專題25 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布（全題型壓軸題）試題含解析

專題25計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布（選填壓軸題全題型壓軸題） 1 2 4④隨機變量及其分布列 812023·貴州畢節(jié)·校考模擬預(yù)測）中國飲食文化歷史悠久，博大精深，是中國傳統(tǒng)文化中最具特色的部分之一，其內(nèi)涵十分豐富，根據(jù)義務(wù)教育課程方案，勞動課正式成為中小學(xué)一門獨立的課程，“食育”進入校園.李老師計劃在實驗小學(xué)開展一個關(guān)于“飲食民俗”的講座，講座內(nèi)容包括日常食俗，節(jié)日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6個方面.根據(jù)安排，講座分為三次，每次介紹兩個食俗內(nèi)容（不分先后次序），則節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的概率為()22023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考三模）廈門市博物館由廈門博物館主館、鄭成功紀念館、廈門經(jīng)濟特區(qū)紀念館、廈門市文化遺產(chǎn)保護中心、破獄斗爭陳列館、陳化成紀念館、陳勝元故居七個館區(qū)組成.甲、乙兩名同學(xué)各自選取一個館區(qū)參觀且所選館區(qū)互不相同，若鄭成功紀念館和破獄斗爭陳列館至少有一個被選，則不同的參觀方案有()32023·黑龍江哈爾濱·哈九中?？寄M預(yù)測）“第二課堂”是哈九中多樣化課程的典型代表，旨在進一步培養(yǎng)學(xué)生的人文底蘊和科學(xué)精神，為繼續(xù)滿足同學(xué)們不同興趣愛好，美育中心精心準備了大家非常喜愛的中華文化傳承系列的第二課堂活動課：陶藝，拓印，扎染，創(chuàng)意陶盆，壁掛，剪紙六個項目供同學(xué)們選學(xué)，每位同學(xué)選擇1個項目.則甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生至少有3名學(xué)生所選的課全不相同的方法共有()42023·江西南昌·統(tǒng)考二模）中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的漢族傳統(tǒng)工藝品．燈籠綜合了繪畫、剪紙、紙扎、刺縫等工藝，與中國人的生活息息相連．燈籠成了中國人喜慶的象征．經(jīng)過歷代燈彩藝人的繼承和發(fā)展，形成了豐富多彩的品種和高超的工藝水平，從種類上主要有宮燈、紗燈、吊燈等類型，現(xiàn)將紅木宮燈、檀木宮燈、楠木紗燈、花梨木紗燈、恭喜發(fā)財?shù)鯚?、吉祥如意吊燈各一個隨機掛成一排，則有且僅有一種類型的燈籠相鄰的概率為()A.2513 1452023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考二模）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．安排甲、乙、丙、丁4名航天員到空間站開展工作，每個艙至少安排1人，若甲、乙兩人不能在同一個艙開展工作，則不同的安排方案共有()62023·遼寧盤錦·盤錦市高級中學(xué)校考一模）有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，錯誤的是()A．任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有70種B．全體站成一排，男生互不相鄰有1440種C．全體站成一排，女生必須站在一起有144種D．全體站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾有3720種.72023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？级＃┡R近春節(jié)，某校書法愛好小組書寫了若干副春聯(lián)，準備贈送給四戶孤寡老人．春聯(lián)分為長聯(lián)和短聯(lián)兩種，無論是長聯(lián)或短聯(lián)，內(nèi)容均不相同．經(jīng)過調(diào)查，四戶老人各戶需要1副長聯(lián)，其中乙戶老人需要1副短聯(lián)，其余三戶各要2副短聯(lián)．書法愛好小組按要求選出11副春聯(lián)，則不同的贈送方法種數(shù)為.82023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）某數(shù)學(xué)興趣小組的5名學(xué)生負責(zé)講述“宋元數(shù)學(xué)四大家”——秦九韶、李冶、楊輝和朱世杰的故事，每名學(xué)生只講一個數(shù)學(xué)家的故事，每個數(shù)學(xué)家的故事都有學(xué)生講述，則不同的分配方案有種.12023·廣東揭陽·惠來縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)(1+x)10=a0+a1x+...+a9x9+a10x10，則a2等于()2多選2023·遼寧撫順·校考模擬預(yù)測）在(1一2x3)(一aA．a(chǎn)=3C．展開式中x4的系數(shù)為160D．展開式中無理項的系數(shù)之和為一24210(x10，xeR，則()294多選2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎囗検絥xn,a1=19，則()2n22n52023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）二項式(x+a)(|（2x一3的展開式中，所有項的系5的展開式中常數(shù)項為.72023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在(1+2x)4(1一x)5的展開式中，按x的升冪排列的第三項為.82023·山西運城·山西省運城中學(xué)校校考二模）(|（x+(1+2的展開式中x2y3的系數(shù)為.12023·浙江·模擬預(yù)測）立德中學(xué)有甲、乙兩家餐廳，如果趙同學(xué)上一天去甲餐廳用午餐，那么下一天去甲餐廳的概率為0.6，如果上一天去乙餐廳用午餐，那么下一天去甲餐廳的概率為0.8，已知趙同學(xué)第一天去甲餐廳用午餐的概率為0.5.