二.9~=--Y-2--=3Q8Q11

???前3項(xiàng)成等差數(shù)列，

二前3項(xiàng)成和為的+a2+a3='0I：%)=g,

二數(shù)列｛時(shí)｝所有項(xiàng)的和為6+381-a3=387-3=384.

故答案為：48；384

【分析】通過(guò)等比中項(xiàng)依次求出。7,。3,在利用成等差數(shù)列，等比數(shù)列求和公式求出數(shù)列｛的J所有項(xiàng)

的和。

15.【答案】②③

【解析】【解答】Va>0，:當(dāng)x<-a時(shí)，/(久)=久+2,圖像是一條取不到右端點(diǎn)的單調(diào)遞增的射

線；

當(dāng)—aW久Wa時(shí)，/(%)=y/a2-x2,圖像是在久軸上方的圓心為(0,0),半徑為a的半圓；

當(dāng)x>a時(shí)，f(x)=—6—l,圖像是一條取不到左端點(diǎn)的單調(diào)遞減的曲線；

對(duì)于①，取a=：,/(%)的圖像如下，

當(dāng)KC(a—l,0)時(shí)，即無(wú)e(—0),f(x)單調(diào)遞增，①錯(cuò)誤：

對(duì)于②，當(dāng)。之1時(shí)，有當(dāng)久<一。時(shí)，/(x)=x+2<-a+2<l<a；

當(dāng)—a<x<a時(shí)，/(%)=7a2-/取得最大值為

當(dāng)%>。時(shí)，f(%)——y[x—1<——1V—2<a

綜上：/(%)取得最大值Q,②正確；

對(duì)于③，由圖知，

當(dāng)％1=a,%2>a趨于a時(shí)，|MN|的距離最小,/(%1)=0,/(%2)=-，石一1其中％2>。且接近于。，

③正確；

\MN\>/(%1)—/(x2)=V^2+1>迎+1>1，

對(duì)于④，取。=春/(x)的圖像如下,

由圖知，|PQ|取得最小值為原點(diǎn)到/(%)=%+2,%<-卷的距離減去圓的半徑。且點(diǎn)P在/(%)=%+

2,%V一考上,點(diǎn)Q在/⑺=J股—%；,—%>

??,直線/(%)=%+2的斜率為1,?,?直線OP的方程為丫=—%,聯(lián)立y=『J7,解得p(-i,1),???

P（—l,1）在fO）=x+2,久〈一卷上，|PQ|可以取得最小值，此時(shí)口="CO,|],④錯(cuò)誤。

故答案為：②③

【分析】畫(huà)出/（%）圖形逐一分析個(gè)結(jié)論。①取a=5根據(jù)圖象即可判斷；②分x<-a、-a<%<

a、x>a三段函數(shù)分析判斷即可；③根據(jù)圖象即可判斷；④取a=皆根據(jù)圖象即可判斷.

16.【答案】（1）因?yàn)镻AJ■平面ABC,BCu平面ABC,

所以PA1BC,同理PAIZB,

所以APAB為直角三角形，

又因?yàn)镻B=y/PA2+AB2=迎，BC=1,PC=V3,

所以PB2+BC2=則APBC為直角三角形，故BC1PB,

又因?yàn)锽C1PA,PACtPBP,

所以BC1平面P4B.

（2）由（1）BC_L平面PAB,又力Bu平面PAB,貝！JBC_LAB,

以4為原點(diǎn)，4B為％軸，過(guò)4且與BC平行的直線為y軸，4P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則4(0,0,0),P(0,0,1),C(l,1,0),B(l,0,0),

所以屁=(0,0,1),AC=(1,1,0),BC=(0,1,0),PC=(1,1,-1),

設(shè)平面PAC的法向量為記=(久1，K，zi),貝訃小,磐=°,即［zi—0，

1

^m-AC^O(x1+y1=0,

令%1=1,貝lj%=-1,所以隹=(1,-1,0),

設(shè)平面PBC的法向量為元=(肛，當(dāng)，Z2)，則卜,些=°,即(」2一：

2x-z

In-PC=0{2+y22=o

令％2=1，則Z2=1,所以元=(1,0,1),

所以8S限元＞=品=最反4

又因?yàn)槎娼橇Α狿C—B為銳二面角,

所以二面角4-PC-B的大小為半

【解析】【分析】（1）通過(guò)證明BC1PA,BC1PB來(lái)證明BC，平面PAB；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量求解二面角A-PC-B的大小.

17.【答案】（1）因?yàn)?（%）=sinQrcosR+cosa%sinR,co>0,\（p\<

所以/（。）=sin（3?0）cos（p+cos??0）sin（p=sin（p=—第，

因?yàn)閨?|<所以9=~5.

