江西省撫州市臨川第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月考試數(shù)學(xué)試題

臨川一中20232024學(xué)年度高一下學(xué)期考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式得到集合，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合，結(jié)合集合的運(yùn)算得出答案.【詳解】由解得或，則，則，∵，∴，則，所以.故選：A.2.已知甲、乙兩支籃球隊(duì)各6名隊(duì)員某場(chǎng)比賽的得分?jǐn)?shù)據(jù)（單位：分）從小到大排列為如下：甲隊(duì)：7，12，12，20，，31；乙隊(duì)：8，9，19，，25，28.這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為（）A.2和3 B.0和2 C.0和3 D.2和4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)甲乙中位數(shù)相同求得y的值，再根據(jù)平均數(shù)相同即可求得x，即得答案.【詳解】由題意得甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為，而甲的中位數(shù)為，故乙的中位數(shù)為，即，故，故選：C3.已知，，則“”是“”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分必要條件的定義，即可判斷選項(xiàng).詳解】若，則且，即，反過(guò)來(lái)，若，則，但，則，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：C4.一個(gè)表面被涂上紅色的棱長(zhǎng)為ncm（n≥3，n∈N*）的立方體，將其適當(dāng)分割成棱長(zhǎng)為1cm的小立方體，從中任取一塊，則恰好有兩個(gè)面是紅色的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先確定共分割的塊數(shù)，以及滿(mǎn)足條件的塊數(shù)，再求概率.【詳解】由條件可知，共有塊，兩個(gè)面的交界處的中間部分是兩個(gè)面是紅色，每一個(gè)交界處有塊，共有12個(gè)交界，則兩個(gè)面是紅色的有塊，所以概率.故選：B5.已知函數(shù)的大致圖像如圖所示，則函數(shù)的解析式應(yīng)為()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題是選擇題，可采用排除法，根據(jù)函數(shù)的不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)可排除選項(xiàng)D，再根據(jù)函數(shù)定義域是，排除選項(xiàng)A，利用極限思想可排除B，即可得到所求．【詳解】解：如圖，因?yàn)楹瘮?shù)定義域是，排除A選項(xiàng)，當(dāng)，，排除B，因?yàn)椋院瘮?shù)為偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)可知函數(shù)不是偶函數(shù)，故可排除選項(xiàng)D.故選：C．6.已知函數(shù)，若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由分段函數(shù)的定義域要求及所給不等式中的絕對(duì)值進(jìn)行分類(lèi)討論，再借助參變分離進(jìn)行計(jì)算即可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故，即，由隨增大而增大，故，當(dāng)時(shí)，恒成立。當(dāng)時(shí)，，故，即，由隨增大而增大，故，當(dāng)時(shí)，，故，即，由隨增大而減小，故，即，綜上所述，.故選：C.7.若，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得到，，，從而利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析判斷得，，從而得解.【詳解】，，，因?yàn)椋瑒t，所以，即；而，，所以，所以，即；綜上：.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用與比較大小，利用與比較大小，從而得解.8.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)不等式的形式構(gòu)造函數(shù)，然后判斷的奇偶性以及單調(diào)性，即可求解.【詳解】設(shè)函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)，在上均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增.由，得，即，，所以，根據(jù)在上單調(diào)遞增，可得，解得.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件“第一次出現(xiàn)2點(diǎn)”，“第二次的點(diǎn)數(shù)小于5點(diǎn)”，“兩次點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，“兩次點(diǎn)數(shù)之和為9”，則下列說(shuō)法正確的有（）A.與不互斥且相互獨(dú)立 B.與互斥且不相互獨(dú)立C.與互斥且不相互獨(dú)立 D.與不互斥且相互獨(dú)立【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)事件的互斥與獨(dú)立的定義對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【詳解】對(duì)于A：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次與第二次的結(jié)果互不影響，即與相互獨(dú)立；第一次出現(xiàn)2點(diǎn)，第二次點(diǎn)數(shù)小于5點(diǎn)可以同時(shí)發(fā)生，與不互斥；故A正確；對(duì)于B：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次的結(jié)果會(huì)影響兩次點(diǎn)數(shù)之和，即與不相互獨(dú)立；第一次出現(xiàn)2點(diǎn)，則兩次點(diǎn)數(shù)之和最大為8，即與不能同時(shí)發(fā)生，即與互斥，故B正確；對(duì)于C：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第二次的結(jié)果會(huì)影響兩次點(diǎn)數(shù)之和，即與不相互獨(dú)立；若第一次的點(diǎn)數(shù)為5，第二次的點(diǎn)數(shù)4點(diǎn)，則兩次點(diǎn)數(shù)之和為9，即與可以同時(shí)發(fā)生，即與不互斥，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次的結(jié)果不會(huì)影響兩次點(diǎn)數(shù)之和的奇偶，即與相互獨(dú)立；若第一次的點(diǎn)數(shù)為2，第二次的點(diǎn)數(shù)3點(diǎn)，則兩次點(diǎn)數(shù)之和為5是奇數(shù)，即與可以同時(shí)發(fā)生，即與不互斥，故D正確.