廣東省廣州市華南師范大學(xué)附屬黃埔實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

-2024學(xué)年廣東省廣州市黃埔區(qū)華南師大附中九年級(jí)（上）段考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是(

)A. B. C. D.2.已知點(diǎn)A坐標(biāo)為，則A點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)為(

)A. B. C. D.3.如果是方程的解，那么常數(shù)k的值為(

)A.2 B.1 C. D.4.若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則a的值為(

)A.0 B.1 C. D.1或5.如圖，弦AB所對(duì)的圓心角為，則弦AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)為(

)A.

B.

C.或

D.不確定6.如圖，的直徑CD為26，弦AB的長(zhǎng)為24，且，垂足為M，則CM的長(zhǎng)為(

)A.25

B.8

C.5

D.137.一元二次方程的根的情況是(

)A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù) B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D.無(wú)法判斷8.已知拋物線，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.開(kāi)口方向向下 B.形狀與相同

C.頂點(diǎn) D.對(duì)稱(chēng)軸是9.二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小.其中正確的有(

)A.4個(gè)

B.3個(gè)

C.2個(gè)

D.1個(gè)

10.如圖，AB是半圓O的直徑，，，，E為線段CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OE，則OE的最小值為(

)

A. B.1 C. D.2二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.方程的解是______.12.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，若它的一個(gè)外角，則的度數(shù)為_(kāi)_____.

13.某型號(hào)的手機(jī)連續(xù)兩次降價(jià)，每個(gè)售價(jià)由原來(lái)的3580元降到了2580元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則可列方程為_(kāi)_____.14.二次函數(shù)中的部分對(duì)應(yīng)值如表：x012y6323則當(dāng)時(shí)，y的值為_(kāi)_____.15.如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若線段，則BE的長(zhǎng)度為_(kāi)_____.

16.如圖，射線OC與x軸正半軸的夾角為，點(diǎn)A是OC上一點(diǎn)，軸于H，將繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，到達(dá)的位置，再將沿著y軸翻折到達(dá)的位置，若點(diǎn)G恰好在拋物線上，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_____.

三、計(jì)算題：本大題共1小題，共6分。17.如圖所示的是水面一橋拱的示意圖，它的形狀類(lèi)似于拋物線，在正常水位時(shí)，該橋下水面寬度為20米，拱頂距離正常水面4米，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，求拋物線的解析式．四、解答題：本題共8小題，共66分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。18.本小題4分

解方程：19.本小題4分

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的位置如圖所示，作關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)的20.本小題6分

有一根20m長(zhǎng)的繩，怎樣用它圍成一個(gè)面積為的矩形？.21.本小題8分

如圖，的直徑，弦長(zhǎng)，的平分線交于點(diǎn)

求BC的長(zhǎng)；

求的面積．

22.本小題10分

已知二次函數(shù)；

求證：不論m為任何實(shí)數(shù)，此二次函數(shù)的圖象與x軸總有交點(diǎn)；

當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，確定m的值，并寫(xiě)出當(dāng)x為何值時(shí)23.本小題10分

某公司研發(fā)了一款新型玩具，成本為每個(gè)50元，投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷(xiāo)售，其銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本，按照物價(jià)部門(mén)規(guī)定，銷(xiāo)售利潤(rùn)率不高于，市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，在一段時(shí)間內(nèi)，每天銷(xiāo)售數(shù)量個(gè)與銷(xiāo)售單價(jià)元為整數(shù)符合一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．

求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

該公司要想每天獲得3000元的銷(xiāo)售利潤(rùn)，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元？24.本小題12分

在正方形ABCD中，M是BC邊上一點(diǎn)，且點(diǎn)M不與B、C重合，點(diǎn)P在射線AM上，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AQ，連接BP，

依題意補(bǔ)全圖1，并求證：≌

連接DP，若點(diǎn)P，Q，D恰好在同一條直線上，求證：25.本小題12分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過(guò)A，B與點(diǎn)

求拋物線的解析式；

點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)A、B重合，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，交線段AB于點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

①求的面積y關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)m為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多少？