（2）因?yàn)?（%）=singxcosR+cosaxsinR,>0,\（p\<

所以,（%）=sin（s+◎）,3>0,\<p\<去所以f。）的最大值為1,最小值為-1.

若選條件①：因?yàn)?久）=sin（3%+R）的最大值為1,最小值為-1,所以門5）=魚(yú)無(wú)解，故條件①不能

使函數(shù)/（久）存在；

若選條件②：因?yàn)槿司茫┰冢?酊第上單調(diào)遞增，且/育）=1,f（-5）=-1

所以;二竽一（一,）=兀，所以丁=2兀，3=竿=1，

所以/（%）=sin（x+cp）,

又因?yàn)閒（一當(dāng)=—L所以sin（T+R）=—l,

■JTJT

所以一百+0=—2+2kn，kE.Z,

所以9=—1+2/CTT,kEZ,因?yàn)閨夕|V］所以g=-專

所以3=（

1,p=O

若選條件③：因?yàn)榫镁茫┰冢?，/上單調(diào)遞增，在［-M-勺上單調(diào)遞減，

所以"X）在X=+處取得最小值一1,即f（T）=—1.

以下與條件②相同.

【解析】【分析】（1）代入"0）=—孚又切/求解w的值；

（2）若選擇條件①不符合題意；

若選擇條件②：由〃無(wú)）在區(qū)間1T，爭(zhēng)上單調(diào)遞增，〃給=i,/（—$=—1知心學(xué)一（一芻=兀進(jìn)

而求出3再代入解析式由/（T）=一1和|勿<*求少的值；

若選擇條件③由開(kāi)為在區(qū)間［-引爭(zhēng)上單調(diào)遞增，“第=1，/（%）在區(qū)間［-會(huì)-芻上單調(diào)遞減知

/(—$=—1，.q=啰一(一芻=兀進(jìn)而求出3再代入解析式由/(—分=—1和切〈拜0的值。

18.【答案】(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以看出，40天里，有16個(gè)+,也就是有16天是上漲的，

根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格上漲的概率為：招=04

(2)在這40天里，有16天上漲，14天下跌，10天不變，也就是上漲，下跌，不變的概率分別是0.4,

0.35,0.25,于是未來(lái)任取4天，2天上漲，1天下跌，1天不變的概率是C：x0.4?義蝎x0.35x0.25=

0.168

(3)由于第40天處于上漲狀態(tài)，從前39次的15次上漲進(jìn)行分析，上漲后下一次仍上漲的有4次，不變的

有9次，下跌的有2次，

因此估計(jì)第41天不變的概率最大.

【解析】【分析】(1)計(jì)算表格+的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型求“上漲”的概率；

(2)分別計(jì)算上漲，下跌，不變的概率，再計(jì)算4天中2天“上漲”、1天“下跌”、：I天“不變”的概率；

(3)通過(guò)分析表格中前一次上漲，后一次發(fā)生的各種情況進(jìn)行估計(jì)第41天的情況。

19.【答案】(1)依題意，得e=￡=噂，貝〃=哮。，

a33

又4C分別為橢圓上下頂點(diǎn)，|4C|=4,所以2b=4,即b=2,

所以M—c2=ft2=4,即小—^a2=^a2=4,則M=9,

所以橢圓E的方程為普+^=1.

94

(2)因?yàn)闄E圓E的方程為槳+年=1，所以4(0,2),<7(0,-2),B(—3,0),D(3,0),

y4

77

因?yàn)镻為第一象限E上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P(m,n)(0<m<3,0<n<2),則等+(=i，

易得k：BC==—,‘則直線BC的方程為y=——2,

心。=四=尋'則直線20的方程為了=占(久一3),

3(37i—2?n+6)

聯(lián)立《3n+2m—6即M(3(3幾—2zn+6)—12九

—12n'(3n+2m—6'3n+2m

'-3n+2m—6

而演4=痣=展，則直線24的方程為y=*x+2,

令y=-2,則一2=生工久+2,解得％=二^孑，即N(二-2),

mn—2vn—27

又唾+《=1，則巾2=9—竽，8m2=72-18n2,

_12?2

訴I、J”_3葭+2--6+2________(一6九+4771—12)(八一2)______

加"MN-3(3九一2772+6)_-4上一(9n—6m+18)(n—2)+4m(3n+2m—6)

3n+2m—6n—2

_—6n24-4mn—8m4-24_—6n2+4mn—8m+24

9n2+8m24-6mn—12m—369n24-72-18n24-6mn—12m—36

_—6n2+4mn—8m+24_2(-3n2+2mn—4m+12)_2

—9n2+6mn-12m+363(—3n2+2mn—4m+12)3'

又七口=m即々MN=kcD，

顯然，MN與。。不重合，所以MN〃CD.

