春季期固體物理第一

關(guān)于春季期固體物理第一1.1.1一些晶體結(jié)構(gòu)的實(shí)例

簡(jiǎn)單立方晶體結(jié)構(gòu)（sc）(sc：simplecubic)原子晶體結(jié)構(gòu)—晶體中原子的具體排列形式1.1晶格及其周期性第2頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天體心立方晶體結(jié)構(gòu)（bcc）(bcc:body-centeredcubic)第3頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天

面心立方晶體結(jié)構(gòu)、六角密堆積結(jié)構(gòu)

A、密堆積結(jié)構(gòu)

將原子看成同種等大剛性球，在同一平面上，一個(gè)球最多與六個(gè)球相切，形成密排面，密排面按最緊密方式疊起來(lái)形成的三維結(jié)構(gòu)稱為密堆積。AAAAAAAAAAAAAA密排面第4頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天密排面按ABC\ABC\ABC…排列，

B、立方密堆積——面心立方晶體結(jié)構(gòu)（fcc）（fcc:face-centeredcubic)第5頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天C、六角密堆積結(jié)構(gòu)（hcp)密排面按AB\AB\AB…堆積，B層原子與A層原子取向相差180度BAA

(hcp：hexagonalclose-packed)第6頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天

金剛石結(jié)構(gòu)

對(duì)角線金剛石結(jié)構(gòu)可以看成是體對(duì)角線上原子構(gòu)成的面心立方晶格與頂角、面心原子構(gòu)成的面心立方晶格沿立方體對(duì)角線相互移動(dòng)1/4對(duì)角線長(zhǎng)度套構(gòu)形成。立方體8個(gè)頂角各有一個(gè)原子，立方體6個(gè)面的面心各有一個(gè)原子，立方體4條對(duì)角線上各有一個(gè)原子面心頂角第7頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天

閃鋅礦（ZineBlende)結(jié)構(gòu)（立方硫化鋅結(jié)構(gòu)）ZnS1/4體對(duì)角線原子體對(duì)角線上離子面心立方與頂角、面心離子面心立方沿體對(duì)角線相互移動(dòng)1/4對(duì)角線長(zhǎng)套構(gòu)而成。第8頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天

纖鋅礦（六方硫化鋅）型結(jié)構(gòu)六方硫離子和六方鋅離子沿六方軸C移動(dòng)3C/8長(zhǎng)度套構(gòu)形成AB六方軸Ⅱ族鋅離子Ⅵ族硫離子第9頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天

氯化鈉(sodiumchloride)晶體結(jié)構(gòu)Na+Cl-

Na+和Cl-各自構(gòu)成面心立方格子沿立方邊長(zhǎng)方向相互移動(dòng)半個(gè)邊長(zhǎng)套構(gòu)形成。第10頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天

氯化銫(cesiumchloride)晶體結(jié)構(gòu)

Cs+和Cl-各自構(gòu)成簡(jiǎn)立方晶格，沿體對(duì)角線相互移動(dòng)1/2對(duì)角線長(zhǎng)套構(gòu)而成。Cs+Cl-第11頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天

鈣鈦礦(calsiumtitanate)（ABO3）晶體結(jié)構(gòu)

A離子在立方頂角，B離子在立方體心(氧八面體中心），O1、OⅡ、OⅢ分別在立方面心，A、B、O1、OⅡ、OⅢ各自組成簡(jiǎn)單立方格子套構(gòu)而成。AO1BOⅢOⅡ氧八面體第12頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天（1）基元—構(gòu)成實(shí)際晶體的一個(gè)最小重復(fù)結(jié)構(gòu)單元Na+Cl-基元為一對(duì)鈉離子-氯離子基元為一個(gè)大分子1.1.2晶體結(jié)構(gòu)及周期性(平移對(duì)稱性）的描述第13頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天分子分子基元（2）格點(diǎn)—用幾何點(diǎn)代表基元，該幾何點(diǎn)稱為格點(diǎn)格點(diǎn)格點(diǎn)基元第14頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天（3）點(diǎn)陣（空間點(diǎn)陣、正格子、晶格）晶體結(jié)構(gòu)=點(diǎn)陣+基元格點(diǎn)的集合稱為點(diǎn)陣。（4）基矢(basisvector）、晶格周期性（平移對(duì)稱性）以一個(gè)格點(diǎn)為起點(diǎn)，以三個(gè)獨(dú)立方向上的最近鄰三個(gè)格點(diǎn)為終點(diǎn)所形成的不共面矢量，稱為基矢。

晶體由基元（格點(diǎn)）沿空間基矢方向重復(fù)堆積而成的性質(zhì)稱為晶格周期性（平移對(duì)稱性）。

基矢選擇不是唯一的。第15頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天（5）晶格平移矢量(positionvectors)

