甘肅省天水市2024屆八年級下冊數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

甘肅省天水市2024屆八年級下冊數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．菱形的兩條對角線的長分別為6cm、8cm，則菱形的邊長是（）A．10cm B．7cm C．5cm D．4cm2．已知，那么下列式子中一定成立的是()A． B． C． D．3．如圖，在平面直角坐標系中，已知點，.若平移點到點，使以點，，，為頂點的四邊形是菱形，則正確的平移方法是()A．向左平移1個單位，再向下平移1個單位B．向左平移個單位，再向上平移1個單位C．向右平移個單位，再向上平移1個單位D．向右平移1個單位，再向上平移1個單位4．如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為（）A． B． C． D．π5．下列四個圖形分別是四屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標，其中不屬于中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．6．一組數(shù)據(jù)3，4，4，5，若添加一個數(shù)4，則發(fā)生變化的統(tǒng)計量是()A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．中位數(shù) D．方差7．如圖所示是根據(jù)某班級名同學(xué)一周的體育鍛煉情況繪制的統(tǒng)計圖，由圖像可知該班同學(xué)一周參加體育鍛煉時間的中位數(shù)，眾數(shù)分別是（）A．，B．，C．，D．，8．某學(xué)習小組7名同學(xué)在一學(xué)期里閱讀課外書籍的冊數(shù)分別是：14，12，13，12，17，18，16，則這組數(shù)據(jù)中位數(shù)是（）A．12B．13C．14D．179．下列是最簡二次根式的為（）A． B． C． D．（a＞0）10．某商店今年1月份的銷售額是2萬元，3月份的銷售額是4.5萬元，從1月份到3月份，該店銷售額平均每月的增長率是（）A．20% B．25% C．50% D．62.5%11．方程x2﹣4x+5＝0根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根12．把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知，則球的半徑長是（）A．2 B．2.5 C．3 D．4二、填空題（每題4分，共24分）13．對于一個函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當?1≤x≤1時，?1≤y≤1，則稱這個函數(shù)為“閉函數(shù)”.例如：y=x，y=?x均是“閉函數(shù)”.已知yax2bxc(a0)是“閉函數(shù)”，且拋物線經(jīng)過點A(1，?1)和點B(?1，1)，則a的取值范圍是______________.14．如圖，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)至，使點落在的延長線上．已知，則___________度；如圖，已知正方形的邊長為分別是邊上的點，且，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到．若，則的長為_________．15．一次函數(shù)y=-3x+a的圖像與兩坐標軸所圍成的三角形面積是6，則a的值為_________.16．從A，B兩題中任選一題作答：A.如圖，在ΔABC中，分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧交與點M，N，作直線MN交AB于點E，交BC于點F，連接AF。若AF＝6，F(xiàn)C＝4，連接點E和AC的中點G，則EG的長為__.B.如圖，在ΔABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，點D是邊BC的中點，點E在邊AC上運動，當DE平分ΔABC的周長時，DE的長為__.17．