(1)求趙同學(xué)第二天去乙餐廳用午餐的概率；(2)設(shè)趙同學(xué)第n(neN*)去甲餐廳用午餐的概率為Pn，判斷P3與P4的大小，并求Pn.22023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某重點大學(xué)為了解準備保研或者考研的本科生每天課余學(xué)習(xí)時間，隨機抽取了100名這類大學(xué)生進行調(diào)查，將收集到的課余學(xué)習(xí)時間（單位：h）整理后得到如下表格：課余學(xué)習(xí)時間人數(shù)5254020(1)估計這100名大學(xué)生每天課余學(xué)習(xí)時間的中位數(shù)；(2)根據(jù)分層抽樣的方法從課余學(xué)習(xí)時間在[7,9)和[9,11]，這兩組中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求抽到的2人的課余學(xué)習(xí)時間都在[7,9)的概率.32023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）2018年12月8日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號乙運載火箭成功發(fā)射嫦娥四號探測器，開啟了月球探測的新旅程．為了解廣大市民是否實時關(guān)注了這一事件，隨機選取了部[60,70]分為5組，并得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中實數(shù)a的值，并估計樣本數(shù)據(jù)中市民年齡的眾數(shù)；(2)為進一步調(diào)查市民在日常生活中是否關(guān)注國家航天技術(shù)發(fā)展的情況，現(xiàn)按照分層抽樣的方法從[40,50)，[50,60)，[60,70]三組中抽取了6人，再從這6人中任意抽取2人來講述自己所了解的中國航天的發(fā)展歷程，求這2人中至少有1人的年齡位于[50,60)之間的概率.42023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？既＃┠硨W(xué)校有A,B兩個餐廳為學(xué)生提供午餐與晩餐服務(wù)，甲、乙兩位學(xué)生每天午餐和晩餐都在學(xué)校就餐，近100天選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下：選擇餐廳情況（午餐，晩餐）(A,A)(A,B)(B,A)(B,B)甲40天乙40天為了吸引學(xué)生就餐，A餐廳推出就餐抽獎活動，獲獎的概率為，而B餐廳推出就餐送貼紙活動，每次就餐送一張.假設(shè)甲、乙選擇餐廳就餐相互獨立，用頻率估計概率.(1)分別估計一天中甲午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐的概率，乙午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐的概率；(2)記X為學(xué)生乙在一天中獲得貼紙的數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；(3)A餐廳推出活動當天學(xué)生甲就參加了抽獎活動，已知如果學(xué)生甲抽中獎品，則第二天午餐再次去A餐廳就餐的概率為，如果學(xué)生甲并沒有抽中獎品，第二天午餐依然在A餐廳就餐的概率為p，若A餐廳推出活動的第二天學(xué)生甲午餐去A餐廳就餐的概率是，求p.52023·北京·北京八十中?？寄M預(yù)測）為了弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，加強對學(xué)生的美育教育，某校開展了為期5天的傳統(tǒng)藝術(shù)活動，從第1天至第5天依次開展“書畫”、“古琴”、“漢服”、“戲曲”、“面塑”共5項傳統(tǒng)藝術(shù)活動，每名學(xué)生至少選擇其中一項進行體驗，為了解該校上述活動的開展情況，現(xiàn)從高一、高二、高三學(xué)生中各隨機選取了100名學(xué)生作為樣本進行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如表：傳統(tǒng)藝術(shù)活動第4天書畫古琴漢服戲曲面塑高一體驗人數(shù)804545高二體驗人數(shù)408040高三體驗人數(shù)40(1)從樣本中隨機選取1名學(xué)生，求這名學(xué)生體驗戲曲活動的概率；(2)利用頻率估計概率，從高一、高二、高三年級中各隨機選取1名學(xué)生，設(shè)這三名學(xué)生中參加戲曲體驗的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)為了解不同年級學(xué)生對各項傳統(tǒng)藝術(shù)活動的喜愛程度，現(xiàn)從高一、高二、高三樣本中各隨機選取名學(xué)生進行訪談，設(shè)這3名學(xué)生均選擇了第k天傳統(tǒng)藝術(shù)活動的概率為Pk(k=1,2,3,4,5)，當Pk取得最大值時，寫出k的值，及對應(yīng)的Pk值直接寫出答案即可）62023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）中日圍棋擂臺賽是由中國圍棋隊與日本圍棋隊各派若干名棋手，以擂臺制形式舉行的圍棋團體賽.這是中國和國外開設(shè)的最早的圍棋對抗賽，由中國圍棋協(xié)會、日本棋院和中國《新體育》雜志社聯(lián)合舉辦，日本電器公司（NEC）贊助，因此也稱NEC杯中日圍棋擂臺賽.該賽事從1984年開始至1996年停辦，共進行了11屆，結(jié)果中國隊以7比4的總比分獲勝.該賽事對中國圍棋甚至世界圍棋發(fā)展產(chǎn)生了很大影響，被認為是現(xiàn)代圍棋最成功的比賽之一.中日圍棋擂臺賽由中日雙方各派同樣數(shù)量的若干名棋手組成隊伍，兩隊各設(shè)一名主帥，采用打擂臺的形式，決出最后的勝負.比賽事先排定棋手的上場順序（主帥最后上場按順序?qū)?，勝者坐擂，負方依次派遣棋手打擂，直至一方“主帥”被擊敗為?設(shè)中、日兩國圍棋隊各有n名隊員，按事先排好的順序進行擂臺賽，中國隊的n名隊員按出場的先后順序記為a1,a2,Lan；日本隊的n名隊員按出場的先后順序記為b1,b2,…bn.假設(shè)ai勝bj(i,j=1,2,3,…n)的概率為p（0<p<1為常數(shù)）.(1)當n=5時，若每個隊員實力相當，求中國隊有四名隊員被淘汰且最后戰(zhàn)勝日本隊的概率；(2)記中國隊被淘汰k-1(k=1,2,3…n)人且中國隊獲得擂臺賽勝利的概率為Pk，求Pk的表達式；(3)寫出中國隊獲得擂臺賽勝利的概率P(A)的表達式（不用說明理由）.72023·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）2023年中央一號文件指出，民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村必振興.為助力鄉(xiāng)村振興，某電商平臺準備為某地的農(nóng)副特色產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專場.直播前，此平臺用不同的單價試銷，并在購買的顧客中進行體驗調(diào)查問卷.為了回饋100名熱心參與問卷的顧客，此平臺決定在直播中專門為他們設(shè)置兩次抽獎活動，每次抽獎都是由系統(tǒng)獨立、隨機地從這100名顧客中抽取20名顧客，抽中顧客會有禮品贈送，若直播時這100名顧客都在線，記兩次抽中的顧客總?cè)藬?shù)為X（不重復(fù)計數(shù)）.(1)若甲是這100名顧客中的一人，求甲被抽中的概率；(2)求使P(X=k)取得最大值的整數(shù)k.