山東省煙臺招遠(yuǎn)市第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題(含答案)

~2024學(xué)年度第二學(xué)期期中月考高一數(shù)學(xué)注意事項：1．本試題滿分150分，考試時間為120分鐘。2．答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號填涂在答題卡上。3．使用答題紙時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰．超出答題區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求。1．若復(fù)數(shù)為實數(shù)，則a的值為（）A． B．0 C．1 D．22．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知G，O，H在△ABC所在平面內(nèi)，滿足，，，則點G，O，H依次為△ABC的（）A．重心，外心，內(nèi)心 B．重心、內(nèi)心，外心C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心4．已知向量，，若與共線，則向量在向量上的投影向量為（）A． B． C． D．5．若O為△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足，則△ABC的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形6．在中，已知，，則（）A． B． C． D．7．在△ABC中，，當(dāng)時，的最小值為4．若，，其中，則的最大值為（）A．2 B． C． D．8．在斜△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，點O滿足，且，則△ABC的面積為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知復(fù)數(shù)，，下列說法正確的有（）A．若，則B．若，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在一個圓周上C．若，則D．若，則10．“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個重要定理，它包含三個結(jié)論，其中一個是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．如圖，已知圓O的半徑2，點P是圓O內(nèi)的定點，且，弦AC，BD均過點P，則下列說法正確的有（）A．為定值B．當(dāng)時，為定值C．的最大值為12D．的取值范圍是11．已知有兩個不相等的非零向量，，兩組向量，，，，和，，，，均由2個和3個任意排列而成，記，表示S所有可能取值中的最小值，則下列說法正確的有（）A．S有3個不同的值B．若，則與無關(guān)C．若，則與無關(guān)D．若，，則與的夾角為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知是關(guān)于x的實系數(shù)方程的一個根，則的值為________13．若△ABC內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，，則的值為________14．如圖，在△ABC中，已知，，AB，BC邊上的中線CE，AF交于點D，則________四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知向量，滿足，，．（1）求與的夾角的余弦值；（2）求以，為鄰邊的三角形的面積；（3）求．16．（15分）已知，，，函數(shù)的最小正周期為．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足，，求△ABC周長的取值范圍．17．（15分）已知點G是邊長為2的正△ABC的中心，線段DE經(jīng)過點G分別交邊AB，AC于點D，E，設(shè)，，其中，．（1）求的值；（2）求△ADE面積的最小值，并指出相應(yīng)的m，n的值．18．（17分）在△ABC中，已知，，，設(shè)點P為邊BC上一點，點Q為線段CA延長線上的一點．（1）當(dāng)且P是邊BC上的中點時，設(shè)PQ與AB交于點M，求線段CM的長;（2）設(shè)，若，求線段AQ長度的最小值．19．（17分）定義非零向量．若函數(shù)解析式滿足，則稱為向量的“伴生函數(shù)”，向量為函數(shù)的“源向量”．（1）已知向量為函數(shù)的“源向量”，若方程在上有且僅有四個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍；（2）已知點滿足，向量的“伴生函數(shù)”在時取得最大值，當(dāng)點A運動時，求的取值范圍；（3）已知向量的“伴生函數(shù)”在時的取值為．若在△ABC中，，，若點O為該三角形的內(nèi)心，求的最大值．2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期期中月考高一數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題ADCD CABC二、選擇題9．AB 10．ABD 11．ACD三、填空題12． 13． 14．四、解答題15．解：（1），， 2分，; 4分（2）由（1）知，， 6分的面積為 8分（3）由（1）知， 10分， 12分． 13分16．解：（1）因為，，則， 1分， 3分故， 5分因為最小正周期為，所以，所以，故， 6分由，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，． 7分（2）由（1）及，即，又，所以，解得 9分又△ABC為銳角三角形，即即，解 11分， 13分又，，， 14分，所以△ABC周長的取值范圍為． 15分17．解：（1）延長AG交BC與F，由G是正三角形ABC的中心，得F為BC的中點， 1分則， 2分由，，得， 4分又D，G，E三點共線，所以，即． 6分（2）△ABC是邊長為2的正三角形，則，， 7分． 8分由，則， 9分，，解得， 10分． 11分設(shè)，則， 12分則， 14分當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)，即時，取得最小值． 15分18．解：（1）設(shè)，，當(dāng)，得A是QC的中點， 1分又P是BC的中點時，則M是△CBQ的重心， 2分 3分 4分（2）設(shè)，則， 6分， 8分由，得：， 10分，因為且（），所以即， 12分， 13分令，則， 15分當(dāng)且僅當(dāng)即時取到等號，所以t的最大值是，又，故AQ線段的最小值為． 17分19．解：（1）因為向量為函數(shù)的“源向量”，所以， 1分則方程在上有且僅有四個不相等的實數(shù)根，所以，在上有且僅有四個不相等的實數(shù)根， 2分令，①當(dāng)時，②當(dāng)時，，所以 4分其圖象為：結(jié)合，，，最大值為3故當(dāng)在上有且僅有四個不相等的實數(shù)根時，k的取值范圍為 6分（2）由題意得：，其中，當(dāng)，即時，取最大值，故， 8分則， 9分