m，n分別是的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則2m-n=______．18．如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且AC＝4，BD＝7，CD＝3，則△ABO周長是__．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，直線y=x+b，分別交x軸，y軸于點A、C，點P是直線AC與雙曲線y=在第一象限內(nèi)的交點，過點P作PB⊥x軸于點B，若OB=2，PB=3.（1）填空：k=；（2）求△ABC的面積；（3）求在第一象限內(nèi)，當x取何值時，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值？20．（8分）解不等式組：,并把解集在數(shù)軸上表示出來．21．（8分）計算：22．（10分）某校在一次大課間活動中，采用了四種活動形式：A：跑步；B：跳繩；C：做操；D：游戲，全校學(xué)生都選擇了一種形式參與活動，小明對同學(xué)們選擇的活動形式進行了隨機抽樣調(diào)查，并繪制了不完整的兩幅統(tǒng)計圖，結(jié)合統(tǒng)計圖，回答下列問題：（1）本次調(diào)查學(xué)生共人，并將條形圖補充完整；（2）如果該校有學(xué)生2000人，請你估計該校選擇“跑步”這種活動的學(xué)生約有多少人？（3）學(xué)校在每班A、B、C、D四種活動形式中，隨機抽取兩種開展活動，求每班抽取的兩種形式恰好是“做操”和“跳繩”的概率．23．（10分）問題：將邊長為n(n≥2)的正三角形的三條邊分別n等分，連接各邊對應(yīng)的等分點，則該三角形中邊長為1的正三角形和邊長為2的正三角形分別有多少個？探究：要研究上面的問題，我們不妨先從最簡單的情形入手，進而找到一般性規(guī)律.探究一：將邊長為2的正三角形的三條邊分別二等分，連接各邊中點，則該三角形中邊長為1的正三角形和邊長為2的正三角形分別有多少個？如圖①，連接邊長為2的正三角形三條邊的中點，從上往下看：邊長為1的正三角形，第一層有1個，第二層有3個，共有1+3=2邊長為2的正三角形一共有1個.探究二：將邊長為3的正三角形的三條邊分別三等分，連接各邊對應(yīng)的等分點，則該三角形中邊長為1的正三角形和邊長為2的正三角形分別有多少個？如圖②，連接邊長為3的正三角形三條邊的對應(yīng)三等分點，從上往下看：邊長為1的正三角形，第一層有1個，第二層有3個，第三層有5個，共有1+3+5=32=9探究三：將邊長為4的正三角形的三條邊分別四等分（圖③），連接各邊對應(yīng)的等分點，則該三角形中邊長為1的正三角形和邊長為2的正三角形分別有多少個？（仿照上述方法，寫出探究過程）結(jié)論：將邊長為n(n≥2)的正三角形的三條邊分別n等分，連接各邊對應(yīng)的等分點，則該三角形中邊長為1的正三角形和邊長為2的正三角形分別有多少個？（仿照上述方法，寫出探究過程）應(yīng)用：將一個邊長為25的正三角形的三條邊分別25等分，連接各邊對應(yīng)的等分點，則該三角形中邊長為1的正三角形有______個和邊長為2的正三角形有______個.24．（10分）如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD交于點O，AB＝10，∠ABC＝60°，求菱形ABCD的面積．25．（12分）如圖，在□ABCD中，E、F分別是BC、AD上的點，且AE∥CF，AE與CF相等嗎？說明理由.26．某校在一次廣播操比賽中，初二（1）班、初二（2）班、初二（3）班的各項得分如下：服裝統(tǒng)一動作整齊動作準確初二（1）班初二（2）班初二（3）班（1）填空：根據(jù)表中提供的信息，在服裝統(tǒng)一方面，三個班得分的平均數(shù)是________；在動作整齊方面三個班得分的眾數(shù)是________；在動作準確方面最有優(yōu)勢的是________班．（2）如果服裝統(tǒng)一、動作整齊、動作準確三個方面的重要性之比為，那么這三個班的排名順序怎樣？為什么？（3）在（2）的條件下，你對三個班級中排名最靠后的班級有何建議？