④隨機變量及其分布列12023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測）適量的運動有助于增強自身體質(zhì)，加快體內(nèi)新陳代謝，有利于抵御疾?。成鐓^(qū)組織社區(qū)居民參加有獎投籃比賽，已知小李每次在罰球點投進的概率都為p(0<p<1).(1)若每次投籃相互獨立，小李在罰球點連續(xù)投籃6次，恰好投進4次的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0；(2)現(xiàn)有兩種投籃比賽規(guī)則，規(guī)則一：在罰球點連續(xù)投籃6次，每投進一次，獎勵兩盒雞蛋，每次投籃相互獨立，每次在罰球點投進的概率都以（1）中確定的p0作為p的值；規(guī)則二：連續(xù)投籃3次，每投進一次，獎勵四盒雞蛋．第一次在罰球點投籃，投進的概率以（1）中確定的p0作為p的值，若前次投進，則下一次投籃位置不變，投進概率也不變，若前次未投進，則下次投籃要后退1米，投進概率變?yōu)樯洗瓮哆M概率的一半．請分析小李應(yīng)選哪種比賽規(guī)則對自己更有利.22023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）小李從家出發(fā)步行前往公司上班，公司要求不晚于8點整到達，否則視為遲到.小李上班路上需要經(jīng)過4個路口，每個路口遇到紅燈的概率均為，且相互獨立.已知每遇到紅燈的平均等候時長皆為1分鐘，若沒有遇到任何紅燈則小李僅需10分鐘即可到達公司.求：(1)要保證不遲到的概率高于90%，小李最晚在幾點幾分從家出發(fā)；(2)若小李連續(xù)兩天7點48分從家出發(fā)，則恰有一天遲到的概率；(3)小李上班路上的平均時長.32023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）近年來，購買盲盒成為當下年輕人的潮流之一，為了引導(dǎo)青少年正確消費，國家市場監(jiān)管總局提出，盲盒經(jīng)營行為應(yīng)規(guī)范指引，經(jīng)營者不能變相誘導(dǎo)消費．盲盒最吸引人的地方，是因為盒子上沒有標注，只有打開才會知道自己買到了什么，這種不確定性的背后就是概率．幾何分布是概率論中非常重要的一個概率模型，可描述如下：在獨立的伯努利（Bernoulli）試驗中，若所考慮事件首次出現(xiàn)，則試驗停止，此時所進行的試驗次數(shù)X服從幾何分布，事件發(fā)生的概率p即為幾何分布的參數(shù)，E(X)=k(1p)k1.p=．現(xiàn)有甲文具店推出四種款式不同、單價相同的文具盲盒，數(shù)量足夠多，購買規(guī)則及概率規(guī)定如下：每次購買一個，且買到任意一種款式的文具盲盒是等可能的.(1)現(xiàn)小嘉欲到甲文具店購買文具盲盒.①求他第二次購買的文具盲盒的款式與第一次購買的不同的概率；②設(shè)他首次買到兩種不同款式的文具盲盒時所需要的購買次數(shù)為Y，求Y的期望；(2)若甲文具店的文具盲盒的單價為12元，乙文具店出售與甲文具店款式相同的非盲盒文具且單價為18元．小興為了買齊這四種款式的文具，他應(yīng)選擇去哪家文具店購買更省錢，并說明理由.42023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點工作（強基計劃）的?？加稍圏c高校自主命題，?？歼^程中達到筆試優(yōu)秀才能進入面試環(huán)節(jié).已知A,B兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否達到優(yōu)秀相互獨立.若某考生報考A大學(xué)，每門科目達到優(yōu)秀的概率均為，若該考生報考B大學(xué)，每門科目達到優(yōu)秀的概率依次為，，n，其中0<n<1.(1)若n=，分別求出該考生報考A,B兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門科目達到優(yōu)秀的概率；(2)強基計劃規(guī)定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中達到優(yōu)秀科目個數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更有希望進入A大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，求n的范圍.52023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學(xué)?？寄M預(yù)測）某乒乓球隊訓(xùn)練教官為了檢驗學(xué)員某項技能的水平，隨機抽取100名學(xué)員進行測試，并根據(jù)該項技能的評價指標，按(1)求a的值，并估計該項技能的評價指標的中位數(shù)（精確到0.1）；(2)若采用分層抽樣的方法從評價指標在[70,75和[85,90內(nèi)的學(xué)員中隨機抽取12名，再從這12名學(xué)員中隨機抽取5名學(xué)員，記抽取到學(xué)員的該項技能的評價指標在[70,75內(nèi)的學(xué)員人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.62023·貴州貴陽·校聯(lián)考三模）為了“讓廣大青少年充分認識到毒品的危害性，切實提升青少年識毒防毒拒毒意識”，我市組織開展青少年禁毒知識競賽，團員小明每天自覺登錄“禁毒知識競賽APP”，參加各種學(xué)習(xí)活動，同時熱衷于參與四人賽.每局四人賽是由網(wǎng)絡(luò)隨機匹配四人進行比賽，每題回答正確得20分，第1個達到100分的比賽者獲得第1名，贏得該局比賽，該局比賽結(jié)束.每天的四人賽共有20局，前2局是有效局，根據(jù)得分情況獲得相應(yīng)名次，從而得到相應(yīng)的學(xué)習(xí)積分，第1局獲得第1名的得3分，獲得第2、3名局，無論獲得什么名次，均不能獲得學(xué)習(xí)積分.經(jīng)統(tǒng)計，小明每天在第1局四人賽中獲得3分、2分、1分的概率分別為在第2局四人賽中獲得2分、1分的概率分別為，.(1)設(shè)小明每天獲得的得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若小明每天賽完20局，設(shè)小明在每局四人賽中獲得第1名從而贏得該局比賽的概率為，每局是否贏得比賽相互獨立，請問在每天的20局四人賽中，小明贏得多少局的比賽概率最大？72023·河南開封·統(tǒng)考三模）2021年5月11日，第七次全國人口普查結(jié)果顯示，中國65歲及以上人口為19064萬人，占總?cè)丝诘?3.5%．隨著出生率和死亡率的下降，我國人口老齡化趨勢日益加劇，與老年群體相關(guān)的疾病負擔(dān)問題越來越受到社會關(guān)注，虛弱作為疾病前期的亞健康狀態(tài)，多發(fā)于65歲以上人群.虛弱指數(shù)量表（frailtyin—dex，F(xiàn)I，取值范圍是[0,1)）可以用來判定老年人是否虛弱，若FI之0.25分，則定義為“虛弱”.