基矢確定后，一個(gè)點(diǎn)陣可以用一個(gè)矢量表示，稱為晶格平移矢量。晶格只對(duì)離散值的平移具有對(duì)稱性，稱為破缺的平移對(duì)稱性。例、第16頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天點(diǎn)陣空間密度分布的函數(shù)表示，（6）點(diǎn)陣空間密度函數(shù)

點(diǎn)陣空間密度函數(shù)是晶格平移矢量的周期函數(shù)，第17頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天以一個(gè)格點(diǎn)為頂點(diǎn)，以某一方向上相鄰格點(diǎn)的距離為該方向的周期，以三個(gè)不同方向的周期為邊長(zhǎng)，構(gòu)成的最小體積平行六面體。原胞是晶體結(jié)構(gòu)的最小體積重復(fù)單元，可以平行、無(wú)交疊、無(wú)空隙地堆積成整個(gè)晶體。（7）原胞(元胞、固體物理學(xué)原胞)例、第18頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天有8個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)原胞含一個(gè)格點(diǎn)；體積原胞的性質(zhì)不同原胞中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的性質(zhì)相同（平移對(duì)稱性）；原胞選擇不是唯一的，但不同原胞的體積相同；第19頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天例、第一種基矢第二種基矢第三種基矢第20頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天（8）晶胞（單胞、晶體學(xué)原胞）

以一格點(diǎn)為原點(diǎn)，以晶體三個(gè)不共面對(duì)稱軸（晶軸）為坐標(biāo)軸，坐標(biāo)軸上原點(diǎn)到相鄰格點(diǎn)距離為邊長(zhǎng)，構(gòu)成的平行六面體稱為晶胞，稱為晶胞基矢。體心立方晶胞面心立方晶胞簡(jiǎn)單立方晶胞例、

第21頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天晶胞邊長(zhǎng)稱為晶格常數(shù)；晶胞不一定是最小周期重復(fù)體積單元，體積是原胞的整數(shù)倍；格點(diǎn)可能在晶胞非頂點(diǎn)位置；反映晶體的宏觀對(duì)稱性；晶胞不能按平移矢量無(wú)交迭填滿整個(gè)空間，因而不能完全反映點(diǎn)陣平移對(duì)稱性；晶胞的性質(zhì)第22頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天以一格點(diǎn)為中心，作該點(diǎn)與最鄰近格點(diǎn)連線的中垂面，中垂面圍成的多面體稱為WS原胞。WS原胞含一個(gè)格點(diǎn)，體積與原胞體積相等。WS原胞避免基矢選擇，既反映晶體平移對(duì)稱性又反映晶體宏觀對(duì)稱性。（9）威格納-賽茲原胞（WS原胞、對(duì)稱化原胞）例、面心立方的WS原胞一個(gè)二維點(diǎn)陣的WS原胞第23頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天（10）配位數(shù)(coordinationnumber)晶體中一個(gè)原子周圍最鄰近原子個(gè)數(shù)稱為配位數(shù)。

晶體最大配位數(shù)為12，晶體可能配位數(shù)12，8，6，4，3，2。配位數(shù)6配位數(shù)8配位數(shù)12配位數(shù)4第24頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天（11）致密度(packingfactor）晶胞中原子的最大體積與晶胞體積的比值例、金剛石晶胞含8個(gè)原子，設(shè)原子為球形，半徑，頂角原子球心與1/4對(duì)角線長(zhǎng)度處原子球心等于1/4晶胞對(duì)角線長(zhǎng)，第25頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天（12）布拉菲格子復(fù)式格子體心立方晶格簡(jiǎn)單立方晶格以原子為晶格格點(diǎn)，晶體結(jié)構(gòu)分為布拉菲格子（簡(jiǎn)單格子）和復(fù)式格子。布拉菲格子全同原子構(gòu)成的晶體結(jié)構(gòu)稱為布拉菲晶格子。例、第26頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天底心立方晶格面心立方晶格底心立方晶格原子的全同性第27頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天復(fù)式格子(complexcrystallattice)

