桿件的內(nèi)力、強(qiáng)度、剛度及穩(wěn)定性-梁的彎曲（建筑力學(xué)）

10.5疊加法與區(qū)段疊加法10.5疊加法與區(qū)段疊加法10.5疊加法與區(qū)段疊加法一、疊加原理及疊加法畫(huà)彎矩圖在線(xiàn)彈性或小變形情況下，梁在多種荷載共同作用下，所引起的某一參數(shù)（如反力、內(nèi)力、應(yīng)力或變形），等于每種荷載單獨(dú)作用時(shí)所引起的該參數(shù)值的代數(shù)和，這種關(guān)系稱(chēng)為疊加原理。利用疊加原理畫(huà)內(nèi)力圖的方法稱(chēng)為疊加法。在常見(jiàn)荷載作用下，梁的剪力圖比較簡(jiǎn)單，一般不用疊加法繪制。下面只討論用疊加法畫(huà)彎矩圖。10.5疊加法與區(qū)段疊加法用疊加法畫(huà)彎矩圖的步驟和方法如下：1）把作用在梁上的復(fù)雜荷載分成幾種簡(jiǎn)單的荷載，分別畫(huà)出梁在各種簡(jiǎn)單荷載單獨(dú)作用下的彎矩圖。2）將各簡(jiǎn)單荷載作用下的彎矩圖相疊加（即在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的彎矩縱坐標(biāo)代數(shù)相加），就得到梁在復(fù)雜荷載作用下的彎矩圖。3）疊加時(shí)先畫(huà)直線(xiàn)或折線(xiàn)的彎矩圖線(xiàn)，后畫(huà)曲線(xiàn)，習(xí)慣上第一條圖線(xiàn)用虛線(xiàn)畫(huà)出，在此基礎(chǔ)上疊加第二條彎矩圖線(xiàn)，最后一條彎矩圖線(xiàn)用實(shí)線(xiàn)畫(huà)出。10.5疊加法與區(qū)段疊加法例10－9用疊加法畫(huà)圖所示懸臂梁的內(nèi)力圖。解（1）將梁上的復(fù)雜荷載分解為兩種簡(jiǎn)單荷載，即均布線(xiàn)荷載q和集中力偶M，并分別畫(huà)出梁在q和M單獨(dú)作用下的彎矩圖。（2）將兩個(gè)彎矩圖相應(yīng)的縱坐標(biāo)疊加起來(lái)，即得懸臂量在復(fù)雜荷載作用下的彎矩圖。10.5疊加法與區(qū)段疊加法例10－10用疊加法畫(huà)圖示簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力圖。解：（1）將梁上的復(fù)雜荷載分解為均布線(xiàn)荷載q和集中力F，并分別畫(huà)出梁在q和F單獨(dú)作用下的彎矩圖。（2）將兩個(gè)彎矩圖相應(yīng)的縱坐標(biāo)疊加起來(lái)，即得梁在兩種簡(jiǎn)單荷載共同作用下的彎矩圖。10.5疊加法與區(qū)段疊加法二、區(qū)段疊加法畫(huà)彎矩圖如果將梁進(jìn)行分段，然后在每一個(gè)區(qū)段上利用疊加原理畫(huà)出彎矩圖，這種方法稱(chēng)為區(qū)段疊加法。如圖所示的簡(jiǎn)支梁CD，受F、q作用，在梁內(nèi)取一段AB，如果已求出A截面和B截面上的彎矩MAB、MBA，則可根據(jù)該段的平衡條件求出A、B截面上的剪力FSA、FSB。10.5疊加法與區(qū)段疊加法將此梁AB段的受力圖與如圖所示的另一簡(jiǎn)支梁AB相比較,可以發(fā)現(xiàn),上邊簡(jiǎn)支梁CD上AB段梁的受力情況與另一簡(jiǎn)支梁AB的受力情況完全相同，所以上邊簡(jiǎn)支梁CD上AB段梁的內(nèi)力圖，與另一簡(jiǎn)支梁AB的內(nèi)力圖也當(dāng)然相同，因此畫(huà)梁內(nèi)某段彎矩圖的問(wèn)題就歸結(jié)成了畫(huà)相應(yīng)簡(jiǎn)支梁彎矩圖的問(wèn)題，可利用疊加法畫(huà)出。10.5疊加法與區(qū)段疊加法例10-11用區(qū)段疊加法畫(huà)圖所示簡(jiǎn)支梁的彎矩圖。解：（1）求支座反力：根據(jù)梁的平衡條件，可求得FAy=17kN(向上)FBy=7kN(向上)

10.5疊加法與區(qū)段疊加法為了便于分析，先作出其剪力圖，如圖。（注意：q區(qū)段有FS=0點(diǎn)）10.5疊加法與區(qū)段疊加法（2）選定外力變化處（如集中力、集中力偶的作用點(diǎn)、均布荷載的起止點(diǎn)）作為控制點(diǎn)，控制點(diǎn)所在截面稱(chēng)為控制截面，控制截面的內(nèi)力（彎矩）稱(chēng)為控制內(nèi)力（彎矩）。計(jì)算各控制截面的彎矩值如下：MA=0,MC=17kN·m,MD=26kN·m,ME=30kN·m,MFE=23kN·m,MFB=7kN·m,MB=0.10.5疊加法與區(qū)段疊加法在上面求MD時(shí)，可用如左下圖所示的D截面左半畫(huà)計(jì)算圖，在D左側(cè)有支座A的反力FAy=17kN，以及向下的力8kN，它們對(duì)D點(diǎn)的矩都畫(huà)在左側(cè)，其中弧線(xiàn)箭尾在下的，使梁下側(cè)受拉。代數(shù)和等于26kN·m，梁下側(cè)受拉；同理求ME時(shí)，可用如右下圖所示的E截面右半畫(huà)計(jì)算圖，代數(shù)和等于30kN·m，下側(cè)受拉。10.5疊加法與區(qū)段疊加法設(shè)DE段內(nèi)距D點(diǎn)x處彎矩有極值，該點(diǎn)所在截面的剪力等于零，則：（17-8）kN–4kN/m×x=0。所以，極值點(diǎn)位置x=2.25m,極值點(diǎn)的彎矩M等于Mmax=[17×(2+2.25)－8×(1+2.25)－4×2.25×1.125]=36.125kN?m10.5疊加法與區(qū)段疊加法（3）繪彎矩圖在坐標(biāo)系中依次定出以上各控制點(diǎn),因AC、CD、EF、FB各段無(wú)荷載作用，用直線(xiàn)連接各段兩端點(diǎn)即得彎矩圖。DE段有均布荷載作用，先用虛線(xiàn)連接兩端點(diǎn)，再疊加上相應(yīng)簡(jiǎn)支梁在均布荷載作用下的彎矩圖，就可以繪出該段的彎矩圖。有極值時(shí)標(biāo)出極值。10.5疊加法與區(qū)段疊加法如圖。10.5疊加法與區(qū)段疊加法例10－12用區(qū)段疊加法畫(huà)圖示外伸梁的內(nèi)力圖。解：（1）求支座反力：根據(jù)梁的平衡條件，可求得FAy=1.72kN(向上)FBy=2.48kN(向上)

10.5疊加法與區(qū)段疊加法（2）畫(huà)剪力圖：AC段有均布線(xiàn)荷載,所以剪力圖是一條往右下斜直線(xiàn),算出AC段兩端截面的剪力FSAC=1.72kN,FSC=－1.48kN,連接兩點(diǎn)即得AC段的剪力圖。CB段是無(wú)荷區(qū)段,剪力圖是一條平行線(xiàn)。經(jīng)過(guò)B截面時(shí)，由于有集中反力FBy作用，剪力圖按FBy的方向向上凸2.48kN過(guò)渡到B偏右截面，且FSBD=1kN，BD段的剪力圖也是一條平行線(xiàn)，到D處按集中力的方向向下突變1kN，如圖。10.5疊加法與區(qū)段疊加法（3）用區(qū)段疊加法畫(huà)彎矩圖求出A、C、B、D四個(gè)控制截面的彎矩，標(biāo)在坐標(biāo)系中。由于CB、BD段是無(wú)何區(qū)段，所以直接用直線(xiàn)連接CB、BD即得此兩段的彎矩圖。AC段有均布荷載作用，所以先用虛線(xiàn)連接AC，再在此基礎(chǔ)上疊加相應(yīng)簡(jiǎn)支梁在均布荷載作用下的彎矩圖就可得該段的彎矩圖，如圖。10.5疊加法與區(qū)段疊加法練習(xí)與強(qiáng)化：用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗ鲌D示梁的內(nèi)力圖。10.5疊加法與區(qū)段疊加法剪力圖如圖。10.5疊加法與區(qū)段疊加法彎矩圖如圖。10.5疊加法與區(qū)段疊加法剪力圖10.5疊加法與區(qū)段疊加法彎矩圖10.3剪力圖和彎矩圖10.3剪力圖和彎矩圖10.3剪力圖和彎矩圖【引言】通過(guò)計(jì)算梁的內(nèi)力,可以看到,梁在不同位置的橫截面上的內(nèi)力值一般是不同的。即梁的內(nèi)力隨梁橫截面位置的變化而變化。進(jìn)行梁的強(qiáng)度和剛度計(jì)算時(shí)，除要會(huì)計(jì)算指定截面的內(nèi)力外，還必須知道剪力和彎矩沿梁軸線(xiàn)的變化規(guī)律，并確定最大剪力和最大彎矩的（絕對(duì)）值以及它們所在的位置。下面討論這個(gè)問(wèn)題。10.3剪力圖和彎矩圖一、剪力方程和彎矩方程以橫坐標(biāo)x表示梁各橫截面的位置，則梁橫截面上的剪力和彎矩都可以表示為坐標(biāo)x的函數(shù)，即