某研究團隊隨機調(diào)查了某地1170名男性與1300名女性65歲及以上老年人的身體狀況，并采用虛弱指數(shù)量表分析后得出虛弱指數(shù)頻數(shù)分布表如下：男411579女417463258(1)根據(jù)所調(diào)查的65歲及以上老年人的虛弱指數(shù)頻數(shù)分布表作出65歲及以上老年人虛弱與性別的2根2列聯(lián)表，并分析能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為老年人身體虛弱與性別有關(guān)？非虛弱虛弱總計男1170女1300總計(2)以頻率估計概率，現(xiàn)從該地區(qū)隨機調(diào)查兩位男性65歲以上老年人，這兩位老人中身體虛弱的人數(shù)為隨機00.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828專題25計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布（選填壓軸題全題型壓軸題） 1 4 8④隨機變量及其分布列 1612023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測）中國飲食文化歷史悠久，博大精深，是中國傳統(tǒng)文化中最具特色的部分之一，其內(nèi)涵十分豐富，根據(jù)義務(wù)教育課程方案，勞動課正式成為中小學(xué)一門獨立的課程，“食育”進入校園.李老師計劃在實驗小學(xué)開展一個關(guān)于“飲食民俗”的講座，講座內(nèi)容包括日常食俗，節(jié)日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6個方面.根據(jù)安排，講座分為三次，每次介紹兩個食俗內(nèi)容（不分先后次序），則節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的概率為()【答案】B【詳解】講座分為三次，每次介紹兩個食俗內(nèi)容（不分先后次序）,一共有CCC==90種不同的安排方法，其中節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗有一個和節(jié)日食俗安排在第二次講座的有節(jié)日食俗安排在第二次講座，日常食俗與祭祀食俗都不和節(jié)日食俗安排在第二次講座且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的有CAA=12種，故節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的有12+12=24種，故所求概率為P==.故選：B22023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考三模）廈門市博物館由廈門博物館主館、鄭成功紀念館、廈門經(jīng)濟特區(qū)紀念館、廈門市文化遺產(chǎn)保護中心、破獄斗爭陳列館、陳化成紀念館、陳勝元故居七個館區(qū)組成.甲、乙兩名同學(xué)各自選取一個館區(qū)參觀且所選館區(qū)互不相同，若鄭成功紀念館和破獄斗爭陳列館至少有一個被選，則不同的參觀方案有()【答案】A【詳解】若鄭成功紀念館和破獄斗爭陳列館選一個：CCA=10根2=20種，若鄭成功紀念館和破獄斗爭陳列館選二個：CA=2=2種，故若鄭成功紀念館和破獄斗爭陳列館至少有一個被選，則不同的參觀方案有20+2=22種方案.故選：A.32023·黑龍江哈爾濱·哈九中?？寄M預(yù)測）“第二課堂”是哈九中多樣化課程的典型代表，旨在進一步培養(yǎng)學(xué)生的人文底蘊和科學(xué)精神，為繼續(xù)滿足同學(xué)們不同興趣愛好，美育中心精心準備了大家非常喜愛的中華文化傳承系列的第二課堂活動課：陶藝，拓印，扎染，創(chuàng)意陶盆，壁掛，剪紙六個項目供同學(xué)們選學(xué)，每位同學(xué)選擇1個項目.則甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生至少有3名學(xué)生所選的課全不相同的方法共有()【答案】C【詳解】恰有2名學(xué)生選課相同，第一步，先將選課相同的2名學(xué)生選出，有C=6種可能；第二步，從6個項目中選出3個排好，有A=120.根據(jù)分步計數(shù)原理可得，方法有6根120=720；4名學(xué)生所選的課全不相同的方法有A=360.根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生至少有3名學(xué)生所選的課全不相同的方法共有故選：C.42023·江西南昌·統(tǒng)考二模）中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的漢族傳統(tǒng)工藝品．燈籠綜合了繪畫、剪紙、紙扎、刺縫等工藝，與中國人的生活息息相連．燈籠成了中國人喜慶的象征．經(jīng)過歷代燈彩藝人的繼承和發(fā)展，形成了豐富多彩的品種和高超的工藝水平，從種類上主要有宮燈、紗燈、吊燈等類型，現(xiàn)將紅木宮燈、檀木宮燈、楠木紗燈、花梨木紗燈、恭喜發(fā)財?shù)鯚?、吉祥如意吊燈各一個隨機掛成一排，則有且僅有一種類型的燈籠相鄰的概率為()A.2513 14【答案】A先求僅a1a2相鄰的種數(shù)，把a1a2看作一個元素，當a1a2排在第三個位置時，不同的排法有N3=CCA根A根故僅a1a2相鄰共有N1+N2+N3=96種排法，同理得僅b1b2相鄰，僅c1c2相鄰的情況，也都有96種排法，所以有且僅有一種類型燈籠相鄰的概率為P=93=.故選：A.52023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考二模）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．安排甲、乙、丙、丁4名航天員到空間站開展工作，每個艙至少安排1人，若甲、乙兩人不能在同一個艙開展工作，則不同的安排方案共有()【答案】D【詳解】先將甲乙兩人分別安排到兩個不同艙中，有A=6種安排方法.后分兩種方法安排丙、丁，第一種安排丙、丁到第三個艙中，有1種方法；第二種先安排丙、丁中的一人到第三個艙中，再安排剩下一人到甲乙二人所在的艙中，有2根2=4種方法.則不同的安排方案共有故選：D62023·遼寧盤錦·盤錦市高級中學(xué)校考一模）有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，錯誤的是()A．任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有70種B．全體站成一排，男生互不相鄰有1440種C．全體站成一排，女生必須站在一起有144種D．全體站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾有3720種.【答案】C【詳解】對于A：任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有C根2根1=70種，故A正確；對于B：先排女生，將4名女生全排列，有A種方法，再安排男生，由于男生互不相鄰，可以在女生之間及首尾空出的5個空位中任選3個空位排男生，有A種方法，故共有A.A=1440種方法，故B正確.