數(shù)列的極限與連續(xù)

關(guān)于數(shù)列的極限與連續(xù)2024/4/112§2.1數(shù)列的極限(LimitsofSequences)二收斂數(shù)列的性質(zhì)一數(shù)列極限的定義三小結(jié)與思考判斷題CH2極限、連續(xù)第2頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1132.1.1數(shù)列概念例如第3頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/114注意：1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點(diǎn)列.可看作一動點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)第4頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/115定義2.數(shù)列單調(diào)性定義單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列同樣,定義3：數(shù)列有界性定義第5頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/116幾何意義:由于|xn|

M

M

xn

M

xn[M,M].故,所謂xn有界,就是xn要全部落在某個對稱區(qū)間[

M,M]內(nèi).看圖0Mxxn

M][第6頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1172.1.2數(shù)列極限的概念第7頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/118圖形演示第8頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/119圖形演示第9頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1110圖形演示第10頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1111圖形演示第11頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1112圖形演示第12頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1113圖形演示第13頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1114圖形演示第14頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1115圖形演示第15頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1116圖形演示第16頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1117圖形演示第17頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1118圖形演示第18頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1119圖形演示第19頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1120圖形演示第20頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1121問題:當(dāng)

無限增大時,是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.通過上面演示實驗的觀察:第21頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1122第22頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1123如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：定義3

如果對于任意給定的正數(shù)(不論它多么小)總存在正數(shù)，使得對于時的一切不等式都成立,那末就稱常數(shù)為數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于,記為第23頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1124注①定義1習(xí)慣上稱為極限的ε—N定義，它用兩個動態(tài)指標(biāo)ε和N刻畫了極限的實質(zhì)，用|xn－a|＜ε定量地刻畫了xn與a之間的距離任意小，即任給ε＞0標(biāo)志著“要多小”的要求，用n

＞N表示n充分大。這個定義有三個要素：10，正數(shù)ε，20，正整數(shù)N，30，不等式|xn－a|＜ε（n

＞N）②定義中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相對固定性。ε的二重性體現(xiàn)了xn逼近a時要經(jīng)歷一個無限的過程（這個無限過程通過ε的任意性來實現(xiàn)），但這個無限過程又要一步步地實現(xiàn)，而且每一步的變化都是有限的（這個有限的變化通過ε的相對固定性來實現(xiàn)）。第24頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/11251.我們用符號“”表示“任取”或“對于任意的”或“對于所有的”,符號“”稱為全稱量詞.2.我們用符號“”表示“存在”.符號“”稱為存在量詞.符號：第25頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1126幾何解釋:第26頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1127當(dāng)

x

=n,則相應(yīng)的點(diǎn)都落在綠色區(qū)域內(nèi)nf(n)0AN123N+1N+2數(shù)列的極限演示對一切n>N

自然數(shù)

N

A的

鄰域第27頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1128當(dāng)

x

=n,則nf(n)0AN123N+1N+2

數(shù)列的極限演示.相應(yīng)的點(diǎn)都落在綠色區(qū)域內(nèi)對一切n>N

自然數(shù)

N

A的

鄰域第28頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1129當(dāng)

x

=n,則nf(n)0AN123N+1N+2數(shù)列的極限演示.相應(yīng)的點(diǎn)都落在綠色區(qū)域內(nèi)對一切n>N

自然數(shù)

N

A的

鄰域第29頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1130當(dāng)

x

=n,則nf(n)0AN123N+1N+2.相應(yīng)的點(diǎn)都落在綠色區(qū)域內(nèi)對一切n>N

自然數(shù)

N

A的

鄰域數(shù)列的極限演示第30頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1131當(dāng)

x

=n,則nf(n)0A123NNNNNN+1N+2因此，數(shù)列的極限定義也稱數(shù)列極限的

—N定義.相應(yīng)的點(diǎn)都落在綠色區(qū)域內(nèi)對一切n>N

自然數(shù)

N

A的

鄰域數(shù)列的極限演示第31頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1132例1.