FS=

FS(x)

M=M(x)以上兩函數(shù)表達(dá)式，分別稱(chēng)為梁的剪力方程和彎矩方程，統(tǒng)稱(chēng)為內(nèi)力方程。剪力方程和彎矩方程表明了梁內(nèi)剪力和彎矩沿梁軸線(xiàn)的變化規(guī)律。10.3剪力圖和彎矩圖二、剪力圖和彎矩圖為了形象地表示剪力和彎矩沿梁軸線(xiàn)的變化規(guī)律，可以根據(jù)剪力方程和彎矩方程分別畫(huà)出剪力圖和彎矩圖。它的畫(huà)法和軸力圖、扭矩圖的畫(huà)法相似，即以沿梁軸的橫坐標(biāo)x表示梁橫截面的位置，以縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面的剪力和彎矩。作圖時(shí)，一般把正的剪力畫(huà)在x軸的上方，負(fù)的剪力畫(huà)在x軸的下方，并注明正負(fù)號(hào)；正彎矩畫(huà)在x軸下方，負(fù)彎矩畫(huà)在x軸的上方，即將彎矩圖畫(huà)在梁的受拉側(cè)，而不必表明正負(fù)號(hào)。10.3剪力圖和彎矩圖畫(huà)內(nèi)力圖的基本方法是內(nèi)力方程法，即先求出內(nèi)力方程（剪力方程、彎矩方程），再根據(jù)內(nèi)力方程作內(nèi)力圖的方法，其過(guò)程一般為：1.求出支座反力；（如果是懸臂梁，可以不求）2.建立合理的坐標(biāo)軸；3.將梁分段；（只要荷載變化，就要分段）4.求出每段梁的剪力方程與彎矩方程；5.根據(jù)剪力方程與彎矩方程作出剪力圖與彎矩圖。10.3剪力圖和彎矩圖例10－3

如圖所示，懸臂梁AB的跨度為l，其自由端A受到集中力F的作用，試畫(huà)出該梁的內(nèi)力圖。解：（1）求出支座反力：懸臂梁，可以不求（2）建立合理的坐標(biāo)軸：以A為原點(diǎn),梁軸為x軸.向右為正向，如圖10.3剪力圖和彎矩圖（3）分段：由于AB段上無(wú)荷載變化，只有AB段一段；（4）求內(nèi)力方程：取距原點(diǎn)為x的任一截面，計(jì)算該截面上的剪力和彎矩，并把它們表示為x的函數(shù)，則有剪力方程：FS（x）＝－F

（0＜x＜l）彎矩方程：M（x）＝－Fx

（0≤x＜l）【注】以上兩個(gè)方程后面給出了方程的適用范圍。在剪力方程中，因?yàn)樵诩辛ψ饔妹嫔霞袅τ型蛔儯瑇不能等于0和l。彎矩方程中，在B支座處有反力偶，彎矩有突變，x不能等于l。10.3剪力圖和彎矩圖5.畫(huà)內(nèi)力圖：先畫(huà)FS

圖由剪力方程【FS（x）＝－F】可知，F(xiàn)S(x)是一常數(shù)，不隨梁內(nèi)橫截面位置的變化而變化，所以FS

圖是一條平行于x軸的直線(xiàn)，且位于x軸的下方，如圖所示。10.3剪力圖和彎矩圖再畫(huà)M圖由彎矩方程【M（x）＝－Fx】可知，M(x)是x的一次函數(shù)，彎矩沿梁軸按直線(xiàn)規(guī)律變化，彎矩圖是一條斜直線(xiàn)，因此，只需確定梁內(nèi)任意兩截面的彎矩，便可畫(huà)出彎矩圖。當(dāng)x=0時(shí)，MA＝0；

x=l時(shí)，MB左＝－Fl。

10.3剪力圖和彎矩圖由FS

圖和M圖可知：由于在剪力圖和彎矩圖中的坐標(biāo)比較明確，習(xí)慣上可將坐標(biāo)軸略去，所以，在以下各例中，坐標(biāo)軸不再畫(huà)出。10.3剪力圖和彎矩圖例10－4

簡(jiǎn)支梁受均布線(xiàn)荷載q的作用，試畫(huà)出該梁的內(nèi)力圖。解：(1)求支座反力。由梁和荷載的對(duì)稱(chēng)性可直接得出：10.3剪力圖和彎矩圖（2）列內(nèi)力方程。取梁左端A為坐標(biāo)原點(diǎn)，梁軸為x軸，取距A為x的任意截面，將該面上的剪力和彎矩分別表示為x的函數(shù)，則有剪力方程：

（0＜x＜l）彎矩方程：

（0≤x

≤

l）10.3剪力圖和彎矩圖（3）畫(huà)剪力圖由剪力方程知，該梁的剪力圖是一條斜直線(xiàn)，計(jì)算確定兩個(gè)數(shù)值就可以畫(huà)出剪力圖。如圖。10.3剪力圖和彎矩圖（4）畫(huà)彎矩圖由彎矩方程知，梁的彎矩圖是一條二次拋物線(xiàn)，至少要算出三個(gè)點(diǎn)的彎矩值才能大致畫(huà)出圖形。計(jì)算各點(diǎn)彎矩，見(jiàn)表10-1。10.3剪力圖和彎矩圖作梁的彎矩圖如圖。為了求得彎矩圖中的彎矩最大值，可將上面的彎矩方程對(duì)一次求導(dǎo)，并令其等于0，則有：10.3剪力圖和彎矩圖所以，在均布荷載作用的梁上,在剪力等于0的截面,彎矩發(fā)生極值觀察分析本例，可以發(fā)現(xiàn)，在梁上均布荷載作用的區(qū)段內(nèi)，剪力圖為一條斜直線(xiàn)，彎矩圖為一條拋物線(xiàn)。荷載向下，剪力圖往右下斜；彎矩圖向下凸。如果在該區(qū)段內(nèi)有剪力等于0的截面，則在剪力為0處，彎矩圖有極大。10.3剪力圖和彎矩圖例10－5

簡(jiǎn)支梁受集中力F的作用，試畫(huà)出梁的內(nèi)力圖。解：(1)求支座反力。以整體為研究對(duì)象，列平衡方程。由∑MA(F)=0，得：FB×l－F×a=0由∑Fy=0，得：FA－F+FB=010.3剪力圖和彎矩圖（2）列內(nèi)力方程。梁在C處有集中力作用，故AC段和CB段內(nèi)力方程不同，要分段列出。AC段：在AC段內(nèi)取距A為x1的任意截面（0＜x1＜a）