不同原子構(gòu)成的若干相同結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)單晶格相互套構(gòu)形成的晶格例1、兩種原子一維復(fù)式格子第28頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天PRQS例2、同種原子二維復(fù)式格子例3、金剛石結(jié)構(gòu)三維復(fù)式格子B頂角1/4對(duì)角線面心AAABBB第29頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4、石墨層中的碳原子排列為六角網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，是簡(jiǎn)單還是復(fù)式格子？標(biāo)出這一結(jié)構(gòu)的原胞。第30頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天第31頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天簡(jiǎn)單立方晶格晶胞基矢，晶胞含1個(gè)格點(diǎn)，體積，晶格常數(shù)，晶胞與原胞1.1.3一些晶體結(jié)構(gòu)的基矢、原胞、晶胞、晶格常數(shù)原胞基矢，體積，第32頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天體心立方晶格晶胞基矢，晶胞含2個(gè)格點(diǎn)，體積，晶格常數(shù)，晶胞與原胞第33頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天原胞基矢，原胞體積，第34頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天面心立方晶格晶胞基矢，晶胞含4個(gè)格點(diǎn)，體積，晶格常數(shù)，晶胞與原胞第35頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天原胞基矢，原胞體積，第36頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天金剛石結(jié)構(gòu)頂角對(duì)角線1/4處晶胞是面心立方格子（復(fù)式）?；擅嫘模ɑ蝽斀牵┰雍?/4對(duì)角線長(zhǎng)度處原子組成。面心晶胞與原胞第37頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天晶胞基矢，晶胞包含4個(gè)格點(diǎn)，晶胞體積，晶格常數(shù)，第38頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天六角密堆積結(jié)構(gòu)（hcp)BB層原子與A層原子成鍵方向相差180度（不全同），晶格由兩個(gè)簡(jiǎn)單六方格子套構(gòu)成復(fù)式格子，晶胞含6個(gè)原子，基元由兩個(gè)不等價(jià)原子

、

構(gòu)成，原胞是DFEGHIJK包圍的體積。晶胞原胞DFEGHJKI1/61/21/61/61/61/61/6AA第39頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天第40頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天BAA六次軸晶胞以直角坐標(biāo)系Oxyz的x、z軸與重合，晶胞基矢，原胞體積基元中兩個(gè)不等價(jià)原子的坐標(biāo),第41頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天氯化鈉結(jié)構(gòu)Na+Cl-

Na+和Cl-各自構(gòu)成面心立方格子沿晶胞基矢方向相互移動(dòng)半個(gè)晶格常數(shù)套構(gòu)形成面心立方格子（復(fù)式）?；粋€(gè)Na+和一個(gè)Cl-。第42頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天氯化銫結(jié)構(gòu)

Cs+和Cl-各自構(gòu)成簡(jiǎn)單立方晶格，沿體對(duì)角線相互移動(dòng)1/2對(duì)角線長(zhǎng)套構(gòu)形成簡(jiǎn)單立方晶格（復(fù)式），基元含相距1/2對(duì)角線長(zhǎng)的一對(duì)Cs+和Cl-。Cl-Cs+第43頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天閃鋅礦結(jié)構(gòu)（立方硫化鋅結(jié)構(gòu)）體對(duì)角線上離子面心立方與頂角、面心離子面心立方沿體對(duì)角線相互移動(dòng)1/4對(duì)角線長(zhǎng)套構(gòu)而成面心立方格子（復(fù)式）?；上嗑?/4對(duì)角線長(zhǎng)度的面心（或頂角）離子和位于1/4對(duì)角線長(zhǎng)度處離子組成。ZnS體對(duì)角線1/4處原子第44頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天纖鋅礦（六方硫化鋅）型結(jié)構(gòu)Ⅵ族硫離子

六方硫離子晶格和六方鋅離子晶格沿六方軸C移動(dòng)3C/8長(zhǎng)度套構(gòu)形成復(fù)式格子，在（001）面上按ABAB???堆積。Ⅱ族鋅離子第45頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天典型晶體結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)陣晶體結(jié)構(gòu)類別基元中原子（離子）數(shù)點(diǎn)陣子格數(shù)sc簡(jiǎn)單1sc點(diǎn)陣1bcc簡(jiǎn)單1bcc點(diǎn)陣1fcc簡(jiǎn)單1fcc點(diǎn)陣1hcp復(fù)式2六方點(diǎn)陣2金剛石復(fù)式2fcc點(diǎn)陣2NaCl復(fù)式2fcc點(diǎn)陣2CsCl復(fù)式2sc點(diǎn)陣2立方ZnS復(fù)式2fcc點(diǎn)陣2六方ZnS復(fù)式4六方點(diǎn)陣2ABO3復(fù)式5sc點(diǎn)陣5第46頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天§1.2晶向、晶面及其標(biāo)識(shí)1.2.1晶列、晶向指數(shù)(crystaldirectionindices)晶列、晶向過(guò)任意兩格點(diǎn)的直線稱為晶列，若一族平行直線把格點(diǎn)全部包含，這族直線稱為同族晶列。晶列方向稱為晶向。