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【解析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得到直角三角形，再利用勾股定理可求出邊長．【詳解】∵菱形的對角線互相垂直平分，∴兩條對角線的一半與菱形的邊長構(gòu)成直角三角形，∴菱形的邊長==5cm，故選C.【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是能根據(jù)菱形的對角線互相垂直得到直角三角形，再根據(jù)菱形的對角線互相平分得到直角三角形的兩直角邊.2、D【解析】

根據(jù)比例的性質(zhì)對各個選項進行判斷即可.【詳解】A.∵，∴3x=2y，∴不成立，故A不正確；B.∵，∴3x=2y，∴不成立，故B不正確；C.∵，∴y，∴不成立，故C不正確；D.∵，∴，∴成立，故D正確；故選D.【點睛】本題考查的是比例的性質(zhì),掌握內(nèi)項之積等于外項之積及更比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.更比性質(zhì)：在一個比例里，更換第一個比的后項與第二個比的前項的位置后，仍成比例，或者更換第一個比的前項與第二個比的后項的位置后，仍成比例，這叫做比例中的更比定理.對于實數(shù)a，b，c，d，且有b≠0，d≠0，如果，則有.3、D【解析】

過B作射線，在上截取，則四邊形是平行四邊形，過B作于H.【詳解】，.，，，則四邊形是菱形.因此平移點A到點C，向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到.故選D.【點睛】本題考查的知識點是四邊形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是劃對輔助線進行作答.4、B【解析】

根據(jù)勾股定理，可得答案．【詳解】，，A點表示的數(shù)是，故選B．【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，利用勾股定理是解題關(guān)鍵．5、A【解析】

根據(jù)把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心進行分析即可．【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項正確；B、是中心對稱圖形，故此選項錯誤；C、是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D、是中心對稱圖形，故此選項錯誤；故選：A．【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形的定義，判斷中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．6、D【解析】

依據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的定義和公式分別計算新舊兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差求解即可．【詳解】原數(shù)據(jù)的3，4，4，5的平均數(shù)為，原數(shù)據(jù)的3，4，4，5的中位數(shù)為4，原數(shù)據(jù)的3，4，4，5的眾數(shù)為4，原數(shù)據(jù)的3，4，4，5的方差為×[（3-4）2+（4-4）2×2+（5-4）2]=0.5；新數(shù)據(jù)3，4，4，4，5的平均數(shù)為，新數(shù)據(jù)3，4，4，4，5的中位數(shù)為4，新數(shù)據(jù)3，4，4，4，5的眾數(shù)為4，新數(shù)據(jù)3，4，4，4，5的方差為×[（3-4）2+（4-4）2×3+（5-4）2]=0.4；∴添加一個數(shù)據(jù)4，方差發(fā)生變化，故選D．【點睛】本題主要考查的是眾數(shù)、中位數(shù)、方差、平均數(shù)，熟練掌握相關(guān)概念和公式是解題的關(guān)鍵．7、B【解析】

根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的概念分別求解即可．【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列后，處于中間位置的那個數(shù)，由中位數(shù)的定義可知，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是9；

眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，即8；

故選：B【點睛】考查了中位數(shù)、眾數(shù)的概念，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻螅钪虚g的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果中位數(shù)的概念掌握得不好，不把數(shù)據(jù)按要求重新排列，就會錯誤地將這組數(shù)據(jù)最中間的那個數(shù)當作中位數(shù)．8、C【解析】分析:根據(jù)中位數(shù)的意義求解即可.詳解:從小到大排列：12,12,13,14,16,17,18，∵14排在中間，∴中位數(shù)是14.故選C.點睛:本題考查了中位數(shù)，如果一組數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，那么把這組數(shù)據(jù)從小到大排列后，排在中間位置的數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果一組數(shù)據(jù)有偶數(shù)個，那么把這組數(shù)據(jù)從小到大排列后，排在中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).9、A【解析】

A.是最簡二次根式；B.不是最簡二次根式，；C.不是最簡二次根式，；D.不是最簡二次根式，.故選A.【點睛】本題考查最簡二次根式：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.10、C【解析】試題解析：設(shè)該店銷售額平均每月的增長率為x，則二月份銷售額為2（1+x）萬元，三月份銷售額為2（1+x）2萬元，由題意可得：2（1+x）2=4.5，解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（不合題意舍去），答即該店銷售額平均每月的增長率為50%；故選C．11、D【解析】

解：∵a=1，b=﹣4，c=5，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，所以原方程沒有實數(shù)根．12、B【解析】

