上海市寶山區(qū)2024屆高三下學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第二學(xué)期期中高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷考生注意：1．本試卷共21題，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．本試卷包括試題卷和答題紙兩部分，答題紙另頁(yè)，正反面；3．在本試題卷上答題無(wú)效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題；4．可使用符合規(guī)定的計(jì)算器答題．一、填空題（本大題共有12題，滿(mǎn)分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分），要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得分，否則一律得零分．1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.2.已知，則_______.3.將化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式為_(kāi)______.4.已知向量，，若，則實(shí)數(shù).5.設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則.6.有一組數(shù)從小到大排列為：，，，，，.若其極差與平均數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為_(kāi)______.7.已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值為.8.在數(shù)列中，，則_______.9.某公司為了了解某商品的月銷(xiāo)售量（單位：萬(wàn)件）與月銷(xiāo)售單價(jià)（單位：元/件）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了個(gè)月的銷(xiāo)售量與銷(xiāo)售單價(jià)，并制作了如下對(duì)照表：月銷(xiāo)售單價(jià)（元/件）1015202530月銷(xiāo)售量（萬(wàn)件）1110865由表中數(shù)據(jù)可得回歸方程中，試預(yù)測(cè)當(dāng)月銷(xiāo)售單價(jià)為元/件時(shí)，月銷(xiāo)售量為萬(wàn)件.10.已知雙曲線，以雙曲線的右頂點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為_(kāi)______.11.某區(qū)域的地形大致如下左圖，某部門(mén)負(fù)責(zé)該區(qū)域的安全警戒，在哨位的正上方安裝探照燈對(duì)警戒區(qū)域進(jìn)行探查掃描.假設(shè)1：警戒區(qū)域?yàn)榭諘绲纳拳h(huán)形平地；假設(shè)2：視探照燈為點(diǎn)，且距離地面米；假設(shè)3：探照燈照射在地面上的光斑是橢圓.當(dāng)探照燈以某一俯角從側(cè)掃描到側(cè)時(shí)，記為一次掃描，此過(guò)程中照射在地面上的光斑形成一個(gè)扇環(huán).由此，通過(guò)調(diào)整的俯角，逐次掃描形成扇環(huán)、、.第一次掃描時(shí)，光斑的長(zhǎng)軸為，米，此時(shí)在探照燈處測(cè)得點(diǎn)的俯角為（如下右圖）.記，經(jīng)測(cè)量知米，且是公差約為米的等差數(shù)列，則至少需要經(jīng)過(guò)次掃描，才能將整個(gè)警戒區(qū)域掃描完畢.空間直角坐標(biāo)系中，從原點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量、滿(mǎn)足：，，且存在實(shí)數(shù)，使得成立，則由構(gòu)成的空間幾何體的體積是.二（本大題共有4題，滿(mǎn)分18分，第13～14題每題4分，第15～16題每題5分）13.已知，則（）.A．B．C．D．14.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布.若，則（）.B．C．D．15.已知直線與平面，則下列命題中正確的是（）.A．若，，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則數(shù)列中，是其前項(xiàng)的和，若對(duì)任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱(chēng)數(shù)列為“某數(shù)列”.現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①等比數(shù)列為“某數(shù)列”；②對(duì)任意的等差數(shù)列，總存在兩個(gè)“某數(shù)列”和，使得.則下列選項(xiàng)中正確的是 （）.A．①為真命題，②為真命題 B．①為真命題，②為假命題 C．①為假命題，②為真命題 D．①為假命題，②為假命題三、解答題（本大題共有5題，滿(mǎn)分78分），解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對(duì)應(yīng)的題號(hào)）內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟．17．（本題滿(mǎn)分14分，第1小題滿(mǎn)分6分，第2小題滿(mǎn)分8分）在中，角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若的面積為，求的最小值，并判斷此時(shí)的形狀.18．（本題滿(mǎn)分14分，第1小題滿(mǎn)分6分，第2小題滿(mǎn)分8分）如圖，已知點(diǎn)在圓柱的底面圓的圓周上，為圓的直徑.（1）求證：；（2）若圓柱的體積為，求異面直線與所成角的大小.19．（本題滿(mǎn)分16分，第1小題滿(mǎn)分3分，第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題滿(mǎn)分7分）在課外活動(dòng)中，甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行投籃比賽，每人投次，每投進(jìn)一次得2分，否則得分.已知甲每次投進(jìn)的概率為，且每次投籃相互獨(dú)立；乙第一次投籃，投進(jìn)的概率為，從第二次投籃開(kāi)始，若前一次投進(jìn)，則該次投進(jìn)的概率為，若前一次沒(méi)投進(jìn)，則該次投進(jìn)的概率為.求甲投籃次得分的概率；若乙投籃次得分為,求的分布和期望；比較甲、乙的比賽結(jié)果.20．