（0≤x1≤a）10.3剪力圖和彎矩圖CB段：在CB段內(nèi)取距A為x2的任意截面，則

（a＜x2＜l）

（a≤

x2≤

l）10.3剪力圖和彎矩圖(3)畫(huà)剪力圖由剪力方程知，AC段和CB段梁的剪力圖均為水平線(xiàn)。AC段剪力圖在x軸上方，CB段剪力圖在x軸下方。在集中力F作用的C截面上，剪力圖出現(xiàn)向下的突變，突變值等于集中力的大小，如圖。10.3剪力圖和彎矩圖（4）畫(huà)彎矩圖由彎矩方程知,兩段梁的彎矩圖均為斜直線(xiàn),每段分別確定兩個(gè)數(shù)值就可畫(huà)出彎矩圖,如圖x1=0時(shí)，MA=0；x1=a時(shí)，x2=a時(shí)，x2=l時(shí)，MB=0。10.3剪力圖和彎矩圖在本例中，若則在梁中有最大彎矩，其值為（熟記）如圖。10.3剪力圖和彎矩圖觀察分析上面例子，可以發(fā)現(xiàn)，梁上某段的剪力圖與彎矩圖，與該段作用的荷載之間，存在必然的關(guān)聯(lián)。在梁上集中力作用的位置，剪力圖必發(fā)生突變，從左往右突變的方向與集中力作用的方向相同，突變數(shù)值的大小等于該集中力的大?。欢鴱澗貓D將產(chǎn)生尖點(diǎn)，尖點(diǎn)的方向與集中力作用的方向相同。在集中力作用的兩側(cè)，若無(wú)荷載作用，剪力圖為平行于x軸的一條直線(xiàn)，當(dāng)剪力大于0時(shí)，彎矩圖為右向下斜直線(xiàn)，當(dāng)剪力小于0時(shí)，彎矩圖為右向上斜直線(xiàn)，當(dāng)剪力等于0時(shí)，彎矩圖為一條平直線(xiàn)。10.3剪力圖和彎矩圖事實(shí)上，上面剪力圖必發(fā)生突變這種情況，其原因是由于把實(shí)際上分布在一個(gè)微段上的分布力，抽象成了作用于一點(diǎn)的集中力所造成的。如果將集中力F視為作用在微段△x上的均布荷載（如圖)，則在該微段內(nèi)，剪力將由逐漸變到，突變就不存在了。10.3剪力圖和彎矩圖例10－6如圖所示，簡(jiǎn)支梁AB，在C處作用有力偶M。試畫(huà)出梁的內(nèi)力圖。解：（1）求支座反力。由梁的整體平衡條件求出10.3剪力圖和彎矩圖（2）分段列內(nèi)力方程。AC段：在AC段內(nèi)取距A為x1的任意截面，則有（0＜x1≤a）（0

≤

x1＜a）10.3剪力圖和彎矩圖CB段：在CB段內(nèi)取距A為x2的任意截面，則有（a≤x2＜l）

（a＜x2≤

l）10.3剪力圖和彎矩圖（3）畫(huà)剪力圖由剪力方程知，AC段和CB段的剪力圖是同一條平行于x軸的直線(xiàn)，且在x軸的下方，如圖。10.3剪力圖和彎矩圖（4）畫(huà)彎矩圖由彎矩方程知，AC段和CB段的彎矩圖都是一條斜直線(xiàn)，要分段求值取點(diǎn)作圖，如圖。10.3剪力圖和彎矩圖觀察分析本例，可以發(fā)現(xiàn)，在梁上集中力偶作用處，彎矩圖有突變，突變的數(shù)值等于該集中力偶矩，當(dāng)集中力偶的力偶矩為順時(shí)針?lè)较驎r(shí)，彎矩圖從左向右表現(xiàn)出向下突變；而剪力圖無(wú)變化。思考：將力偶M的位置移動(dòng)、或者轉(zhuǎn)向改變，彎矩圖與剪力圖結(jié)果會(huì)怎樣？10.3剪力圖和彎矩圖10.4簡(jiǎn)捷法繪制

梁的剪力圖與彎矩圖10.4簡(jiǎn)捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖一、荷載集度與彎矩、剪力間的微分關(guān)系前面簡(jiǎn)單歸納了剪力圖、彎矩圖的一些規(guī)律，說(shuō)明作用在梁上的荷載與剪力、彎矩間存在著一定的關(guān)系。下面繼續(xù)進(jìn)行分析。如圖所示，梁上作用有任意分布荷載q(x)，q(x)規(guī)定以向下為正。取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸以向右為正向，y軸以向上為正向如圖。10.4簡(jiǎn)捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖取分布荷載作用下一微段dx來(lái)分析，如圖。圖中微段dx左右截面上的內(nèi)力應(yīng)分別為

FS(x)，M(x)，F(xiàn)S(x)+dFS(x)，

M(x)+dM(x)10.4簡(jiǎn)捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖由靜力平衡方程∑Fy=0，得：FS(x)－q(x)dx－[FS(x)+dFS(x)]=0∑MO(F)=0，得(O為右截面形心)：10.4簡(jiǎn)捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖經(jīng)整理，并略去二階微量,得

將式（10－2）兩邊求導(dǎo)得10.4簡(jiǎn)捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖

由式（10－1）可知，梁上任一截面上的剪力對(duì)x的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在該截面處的荷載分布集度，但符號(hào)相反。這一微分關(guān)系的幾何意義是，剪力圖上某點(diǎn)切線(xiàn)的斜率等于相應(yīng)截面處的荷載分布集度的相反值。由式（10－2）知，梁上任一截面上的彎矩對(duì)x的一階導(dǎo)數(shù)等于該截面上的剪力。這一微分關(guān)系的幾何意義是，彎矩圖上某點(diǎn)切線(xiàn)的斜率等于相應(yīng)截面上的剪力。10.4簡(jiǎn)捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖由式（10－3）知,梁上任一截面上的彎矩對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)等于該截面處的荷載分布集度,但符號(hào)相反。這一微分關(guān)系的幾何意義是，彎矩圖上某點(diǎn)的曲率等于相應(yīng)截面處的荷載分布集度的相反值。10.4簡(jiǎn)捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖二、根據(jù)荷載分布集度、剪力、彎矩的微分關(guān)系，分析剪力圖和彎矩圖的規(guī)律1．在無(wú)荷載作用區(qū)段：q(x)=0由于q(x)=0，F(xiàn)S(x)是常數(shù)，所以剪力圖是一條平行于x軸的直線(xiàn)。所以M(x)是x的一次函數(shù)，彎矩圖是一條斜直線(xiàn)。10.4簡(jiǎn)捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖1．在無(wú)荷載作用區(qū)段：q(x)=0（續(xù)）當(dāng)FS(x)=常數(shù)>0時(shí)，彎矩M(x)是增函數(shù)，彎矩圖往右下斜直線(xiàn)；當(dāng)FS(x)=常數(shù)＜0時(shí)，彎矩M(x)是減函數(shù)，彎矩圖往右上斜直線(xiàn)。特殊情況下，當(dāng)FS(x)=常數(shù)=0時(shí)，彎矩M(x)=常數(shù)，彎矩圖是一條水平直線(xiàn)。10.4簡(jiǎn)捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖2．在均布荷載區(qū)段q(x)=常數(shù)由于q(x)=常數(shù)，F(xiàn)S(x)是x的一次函數(shù)，所以剪力圖是一條斜直線(xiàn)。而所以M(x)是x的二次函數(shù)，彎矩圖是一條拋物線(xiàn)。當(dāng)q(x)向下時(shí)，q(x)=常數(shù)>0，F(xiàn)S(x)是減函數(shù)，剪力圖往右下斜；彎矩圖是下凸拋物線(xiàn)。10.4簡(jiǎn)捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖2．在均布荷載區(qū)段q(x)=常數(shù)（續(xù)）當(dāng)q(x)向上時(shí),q(x)=常數(shù)＜0,

FS(x)是增函數(shù),剪力圖往右上斜；彎矩圖是上凸拋物線(xiàn)當(dāng)FS(x)=0時(shí)，由于彎矩圖在該點(diǎn)處的斜率為零，所以彎矩圖發(fā)生極值。為方便應(yīng)用,將荷載、剪力、彎矩之間的關(guān)系列于表10—2中10.4簡(jiǎn)捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖三、剪力圖和彎矩圖規(guī)律的應(yīng)用利用剪力圖和彎矩圖的規(guī)律可簡(jiǎn)單而方便的畫(huà)出梁的內(nèi)力圖，其步驟和方法如下：（1）根據(jù)梁所受外荷載情況將梁分為若干段，并判斷每段的剪力圖和彎矩圖的的形狀，應(yīng)注意各段梁只能有一項(xiàng)荷載。（2）計(jì)算每一段梁兩端的剪力值和彎矩值（有些可直接據(jù)規(guī)律判斷出來(lái)的不必計(jì)算），逐段畫(huà)出剪力圖和彎矩圖。畫(huà)內(nèi)力圖時(shí)，一般是從左往右畫(huà)。10.4簡(jiǎn)捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖例10－7畫(huà)出圖示簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力圖。解：(1)求支座反力：根據(jù)梁的平衡條件，可求得

FAy=5kN(向上)

FBy=15kN(向上)

10.4簡(jiǎn)捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖（2）畫(huà)剪力圖。將梁按荷載分布情況分為AC、CD、DB段,分別畫(huà)每一段的剪力圖。AC段、CD段、DB段是無(wú)荷載區(qū)段,剪力圖為平直線(xiàn)。在AC段內(nèi)FSAC=FAy=5kN,所以AC段的剪力圖是在x軸上方的一條平直線(xiàn),經(jīng)過(guò)集中力作用處C時(shí),按集中力的方向向下突變20kN過(guò)渡到C偏右截面,且FSCD=FAy－20=5－20=－15kN,CD段剪力圖是在x軸下方的一條平直線(xiàn),經(jīng)過(guò)集中力偶作用處D無(wú)變化,到B截面時(shí)按FBy的方向向上突變15kN。10.4簡(jiǎn)捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖

(3)畫(huà)彎矩圖。AC段剪力圖是在x軸上方的一條平行線(xiàn),所以彎矩圖是一條往右下斜的直線(xiàn),確定兩點(diǎn)的彎矩值，MA=0，MC=10kN·m得AC段的彎矩圖線(xiàn)。在C截面處有集中力作用,彎矩圖產(chǎn)生轉(zhuǎn)折,到CD段,因剪力圖是在x軸下方的一條平行直線(xiàn),所以彎矩圖是一條上斜直線(xiàn),確定MDC=-20kN·m,畫(huà)出CD段的彎矩圖。經(jīng)過(guò)D截面處下突50kN·m,則MDB=30kN·m,又MB＝0,連接MDB、MB,畫(huà)出DB段的彎矩圖，如圖。10.4簡(jiǎn)捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖例10－8繪制圖示外伸梁的內(nèi)力圖。解：(1)求支座反力：根據(jù)梁的平衡條件，可求得FAy=4.75kN(向上)FBy=11.25kN(向上)

10.4簡(jiǎn)捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖（2）畫(huà)剪力圖：AC段為向下的均布線(xiàn)荷載,所以剪力圖是一條往右下斜的直線(xiàn),算出該段兩端剪力值FSAC=4.75kN

,FSCA=－3.25kN

,可畫(huà)得剪力圖。CD段剪力圖是在x軸下方的一條平行線(xiàn),經(jīng)過(guò)集中力偶作用處D時(shí),剪力圖無(wú)變化,到B截面處按FBy的方向向上突變11.25kN過(guò)渡到B偏右截面,且FSBE=8kN。BE段的剪力圖是在x軸上方的平行線(xiàn),在E處按集中力的方向向下突變8kN。10.4簡(jiǎn)捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖（3）畫(huà)彎矩圖

AC段作用有向下的均布線(xiàn)荷載,所以彎矩圖為向下凸拋物線(xiàn).從剪力圖可看出該段彎矩圖有極值,求出該段兩端的彎矩值及極值即可畫(huà)出彎矩圖.MAC=0,MCA=3kN·m,根據(jù)切力圖,FS=0發(fā)生在x=2.375m處,此時(shí)有MACmax=5.64kN·m;CD段的剪力圖是在x軸下方的平行線(xiàn),所以彎矩圖是一條往右上斜直線(xiàn),求出D偏左截面的彎矩值MDC=－3.5kN·m,可得CD段的彎矩圖線(xiàn).經(jīng)過(guò)D截面時(shí),因有力偶矩為逆時(shí)針?lè)较虻募辛ε甲饔?彎矩圖往右向上突變6kN·m過(guò)渡到D偏右截面,所以MDB=－9.5kN·m,又MB=－16kN·m,ME=0,所以DB段的彎矩圖是上斜直線(xiàn),BE段是下斜直線(xiàn)。10.4簡(jiǎn)捷法繪制梁的剪力圖與彎矩圖如圖。10.9梁的變形10.9梁的變形10.9梁的變形一、梁彎曲變形的概念梁在外力作用下會(huì)產(chǎn)生變形，為了滿(mǎn)足使用要求，工程上要求梁的變形不超過(guò)許用的范圍，即要有足夠的剛度。如圖懸臂梁，取直角坐標(biāo)系xAy，x軸向右為正，y軸向下為正，xAy平面與梁的縱向?qū)ΨQ(chēng)平面是同一平面。梁受外力作用后，軸線(xiàn)由直線(xiàn)變成一條連續(xù)而光滑的曲線(xiàn)，稱(chēng)為撓曲線(xiàn)，或彈性曲線(xiàn)。10.9梁的變形梁各點(diǎn)的水平位移略去不計(jì)。梁的變形可用下述兩個(gè)位移來(lái)描述。1）梁任一橫截面的形心沿y軸方向的線(xiàn)位移，稱(chēng)為該截面的撓度。用y表示。y以向下為正，其單位是m或mm。2）梁任一橫截面相對(duì)于原來(lái)位置所轉(zhuǎn)過(guò)的角度，稱(chēng)為該截面的轉(zhuǎn)角。用θ表示，θ以順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，其單位是rad。10.9梁的變形梁在變形過(guò)程中，各橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角都隨截面位置x而變化，所以撓度y和轉(zhuǎn)角θ可表示為x的連續(xù)函數(shù)。即：

y=y（x）,θ=θ（x）上面兩式分別稱(chēng)為梁的撓曲線(xiàn)方程和轉(zhuǎn)角方程。由圖可知，在小變形的情況下，梁內(nèi)任一截面的轉(zhuǎn)角θ就等于撓曲線(xiàn)在該截面處的切線(xiàn)的斜率。即因此，只要求出梁的撓曲線(xiàn)方程y=y(x)，就可求得梁任一截面的撓度y和轉(zhuǎn)角θ。

10.9梁的變形二、撓曲線(xiàn)近似微分方程在本章10.6中,已推導(dǎo)出梁在純彎曲時(shí)的曲率公式（10-8）,即如果忽略剪力對(duì)變形的影響，則上式也可以用于梁剪切彎曲的情形。但是彎矩M和相應(yīng)的曲率半徑ρ均隨截面位置而變化，是x的函數(shù)。所以有10.9梁的變形在高等數(shù)學(xué)中，平面曲線(xiàn)的曲率公式為由于梁的變形很小，可以略去上式又可近似地寫(xiě)為10.9梁的變形因此可有：

式中的正負(fù)號(hào)，取決于坐標(biāo)系的選擇和彎矩正負(fù)號(hào)的規(guī)定。彎矩M的正負(fù)號(hào)仍按以前規(guī)定，即以使梁下側(cè)受拉為正；坐標(biāo)系y以向下為正。當(dāng)彎矩為正值時(shí)，撓曲線(xiàn)下凸，而為負(fù)值，即彎矩M與恒為異號(hào)。故有微分方程：公式（10－20）即為梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程10.9梁的變形三、用積分法求梁的變形對(duì)于等直梁，抗彎剛度為常數(shù)，對(duì)上面式（10－20）兩邊積分一次，得轉(zhuǎn)角方程為

兩邊再積分一次得撓曲線(xiàn)方程為

10.9梁的變形式中的C、D為積分常數(shù)。積分常數(shù)可利用梁的邊界條件和連續(xù)條件來(lái)確定。所謂邊界條件就是梁在支座處的已知撓度和已知轉(zhuǎn)角。例如懸臂梁在固定端的撓度，轉(zhuǎn)角。簡(jiǎn)支梁在兩個(gè)鉸支座處的撓度都等于零。所謂連續(xù)條件就是梁的撓曲線(xiàn)在梁上各點(diǎn)處都是連續(xù)的。10.9梁的變形例10－19懸臂梁的受力情況如圖所示，EIZ為常數(shù)，試求梁最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。解：（1）取圖示坐標(biāo)系，列彎矩方程

M(x)=－F(l－x)

（0＜x≤l）(2)寫(xiě)出撓曲線(xiàn)近似微分方程10.9梁的變形將上式積分一次得積分兩次得（3）確定積分常數(shù)。根據(jù)邊界條件：

x=0時(shí)，yA=0，

A=0代入上兩式，得：

C=0，D=010.9梁的變形（4）將積分常數(shù)代入，寫(xiě)出撓度方程和轉(zhuǎn)角方程撓度方程為轉(zhuǎn)角方程為（5）計(jì)算梁最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。根據(jù)梁撓曲線(xiàn)的大致形狀可知，最大撓度和最大轉(zhuǎn)角都發(fā)生在梁的自由端B處。當(dāng)x=l時(shí)

10.9梁的變形例10－20如圖所示簡(jiǎn)支梁，EIZ為常數(shù)，寫(xiě)出梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程。解：（1）求支座反力10.9梁的變形（2）分段列彎矩方程AC段：

(0≤x1≤a)CB段：

(a≤x2≤l)10.9梁的變形(3)寫(xiě)出各段的撓曲線(xiàn)近似微分方程并積分AC段的撓曲線(xiàn)近似微分方程并積分：

①

②10.9梁的變形CB段的撓曲線(xiàn)近似微分方程并積分：

③

④

10.9梁的變形（4）確定積分常數(shù)邊界條件：

x1=0時(shí)，y1=0；x1=l時(shí)，y2=0連續(xù)條件：

x1=x2=a時(shí)，

1=

2，y1=y2

將邊界條件和連續(xù)條件代入式①、②、③、④得10.9梁的變形(5)寫(xiě)出各段的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程