②若點(diǎn)E是垂線段PD的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．答案和解析1.【答案】C

【解析】解：是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

B.不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

C.是軸對(duì)稱(chēng)圖形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

D.是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意．

故選：

根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形．

本題考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念．軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對(duì)稱(chēng)圖形是要尋找對(duì)稱(chēng)中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．2.【答案】C

【解析】【分析】

直接利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出答案．

此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確掌握橫，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)是解題關(guān)鍵．

【解答】

解：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是

故選：3.【答案】D

【解析】解：把代入方程，得

，

解得

故選：

把代入方程可得到關(guān)于k的方程，可求得k的值．

此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．4.【答案】B

【解析】解：把代入得，解得，

所以a的值為

故選：

根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求出

本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．5.【答案】C

【解析】解：如圖，和為弦AB所對(duì)的圓周角，

和都對(duì)，

，

，

，

即弦AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)為或

故選：

如圖，和為弦AB所對(duì)的圓周角，利用圓周角定理得到，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出即可．

本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．6.【答案】B

【解析】解：連接OA，

的直徑CD為26，

，

，CD過(guò)O，

，

，

，

由勾股定理得：，

，

故選：

連接OA，根據(jù)垂徑定理求出AM，再根據(jù)勾股定理求出OM即可．

本題考查了勾股定理和垂徑定理，能根據(jù)垂徑定理得出是解此題的關(guān)鍵．7.【答案】C

【解析】解：，

，

方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

故選：

先求出“”的值，再根據(jù)根的判別式的內(nèi)容得出即可．

本題考查了根的判別式，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．8.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，以及拋物線的開(kāi)口方向的確定，是基礎(chǔ)題是，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.

【解答】

解：A、拋物線，，拋物線開(kāi)口向下，此選項(xiàng)正確；

B、拋物線形狀與相同，此選項(xiàng)正確；

C、拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、拋物線對(duì)稱(chēng)軸，此選項(xiàng)正確．

故選9.【答案】C

【解析】解：①由二次函數(shù)的圖象可知：拋物線的開(kāi)口向上，

；

又二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸，

；

，即①符合題意；

②由圖象知，對(duì)稱(chēng)軸，則故②符合題意；

③由圖象知，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，則，故③不符合題意；

④由圖象可知當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。盛懿环项}意．

綜上所述，正確的結(jié)論是：①②．

故選：

由拋物線的開(kāi)口方向判定a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸及拋物線與x交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．

此題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象找出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸．10.【答案】A

【解析】解：過(guò)O點(diǎn)作于F，如圖，

，，

，，

，

，

，

為等腰直角三角形，

，，

的最小值為

故選：

過(guò)O點(diǎn)作于F，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算出，再利用圓周角定理得到，則，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)垂線段最短求解．

本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．11.【答案】，

【解析】解：

或

，

故本題的答案是，

本方程的左邊為兩個(gè)一次因式相乘，右邊為0，所以直接得方程的根是0，

因式分解法解一元二次方程時(shí)，應(yīng)使方程的左邊為兩個(gè)一次因式相乘，右邊為0，再分別使各一次因式等于0即可求解．12.【答案】

【解析】解：四邊形ABCD內(nèi)接于，

，

，

故答案為：

由四邊形ABCD內(nèi)接于，可得，又由鄰補(bǔ)角的定義，可證得繼而求得答案．

此題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．注意掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解此題的關(guān)鍵．13.【答案】

【解析】解：依題意得：第一次降價(jià)后售價(jià)為：，

則第二次降價(jià)后的售價(jià)為：，

故答案為：

先列出第一次降價(jià)后售價(jià)的代數(shù)式，再根據(jù)第一次的售價(jià)列出第二次降價(jià)后售價(jià)的代數(shù)式，然后根據(jù)已知條件即可列出方程．

此題考查一元二次方程的運(yùn)用，解題關(guān)鍵在于掌握用一元二次方程解決增長(zhǎng)率問(wèn)題常用的等量關(guān)系，其中a為原來(lái)的基礎(chǔ)，b為變化后的量，x為增長(zhǎng)率，n為連續(xù)增長(zhǎng)的次數(shù)．14.【答案】6