同一晶格有無(wú)窮多種晶列。同族晶列的性質(zhì)：晶向相同晶列上格點(diǎn)周期相同同平面相鄰晶列間距相等第47頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天晶向指數(shù)(晶列指數(shù)）設(shè)原胞基矢，格點(diǎn)為原點(diǎn)，沿著某一晶體方向，格點(diǎn)的平移矢量，將化成互質(zhì)整數(shù)，晶列格點(diǎn)周期（格點(diǎn)距離）等于，就是晶向指數(shù)第48頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1晶向指數(shù)晶向指數(shù)第49頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2晶向指數(shù)晶向指數(shù)第50頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3、立方結(jié)構(gòu)晶體常用的晶向第51頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天等效晶向指數(shù)（只畫出水平面）例4、立方結(jié)構(gòu)晶體的等效晶向第52頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天全部格點(diǎn)用一族平行平面包含，該平行平面族稱為晶面族，族中每個(gè)平面稱為晶面.

同一晶格有無(wú)窮種不同晶面族。晶面晶面族性質(zhì)：晶面方向相同相鄰兩晶面間距相等各晶面格點(diǎn)分布相同1.3.2晶面、晶面指數(shù)(crystalplaneindices)第53頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)平面在坐標(biāo)軸的截距，得到平面截距式方程，

空間平面方向的表示平面的法線矢量，平面方向由法線矢量與坐標(biāo)軸的夾角余弦表示，平面的單位法線矢量，第54頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天離原點(diǎn)（為整數(shù)、為晶面間距）的晶面在原胞基矢上的截距，

晶面指數(shù)取基矢為單位長(zhǎng)度，得到，晶面在原胞基矢截距的倒數(shù)的互質(zhì)整數(shù)組稱為晶面指數(shù)。第55頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天為避免晶面平行某基矢時(shí)出現(xiàn)截距無(wú)窮大，取晶面在3個(gè)基矢截距的倒數(shù)互質(zhì)整數(shù)比表示晶面取向，稱為晶面指數(shù)得到晶面法線矢量，晶面截距的倒數(shù)比，第56頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天1112223例1、化成互質(zhì)整數(shù)比，晶面在軸上截距，截距的倒數(shù)，晶面指數(shù),第57頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天(101)(021)1）

(021)例2、第58頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天截距的倒數(shù)，米勒指數(shù)(millerindices)為避免晶面平行某基矢時(shí)出現(xiàn)該軸截距無(wú)窮大，取晶面在3個(gè)晶胞基矢的截距的倒數(shù)互質(zhì)整數(shù)比表示晶面取向，稱為米勒指數(shù)晶面在晶胞基矢上截距的倒數(shù)的互質(zhì)整數(shù)組稱為米勒指數(shù)。晶面在晶胞基矢的截距，第59頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天例、

①同族晶面的晶面指數(shù)和米勒指數(shù)可能不同。②晶胞基矢構(gòu)成的平移矢量只是晶格平移矢量的子集。所以，米勒指數(shù)標(biāo)志的晶面不一定是該族晶面中最靠近原點(diǎn)的晶面。最靠近原點(diǎn)的晶面米勒指數(shù)與晶面指數(shù)的關(guān)系fcc晶格中，米勒指數(shù)（100）晶面不是最靠近原點(diǎn)的晶面，米勒指數(shù)（200）晶面是最靠近原點(diǎn)的晶面，該面的晶面指數(shù)（011）。米勒指數(shù)（100）面第60頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天立方結(jié)構(gòu)晶體常用的晶面第61頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天等價(jià)（同族）晶面族同一晶格中，因?qū)ΨQ性而等價(jià)的晶面族稱為等價(jià)晶面族。包括8個(gè)晶面族，例、(111)(111)第62頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天米勒指數(shù)晶面系中距原點(diǎn)最近的晶面在基矢上的截距，設(shè)晶面單位法線矢量，得到，晶面間距(latticeplaneseparationdistance)第63頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)正交坐標(biāo)系，米勒指數(shù)晶面系晶面間距，對(duì)立方晶格，第64頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天晶面間夾角兩個(gè)法線矢量為的晶面族的夾角余弦，立方晶格兩個(gè)晶面系夾角余弦，第65頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天解理面對(duì)原子晶體，米勒指數(shù)簡(jiǎn)單的晶面族，面間距較大，晶面格點(diǎn)密度大，晶面間結(jié)合力較小，容易解理。

對(duì)離子晶體，晶面格點(diǎn)密度大且晶面是電中性的晶面容易解理。(100)(110)例、金剛石結(jié)構(gòu)解理面是（111）面，閃鋅礦結(jié)構(gòu)是（110）面(111)(110)面密度(100)面密度(111)面密度第66頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.3.1倒格子基矢、倒格子1.3倒格子（倒點(diǎn)陣）根據(jù)原胞基矢定義三個(gè)新的矢量（倒格子基矢），設(shè)是倒格子基矢的線性組合（倒格矢），端點(diǎn)的集合稱為倒格子或倒點(diǎn)陣第67頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.3.2倒格子的性質(zhì)（1）倒格子基矢與正格子基矢相互正交（2）