對于C：將女生看成一個整體，考慮女生之間的順序，有A種情況，再將女生的整體與3名男生在一起進行全排列，有A種情況，故共有A.A=576種方法，故C錯誤.對于D：若甲站在排尾則有A種排法，若甲不站在排尾則有AAA種排法，故有A+AAA=3720種排法，故D正確；故選：C.72023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？级＃┡R近春節(jié)，某校書法愛好小組書寫了若干副春聯(lián)，準備贈送給四戶孤寡老人．春聯(lián)分為長聯(lián)和短聯(lián)兩種，無論是長聯(lián)或短聯(lián)，內(nèi)容均不相同．經(jīng)過調(diào)查，四戶老人各戶需要1副長聯(lián)，其中乙戶老人需要1副短聯(lián)，其余三戶各要2副短聯(lián)．書法愛好小組按要求選出11副春聯(lián)，則不同的贈送方法種數(shù)為.【答案】15120【詳解】4副長聯(lián)內(nèi)容不同，贈送方法有A=24種；從剩余的7副短聯(lián)中選出1副贈送給乙戶老人，有A=7種方法，再將剩余的6副短聯(lián)平均分為3組，最后將這3組贈送給三戶老人，方法種數(shù)為.A=CCC=90．所以所求方法種數(shù)為24790=15120.故答案為：15120.82023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）某數(shù)學(xué)興趣小組的5名學(xué)生負責(zé)講述“宋元數(shù)學(xué)四大家”——秦九韶、李冶、楊輝和朱世杰的故事，每名學(xué)生只講一個數(shù)學(xué)家的故事，每個數(shù)學(xué)家的故事都有學(xué)生講述，則不同的分配方案有種.【答案】240【詳解】先把5名學(xué)生分成人數(shù)為2,1,1,1的四組,共有=C=10種分法,再把四組學(xué)生分給宋元數(shù)學(xué)四大家講述則有A=24種分法,所以分配方案有A=CA=1024=240種.故答案為:240.12023·廣東揭陽·惠來縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)2109x910x10，則a2等于()【答案】D000991010故選：D2多選2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測）在(1一2x3)(一a)5的展開式中，各項系數(shù)的和為1，則(C．展開式中x4的系數(shù)為160D．展開式中無理項的系數(shù)之和為一242【答案】BC則(12x3)5325，又2故選：BC.10，xeR，則()2223【答案】AC21，所以選項B錯誤；10，1210，10=20x39，選項D錯誤；故選：AC.4多選2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)校考三模）已知多項式2n223n=-368【答案】AD【詳解】因為(1-2x)2(1-3x)m=(4x2-4x+1)(1-3x)m，(1-3x)m的展開式的通項公式為Tk+1=C(-3x)k=(-3)kCxk，7a2=4x1-4x(-3)C+1x(-3)2C=由(1-2x)2(1-3x)5=a0+a1x+a2x2+...+a7x7兩邊對x求2(1-2x).(-2).(1-3x)5+(1-2x)2.5(1-3x)4.(-3)=a1+2a2x+3a3x2+…+7a7x6，令x=1，得2x(-1)x(-2)x(-2)5+(-1)2x5x(-2)4x(-3)=a1+2a2+3a37=-368，故D正確.故選：AD52023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）二項式(x+a)(|（2x-3的展開式中，所有項的系5的展開式中常數(shù)項為.【答案】-403的展開式中所有項的系數(shù)和為1+a=1，解得a=0，55，5展開式的通項為Tr+1=C(2x)5-r(|（-r=令5-2r=-1，解得r=3，(|（2x-5展開式中的x-1項的系數(shù)為C.22.(-1)3=-40，:x5展開式中常數(shù)項為-40.故答案為：-4062023·全國·河南省實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測）若(x2-x-3)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，則2345【答案】-465【詳解】由題意，(x2-x-3)中含x的項為C(-x)1(-3)4=-405x；5含x2的項為C(-x)2(-3)3+C(x2)1(-3)4=135x2；含x3的項為C(x2)1C(-x)1(-3)3+C(-x)3(-3)2=450x3；含x4的項為C(x2)2(-3)3+C(x2)1C(-x)2(-3)2+C(-x)4(-3)1=-15x4；含x5的項為C(x2)2C(-x)1(-3)2+C(x2)1C(-x)3(-3)1+C(-x)5=-211x5；345=-405+135+450-15-211=-46.故答案為：-4672023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在(1+2x)4(1-x)5的展開式中，按x的升冪排列的第三項為.【答案】-6x2【詳解】易知，展開式中有常數(shù)項、一次項、二次項等，故所求的項為x2項.整個式子中x2項可由(1+2x)4，(1-x)5的展開式中的常數(shù)項與二次項、一次項與一次項、二次項與常數(shù)項相乘得到，(1-x)5展開式的通項為Tk+1=C(-x)故所求為CxC(-x)2+C(2x)xC(-x)+C(2x)2xC=-6x2.故答案為：-6x2.82023·山西運城·山西省運城中學(xué)校校考二模）(|（x+(1+2x)5展【答案】104555，5的通項公式為Tk+1=C(2x)k=2kCxk，k=05展開式中x3的系數(shù)是22.C+2.25.C=104.故答案為：104.的展開式中x2y3的系數(shù)為.【答案】-40于是(2x-y+1)5展開式中含x2y3的項為C(2x)2.C(-y)3=-40x2y3，所以(2x-y+1)5的展開式中x2y3的系數(shù)為-40.故答案為：-40的項的系數(shù)為-40，102023·湖南長沙·長沙市實驗中學(xué)?？级＃┮阎検?|（1-x的項的系數(shù)為-40，【答案】25表示有5個5提供，有3個5提供x，來源如下：(a)5(a)5此時系數(shù)是CC(-1)3a=-40，即-20a=-40，解得：a=2故答案為：2.12023·浙江·模擬預(yù)測）立德中學(xué)有甲、乙兩家餐廳，如果趙同學(xué)上一天去甲餐廳用午餐，那么下一天去甲餐廳的概率為0.6，如果上一天去乙餐廳用午餐，那么下一天去甲餐廳的概率為0.8，已知趙同學(xué)第一天去甲餐廳用午餐的概率為0.5.(1)求趙同學(xué)第二天去乙餐廳用午餐的概率；(2)設(shè)趙同學(xué)第n(neN*)去甲餐廳用午餐的概率為Pn，判斷P3與P4的大小，并求Pn.【答案】(1)0.3n-1.