【解析】解：由表可知，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)函數(shù)解析式為，

將代入得，，

解得，

拋物線解析式為，

當(dāng)時(shí)，，

故答案為：

由表可知，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)函數(shù)解析式為，將代入求出a的值，再將代入即可求解．

本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)表格數(shù)據(jù)判斷出頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．15.【答案】5

【解析】解：繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

得到，

，，

是等邊三角形，

，

，

故答案為：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，然后判斷出是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16.【答案】

【解析】解：點(diǎn)G的坐標(biāo)為，

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，

點(diǎn)A的坐標(biāo)為，

射線OC與x軸正半軸的夾角為，

，

即，

解得，，

點(diǎn)A的坐標(biāo)為

根據(jù)點(diǎn)G在上，可以設(shè)出點(diǎn)G的坐標(biāo)，從而可以表示出點(diǎn)D和點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可以求得點(diǎn)A的坐標(biāo)．

本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、翻折變換、坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．17.【答案】解：設(shè)拋物線解析式為，

把點(diǎn)代入解析式得：，

解得：，

拋物線的解析式為

【解析】設(shè)拋物線解析式為，把點(diǎn)代入解析式求得a的值即可．

本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．18.【答案】解：移項(xiàng)得，

配方得，

即，

開(kāi)方得，

，

【解析】解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)．

用配方法解一元二次方程的步驟：

形如型：第一步移項(xiàng)，把常數(shù)項(xiàng)移到右邊；第二步配方，左右兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；第三步左邊寫(xiě)成完全平方式；第四步，直接開(kāi)方即可．

形如型，方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，即化成，然后配方．19.【答案】解：如圖，即為所求作的三角形．

【解析】分別確定A，B，C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，，，再順次連接點(diǎn)，，即可．

本題考查的是作關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的中心對(duì)稱(chēng)圖形，利用中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)進(jìn)行作圖是解本題的關(guān)鍵．20.【答案】解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為xm，則寬為

由題意：，

解得或舍棄，

，

答：矩形的長(zhǎng)為6m，則寬為

【解析】設(shè)矩形的長(zhǎng)為xm，則寬為根據(jù)矩形的面積列出方程即可解決問(wèn)題；

本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)設(shè)未知數(shù)，尋找等量關(guān)系．列出方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．21.【答案】解：是直徑，

，

在中，，，，

，

；

平分，

，

，

又在中，

的面積

【解析】先根據(jù)直徑所對(duì)的角是，判斷出和是直角三角形，根據(jù)圓周角的平分線交于D，判斷出為等腰直角三角形，然后根據(jù)勾股定理求出具體值．

求得AD和BD的長(zhǎng)后利用三角形的面積公式求解即可．

本題考查的是圓周角定理及勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意得出等腰直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．22.【答案】證明：，

，

不論m為任何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖象與x軸都有交點(diǎn)；

解：將點(diǎn)代入，得：，

解得

二次函數(shù)的解析式為，

令，則，

解得：，，

二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為、

所以函數(shù)的簡(jiǎn)易圖象如下：

當(dāng)時(shí)，或

【解析】先計(jì)算根的判別式，然后判斷根的判別式的值是否大于等于0即可得證；

將點(diǎn)代入解析式即可求得m的值，然后令即可得到二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用函數(shù)圖象可得答案；

本題考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)特征．熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．23.【答案】解：設(shè)為常數(shù)

將點(diǎn)，代入得，

解得：，

與x的函數(shù)關(guān)系式為：；

解不等式組，

解得：且x為整數(shù)；

由題意得：，

化簡(jiǎn)得：，

解得：，，

，

不符合題意，舍去

答：銷(xiāo)售單價(jià)為80元；

設(shè)每天獲得的利潤(rùn)為w元，由題意得

，拋物線開(kāi)口向下

有最大值，

，

當(dāng)時(shí)，，

答：銷(xiāo)售單價(jià)為85元時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最大，最大