倒格矢與正格矢的點(diǎn)積是整數(shù)證明：第68頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天（3）

倒格子原胞體積與晶格原胞體積成反比正格子原胞體積，倒格子原胞體積，第69頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天a2/h2BBC（4）倒格矢與晶面族正交在晶面族最靠近原點(diǎn)的晶面ABC上，AO證明：（倒格矢是晶面族的法線矢量）第70頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天（5）

倒格矢的模等于晶面族晶面間距倒數(shù)晶面族面間距，證明：（6）晶格周期函數(shù)可以按倒格矢展開為傅立葉級(jí)數(shù)

（或者說(shuō)：晶格周期函數(shù)在倒格子空間展開為傅里葉級(jí)數(shù)）（傅立葉變換）第71頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天（7）倒格子保留了正格子的全部對(duì)稱性引進(jìn)倒格子的意義倒格子是晶格點(diǎn)陣在波矢空間的傅立葉變換。引入倒格子，對(duì)晶體結(jié)構(gòu)X射線衍射分析、晶格振動(dòng)、晶體電子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析等帶來(lái)很大方便。第72頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天傅立葉變換、傅立葉變換的逆變換絕對(duì)可積函數(shù)的傅立葉變換，——絕對(duì)可積傅立葉變換的逆變換，第73頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天以任意倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，作所有倒格矢的垂直平分面將倒格子空間分成的一系列區(qū)域，稱為布里淵區(qū)。

垂直平分面稱為布里淵區(qū)邊界。

倒點(diǎn)陣的WS原胞稱為第一布里淵區(qū)。

從原點(diǎn)出發(fā)越過(guò)n個(gè)垂直平分面后達(dá)到的區(qū)域稱為第n+1布里淵區(qū)。布里淵區(qū)1.3.3布里淵區(qū)(BrillouinZone、BZ)、布里淵區(qū)界面方程第74頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天第一布里淵區(qū)第二布里淵區(qū)第三布里淵區(qū)例、二維正方格子的布里淵區(qū)第75頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天則的末端落在布里淵區(qū)邊界上，末端的集合構(gòu)成布里淵區(qū)界面。布里淵區(qū)界面方程倒格子空間矢量，如果滿足，稱為布里淵區(qū)界面方程第76頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1、求二維正方晶格的第一布里淵區(qū)界面方程倒格子基矢取倒格子空間矢量代入，得到界面方程，正格子基矢得到倒格矢，解：第77頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)應(yīng)原點(diǎn)最近的4個(gè)倒格點(diǎn)，得到4條垂直平分線，4條平分線所圍區(qū)域構(gòu)成第一布里淵區(qū)第78頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天正格子原胞基矢原胞體積例2、求面心立方晶格的布里淵區(qū)界面方程、第一布里淵區(qū)第79頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天倒格子基矢、原胞體積，構(gòu)成體心立方格子，原胞體積，第80頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天倒格矢，設(shè)倒格子空間矢量，得到布里淵區(qū)界面方程，第81頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天離原點(diǎn)最近8個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，第一布里淵區(qū)8個(gè)頂點(diǎn)與原點(diǎn)連線的垂直平分面圍成正八面體，體積，比倒格子原胞體積大，不是第一布里淵區(qū)。第82頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天再考慮離原點(diǎn)次近鄰6個(gè)倒格點(diǎn)，k2與原點(diǎn)倒格矢的垂直平分面截去正八面體的6個(gè)角，形成十四面（截角八面體），其體積等于倒格子原胞體積。k3k1將最近、次近14個(gè)倒格點(diǎn)坐標(biāo)代入界面方程得到第一布里淵區(qū)的14個(gè)界面方程。第83頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天面心立方晶格第一布里淵區(qū)的特殊對(duì)稱點(diǎn)——

布里淵區(qū)中心——

布里淵區(qū)邊界與軸的交點(diǎn)——

布里淵區(qū)邊界與軸的交點(diǎn)——

布里淵區(qū)邊界與軸的交點(diǎn)[001][111][010][110][100]Γ第84頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.4晶體的宏觀對(duì)稱和點(diǎn)群1.4.1晶體的宏觀對(duì)稱性（點(diǎn)對(duì)稱性）晶體繞某軸旋轉(zhuǎn)或?qū)δ滁c(diǎn)反演后能自身重合的性質(zhì)稱為晶體的宏觀對(duì)稱性（點(diǎn)對(duì)稱性）。例圍繞C軸轉(zhuǎn)動(dòng)120°，石英晶體自身重合。在垂直于C軸平面內(nèi)，相隔120°方向上，晶體性質(zhì)相同（三重對(duì)稱性）。120°C軸（三重對(duì)稱軸）定義第85頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)晶體進(jìn)行操作，操作過(guò)程中保持晶體中任意兩點(diǎn)間距不變、操作后晶格完全復(fù)原的操作稱為晶體的宏觀對(duì)稱操作。