【詳解】（1）因為趙同學(xué)第一天去甲餐廳用午餐的概率為0.5，,那么他去乙餐廳用午餐的概率也為0.5，則P1)1，=，∴數(shù)列{}是等比數(shù)列，公比是q=，n1.22023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某重點大學(xué)為了解準備保研或者考研的本科生每天課余學(xué)習(xí)時間，隨機抽取了100名這類大學(xué)生進行調(diào)查，將收集到的課余學(xué)習(xí)時間（單位：h）整理后得到如下表格：課余學(xué)習(xí)時間人數(shù)5254020(1)估計這100名大學(xué)生每天課余學(xué)習(xí)時間的中位數(shù)；(2)根據(jù)分層抽樣的方法從課余學(xué)習(xí)時間在[7,9)和[9,11]，這兩組中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求抽到的2人的課余學(xué)習(xí)時間都在[7,9)的概率.【答案】(1)7.5:這100名大學(xué)生每天課余學(xué)習(xí)時間的中位數(shù)位于[7,9)之間，4060（2）由題意知：從課余學(xué)習(xí)時間在[7,9)這一組抽取64060=4人，分別記為a1,a2,a3,a4，從課余學(xué)習(xí)時間2060在[9,11]這一組抽取62060=2人，分別記為b1,b2；從這6人中隨機抽取2人，所有的基本事件為：}，共15個基本事件；其中“抽到的2人的課余學(xué)習(xí)時間都在[7,9)”包含的基本事件為：,a4},{a2,a3},{a2,a4},{a3,a4}，共6個基本事件；:抽到的2人的課余學(xué)習(xí)時間都在[7,9)的概率p= .32023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）2018年12月8日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號乙運載火箭成功發(fā)射嫦娥四號探測器，開啟了月球探測的新旅程．為了解廣大市民是否實時關(guān)注了這一事件，隨機選取了部分年齡在20歲到70歲之間的市民作為一個樣本，將此樣本按年齡[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70]分為5組，并得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中實數(shù)a的值，并估計樣本數(shù)據(jù)中市民年齡的眾數(shù)；(2)為進一步調(diào)查市民在日常生活中是否關(guān)注國家航天技術(shù)發(fā)展的情況，現(xiàn)按照分層抽樣的方法從[40,50)，[50,60)，[60,70]三組中抽取了6人，再從這6人中任意抽取2人來講述自己所了解的中國航天的發(fā)展歷程，求這2人中至少有1人的年齡位于[50,60)之間的概率.由圖知：年齡位于[30,40)這一組頻率為0.35，此時頻率最大，所以，眾數(shù)為=35.（2）由題可得，后三組[40,50)，[50,∴從后三組抽取的6人中有3人的年齡位于[40,50)之間，分別記為A1，A2，A3；2人的年齡位于[50,60)之間，分別記為B1，B2；1人的年齡位于[60,70)之間，記為C1，從6人中任意抽取2人有：A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A1C1,A2A3,A2B1,A2B2,A2C1,A3B1,A3B2,A3C1,B1B2,B1C1,B2C1，共15種不同的方法.則2人中至少有1人的年齡位于[50,60)之間有如下情況：A，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1C1，B2C1，B1B2，共有9種不同則2人中至少有1人的年齡位于[50,60)之間的概率為P==.42023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)校考三模）某學(xué)校有A,B兩個餐廳為學(xué)生提供午餐與晩餐服務(wù)，甲、乙兩位學(xué)生每天午餐和晩餐都在學(xué)校就餐，近100天選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下：選擇餐廳情況（午餐，晩餐）(A,A)(A,B)(B,A)(B,B)甲40天乙40天為了吸引學(xué)生就餐，A餐廳推出就餐抽獎活動，獲獎的概率為，而B餐廳推出就餐送貼紙活動，每次就餐送一張.假設(shè)甲、乙選擇餐廳就餐相互獨立，用頻率估計概率.(1)分別估計一天中甲午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐的概率，乙午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐的概率；(2)記X為學(xué)生乙在一天中獲得貼紙的數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；(3)A餐廳推出活動當天學(xué)生甲就參加了抽獎活動，已知如果學(xué)生甲抽中獎品，則第二天午餐再次去A餐廳就餐的概率為，如果學(xué)生甲并沒有抽中獎品，第二天午餐依然在A餐廳就餐的概率為p，若A餐廳推出活動的第二天學(xué)生甲午餐去A餐廳就餐的概率是，求p.【答案】(1)0.3，0.4(2)E(X)=1.2，分布列見解析【詳解】（1）設(shè)事件C為“一天中甲員工午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐”，事件D為“乙員工午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐”，因為100個工作日中甲員工午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐的天數(shù)為30，乙員工午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐的天數(shù)為40，（2）由題意知，X可以取的值為：0，1，2故X的分布為：X012P0.40.4（3）設(shè)M表示事件“去A餐廳就餐獲獎”，N表示事件“學(xué)生甲午餐去A餐廳就餐”，5959則P(N)=P(NM)P(M)+P(NM)P(M)， 1.2解得p=P(NM)= 1.2 1.