AC段：CB段：10.9梁的變形

四、疊加法求梁的變形梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程是在小變形、材料服從虎克定律的條件下導(dǎo)出的,其撓度和轉(zhuǎn)角與外荷載成線(xiàn)性關(guān)系,因此在求解變形時(shí),也可采用疊加法。當(dāng)梁同時(shí)作用幾種荷載時(shí),可以先分別求出每種簡(jiǎn)單荷載單獨(dú)作用下梁的撓度或轉(zhuǎn)角,然后進(jìn)行疊加,即得幾種荷載共同作用下的撓度或轉(zhuǎn)角,這種方法稱(chēng)為疊加法。為方便計(jì)算，將在幾種常見(jiàn)簡(jiǎn)單荷載作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角列于表10－3。10.9梁的變形例10－21如圖所示懸臂梁，EIz為常數(shù)，同時(shí)受到均布荷載q和集中荷載F的作用，試用疊加法計(jì)算梁的最大撓度。10.9梁的變形解：由表10－1查得，懸臂梁在均布荷載q作用下自由端B有最大撓度,其值為懸臂梁在集中力F作用下自由端B有最大撓度，其值為因此，在荷載q和P共同作用下，自由端B處有最大撓度，其值為10.9梁的變形例10－22簡(jiǎn)支梁受荷情況如圖所示,已知F1=F2=F，抗彎剛度EIz為常數(shù)。試用疊加法計(jì)算梁跨中截面的撓度與轉(zhuǎn)角。解：查表10－1得，梁在F1單獨(dú)作用下，跨中的撓度和轉(zhuǎn)角分別為10.9梁的變形梁在F2單獨(dú)作用下，跨中撓度和轉(zhuǎn)角分別為10.9梁的變形所以，梁在F1和F2共同作用下，跨中撓度和轉(zhuǎn)角分別為10.7梁的合理截面形狀10.7梁的合理截面形狀10.7梁的合理截面形狀【引言】一般情況下，梁受彎曲時(shí)，其強(qiáng)度主要取決于梁的正應(yīng)力強(qiáng)度，即由強(qiáng)度條件可知，當(dāng)梁的最大彎矩和材料確定后，梁的強(qiáng)度只與抗彎截面系數(shù)Wz有關(guān)?？箯澖孛嫦禂?shù)越大，最大正應(yīng)力就越小，梁的強(qiáng)度就越高。加大截面尺寸可以增大抗彎截面系數(shù)，但這會(huì)增加工程造價(jià)。所以應(yīng)該在材料用量（截面A）一定的情況下，使抗彎截面系數(shù)Wz盡可能增大，這就要選擇合理的截面形狀。10.7梁的合理截面形狀一、根據(jù)抗彎截面系數(shù)與截面面積的比值選擇截面合理的截面形狀應(yīng)該是在截面面積相同的情況下具有較大的抗彎截面系數(shù)。例如在面積相同的情況下，工字型截面比矩形截面合理；矩形截面豎放要比橫放合理；圓環(huán)形截面要比圓形截面合理。梁在彎曲時(shí)的正應(yīng)力沿橫截面高度呈線(xiàn)性分布，最大值分布在離中性軸最遠(yuǎn)的邊緣各點(diǎn)，由于靠近梁截面中性軸附近的正應(yīng)力很小，因此這部分材料沒(méi)有得到充分的利用。10.7梁的合理截面形狀為了合理利用材料，應(yīng)將大部分材料布置在距中性軸較遠(yuǎn)處，以提高梁的抗彎能力和材料的利用率，這樣的截面是合理的。所以，在工程上常采用工字形、圓環(huán)形、箱形等截面形狀。建筑中常用的空心板也是根據(jù)這個(gè)道理制作的。10.7梁的合理截面形狀二、根據(jù)材料的特性選擇截面對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度相同的材料，一般采用對(duì)稱(chēng)于中性軸的橫截面（如矩形、工字形、圓形等截面），使上、下邊緣的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力相等，同時(shí)達(dá)到材料的許用應(yīng)力值比較合理。對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度不相等的材料，最好選擇不對(duì)稱(chēng)于中性軸的橫截面（如T形、平放置的槽形等截面），使得截面受拉、受壓的邊緣到中性軸的距離與材料的抗拉、抗壓的許用應(yīng)力成正比，使截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力。10.7梁的合理截面形狀即實(shí)現(xiàn)或如圖。10.7梁的合理截面形狀三、采用變截面梁等截面梁的強(qiáng)度計(jì)算，都是根據(jù)危險(xiǎn)截面上的最大彎矩值來(lái)確定截面尺寸的，但是梁內(nèi)其它截面的彎矩值都小于最大彎矩值，這些截面處的材料都未能得到充分利用。為了充分利用材料，應(yīng)當(dāng)在彎矩較大處采用較大的橫截面，而在彎矩較小處采用較小的橫截面。這種根據(jù)彎矩大小使截面發(fā)生變化的梁稱(chēng)為變截面梁。若使每一橫截面上的最大正應(yīng)力都恰好等于材料的許用應(yīng)力，這樣的梁稱(chēng)為等強(qiáng)度梁。顯然,等強(qiáng)度梁是最合理的構(gòu)造形式.但是,由于等強(qiáng)度梁外形復(fù)雜,加工制造較困難,所以工程上一般只采用近似等強(qiáng)度梁的變截面梁.如階梯梁既符合結(jié)構(gòu)上的要求,在強(qiáng)度上也是合理的.房屋建筑中陽(yáng)臺(tái)及雨篷的挑梁就是一種變截面梁。10.8梁的剪應(yīng)力與剪應(yīng)力強(qiáng)度10.8梁的剪應(yīng)力與剪應(yīng)力強(qiáng)度10.8梁的剪應(yīng)力與剪應(yīng)力強(qiáng)度通過(guò)前面分析,對(duì)梁橫截面上的正應(yīng)力及其強(qiáng)度,有了全面的了解.本節(jié)將簡(jiǎn)單（定性地）介紹梁受彎時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度一、矩形截面梁的剪應(yīng)力當(dāng)矩形截面的高度h大于寬度b時(shí)，截面上的剪應(yīng)力情況如下（推得過(guò)程略）：1）剪應(yīng)力的方向與剪力的方向一致。2）剪應(yīng)力的分布規(guī)律：剪應(yīng)力沿截面寬度均勻分布，沿截面高度按拋物線(xiàn)規(guī)律分布，如圖3）剪應(yīng)力的計(jì)算式10.8梁的剪應(yīng)力與剪應(yīng)力強(qiáng)度式中符號(hào)意義：

——橫截面上任一點(diǎn)處的剪應(yīng)力（N/m2）FS——橫截面上的剪力（N）；IZ——橫截面對(duì)中性軸的慣性矩（m4）；b——所求點(diǎn)處橫截面的寬度（m）；SZ?——所求點(diǎn)處水平線(xiàn)以下（或以上）部分面積對(duì)中性軸的靜矩（m3）。10.8梁的剪應(yīng)力與剪應(yīng)力強(qiáng)度4）最大剪應(yīng)力。矩形截面的最大剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸各點(diǎn)上，是截面平均剪應(yīng)力的1.5倍。其計(jì)算式為式中符號(hào)意義：SZmax?——中性軸以上（或以下）部分面積對(duì)中性軸的靜矩（m3）A——矩形截面面積（m2）10.8梁的剪應(yīng)力與剪應(yīng)力強(qiáng)度二、其他形狀截面梁的剪應(yīng)力1．工字形截面梁的剪應(yīng)力如圖所示，工字形截面由腹板和翼緣兩部分組成，翼緣上的剪應(yīng)力情況較復(fù)雜，其數(shù)值又較小，一般可不必計(jì)算。而腹板上的剪應(yīng)力其方向和分布規(guī)律與矩形截面相同，即沿腹板寬度均勻分布，沿腹板高度按拋物線(xiàn)規(guī)律分布。最大剪應(yīng)力出現(xiàn)在中性軸各點(diǎn)，在翼緣和腹板的交界處也存有較大的剪應(yīng)力。其計(jì)算公式為10.8梁的剪應(yīng)力與剪應(yīng)力強(qiáng)度工字形截面梁的剪應(yīng)力計(jì)算公式式中：