【解析】【分析】⑴由題意知e=￡=卓，2b=4,結(jié)合a2=必+?2,求解橢圓方程；

a3

(2)設(shè)P(ni,n)(0<m<3,0<n<2),由題意求出直線BC,PD,PA的方程，聯(lián)立求出點(diǎn)M,N

坐標(biāo)，利用kMN=kcD證明MN//CD.

20.【答案】(1)因?yàn)閒(%)=久一%,xERy所以/(x)=1—(3久2+a久3)e0x+"，

因?yàn)?%)在(1,r(I))處的切線方程為y=-x+l,

所以/'(1)=-1+1=0,/(1)=-1，

1-I3xea+b=0，解得打；;，

1-(3+a)ea+b=-1

所以a=—1,b=1.

(2)由(1)得g(%)=/(%)=1-(3——%3)?-%+1(%eR),

則/(%)=—%(x2—6%+6)e-x+1,

令%2—6%+6=0,解得％二3±遮，不妨設(shè)％i=3—V5,%2=3+國(guó)，則

易知？一%+1>。恒成立，

所以令g'(%)<0,解得0<%V汽1或%>外；令g'(%)>0，解得％<0或％1<%<亞；

所以g(%)在(0,%力,(x2,+oo)上單調(diào)遞減，在(—8,0),(方，％2)上單調(diào)遞增，

即gQ)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3-遮)和(3+遮，+oo),單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,0)和(3-百，3+V3).

(3)由(1)得/(%)=%-%3?一汽+1。eR),/(%)=1-(3x2-%3)e-x+1，

由(2)知/(%)在(0,%1),(%2，+8)上單調(diào)遞減，在(一8,0),(%1，］2)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x<0時(shí),/(-I)=l-4e2<0-/(0)=1>0，Hp/(-i)/(0)<0

所以/'(%)在(―8,0)上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為犯，則—1<久3<。，

此時(shí)，當(dāng)％<%3時(shí)，/(%)<0-則/(X)單調(diào)遞減；當(dāng)久3<久<0時(shí)，/(%)>0，則/(%)單調(diào)遞增；

所以"%)在(-8,0)上有一個(gè)極小值點(diǎn)；

當(dāng)xC(0,久力時(shí)，/(%)在(0,%]_)上單調(diào)遞減，

則，(久1)=/(3-V3)</(I)=1-2<0，故f'(O)f'(%i)<0，

所以/(%)在(0,巧)上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為%4，貝

此時(shí)，當(dāng)0<%<久4時(shí)，/'(%)>0，則/(%)單調(diào)遞增；當(dāng)％4<久<久1時(shí)，/(%)<0-則/(久)單調(diào)遞減；

所以久久)在(0,勺)上有一個(gè)極大值點(diǎn)；

當(dāng)XC(%1，久2)時(shí)，/(久)在(K1，久2)上單調(diào)遞增，

則八久2)=/(3+V3)>/(3)=1>0,故/(%1)/(%2)<0-

所以f'(x)在(%「%2)上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為％5，則無(wú)1<%5<%2，

此時(shí)，當(dāng)久1<X<久5時(shí)，/(%)<0，則/(%)單調(diào)遞減；當(dāng)％5<X<久2時(shí)，/(%)<0,則/(久)單調(diào)遞增；

所以f(久)在(久1，久2)上有一個(gè)極小值點(diǎn)；

32

當(dāng)%>x2=3+V3>3時(shí)，3/-%=%(3-%)<0,

所以/(%)=1—(3%2—%3)e-x+1>0,則/(%)單調(diào)遞增，

所以/'(%)在(%2，+8)上無(wú)極值點(diǎn)；

綜上：/(久)在(-8,0)和(右,次)上各有一個(gè)極小值點(diǎn)，在(0,町)上有一個(gè)極大值點(diǎn)，共有3個(gè)極值點(diǎn).

【解析】【分析】(1)對(duì)〃支)求導(dǎo)，利用〃1)=0,f(l)=-1,求解a,b的值；

(2)對(duì)g(x)求導(dǎo)，求出g'(x)<0和g'(x)>0區(qū)間得到。(久)的單調(diào)區(qū)間；

(3)通過(guò)求解/(X)的變號(hào)零點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)求f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

21.【答案】(1)由題意可知：Ao=0,&=2,A2=3,4=6,Bo=0,=1,B2=4,B3=7,

當(dāng)k=0時(shí)，則Bo=4()=O,Bt>Ao,i=1,2,3,故=0；

當(dāng)k=l時(shí)，貝BiBi>A1,i=2,3,故n=1；

當(dāng)k=2時(shí)，則i=0,1,Bt>A2,i=2,3,故b=1；

當(dāng)k=3時(shí)，則BiW4,i=0,1,2,B3>^3,故句=2；

綜上所述：r0=0,n=1,廠2=1，廠3=2.