取EF的中點M，作MN⊥AD于點M，取MN上的球心O，連接OF，設(shè)OF=x，則OM=4-x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的長即可．【詳解】如圖：EF的中點M，作MN⊥AD于點M，取MN上的球心O，連接OF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四邊形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，設(shè)OF=x，則ON=OF，∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，即：（4-x）2+22=x2，解得：x=2.5，故選B．【點睛】本題主考查垂徑定理及勾股定理的知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、或【解析】分析：分別把點A、B代入函數(shù)的解析式，求出a、b、c的關(guān)系，然后根據(jù)拋物線的對稱軸x=，然后結(jié)合圖像判斷即可.詳解：∵yax2bxc(a0)經(jīng)過點A(1，?1)和點B(?1，1)∴a+b+c=-1，a-b+c=1∴a+c=0，b=-1則拋物線為：yax2bx–a∴對稱軸為x=①當a＜0時，拋物線開口向下，且x=＜0，如圖可知，當≤-1時符合題意，所以；當-1＜＜0時，圖像不符合-1≤y≤1的要求，舍去；②當a＞0時，拋物線的開口向上，且x=＞0，由圖可知≥1時符合題意，∴0＜a≤；當0＜＜1時，圖像不符合-1≤y≤1的要求，舍去.綜上所述，a的取值范圍是：或.故答案為或.點睛：本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，在解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解．14、462.1【解析】

先利用三角形外角性質(zhì)得∠ACA′=∠A+∠B=67°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BCB′=∠ACA′=67°，然后利用平角的定義計算∠ACB′的度數(shù)；由旋轉(zhuǎn)可得DE=DM，∠EDM為直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=41°，得到∠MDF為41°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出EF=MF；則可得到AE=CM=1，正方形的邊長為3，用AB-AE求出EB的長，再由BC+CM求出BM的長，設(shè)EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為FM的長．．【詳解】解：∵∠A=27°，∠B=40°，∴∠ACA′=∠A+∠B=67°，∵△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，∴∠BCB′=∠ACA′=67°，∴∠ACB′=180°-67°-67°=46°．∵△DAE逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F、C、M三點共線，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=41°，∴∠FDM=∠EDF=41°，在△DEF和△DMF中，，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=MF，設(shè)EF=MF=x，∵AE=CM=1，且BC=3，∴BM=BC+CM=4，∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x，∵EB=AB-AE=2，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即22+（4-x）2=x2，解得：x=2.1，∴FM=2.1．故答案為：46；2.1．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的綜合應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．15、±6【解析】

先根據(jù)坐標軸上點的坐標特征得到直線與坐標軸的交點坐標，再根據(jù)三角形面積公式得，然后解關(guān)于a的絕對值方程即可.【詳解】解：當y=0時，y=-3x+a=0，解得x=，則直線與x軸的交點坐標為（，0）；當x=0時，y=-3x+a=a，則直線與y軸的交點坐標為（0，a）；所以,解得：a=±6.故選答案為：±6.【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征：一次函數(shù)y=kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線.它與x軸的交點坐標是（，0）；與y軸的交點坐標是（0，b）.直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b.16、A.5B.【解析】

A.由作法知MN是線段AB的垂直平分線，所以BF=AF=6，然后根據(jù)EG是三角形ABC的中位線求解即可；B.延長CA到點B′，使AB’等于AB，連接BB′，過點A作AF⊥BB′，垂足為F.由ED平分ΔABC的周長，可知EB′=EC，從而DE為ΔCBB′的中位線，由等腰三角形的性質(zhì)求出∠B=∠B′=30°，從而BF=，進而可求出DE的長.【詳解】A.由尺規(guī)作圖可得直線MN為線段AB的垂直平分線，∴BF=AF=6，E為AB中點，∵點G為AC中點，∴EG為ΔABC的中位線，∴EG∥BC且EG＝BC，∵BF+FC=10，∴EG=5；B.如圖所示，延長CA到點B′，使AB’等于AB，連接BB′，過點A作AF⊥BB′，垂足為F.∵ED平分ΔABC的周長，∴AB+AE+BD=EC+DC.∵BD=DC，∴AB+AE=EC.∵AB=AB′，∴EB′=EC，∴DE為ΔCBB′的中位線.∵∠BAC=60°，∴ΔBAB′為頂角是120°的等腰三角形，∴∠B=∠B′=30°，∴AF=1，∴BF=，∴BB′=2，∴ED=.故答案為：A.5；B.【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖-作線段的垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握三角形中位線定理、正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．17、【解析】