即如果學(xué)生甲并沒有抽中獎品，第二天午餐依然在A餐廳就餐的概率p=.252023·北京·北京八十中校考模擬預(yù)測）為了弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，加強對學(xué)生的美育教育，某校開展了為期5天的傳統(tǒng)藝術(shù)活動，從第1天至第5天依次開展“書畫”、“古琴”、“漢服”、“戲曲”、“面塑”共5項傳統(tǒng)藝術(shù)活動，每名學(xué)生至少選擇其中一項進行體驗，為了解該校上述活動的開展情況，現(xiàn)從高一、高二、高三學(xué)生中各隨機選取了100名學(xué)生作為樣本進行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如表：傳統(tǒng)藝術(shù)活動第4天書畫古琴漢服戲曲面塑高一體驗人數(shù)804545高二體驗人數(shù)408040高三體驗人數(shù)40(1)從樣本中隨機選取1名學(xué)生，求這名學(xué)生體驗戲曲活動的概率；(2)利用頻率估計概率，從高一、高二、高三年級中各隨機選取1名學(xué)生，設(shè)這三名學(xué)生中參加戲曲體驗的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)為了解不同年級學(xué)生對各項傳統(tǒng)藝術(shù)活動的喜愛程度，現(xiàn)從高一、高二、高三樣本中各隨機選取名學(xué)生進行訪談，設(shè)這3名學(xué)生均選擇了第k天傳統(tǒng)藝術(shù)活動的概率為Pk(k=1,2,3,4,5)，當Pk取得最大值時，寫出k的值，及對應(yīng)的Pk值直接寫出答案即可）【答案】(1)(2)分布列答案見解析，E(X)=【詳解】（1）解：由題意知，樣本中學(xué)生共有100+100+100=300人，其中體驗戲曲活動的學(xué)生共20+80+75=175人，設(shè)事件A為“從樣本學(xué)生中隨機選取1名學(xué)生，這名學(xué)生體驗戲曲活動”，故所求概率為P(A)=175=.（2）解：從高一、高二、高三年級的體驗學(xué)生中各隨機選取1名學(xué)生，抽取的高一年級體驗的學(xué)生參加戲曲體驗的概率為，抽取的高一年級體驗的學(xué)生參加戲曲體驗的概率為，抽取的高一年級體驗的學(xué)生參加戲曲體驗的概率為，由題意可知，隨機變量X的可能取值有0、1、2、3，所以，隨機變量X的分布列如下表所示：X0123P 25 29 20 25P<P4<P3<P2，所以當Pk取得最大值時，k=2.62023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）中日圍棋擂臺賽是由中國圍棋隊與日本圍棋隊各派若干名棋手，以擂臺制形式舉行的圍棋團體賽.這是中國和國外開設(shè)的最早的圍棋對抗賽，由中國圍棋協(xié)會、日本棋院和中國《新體育》雜志社聯(lián)合舉辦，日本電器公司（NEC）贊助，因此也稱NEC杯中日圍棋擂臺賽.該賽事從1984年開始至1996年停辦，共進行了11屆，結(jié)果中國隊以7比4的總比分獲勝.該賽事對中國圍棋甚至世界圍棋發(fā)展產(chǎn)生了很大影響，被認為是現(xiàn)代圍棋最成功的比賽之一.中日圍棋擂臺賽由中日雙方各派同樣數(shù)量的若干名棋手組成隊伍，兩隊各設(shè)一名主帥，采用打擂臺的形式，決出最后的勝負.比賽事先排定棋手的上場順序（主帥最后上場按順序?qū)郑瑒僬咦?，負方依次派遣棋手打擂，直至一方“主帥”被擊敗為?設(shè)中、日兩國圍棋隊各有n名隊員，按事先排好的順序進行擂臺賽，中國隊的n名隊員按出場的先后順序記為a1,a2,Lan；日本隊的n名隊員按出場的先后順序記為b1,b2,…bn.假設(shè)ai勝bj(i,j=1,2,3,…n)的概率為p（0<p<1為常數(shù)）.(1)當n=5時，若每個隊員實力相當，求中國隊有四名隊員被淘汰且最后戰(zhàn)勝日本隊的概率；(2)記中國隊被淘汰k1(k=1,2,3…n)人且中國隊獲得擂臺賽勝利的概率為Pk，求Pk的表達式；(3)寫出中國隊獲得擂臺賽勝利的概率P(A)的表達式（不用說明理由）.【答案】(1)；(2)Pk=C+2pn(1p)k1(k=1,2,…n)；(3)P=C+2pn(1p)k1.【詳解】（1）方法一：由于每個隊員實力相當，則每場比賽勝的概率均為列舉出中國隊的a5出場且獲得勝利的所有對陣形式，共分五種情況： ①a4負于b1，只有一種情況，a5獲勝的概率為P1=()9；②a4負于b2，此前共淘汰4人，a1,a2,a3及b1，共進行4場比賽，而日本隊負1場，有C種情況，a5獲勝的概率為P2=C()9；③a4負于b3，此前共進行5場比賽，日本隊負2場，共有C種情況，a5獲勝的概率為P3=C()9；④a4負于b4，此前共進行6場比賽，日本隊負3場，共有C種情況，a5獲勝的概率為P4=C()9；⑤a4負于b5，此前共進行7場比賽，日本隊負4場，共有C種情況，a5獲勝的概率為P5=C()9，這五種情況是互斥的，所以所求事件的概率為：P=Pi=(1+4+10+15+35)()9=.方法二：由于兩隊的實力相當，則可認為ai與bj（i,j=1,2,3,4,5）比賽時，ai獲勝的概率為 而每進行一場比賽淘汰一人，中國隊的a5出場且獲得勝利，就有9人被淘汰，則共進行了9場比賽，且最后一場是中國隊勝，在此之前的8場比賽中，中國隊必勝4場，負4場（若勝5場，則a5不必出場所以所求事件的概率為P=C()9=.（2）中國隊被淘汰k1(k=1,2,3…n)人且中國隊獲得擂臺賽勝利，則共進行了n+k1場比賽，前n+k2場比賽中，中國隊被淘汰了k1人，負了k1場，所以Pk=C+2pn(1p)k1(k=1,2,…n).（3）中國隊獲得擂臺賽勝利的事件是ak(k=1,2,…,n)勝bn的n個互斥事件的和，由（2）知，ak勝bn的概率為Pk=C+2pn(1p)k1，所以中國隊獲得擂臺賽勝利的概率P(A)=Pk=C+2pn(1p)k1.72023·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）2023年中央一號文件指出，民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村必振興.為助力鄉(xiāng)村振興，某電商平臺準備為某地的農(nóng)副特色產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專場.直播前，此平臺用不同的單價試銷，并在購買的顧客中進行體驗調(diào)查問卷.為了回饋100名熱心參與問卷的顧客，此平臺決定在直播中專門為他們設(shè)置兩次抽獎活動，每次抽獎都是由系統(tǒng)獨立、隨機地從這100名顧客中抽取20名顧客，抽中顧客會有禮品贈送，若直播時這100名顧客都在線，記兩次抽中的顧客總?cè)藬?shù)為X（不重復(fù)計數(shù)）.(1)若甲是這100名顧客中的一人，求甲被抽中的概率；(2)求使P(X=k)取得最大值的整數(shù)k.【答案】(1)【詳解】（1）設(shè)事件A：“顧客甲第一次抽中”，事件B：“顧客甲第二次抽中”，因為A與B是相互獨立事件，所以A與B相互獨立，（2）“由系統(tǒng)獨立、隨機地從這100名顧客中抽取20名顧客，抽取兩次”所包含的基本事件總數(shù)為(C0)2，當X=k時，兩次都中獎的人數(shù)為40一k，只在第一次中獎的顧客人數(shù)為k一20，只在第二次中獎的顧客人數(shù)也為k一20，由乘法原理知：事件{X=k}所包含的基本事件數(shù)為C0C一kC20=C0C20C20，((k-19)(k-19)之(40-k)(100-k)則有〈l(41-k)(101-k)之(k-20)(k-20)，因為k為整數(shù)，所以k=36，所以P(X=k)取到最大值時，k=36.④隨機變量及其分布列12023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測）適量的運動有助于增強自身體質(zhì)，加快體內(nèi)新陳代謝，有利于抵御疾病．