IZ——整個(gè)工字形截面對(duì)中性軸的慣性矩（m4）SZ?——所求點(diǎn)處水平線(xiàn)以下（或以上）至邊緣部分面積對(duì)中性軸的靜矩（m3）；d——所求點(diǎn)處腹板的寬度（m）10.8梁的剪應(yīng)力與剪應(yīng)力強(qiáng)度工字形截面梁的最大剪應(yīng)力的計(jì)算式為式中：SZmax?——中性軸以下（或以上）至邊緣部分面積對(duì)中性軸的靜矩（m3）。工程上，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，也可近視地認(rèn)為，工字形截面橫截面上的剪力，由橫截面的腹板部分承擔(dān)，在橫截面的腹板部分均勻分布。10.8梁的剪應(yīng)力與剪應(yīng)力強(qiáng)度2．T形截面梁的剪應(yīng)力如圖，T形截面也是由翼緣和腹板組成。翼緣部分剪應(yīng)力較復(fù)雜，且數(shù)值小，一般不作分析。腹板部分剪應(yīng)力的分布規(guī)律、計(jì)算與工字形腹板部分的剪應(yīng)力相同10.8梁的剪應(yīng)力與剪應(yīng)力強(qiáng)度3．圓形截面梁的剪應(yīng)力如圖，圓形截面梁橫截面上的剪應(yīng)力比較復(fù)雜。與中性軸等遠(yuǎn)處各點(diǎn)的剪應(yīng)力方向匯交于該處截面寬度線(xiàn)兩端切線(xiàn)的交點(diǎn)，且與剪力平行的豎向分量沿截面寬度方向均勻分布。最大剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，是截面平均剪應(yīng)力的4/3倍。其計(jì)算式為式中：A——圓截面的面積（m2）FS——截面上的剪力（N）10.8梁的剪應(yīng)力與剪應(yīng)力強(qiáng)度4．圓環(huán)形截面梁的剪應(yīng)力如圖，圓環(huán)形截面上各點(diǎn)處的剪應(yīng)力方向與該處的圓環(huán)切線(xiàn)方向平行，且沿圓環(huán)厚度方向均勻分布，最大剪應(yīng)力也發(fā)生在中性軸上，是截面平均剪應(yīng)力的2倍。其計(jì)算式為

式中：A——圓環(huán)形截面面積（m2）。10.8梁的剪應(yīng)力與剪應(yīng)力強(qiáng)度例10－16矩形截面簡(jiǎn)支梁受均布荷載q作用。已知荷載q=4kN/m,梁的跨度l=3m,高h(yuǎn)=180mm,寬b=120mm。計(jì)算C截面上a、b、c各點(diǎn)的剪應(yīng)力及全梁的最大剪應(yīng)力解：（1）畫(huà)出梁的剪力圖。

FSC=2kN，

FSmax=6

kN10.8梁的剪應(yīng)力與剪應(yīng)力強(qiáng)度（2）計(jì)算C截面各點(diǎn)的剪應(yīng)力（FSC=2kN）10.8梁的剪應(yīng)力與剪應(yīng)力強(qiáng)度(3)計(jì)算梁內(nèi)最大剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力發(fā)生在A偏右、B偏左截面的中性軸各點(diǎn)上，其值為10.8梁的剪應(yīng)力與剪應(yīng)力強(qiáng)度三、剪應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算梁內(nèi)最大剪應(yīng)力發(fā)生在剪力最大的截面的中性軸上，梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件為最大剪應(yīng)力不超過(guò)材料的許用剪應(yīng)力，即：

max≤[

]（10－19）【注】梁的強(qiáng)度必須同時(shí)滿(mǎn)足正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。10.8梁的剪應(yīng)力與剪應(yīng)力強(qiáng)度在梁的強(qiáng)度計(jì)算中，正應(yīng)力強(qiáng)度起著主要作用，但在以下幾種情況下也需作剪應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算。1）跨度與橫截面高度比值較小的粗短梁，或在支座附近作用有較大的集中荷載，使梁內(nèi)出現(xiàn)彎矩較小而剪力很大的情況。2）木梁。梁在剪切彎曲時(shí)，橫截面中性軸上有較大的剪應(yīng)力，根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，梁在中性層上將產(chǎn)生與截面中性軸相等的剪應(yīng)力。由于木梁在順紋方向的抗剪能力較差，有可能在中性層上發(fā)生剪切破壞。3）對(duì)于組合截面鋼梁，當(dāng)橫截面的腹板厚度與高度之比小于型鋼截面的相應(yīng)比值時(shí)，需校核剪應(yīng)力強(qiáng)度。10.8梁的剪應(yīng)力與剪應(yīng)力強(qiáng)度例10－17簡(jiǎn)支木梁的受力情況如圖所示，已知材料的許用正應(yīng)力[

]=12MPa，許用剪應(yīng)力[

]=1.2MPa。試校核梁的強(qiáng)度。解（1）畫(huà)梁的剪力圖和彎矩圖，如圖。10.8梁的剪應(yīng)力與剪應(yīng)力強(qiáng)度由圖可知Mmax=11.25kN·m，F(xiàn)Smax=9

kN（2）校核正應(yīng)力強(qiáng)度。最大正應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的上、下邊緣處。梁滿(mǎn)足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。（3）校核剪應(yīng)力強(qiáng)度。最大剪應(yīng)力發(fā)生在A偏右、B偏左截面的中性軸上?？梢?jiàn)梁也滿(mǎn)足剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。

10.8梁的剪應(yīng)力與剪應(yīng)力強(qiáng)度例10－18如圖所示的工字形截面外伸梁,已知材料的許用應(yīng)力[

]=160MPa，[

]=100MPa。試選擇工字鋼的型號(hào)。解：（1）畫(huà)梁的彎矩圖和剪力圖。由圖可知FSmax=24

kN

Mmax=48kN·m10.8梁的剪應(yīng)力與剪應(yīng)力強(qiáng)度（2）按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇工字鋼型號(hào)查型鋼表，選用22a工字鋼，其抗彎截面系數(shù)WZ=309cm3，最接近而又大于300cm3。（3）校核剪應(yīng)力強(qiáng)度按型號(hào)22a查得有關(guān)數(shù)據(jù)為所以，可見(jiàn)滿(mǎn)足剪應(yīng)力強(qiáng)度條件，因此選用22a工字鋼。10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度10.6梁橫截面上的正應(yīng)力

與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度梁在彎曲時(shí)橫截面上一般同時(shí)有剪力FS和彎矩M兩種內(nèi)力。剪力引起剪應(yīng)力，彎矩引起彎曲正應(yīng)力。下面先研究梁在彎矩作用下引起的彎曲正應(yīng)力及正應(yīng)力強(qiáng)度一、梁在純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力如圖所示簡(jiǎn)支梁的CD段，其橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力，這樣的彎曲稱(chēng)為純彎曲。AC、DB段橫截面上既有彎矩又有剪力，這種彎曲稱(chēng)為剪切彎曲。10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化，和研究圓軸扭轉(zhuǎn)變形一樣，我們?cè)诜治隽杭儚澢鷷r(shí)橫截面上的正應(yīng)力時(shí)，從變形的幾何關(guān)系、物理關(guān)系、靜力平衡關(guān)系三方面來(lái)分析。10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度1．變形的幾何關(guān)系取具有豎向?qū)ΨQ(chēng)軸的等直截面梁（以矩形截面梁為例），在梁受彎曲前先在梁的表面畫(huà)上許多與軸線(xiàn)平行的縱向直線(xiàn)和與軸線(xiàn)垂直的橫向直線(xiàn)，然后在梁的兩端施加力偶M，使梁產(chǎn)生純彎曲，此時(shí)可以看到如下現(xiàn)象：10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度1）所有的縱向直線(xiàn)受彎變形后，都被彎成向下凸的曲線(xiàn)，其中靠近凹面的縱向直線(xiàn)縮短了，而靠近凸面的縱向直線(xiàn)伸長(zhǎng)了。2）所有的橫向直線(xiàn)受彎變形后仍保持為直線(xiàn),可是相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè)角度,其中左邊一側(cè)的橫向直線(xiàn)順時(shí)針轉(zhuǎn),而右邊一側(cè)的橫向直線(xiàn)逆時(shí)針轉(zhuǎn),但各橫向線(xiàn)仍與彎成曲線(xiàn)的縱向線(xiàn)垂直10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度根據(jù)所看到的表面現(xiàn)象，由表及里地推測(cè)梁的內(nèi)部變形，作出兩個(gè)假設(shè)：（1）平面假設(shè)：梁的橫截面在彎曲變形前為平面，在受彎變形后仍保持為平面，且垂直于彎成曲線(xiàn)的軸線(xiàn)。（2）單向受力假設(shè)：將梁看成由無(wú)數(shù)根縱向纖維組成，各纖維只受到軸向拉伸或壓縮，不存在相互擠壓現(xiàn)象。10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度根據(jù)以上假設(shè),靠近凹面的縱向纖維縮短了,靠近凸面的縱向纖維伸長(zhǎng)了。由于變形具有連續(xù)性,因此,縱向纖維從縮短到伸長(zhǎng),必有一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短,這層纖維稱(chēng)為中性層。中性層與橫截面的交線(xiàn)稱(chēng)為中性軸。中性軸將橫截面分為受拉區(qū)域和受壓區(qū)域。10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度從純彎曲梁中取出一微段dx，如左上圖所示。左下圖為梁的橫截面，設(shè)y軸為縱向?qū)ΨQ(chēng)軸，z軸為中性軸。右圖為該微段純彎曲變形后的情況。其中O1O2為中性層，O為兩橫截面mm和nn旋轉(zhuǎn)后的交點(diǎn)，ρ為中性層的曲率半徑，兩個(gè)截面間變形后的夾角是d