宏觀對(duì)稱操作越多，宏觀對(duì)稱性（對(duì)稱性）越高。晶體的宏觀對(duì)稱操作及其基本性質(zhì)設(shè)晶格某點(diǎn)，施以操作，證明：晶體的宏觀對(duì)稱操作在數(shù)學(xué)上是一種正交變換。第86頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天用數(shù)學(xué)矩陣表示，（變換矩陣）第87頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，（是正交矩陣）（證畢）第88頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天1、中心反演晶體的8種基本宏觀對(duì)稱操作（對(duì)稱素）第89頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、鏡面反映第90頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天3、n次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸將晶體圍繞某一固定軸旋轉(zhuǎn)后，晶體重合，則該固定軸稱為次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，其操作矩陣是正交矩陣。證明：設(shè)晶體圍繞軸旋轉(zhuǎn)，晶體重合，D旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸操作矩陣第91頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天晶體只有5種旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，不存在5和6次以上旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。證明：晶體對(duì)稱性定律繞

格點(diǎn)轉(zhuǎn)，

格點(diǎn)被旋轉(zhuǎn)到格點(diǎn)。由于點(diǎn)陣中所有格點(diǎn)等價(jià)，繞格點(diǎn)旋轉(zhuǎn)將格點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到格點(diǎn)，晶體復(fù)原。，為同一晶向，具有相同周期，因此，--整數(shù)由圖形幾何關(guān)系得到，第92頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天熊夫利符號(hào)國(guó)際符號(hào)幾何圖形符號(hào)因?yàn)椋灾荒苡形鍌€(gè)值，得到，第93頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天4、次旋轉(zhuǎn)反演軸將晶體圍繞某一固定軸旋轉(zhuǎn)后再中心反演，晶體重合，稱為次旋轉(zhuǎn)反演軸。122314中心平面第94頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天253416123456第95頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天1342沒有對(duì)稱心沒有具有的晶體既沒有4次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，也沒有對(duì)稱心。

1342第96頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天晶體基本對(duì)稱操作共8種,8種操作中至少保持一點(diǎn)不動(dòng)，稱為晶體的點(diǎn)對(duì)稱操作。第97頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天準(zhǔn)晶體（Quasicrystal）Penrose拼圖沒有平移對(duì)稱性，但具有完全有序結(jié)構(gòu)，具有和以上旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸的晶體稱為準(zhǔn)晶體。Penrose拼圖:

小菱形具有和兩種內(nèi)角大菱形具有和兩種內(nèi)角。以大菱形和小菱形為原胞可以填滿二維空間。Penrose拼圖沒有平移對(duì)稱性，但結(jié)構(gòu)完全有序，且具有5重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。已經(jīng)發(fā)現(xiàn)類似結(jié)構(gòu)的物質(zhì)Penrose拼圖(Penrosetiling)大菱形小菱形第98頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.4.2晶體的32種點(diǎn)群群（group)元素集合，在它們之間規(guī)定一種“乘法”，如滿足以下性質(zhì)，則稱為群。（1）閉合性（2）結(jié)合律（3）存在單位元素，（4）對(duì)集合中任意元素，存在逆元素，滿足第99頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天例１、正實(shí)數(shù)群：規(guī)定以普通乘法為運(yùn)算法則，單位元素為1，正實(shí)數(shù)的逆為。例2、群：以連續(xù)操作為乘法，單位元素（不動(dòng)操作），的逆。第100頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天晶體點(diǎn)對(duì)稱操作群（點(diǎn)群）規(guī)定：

晶體點(diǎn)對(duì)稱操作乘法為連續(xù)操作，單位元素是不動(dòng)操作（零旋轉(zhuǎn)），旋轉(zhuǎn)的逆是大小相等、方向相反旋轉(zhuǎn)，中心反演的逆是中心反演，則晶體點(diǎn)對(duì)稱操作滿足群定義，構(gòu)成點(diǎn)群。