先估算出的大致范圍，然后可求得-1的整數(shù)部分和小數(shù)部分，從而可得到m、n的值，最后代入計算即可．【詳解】解：∵1＜2＜4，∴1＜＜2，∴0＜-1＜1．∴m=0，n=-1．∴2m-n=0-（-1）=1-．故答案為：【點睛】本題主要考查的是估算無理數(shù)的大小，求得的大致范圍是解題的關(guān)鍵．18、8.1．【解析】

直接利用平行四邊形的性質(zhì)得出AO＝CO＝2，BO＝DO＝，DC＝AB＝3，進而得出答案．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD＝3，∵AC＝4，BD＝7，∴AO＝2，OB＝，∴△ABO的周長＝AO+OB+AB＝2++3＝8.1．故答案為：8.1．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形周長的計算，正確得出AO+BO的值是解題關(guān)鍵．三、解答題（共78分）19、（1）6；（1）6；（3）0＜x＜1【解析】（1）∵PB⊥x軸于點B，OB=1，PB=3，∴P（1，3），∵點P是直線AC與雙曲線y=在第一象限內(nèi)的交點，∴k=1×3=6，故答案為6；（1）∵直線y=x+b經(jīng)過點P（1，3），∴×1+b=3，∴b=1，即y=x+1，令x=0，解得y=1，即C（0，1）；令y=0，解得x=﹣4，即A（﹣4，0）；∴AB=6，CO=1，∴S△ABC=×6×1=6；（3）由圖象及點P的橫坐標為1，可知：在第一象限內(nèi)，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值時，x的范圍為0＜x＜1．20、﹣1≤x＜1【解析】試題分析：先求出每個不等式的解集，再求出其公共部分即可．試題解析：由①得1x﹣7＜3﹣3x，化簡得5x＜10，解得：x＜1．由②得4x+9≥3﹣1x，化簡得6x≥﹣6，解得：x≥﹣1，∴原不等式組的解集為﹣1≤x＜1．在數(shù)軸上表示出來為：點睛：求不等式的公共解，要遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．21、【解析】

先化簡和，再計算二次根式的除法和乘法，最后進行加減運算即可得解.【詳解】，==.【點睛】此題主要考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算順序和運算法則是解決此題的關(guān)鍵.22、（1）300；（2）選擇“跑步”這種活動的學(xué)生約有800人；（3）【解析】

（1）用A類的人數(shù)除以它所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再用總?cè)藬?shù)減去其它項目的人數(shù)，求出跳繩的人數(shù)，從而補全統(tǒng)計圖；（2）用該校的總?cè)藬?shù)乘以“跑步”的人數(shù)所占的百分比即可；（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，找出每班抽取的兩種形式恰好是“做操”和“跳繩”的結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式求解．【詳解】（1）根據(jù)題意得：120÷40%＝300（人），所以本次共調(diào)查了300名學(xué)生；跳繩的有300﹣120﹣60﹣90＝30人，補圖如下：故答案為：300；（2）根據(jù)題意得：2000×40%＝800（人），答：選擇“跑步”這種活動的學(xué)生約有800人；（3）畫樹狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中每班抽取的兩種形式恰好是“做操”和“跳繩”的結(jié)果數(shù)為2，所以每班抽取的兩種形式恰好是“做操”和“跳繩”的概率＝＝．【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．23、探究三：16,6；結(jié)論：n2,n(n-1)2【解析】

探究三：模仿探究一、二即可解決問題；結(jié)論：由探究一、二、三可得：將邊長為n(n≥2)的正三角形的三條邊分別n等分，連接各邊對應(yīng)的等分點，邊長為1的正三角形共有1+3+5+7+???+(2n-1)=n2個；邊長為2的正三角形共有1+2+3+???+(n-1)=應(yīng)用：根據(jù)結(jié)論即可解決問題.【詳解】解：探究三：如圖3，連接邊長為4的正三角形三條邊的對應(yīng)四等分點，從上往下看：邊長為1的正三角形，第一層有1個，第二層有3個，第三層有5個，第四層有7個，共有1+3+5+7=4邊長為2的正三角形有1+2+