，現(xiàn)求距中性層為y的任意一層纖維ab的線(xiàn)應(yīng)變。10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度纖維ab的原長(zhǎng)為變形后的長(zhǎng)為所以纖維的線(xiàn)應(yīng)變?yōu)?0.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度距中性層為y的任意一層纖維ab的線(xiàn)應(yīng)變?yōu)閷?duì)于長(zhǎng)度、材料與截面都確定的梁來(lái)說(shuō)，ρ必是常數(shù)。所以上式表明，梁橫截面上任意一點(diǎn)處的縱向線(xiàn)應(yīng)變，與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比。10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度2.物理關(guān)系根據(jù)縱向纖維的單向受力假設(shè)，當(dāng)材料在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)變形時(shí)，根據(jù)胡克定理可得由于對(duì)長(zhǎng)度、材料與截面都確定的梁，E和ρ是常數(shù)，因此上式表明：橫截面上任意一點(diǎn)處的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比。即彎曲正應(yīng)力沿梁高度按線(xiàn)性規(guī)律分布，如圖。10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度3.靜力平衡關(guān)系上面式（10－5）只給出了正應(yīng)力的分布規(guī)律，但因中性軸的位置尚未確定，曲率半徑的大小也不知道，故不能利用此式求出正應(yīng)力。需利用靜力平衡關(guān)系進(jìn)一步導(dǎo)出正應(yīng)力的計(jì)算式。在橫截面上K點(diǎn)處取一微面積dA，K點(diǎn)到中性軸的距離為y，K點(diǎn)處的正應(yīng)力為σ，則各微面積上的法向分布內(nèi)力σdA組成一空間平行力系，如圖。10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度因?yàn)樵跈M截面上無(wú)軸力，只有彎矩，由此得

將式（10－5）代入式（10－6）得即：10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度上式表明截面對(duì)中性軸的靜矩等于零。由此可知，中性軸z必然通過(guò)橫截面的形心。將(10－5)式代入(10－7)式得式中是橫截面對(duì)中性軸的慣性矩（見(jiàn)）。于是得梁彎曲時(shí)中性層的曲率表達(dá)式為10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度式（10－8）是研究梁彎曲變形的基本公式。式中ρ表示梁的彎曲程度。EIZ表示梁抵抗彎曲變形的能力，稱(chēng)為梁的抗彎剛度。將此式代入式（10－5）得式（10－9）即為梁純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算式。它表明：梁橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力σ與截面上的彎矩M和該點(diǎn)到中性軸的距離y成正比，而與截面對(duì)中性軸的慣性矩成IZ反比。在計(jì)算時(shí)，彎矩M和需求點(diǎn)到中性軸的距離y按正值代入公式。而正應(yīng)力的性質(zhì)（正負(fù)）可根據(jù)彎矩及所求點(diǎn)的位置來(lái)判斷。

10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度歸納有關(guān)主要內(nèi)容：1.幾何關(guān)系：2.物理關(guān)系：3.相關(guān)結(jié)論：中性軸z必然通過(guò)橫截面的形心10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度應(yīng)注意：正應(yīng)力公式的適用條件如下：1）梁橫截面上的最大正應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限2）公式（10－9）雖然是根據(jù)梁的純彎曲推導(dǎo)出來(lái)的，對(duì)于同時(shí)受剪力和彎矩作用的梁，當(dāng)梁的跨度l與橫截面的高度h之比l

/h

＞5時(shí)，剪應(yīng)力的存在對(duì)正應(yīng)力的影響很小，可忽略不計(jì)，所以此式也可用于計(jì)算同時(shí)受剪力和彎矩作用的梁橫截面上的正應(yīng)力。10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度二、梁彎曲時(shí)的最大正應(yīng)力對(duì)于等直梁而言，截面對(duì)中性軸的慣性矩Iz不變，所以彎矩M越大正應(yīng)力就越大，y越大正應(yīng)力也越大。如果截面的中性軸同時(shí)又是對(duì)稱(chēng)軸（例如矩形、工字形等），則最大正應(yīng)力發(fā)生在絕對(duì)值最大的彎矩所在的截面，且離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)上，當(dāng)梁受橫力彎曲時(shí)，上面公式仍然適用，所以

式中：WZ=IZ/ymax稱(chēng)為抗彎截面系數(shù)。如果截面的中性軸不是截面的對(duì)稱(chēng)軸（例如T形截面），則最大正應(yīng)力可能發(fā)生在最大正彎矩或最大負(fù)彎矩所在的截面。10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度注意兩種截面形式：（1）對(duì)稱(chēng)截面：

y1max=y2max（2）非對(duì)稱(chēng)截面：

y1max＞y2max10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度例10－13，如圖所示，矩形截面簡(jiǎn)支梁受均布荷載q作用。已知q

=4kN/m，梁的跨度l=3m，高h(yuǎn)=180mm，寬b=120mm。試求：（1）C截面上a、b、c三點(diǎn)處的應(yīng)力。（2）梁內(nèi)最大正應(yīng)力及其所在位置。10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度解：（1）求支坐反力。

FAy=FBy=ql/2=6kN（向上）（2）計(jì)算C截面各點(diǎn)的正應(yīng)力C截面的彎矩：MC=6×1－4×1×0.5=4kN?m截面對(duì)中性軸的慣性矩抗彎截面系數(shù)10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算C截面a、b、c各點(diǎn)的正應(yīng)力(3)計(jì)算梁內(nèi)最大正應(yīng)力：梁的彎矩圖如圖所示，最大彎矩發(fā)生在跨中，其值為：Mmax=ql2/8=4×32/8=4.5kN﹒m，10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度所以，梁內(nèi)最大正應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的上下邊緣處，其中最大拉應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的下邊緣處，最大壓應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的上邊緣處，其值為10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度三、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度為了保證梁能安全正常的工作，必須使梁內(nèi)的最大正應(yīng)力不能超過(guò)材料的許用應(yīng)力，這就是梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件。1.對(duì)于抗拉和抗壓能力相同的塑性材料，其正應(yīng)力的強(qiáng)度條件為2.對(duì)于抗拉和抗壓能力不同的脆性材料，其正應(yīng)力的強(qiáng)度條件分別為10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度利用正應(yīng)力的強(qiáng)度條件，可以解決與強(qiáng)度有關(guān)的三類(lèi)問(wèn)題：強(qiáng)度校核、設(shè)計(jì)截面尺寸和確定許可載荷。例10－14外伸梁的受力情況及其截面尺寸如圖所示，材料的許用拉應(yīng)力[

t

]=30MPa，許用壓應(yīng)力[

c]=70MPa。試校核梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度解：（1）求支座反力：根據(jù)梁的平衡，求得FAy=10kN，F(xiàn)By=20kN（2）計(jì)算截面幾何性質(zhì)如圖所示，設(shè)參考軸z，截面形心C的位置為10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度截面對(duì)中性軸z的慣性矩為（3）畫(huà)彎矩圖，計(jì)算梁內(nèi)最大拉、壓應(yīng)力。梁的彎矩圖如圖所示。10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度由于中性軸z不是截面的對(duì)稱(chēng)軸，所以最大正彎矩所在的截面C和最大負(fù)彎矩所在的截面B都可能存在最大拉、壓應(yīng)力。計(jì)算C截面：MC=10kN?m

其分布如圖所示。10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算B截面：MB=－20kN?m其分布如圖所示。

10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度如圖，可見(jiàn)梁內(nèi)最大拉應(yīng)力發(fā)生在C截面的下邊緣，其值為

tmax=34.49MPa，最大壓應(yīng)力發(fā)生在B截面的下邊緣，其值為

cmax=

68.98MPa。（3）校核強(qiáng)度。因?yàn)?/p>

tmax=34.49MPa＞[

t]，所以C截面的抗拉強(qiáng)度不夠，梁將會(huì)沿C截面（下邊緣開(kāi)始）發(fā)生破壞。10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度例10－15如圖所示工字形截面外伸梁，已知材料的許用應(yīng)力[

t]