故選：ABD.10.下列命題中正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.若角是第三象限角，則可能在第三象限C.若且，則為第二象限角D.銳角終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)為，則【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)通過(guò)充分性必要性?xún)煞矫骝?yàn)證；B選項(xiàng)根據(jù)是第三象限角，表示出范圍確定所屬象限；C選項(xiàng)綜合且情況確定所屬象限；D選項(xiàng)求角的正切值，確定銳角.【詳解】A選項(xiàng)：若，則，有充分性；若，則或沒(méi)有必要性.A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：若角是第三象限角，則，則，當(dāng)時(shí)，為第一象限角；時(shí)，為第三象限角；當(dāng)時(shí)，為第四象限角；所以可能在第三象限.B正確；C選項(xiàng)：，則為第二象限或第四象限角；，則為第一象限或第二象限角，同時(shí)滿(mǎn)足上述條件，所以為第二象限角.C正確；D選項(xiàng)：銳角終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，，所以，且為銳角，所以，D正確.故選：BCD11.已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意都滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.是奇函數(shù)C.若，則D.若當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減【答案】ABD【解析】【分析】令即可判斷A；令，求出，再令，即可判斷B；令即可判斷C；由，得，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，令，得，所以，故A正確；令，得，所以，令，得，又，所以，又因?yàn)槎x域?yàn)?，所以函?shù)奇函數(shù)，故B正確；令，得，又，所以，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由，可得，又，，在上任取，不妨設(shè)，，，故在單調(diào)遞減，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于對(duì)和準(zhǔn)確的賦值以及對(duì)單調(diào)性定義計(jì)算的精簡(jiǎn).12.已知，則以下結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A項(xiàng)，利用函數(shù)與和圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，及對(duì)稱(chēng)性求得，；B項(xiàng)，根據(jù)題干，可求得：，進(jìn)而判斷B選項(xiàng)；C項(xiàng)，D項(xiàng)，利用不等式基本性質(zhì)判斷，注意取等條件.【詳解】A項(xiàng)，a、b分別是函數(shù)與和圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖可知，，，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以C、D兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，，所以A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，取倒?shù)有，，即：，由A項(xiàng)可知，，，所以，所以B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，由得：，由圖象可知，，所以，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，又因?yàn)?，所以等?hào)不能取，所以，所以D項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知?jiǎng)t_______【答案】【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系處理即可.【詳解】令，則，．．故答案為：14.若是上的減函數(shù)，則的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】先保證在每段上都是減函數(shù)，然后在時(shí)，的值大于等于的值，從而得到的取值范圍，得到答案.【詳解】因?yàn)槭巧系臏p函數(shù)，所以，解得在時(shí)，的值大于等于的值，即，解得，綜上所述的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，屬于中檔題.15.已知函數(shù)，．設(shè)，．記的最小值為A，的最大值為B，則______．【答案】【解析】【分析】令，可得或，由題易知的最小值，的最大值，則可求出答案.【詳解】，，令，得或．因?yàn)?，，所以的最小值，的最大值，所以．故答案為?16.已知正實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，由基本不等式可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)?，則，所以，，設(shè)，因?yàn)榍遥苫静坏仁娇傻?，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，即，解得.因此，的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足，命題q：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足.