若xn=c(常數(shù)),則證:

>0.由于|xn–c|=|c–c|=0取N=1,當(dāng)n>N時,有|xn–c|=0<

故即常數(shù)的極限就是常數(shù)本身.數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.注意：第32頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1133例2證所以,第33頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1134例3證注:

用定義證明數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是從主要不等式出發(fā),由>0,找到使主要不等式成立的N(并不在乎N是否最小).第34頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1135例4、第35頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1136所以取要,只要使第36頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1137二、收斂數(shù)列的性質(zhì)1.收斂數(shù)列的唯一性定理1收斂的數(shù)列只有一個極限.證由定義,第37頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1138例5證由定義,區(qū)間長度為1.不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi).第38頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1139定理2收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,2.收斂數(shù)列的有界性注1

有界性是數(shù)列收斂的必要條件.注2

無界數(shù)列必定發(fā)散.數(shù)列注3

有界數(shù)列不一定收斂.數(shù)列第39頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/11403.收斂數(shù)列的保號性第40頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1141第41頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1142數(shù)列的子數(shù)列(略)子數(shù)列(子列):在數(shù)列中任意抽取無限多項,并保持這些項在原數(shù)列中的先后次序得到的數(shù)列,稱為原數(shù)列的子列.記作即其中例如自然數(shù)列第42頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/11434.收斂數(shù)列與其子列的關(guān)系(略)

axknn=￥?lim這就證明了NnnKkNnKKk=>>=.,時，有則當(dāng)取

證axnk<-\.||

eaxNnn<->;||時恒有當(dāng)eNaxxxknnnn$>"=￥?,,0,lim

}{}{使得由定義，的任一子數(shù)列.是數(shù)列設(shè)數(shù)列eQ第43頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1144例如數(shù)列

因為它有兩個子列分別收斂于1和-1兩個不同的數(shù)值.第44頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1145定理5.

設(shè)數(shù)列xn和yn

的極限都存在.且則(1)(2)(3)設(shè)C為常數(shù)，有(4)當(dāng)b0時，有三、數(shù)列極限的運(yùn)算法則第45頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1146第46頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1147定理4.

若證：由于注意到不等式

||A||B|||A

B|從而||xn||a|||xn

a|<故反之不對.注意：若，則結(jié)論成立。見教材P32習(xí)題7第47頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1148例6解先變形再求極限.第48頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1149例7.

求解：注意到從而所以，原式=第49頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/11501、夾逼（擠）準(zhǔn)則（定理4）2.1.4數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則第50頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/11511.夾逼（擠）準(zhǔn)則

(準(zhǔn)則1)證:

由條件(2),當(dāng)時,當(dāng)時,令則當(dāng)時,有由條件(1)即故第51頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1152注意:(2)兩者的極限相等.特別,若在夾逼定理中,yn

和zn

中有一個為常數(shù)列,并滿足定理條件.定理仍然成立.即若a

xn

zn,

這一方法能解決很多較為困難的求極限問題.第52頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1153例8解由夾逼定理得第53頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1154例9

證明證:利用夾逼準(zhǔn)則.且由第54頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1155例10.

求解：用夾逼定理求解，記適當(dāng)放大和縮小，形成定理要求的連不等式考慮將xn由于所以第55頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/11562單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)增加單調(diào)減少準(zhǔn)則Ⅱ單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)增加且有上界數(shù)列必有極限單調(diào)減少且有下界數(shù)列必有極限即：第56頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1157例11證(舍去)第57頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1158證明2:

首先注意到,當(dāng)a>b>0時,有移項,有即第58頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1159第59頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1160第60頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1161由于單調(diào)有界,從而必有極限.為一無理數(shù)第61頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1162注：第62頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1163例13.

設(shè)x0=1,證明xn

的極限存在，并求之.證：通常要證明某數(shù)列極限存在可考慮用:(1)單調(diào)有界數(shù)列必有極限.(2)夾逼定理(條件中往往有不等式).此例用(1)注意到0<xn2,即xn有界.且x1

x0第63頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1164同理，

=即xn

單調(diào)遞增.第64頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/4/1165因xn>0,故a0.第65頁,共72頁，2024年2月25日，星期天2024/