=140MPa，試選擇工字型號(hào)。解：畫(huà)彎矩圖，根據(jù)彎矩圖可知梁的最大彎矩：Mmax=10kN·m。

10.6梁橫截面上的正應(yīng)力與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度根據(jù)強(qiáng)度條件計(jì)算梁的抗彎截面系數(shù)根據(jù)WZ值在型鋼表中查得型號(hào)為12.6工字鋼，其WZ

=77.5cm3，與71.43cm3相近，故選擇型鋼的型號(hào)為12.6工字鋼。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩10.2平面彎曲時(shí)

梁的內(nèi)力——力和彎矩10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩一、梁的內(nèi)力——剪力和彎矩若所有的橫向外力和外力偶都作用在梁的縱向?qū)ΨQ(chēng)平面內(nèi)，在求得支座反力之后，利用截面法，由隔離體的平衡條件，可求得梁任一橫截面上的內(nèi)力?，F(xiàn)以圖示的簡(jiǎn)支梁為例來(lái)說(shuō)明求梁橫截面上內(nèi)力的方法。簡(jiǎn)支梁跨中受一集中力F的作用處于平衡狀態(tài)，梁在集中力F和A、B處支座反力作用下產(chǎn)生平面彎曲變形，現(xiàn)求距A端x處m-m橫截面上的內(nèi)力。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩1.計(jì)算支座反力：由于梁在荷載和支反力的共同作用下處于平衡，因而可根據(jù)梁整體的平衡條件，求得支反力。根據(jù)靜力平衡條件列方程求解10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩2.用截面法分析內(nèi)力：為研究任一橫截面m-m上的內(nèi)力，假想將梁沿m-m截面分為左、右兩半部分，由于整體平衡，所以左、右半部分也處于平衡。取左半部為研究對(duì)象，如圖。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩分析該研究對(duì)象，由平衡條件：∑Fy=0，∑MO(F)=0（O為m-m截面的形心）可判斷m-m截面上必存在兩種內(nèi)力素：1）作用在縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)，與橫截面相切的內(nèi)力稱(chēng)為剪力（或稱(chēng)切力），用FS表示，剪力實(shí)際上是該截面上切向分布內(nèi)力的合力，剪力的常用單位是N或kN。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩【由平衡條件∑Fy=0，∑MO(F)=0（O為m-m截面的形心）可判斷m-m截面上必存在兩種內(nèi)力素】2）作用面與橫截面垂直的內(nèi)力偶矩稱(chēng)為彎矩，用M表示，橫截面上的彎矩實(shí)際上是該截面上法向分布內(nèi)力的合力偶矩，彎矩常用單位為N·m或kN·m。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩m-m截面上的剪力和彎矩，可利用左半部的平衡方程求得根據(jù)∑Fy=0，得：FA－Fs=0

所以：∑MO(F)=0，得：－FAx+M=0所以：10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩如果取梁得右半部為研究對(duì)象（如圖），用同樣方法亦可求得截面上的剪力和彎矩。但必須注意，分別以左半部和右半部為研究對(duì)象求出的剪力FS和彎矩M數(shù)值是相等的，而方向和轉(zhuǎn)向則是相反的，因?yàn)樗鼈兪亲饔昧头醋饔昧Φ年P(guān)系。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩二、剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)為使不論從梁的左半部、還是從梁的右半部，求得同一截面上的內(nèi)力FS和M不僅大小相等，而且具有相同的正負(fù)號(hào)，并由正負(fù)號(hào)反映出梁的變形情況，對(duì)梁的剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)，應(yīng)作統(tǒng)一規(guī)定。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩（1）剪力的正負(fù)號(hào)：當(dāng)截面上的剪力FS使所考慮的研究對(duì)象，可能發(fā)生左邊向上、右邊向下的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，即有順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)取正號(hào)；反之取負(fù)號(hào)（如圖）。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩（2）彎矩的正負(fù)號(hào)：截面上的彎矩使所考慮的研究對(duì)象產(chǎn)生上凹下凸的彎曲變形，亦即梁的上部受壓，下部受拉時(shí)，彎矩為正；反之為負(fù)（如圖）10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩如何理解梁在彎矩作用下，引起上部受壓、下部受拉這種變形？以彈簧受彎觀察現(xiàn)象：下面縫變寬，上面縫變窄。思考縫變寬與縫變窄原因？變寬受拉伸長(zhǎng)；變窄受壓縮短。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩三、用截面法計(jì)算指定截面內(nèi)力用截面法計(jì)算指定截面的剪力和彎矩的步驟和方法如下1）計(jì)算支座反力。2）用假想的截面在欲求內(nèi)力處將梁切成左、右兩部分，取其中一部分為研究對(duì)象。3）畫(huà)研究對(duì)象的受力圖。畫(huà)研究對(duì)象的受力圖時(shí)，應(yīng)注意，對(duì)于截面上未知的剪力和彎矩，均假設(shè)為正向。4）建立平衡方程，求解剪力和彎矩。計(jì)算出的內(nèi)力值可能為正值或負(fù)值，當(dāng)內(nèi)力值為正值時(shí)，說(shuō)明內(nèi)力的實(shí)際方向與假設(shè)方向一致，內(nèi)力為正剪力或正彎矩；當(dāng)內(nèi)力值為負(fù)值時(shí)，說(shuō)明內(nèi)力的實(shí)際方向與假設(shè)的方向相反，內(nèi)力為負(fù)剪力或負(fù)彎矩。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩例10－1.簡(jiǎn)支梁的荷載作用如圖所示，已求得其支座反力。試用截面法求圖示簡(jiǎn)支梁D、E兩處截面的內(nèi)力。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩解：（1）先求D處的內(nèi)力：由于梁上D處有一個(gè)集中力作用，所以應(yīng)分為左右截面分別求解。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩在D點(diǎn)以左作截面將梁截開(kāi)，取左邊一半為研究對(duì)象進(jìn)行研究，其受力圖如圖10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩在D點(diǎn)以右作截面將梁截開(kāi)，仍取左邊一半為研究對(duì)象進(jìn)行研究，如圖（多一12kN的力）10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩（2）求E處的內(nèi)力：由于梁上E處有一個(gè)集中力偶作用，所以同樣應(yīng)分為左右截面分別求解。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩在E點(diǎn)以左作截面將梁截開(kāi)，取右邊一半為研究對(duì)象進(jìn)行研究，其受力圖如圖10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩在E點(diǎn)以右作截面將梁截開(kāi)，仍取右邊一半為研究對(duì)象進(jìn)行研究，如圖（少了一個(gè)16kNm的力偶）計(jì)算結(jié)果：10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩四、梁上任一截面剪力和彎矩的計(jì)算規(guī)律從截面法計(jì)算內(nèi)力中，可歸納出計(jì)算剪力和彎矩的規(guī)律1．計(jì)算剪力的規(guī)律：梁上任一截面上的剪力,等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有豎向外力（包括支座反力）的代數(shù)和。外力的正負(fù)號(hào)：外力對(duì)所求截面產(chǎn)生順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，取正號(hào)；反之取負(fù)號(hào)?？捎洖椤绊樲D(zhuǎn)剪力正”,也即當(dāng)從截面的左側(cè)計(jì)算時(shí)，向上的外力外正；當(dāng)從截面的右側(cè)計(jì)算時(shí)，向下的外力為正10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩根據(jù)梁上剪力的計(jì)算規(guī)律，正確求剪力的過(guò)程（分解動(dòng)作）（1）先根據(jù)平衡條件正確求出支座反力；（2）確定（找到）需求剪力的截面位置；（3）確定從截面的哪一側(cè)進(jìn)行計(jì)算（簡(jiǎn)單一側(cè)）；（4）觀察該一側(cè)有幾個(gè)橫向外力（包括支反力）；（5）判定這些橫向外力（包括支反力）相對(duì)于截面的轉(zhuǎn)向（順時(shí)針為正）；（6）求出這些橫向外力（包括支反力）的代數(shù)和。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩2．計(jì)算彎矩的規(guī)律梁任一橫截面上的彎矩，在數(shù)值上等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有外力（包括支座反力）對(duì)該截面形心之矩的代數(shù)和外力對(duì)截面形心之矩的正負(fù)號(hào)：將所求截面固定,另一端自由,外力使所考慮的梁段產(chǎn)生向下凸的變形時(shí),取正號(hào)；反之取負(fù)號(hào),可記為“下凸彎矩正”。10.2平面彎曲時(shí)梁的內(nèi)力―剪力和彎矩也即當(dāng)從截面的左側(cè)計(jì)算時(shí)，左邊梁上向上的外力及順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正彎矩；當(dāng)從截