晶體的宏觀對(duì)稱性都可以通過(guò)8種點(diǎn)對(duì)稱基本操作的組合來(lái)描述。在晶格周期性條件限制下，晶體只有32種宏觀對(duì)稱性（32種點(diǎn)群）。晶體32個(gè)點(diǎn)群第101頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天名稱標(biāo)記符號(hào)的意義熊夫利符號(hào)回轉(zhuǎn)群晶體只含有一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸雙面群晶體包含一個(gè)重旋轉(zhuǎn)軸和個(gè)與之垂直的二重軸群加上中心反演（對(duì)稱心）群加上鏡面反映對(duì)稱面群加上與重旋轉(zhuǎn)軸垂直的水平對(duì)稱面群加上個(gè)含重旋轉(zhuǎn)軸垂直對(duì)稱面群加上與重旋轉(zhuǎn)軸垂直的水平對(duì)稱面群加上通過(guò)重軸及兩根二重軸的角平分線的對(duì)稱面群晶體只包含象轉(zhuǎn)軸群含正四面體24個(gè)對(duì)稱操作群中24個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)操作加中心反演群中12個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)操作群加上中心反演第102頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天

群包括立方點(diǎn)群的3條互相垂直的4重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，6條2重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，4條3重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸構(gòu)成的純旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作，立方點(diǎn)群具有中心反演對(duì)稱性，共48種對(duì)稱操作。名稱對(duì)稱操作數(shù)目合計(jì)三條4重軸<100>旋轉(zhuǎn)90度、180度、270度9純旋轉(zhuǎn)操作24個(gè)四條3重軸<111>旋轉(zhuǎn)120度、240度8六條2重軸<110>旋轉(zhuǎn)180度6不動(dòng)旋轉(zhuǎn)360度1中心反演以上操作加上反演24非純旋轉(zhuǎn)操作24個(gè)立方點(diǎn)群的48種對(duì)稱操作群第103頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天由于晶格周期性限制，不考慮基元對(duì)稱性，晶體點(diǎn)對(duì)稱操作組成7類對(duì)稱操作群（7類點(diǎn)群或7類晶格對(duì)稱性）,對(duì)應(yīng)7種布拉菲點(diǎn)陣，給出7種晶胞（即7種晶胞基矢組合方式：三斜、單斜、正交、四方、六方、立方、三角）。每種組合稱為一個(gè)晶系。

點(diǎn)對(duì)稱操作和平移操作的集合給出14種對(duì)稱性，構(gòu)成14種布拉菲點(diǎn)陣，給出14種布拉菲晶胞（三斜、單斜、正交、四方、六方、立方、三角7個(gè)簡(jiǎn)單晶胞+7個(gè)加心晶胞）。

由于基元中有不同原子，使對(duì)稱性降低。可降低7種點(diǎn)陣對(duì)稱性的方式（加體心、面心、底心）共25種，得到晶體32個(gè)對(duì)稱操作群（晶體32種點(diǎn)群、32種晶體宏觀對(duì)稱性）。1.5晶格的對(duì)稱性（晶系）1.5.114種布拉維格子和7格晶系第104頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天名稱布拉菲晶胞類型對(duì)稱性最高的點(diǎn)群（全對(duì)稱點(diǎn)群）晶胞基矢特征立方晶系（高級(jí)對(duì)稱）簡(jiǎn)單立方（P）面心立方（F）體心立方（I）四方晶系（中級(jí)對(duì)稱）簡(jiǎn)單四方（P）體心四方（I）正交晶系（低級(jí)對(duì)稱）簡(jiǎn)單正交（P）底心正交（C）體心正交（I）面心正交（F）單斜晶系（低級(jí)對(duì)稱）簡(jiǎn)單單斜（P）底心單斜（C）三斜晶系（低級(jí)對(duì)稱）簡(jiǎn)單三斜（P）三方晶系（中級(jí)對(duì)稱）三方（R）六方晶系（中級(jí)對(duì)稱）六方（P）P-簡(jiǎn)單I-體心F-面心R-菱形C-底心14種布拉菲晶胞第105頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天Triclinic（簡(jiǎn)單三斜)Monoclinic（單斜晶系)

Simple(簡(jiǎn)單單斜）Centered（底心單斜）

第106頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天Orthorhombic(正交晶系）

Simple（簡(jiǎn)單正交）base-centered（底心正交）body-centered（體心正交）face-centered（面心正交）第107頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天Simple（簡(jiǎn)單四方）body-centered（體心四方）Tetragonal（四方晶系）

Rhombohedral（三方晶系）第108頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天Hexagonal（六方晶系）