（本題滿(mǎn)分16分，第1小題滿(mǎn)分3分，第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題滿(mǎn)分7分）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，設(shè)點(diǎn)在第一象限且在雙曲線上，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求雙曲線的兩條漸近線夾角的余弦值；（2）若求的取值范圍；（3）橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且短軸的端點(diǎn)恰好是兩點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．記、的面積分別為、.求的最小值，并寫(xiě)出取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).21．（本題滿(mǎn)分18分，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題滿(mǎn)分8分）函數(shù)的表達(dá)式為.（1）若，直線與曲線相切于點(diǎn)，求直線的方程；（2）函數(shù)的最小正周期是，令，將函數(shù)的零點(diǎn)由小到大依次記為，證明：數(shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列；（3）已知定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有且.記，.當(dāng)時(shí)，是否存在，使得成立？若存在，求出符合題意的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.12.解：由已知得，所以所以存在實(shí)數(shù)，使得不等式有解，則，解得又因?yàn)榍?，所以在方向上的?shù)量投影是2，所以，圍成的空間幾何體是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，高為2，母線長(zhǎng)為的圓錐（如圖）故由構(gòu)成的空間幾何體的體積14.15.16.17.解：（1）由正弦定理得..........................2分又由余弦定理得...............................4分因?yàn)槭侨切蝺?nèi)角，所以....................................6分由三角形面積公式..........................8分得.........................10分因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，........................12分所以的最小值為，此時(shí)為等邊三角形.............................14分18.解：（1）證明：圓柱中，易知，從而是在圓上的投影.....2分又為圓的直徑，可得.......................4分由三垂線定理，就得.......................6分（2）延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接、、，易知，（或其補(bǔ)角）即為所求的角..........................8分由題知解得.................................10分中，由余弦定理得.......................13分從而所以異面直線與所成角的大小為................................14分解：（1）甲投籃次得分，即只投中次，概率.................3分（2）由題意知的所有可能取值為則.................4分.................5分.................6分.................7分隨機(jī)變量的分布為..................8分期望.................9分（3）設(shè)甲三次投籃的得分，則=可求得隨機(jī)變量的分布為所以.............11分...........12分又可算得.......13分因?yàn)椋约鬃罱K的得分均值等于乙最終的得分均值，但乙贏得的分值不如甲穩(wěn)定........16分另解：設(shè)甲三次投籃的次數(shù)為，則設(shè)甲的投籃得分為，則，從而20.解：（1）兩條漸近線方程為.............................1分設(shè)兩條直線夾角為，則........................2分所以雙曲線的兩條漸近線夾角的余弦值為...............................3分（2）設(shè)，由已知得..................4分，，則得..............................6分又點(diǎn)在雙曲線上，有即從而得.又點(diǎn)是雙曲線在第一象限的點(diǎn)，所以.所以................................9分橢圓中，焦點(diǎn)在軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程為..................10分設(shè)，直線的斜率為則直線的方程為聯(lián)立方程組得該方程的兩根分別為和同理可得所以.........................12分記..........................13分則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，.....................15分所以的最小值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.................16分另解:因?yàn)?，所以即又，，代入上式化?jiǎn)得，整理得21.解（1）時(shí)，則..................1分從而..................3分所以直線的方程是..................4分（2）由，可知，則（），.......................5分當(dāng)時(shí).......................6分①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；.....................7分②當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋芍谏蠂?yán)格增，在嚴(yán)格減又在上嚴(yán)格增，在嚴(yán)格減，所以時(shí)，在時(shí)有最小值，在時(shí)有最大值因?yàn)樗栽谏蠜](méi)有交點(diǎn)，即在上沒(méi)有零點(diǎn).......................9分所以函數(shù)的零點(diǎn)滿(mǎn)足，.因?yàn)樵趪?yán)格減，所以.又因?yàn)?，所以?shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列........................10分（3）因?yàn)?，所以是以為周期的周期函?shù).................11分因?yàn)槿我?，?dāng)時(shí)，都有且，所以當(dāng)時(shí)，在上有唯一的最大值1.....................