(2)由題意可知：rn<m,且丁九eN,

因?yàn)閮?cè)之1,bn>1,貝！1412al=1,Bn>b1=1,當(dāng)且僅當(dāng)九二1時(shí)，等號(hào)成立，

所以丁0=0,n=1,

又因?yàn)?及<7Vl+笠+1，則G+1一口>G一々—1，即丁加一丁血―12An—1一岫n—2之…之丁1一廠0=1，

可得丁i+1-G之L

反證：假設(shè)滿足6+1-％>1的最小正整數(shù)為1<；<m-l,

當(dāng)時(shí),則『+1一3之2；當(dāng)時(shí)，則『+1-3=1,

則?=(丁根-?―1)+(Jm-1-?―2)+…+(丁1-廠)0+廠0之2(771-J)+J=2m-j,

又因?yàn)?<j<m—1,貝卜山>2m—j>2m-(m-1)=m+1>m,

假設(shè)不成立，故丁九+i-廠幾=1,

即數(shù)列｛%｝是以首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，所以丁九=0+1X九=?1,nEN.

(3)(i)若4n23相，構(gòu)建S兀uH?！狟加，1<n<m,由題意可得：Sn>0,且Sn為整數(shù)，

反證，假設(shè)存在正整數(shù)K,使得SK^TH,

K

則4一By2如AK-BTK+1<0,可得兀+1=%+1-BrK=(力長(zhǎng)一BQ-(A-BrK+1)>m,

這與力叫+16｛1,2,…，m｝相矛盾，故對(duì)任意n￡N,均有S九〈租―1.

①若存在正整數(shù)N,使得SN=4N—3"=0,即

可取廠=p=0,q=N,s=rNf使得4P+Bs=+Br；

②若不存在正整數(shù)N,使得SN=0,

因?yàn)閑｛1,2m???,m—1],且14?i<m,

所以必存在1<X<丫<TH,使得Sx=Sy,

即Ax一B「x=AY—Bry,可得"x+Bry=AY+Brx,

可取p=X,s=rr,q=Y,r=rx9+Bs=Aq+Br；

(ii)若4n<8卅構(gòu)建S九二呂⑸一/"，1<n<m,由題意可得：Sn<0,且S九為整數(shù)，

反證，假設(shè)存在正整數(shù)K,使得SK<-租，

則斗人—力K——根，B^K+I—力K〉0，可得力火+1=%K+I—By=(%K+I-AK)—(By-AK)>加，

這與b^+iE｛1,2,…，TH｝相矛盾，故對(duì)任意ri〈TH,nEN,均有S幾之1—m.

①若存在正整數(shù)N,使得SN=B?！=。，即力'

可取廠=p=0,q=N,s=rN使得力p+Bs=Aq+Br；

②若不存在正整數(shù)N,使得SN=O,

因?yàn)?6{—1,-2,…，1-m},且14714根，

所以必存在1<X<Y<m,使得Sx=Sy,

即3以~AX=Bry—Ay,可得“X+Bry=Ay+Brx，

可取p=X,s=rY9q=Y,r=rx9使得力p+Bs=Aq+Br；

綜上所述：存在0<p<q<m,0<r<s<m使得力p+Bs=Aq+Br.

【解析】【分析】(1)先求A=0,A1=2,A2=3,A3=6,Bo=0,a=1,B2=4,B3=7,再利用

rk=max{t\Bi<Ak,fG{0,1,2,…，m])分別求r。，r19r2,門的值；

(2)由丁根-rm_i>rm_i-rm_2>>r1-r0=1得到—N1,再利用反證法證明丁葉1一r九=1,結(jié)

合等差數(shù)列求rn;

(3)討論Bm大小，利用反證法分析證明存在p,q,s,tE{0,1,2,…，m},滿足p>q,s>3

使得力p+3亡=+Bs.

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分:150分

客觀題（占比）45.0(30.0%)

分值分布

主觀題（占比）105.0(70.0%)

客觀題（占比）11(52.4%)

題量分布

主觀題（占比）10(47.6%)

2、試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

解答題：本題共6小

題，共85分.解答

6(28.6%)85.0(56.7%)

應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證

明過(guò)程或演算步驟.

填空題：本題共5小

題，每小題5分，共5(23.8%)25.0(16.7%)

25分.

選擇題：本題共10

小題，每小題4分，

共40分.在每小題列

10(47.6%)40.0(26.7%)

出的四個(gè)選項(xiàng)中，選

出符合題目要求的一

項(xiàng).

3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析

序號(hào)難易度占比

1普通(52.4%)

2容易