Cubic（立方晶系）Simple（簡(jiǎn)單立方）body-centered（體心立方）face-centered（面心立方）第109頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天晶體對(duì)稱性不僅包括點(diǎn)對(duì)稱操作和整數(shù)平移對(duì)稱操作，由于理想晶格微觀上的排列無(wú)限性，還包括分?jǐn)?shù)平移對(duì)稱操作。繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)度，再沿對(duì)稱軸方向平移晶格周期的的倍距離，使晶體重合。重螺旋軸例：4重螺旋軸1.5.2平移對(duì)稱操作空間群第110頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天A4A3A2A4321A1四重對(duì)稱旋轉(zhuǎn)軸金剛石、閃鋅礦結(jié)構(gòu)具有4重螺旋軸第111頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2、金剛石、閃鋅礦結(jié)構(gòu)的4重螺旋軸對(duì)角線上的原子繞4重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)900，再沿4重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸方向平移1/2晶格常數(shù)，和相同原子重合。第112頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天滑移反映面A2A’2A’1A1AA’平面反映后，再沿平行該平面的某一方向平移周期的距離，使晶體中的原子與相同的原子重合?；品从趁胬?、氯化鈉具有滑移反映面Na+Cl-滑移反映面第113頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天晶體32種點(diǎn)群，加兩類非整數(shù)平移對(duì)稱操作,得到230種晶體對(duì)稱類型，稱為空間群，每種空間群對(duì)應(yīng)一種晶體結(jié)構(gòu)。

一個(gè)晶系包括多種點(diǎn)陣，它們有相同的宏觀對(duì)稱性，但有不同的平移對(duì)稱性，構(gòu)成不同的空間群。空間群第114頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天

X射線照射晶體時(shí)，入射光子受晶體原子核外電子散射，從入射態(tài)躍遷到散射態(tài)。原點(diǎn)入射X射線平面波函數(shù)，散射X射線平面波函數(shù)，1.5.1原理入射X射線反射X射線PX射線被原點(diǎn)原子、P點(diǎn)原子散射前后的光程差，AB1.5晶體的X射線衍射第115頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天根據(jù)干涉理論，光程差等于X射線波長(zhǎng)整數(shù)倍時(shí)，衍射極大，得到，忽略康普頓效應(yīng)，康普頓效應(yīng)：波長(zhǎng)的X射線照射到晶體上，散射波波長(zhǎng)向長(zhǎng)波方向移動(dòng)。得到，--整數(shù)令，得到X射線衍射極大條件，第116頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天被散射X射線波矢與入射X射線波矢之差等于倒格矢時(shí)，（勞厄方程）勞厄定理（勞厄方程）及其幾何表示由于，晶面第117頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天勞厄方程兩端同時(shí)左點(diǎn)乘倒格矢，（勞厄方程等價(jià)形式）第118頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天

晶體X射線衍射布拉格公式與勞厄方程等價(jià)布拉格反射由勞厄方程，勞厄方程第119頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天倒格矢的模，——方向上長(zhǎng)度最短的倒格矢，（布拉格公式）第120頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天反射球（厄瓦德Ewald球）在倒格子空間，以入射X射線波矢的末端為原點(diǎn)，起點(diǎn)為球心，模為半徑作球面，稱為反射球。PM若球面恰好通過(guò)一倒格點(diǎn)P，則等于倒格矢，MP等于反射波波矢，滿足勞厄方程，在MP方向形成衍射極大。第121頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.5.3晶體X射線衍射的實(shí)驗(yàn)方法勞厄法xz晶體連續(xù)譜X射線底片底片yδ第122頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天波長(zhǎng)，在最大反射球和最小反射球間的倒格點(diǎn)，均滿足勞厄方程，衍射斑數(shù)量提高。若射線入射方向與晶體對(duì)稱軸平行，衍射斑將具有與該軸同樣的對(duì)稱性，可以用來(lái)測(cè)量晶體對(duì)稱性。可能同時(shí)有多個(gè)波長(zhǎng)對(duì)同一晶面都滿足勞厄方程，形成同一衍射斑點(diǎn)，不適合確定晶格常數(shù)。第123頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天轉(zhuǎn)動(dòng)晶體法晶體準(zhǔn)直儀單色X光管轉(zhuǎn)軸（底片）第124頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天單色X射線射到晶體，形成一個(gè)反射球。晶體轉(zhuǎn)動(dòng)，倒格子相對(duì)于反射球轉(zhuǎn)動(dòng)。倒格點(diǎn)分布在一系列垂直于轉(zhuǎn)軸的平面上，同平面上的倒格點(diǎn)轉(zhuǎn)到反射球面上時(shí)，散射方向與轉(zhuǎn)軸夾角不變。不同平面上的倒格點(diǎn)的散射波構(gòu)成以轉(zhuǎn)軸為中心軸、夾角不同的衍射極大圓錐面。底片卷成以轉(zhuǎn)軸為軸的圓筒，則底片上形成平行線，平行線間距與晶面間距成比例，可測(cè)量基矢、晶格常數(shù)等。轉(zhuǎn)軸第125頁(yè),共132頁(yè)，2024年2月25日，星期天粉末法準(zhǔn)直儀單色