某社區(qū)組織社區(qū)居民參加有獎投籃比賽，已知小李每次在罰球點投進的概率都為p(0<p<1).(1)若每次投籃相互獨立，小李在罰球點連續(xù)投籃6次，恰好投進4次的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0；(2)現(xiàn)有兩種投籃比賽規(guī)則，規(guī)則一：在罰球點連續(xù)投籃6次，每投進一次，獎勵兩盒雞蛋，每次投籃相互獨立，每次在罰球點投進的概率都以（1）中確定的p0作為p的值；規(guī)則二：連續(xù)投籃3次，每投進一次，獎勵四盒雞蛋．第一次在罰球點投籃，投進的概率以（1）中確定的p0作為p的值，若前次投進，則下一次投籃位置不變，投進概率也不變，若前次未投進，則下次投籃要后退1米，投進概率變?yōu)樯洗瓮哆M概率的一半．請分析小李應(yīng)選哪種比賽規(guī)則對自己更有利.【答案】(1)最大值點p0=(2)小李應(yīng)選規(guī)則一參加比賽.【詳解】（1）由題意得則f(p)=Cp4(1-p)2,pe(0,1)，則f,(p)=C4p3(1-p)2-2p4(1-p)=Cp3(1-p)(4-6p)，令f,(p)=0，得p=，內(nèi)單調(diào)遞減，所以f(p)的最大值點p0=.（2）若選規(guī)則一，記X為小李投進的次數(shù)，則X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6.記Y為小李所得雞蛋的盒數(shù)，則Y=2X，E(Y)=2E(X)=8.若選規(guī)則二，記Z為小李投進的次數(shù)，則Z的所有可能取值為0，1，2，3.記小李第k次投進為事件Ak(k=1,2,3)，未投進為事件Ak，投進3次對應(yīng)事件為A1A2A3，所以Z的分布列為Z0123P 27 27 27 27記L為小李所得雞蛋的盒數(shù)，則L=4Z，E(L)=,3因為E(Y)>E(L)，所以小李應(yīng)選規(guī)則一參加比賽.22023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）小李從家出發(fā)步行前往公司上班，公司要求不晚于8點整到達，否則視為遲到.小李上班路上需要經(jīng)過4個路口，每個路口遇到紅燈的概率均為，且相互獨立.已知每遇到紅燈的平均等候時長皆為1分鐘，若沒有遇到任何紅燈則小李僅需10分鐘即可到達公司.求：(1)要保證不遲到的概率高于90%，小李最晚在幾點幾分從家出發(fā)；(2)若小李連續(xù)兩天7點48分從家出發(fā)，則恰有一天遲到的概率；(3)小李上班路上的平均時長.【答案】(1)7點47分【詳解】（1）根據(jù)題意可知若7點46分出門，則一定不會遲到；若7點47分出門，僅當遇到4個紅燈時才會遲到，則遲到的概率為4=，不遲到的概率為,遲到的概率為<90%，所以若保證不遲到的概率高于90%，小李最晚在7點47分從家出發(fā).（2）由（1）可知，小李7點48分從家出發(fā)遲到的概率為1，不遲到的概率為，（3）方法1：根據(jù)題意可知小李每天上班時長X可能得取值為10，11，12，13，14（分鐘），則444X的分布列為XP 1438 14 方法2：設(shè)小李每天上班時長X=10，11，12，13，14（分鐘），所以E(Y)=np=2，所以E(X)=E(Y+10)=12（分鐘）.32023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）近年來，購買盲盒成為當下年輕人的潮流之一，為了引導(dǎo)青少年正確消費，國家市場監(jiān)管總局提出，盲盒經(jīng)營行為應(yīng)規(guī)范指引，經(jīng)營者不能變相誘導(dǎo)消費．盲盒最吸引人的地方，是因為盒子上沒有標注，只有打開才會知道自己買到了什么，這種不確定性的背后就是概率．幾何分布是概率論中非常重要的一個概率模型，可描述如下：在獨立的伯努利（Bernoulli）試驗中，若所考慮事件首次出現(xiàn)，則試驗停止，此時所進行的試驗次數(shù)X服從幾何分布，事件發(fā)生的概率p即為幾何分布的參數(shù)，記作X~G(p)．幾何分布有如下性質(zhì)：分布列為P(X=k)=(1-p)k-1p，k=1,2,...,n,...，期望．現(xiàn)有甲文具店推出四種款式不同、單價相同的文具盲盒，數(shù)量足夠多，購買規(guī)則及概率規(guī)定如下：每次購買一個，且買到任意一種款式的文具盲盒是等可能的.(1)現(xiàn)小嘉欲到甲文具店購買文具盲盒.①求他第二次購買的文具盲盒的款式與第一次購買的不同的概率；②設(shè)他首次買到兩種不同款式的文具盲盒時所需要的購買次數(shù)為Y，求Y的期望；(2)若甲文具店的文具盲盒的單價為12元，乙文具店出售與甲文具店款式相同的非盲盒文具且單價為18元．小興為了買齊這四種款式的文具，他應(yīng)選擇去哪家文具店購買更省錢，并說明理由.34【答案】34(2)應(yīng)該去乙店購買非盲盒文具，理由見解析【詳解】（1）①由題意可知，當?shù)谝淮钨徺I的文具盲盒已經(jīng)確定時，第二次只需買到其余的三種文具盲盒的任意一款即可，所以p=；②設(shè)從第一次購買文具后直到購買到兩種不同款式的文具盲盒所需要的購買次數(shù)為X，則由題意可知（2）由題意，在乙店買齊全部文具盲盒所花費的費用為18根4=72元，設(shè)從甲店買齊四種文具盲盒所需要的購買次數(shù)為Z，從第一次購買到i-1種不同款式的文具開始，到第一次購買到i種不同款式的文具盲盒所需要的購買次數(shù)為隨機變量Zi，234)所以在甲店買齊全部文具盲盒所需費用的期望為12E(Z)=100>72，所以應(yīng)該去乙店購買非盲盒文具.42023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點工作（強基計劃）的?？加稍圏c高校自主命題，校考過程中達到筆試優(yōu)秀才能進入面試環(huán)節(jié).已知A,B兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否達到優(yōu)秀相互獨立.若某考生報考A大學(xué)，每門科目達到優(yōu)秀的概率均為，若該考生報考B大學(xué)，每門科目達到優(yōu)秀的概率依次為n，其中0<n<1.(1)若n=，分別求出該考生報考A,B兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門科目達到優(yōu)秀的概率；(2)強基計劃規(guī)定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中達到優(yōu)秀科目個數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更有希望進入A大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，求n的范圍.【答案】(1)報考A大學(xué)恰好有一門筆試科目優(yōu)秀概率為54；報考B大學(xué)恰好有一門筆試科目優(yōu)秀概率為 20【詳解】（1）設(shè)該考生報考A大學(xué)恰好有一門筆試