（1）若，且p與q均是真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）若p是q成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，化簡(jiǎn)命題p，命題q，再根據(jù)為真命題，則p真且q真求解；（2）化簡(jiǎn)兩個(gè)命題，，根據(jù)p是q的必要不充分條件，由求解.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，若命題p為真命題，則不等式為，解得；若命題q為真命題，則由，解得.∵為真命題，則p真且q真，∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】由，解得，又，∴.設(shè)，，∵p是q的必要不充分條件，∴，∴，解得.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.18.某中學(xué)400名學(xué)生參加全市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）由頻率直方圖求樣本中分?jǐn)?shù)的分位數(shù)；（2）已知樣本中分?jǐn)?shù)在的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)；（3）已知樣本中男生與女生的比例是，男生樣本的均值為70，方差為10，女生樣本的均值為80，方差為12，請(qǐng)計(jì)算出總體的方差.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)求解；（2）由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)求解；（3）由總樣本的均值與方差的公式計(jì)算求解即可.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)分位數(shù)位于并設(shè)為,則有,解得.故頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)分位數(shù)為：.【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在頻率為,在樣本中分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為人，在樣本中分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為95人，所以估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為人，所以總體中分?jǐn)?shù)小于的人數(shù)為.【小問(wèn)3詳解】總樣本的均值為,所以總樣本的方差為.故總樣本的方差為.19.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為1，最小值為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)，求得的函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.（2）由先確定的范圍，進(jìn)而求出的范圍，再利用已知的最值，分類(lèi)建立關(guān)于的方程組解得a，b的值.【小問(wèn)1詳解】依題意，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，則，即，令，則，顯然，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，解得，所以實(shí)數(shù)的值為或.20.已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）解不等式；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求得，得到，列出不等式，即可求解；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域是函數(shù)的值域的子集，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算，求得，結(jié)合，列出不等式組，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由的定義域?yàn)?，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，可得，解得，所以，又由不等式，可得，整理得，解得，所以不等式的解集為.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，總有，使得成立，所以函?shù)的值域是函數(shù)的值域的子集，而，令，所以，所以，又由在上遞增，所以，所以，解得，所以的取值范圍為.21.甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下:累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空:每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.已知在每場(chǎng)比賽中，甲勝乙和甲勝丙的概率均為，乙勝丙的概率為，各場(chǎng)比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.經(jīng)抽簽，第一場(chǎng)比賽甲輪空.（1）求前三場(chǎng)比賽結(jié)束后，丙被淘汰的概率；（2）求只需四場(chǎng)比賽就決出冠軍的概率；（3）求甲最終獲勝的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）前三場(chǎng)比賽結(jié)束后，丙被淘汰的情況有2種①乙勝丙、乙勝甲、乙勝丙②乙勝丙、甲勝乙、甲勝丙，再利用相互獨(dú)立事件概率的乘法運(yùn)算即可得出答案.（2）首先分析出只需四場(chǎng)比賽就決出冠軍的情況，再利用相互獨(dú)立事件概率的乘法運(yùn)算即可得出答案.（3）首先分析出甲最終獲勝的情況，再利用相互獨(dú)立事件概率的乘法運(yùn)算即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】記事件A為甲勝乙，則，，事件B為甲勝丙，則，，事件C為乙勝丙，則，，前三場(chǎng)比賽結(jié)束后，丙被淘汰概率為.【小問(wèn)2詳解】只需四場(chǎng)比賽就決出冠軍的概率為：.【小問(wèn)3詳解】由于甲勝乙和甲勝丙的概率均為，且乙勝丙和丙勝乙的概率也相等，均為，第一場(chǎng)比賽甲當(dāng)裁判，以后的比賽相對(duì)于甲，可視乙丙為同一人，設(shè)甲勝為事件D，甲當(dāng)裁判為事件E，所以甲最終獲勝的概率.22.已知函數(shù)的定義域均為，給出下面兩個(gè)定義：①若存在唯一的，使得，則稱(chēng)與關(guān)于唯一交換；②若對(duì)任意的