北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步精講精練專題訓(xùn)練平行線的拐點(diǎn)問題(原卷版+解析)

專題訓(xùn)練平行線的拐點(diǎn)問題一、單拐點(diǎn)（2022秋?榆樹市期末）如圖，，則圖中、、關(guān)系一定成立的是A． B． C． D．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線，將一個(gè)直角三角尺按如圖所示的位置擺放，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．如圖，AB∥DE，∠1＝135°，∠C為直角．則∠D的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．45° D．55°將一塊直角三角尺和一張矩形紙片如圖擺放，若∠1＝47°，則∠2的大小為（）A．127° B．133° C．137° D．143°（2022秋?龍崗區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，若，，點(diǎn)在上，求的度數(shù)．（2022秋?嶧城區(qū)校級(jí)期末）（1）已知：如圖（a），直線．求證：；（2）如圖（b），如果點(diǎn)在與之外，其他條件不變，那么會(huì)有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么新的猜想？（2022秋?伊川縣期末）如圖：（1）若，猜想圖①中，、與之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（2）若，如圖②，直接寫出、與之間的數(shù)量關(guān)系：．（3）學(xué)以致用：一個(gè)小區(qū)大門欄桿的平面示意圖如圖所示，垂直地面于，平行于地面，若，則．（2022秋?臨汾期末）綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師展示了一個(gè)問題：如圖1，直線，直線與，分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上，且在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在直線上，且在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合）．當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)，之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問題．實(shí)踐探究：勤學(xué)小組對(duì)此問題進(jìn)行了更深一步的思考：當(dāng)點(diǎn)在，兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，之間的數(shù)量關(guān)系又是如何？（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)上方時(shí)，試猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)下方時(shí)，請(qǐng)直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．（2022秋?長春期末）（1）【問題】如圖1，若，，．則；（2）【問題歸納】如圖1，若，請(qǐng)猜想，，之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；（3）【聯(lián)想拓展】如圖2，，點(diǎn)在的上方，問，，之間有何數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）已知，點(diǎn)在直線、之間，．（1）如圖1，請(qǐng)直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系：．（2）如圖2，和滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．（3）如圖3，平分，平分，與交于點(diǎn)，則的度數(shù)為．二、多拐點(diǎn)（2023?惠陽區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，，，平分，平分，則A． B． C． D．（2022秋?渠縣校級(jí)期末）如圖，直線，，，則A． B． C． D．（2022秋?大渡口區(qū)校級(jí)期末）如圖，，，，則A． B． C． D．（2022秋?秦州區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線，，，則A． B． C． D．（2022秋?東昌府區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知，，則、與的關(guān)系是．（1）如圖（1），已知，探索、、、，、、、之間的關(guān)系；（2）如圖（2），已知，探索、、、，、之間的關(guān)系；（3）如圖（3），已知，探索、、、之間的關(guān)系．（2022秋?即墨區(qū)期末）如圖，，平分，平分，，求．專題訓(xùn)練平行線的拐點(diǎn)問題一、單拐點(diǎn)（2022秋?榆樹市期末）如圖，，則圖中、、關(guān)系一定成立的是A． B． C． D．【分析】首先過點(diǎn)作，由，可得，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得，，繼而可得．【解答】解：過點(diǎn)作，，，，，．故選：．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線，將一個(gè)直角三角尺按如圖所示的位置擺放，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】先利用平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用三角板的特征求出，最后利用平行線的性質(zhì)即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作，，，，，，，，故選：．如圖，AB∥DE，∠1＝135°，∠C為直角．則∠D的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．45° D．55°【解題思路】過點(diǎn)C作CF∥AB，由題意可求得∠BAC＝180°﹣∠1＝45°，由平行線的性質(zhì)可得∠ACF＝∠BAC＝45°，CF∥DE，從而可求∠DCF的度數(shù)，則可求∠D的度數(shù)．【解答過程】解：過點(diǎn)C作CF∥AB，如圖所示：∵∠1＝135°，∴∠BAC＝180°﹣∠1＝45°，∵CF∥AB，AB∥DE，∴∠ACF＝∠BAC＝45°，CF∥DE，∴∠DCF＝∠D，∵∠ACD為直角，∴∠DCF＝90°﹣∠ACF＝45°，∴∠D＝45°．故選：C．將一塊直角三角尺和一張矩形紙片如圖擺放，若∠1＝47°，則∠2的大小為（）A．127° B．133° C．137° D．143°【解題思路】過點(diǎn)E作EF∥AC，由平行線的性質(zhì)可得∴∠CEF＝∠1＝47°，BD∥EF，從而可得∠2+∠DEF＝180°，結(jié)合條件可求得∠DEF的度數(shù)，即可求解．【解答過程】解：過點(diǎn)E作EF∥AC，如圖所示：∵AC∥EF，AC∥BD，∴∠CEF＝∠1＝47°，BD∥EF，∴∠2+∠DEF＝180°，∵∠CED＝90°，∴∠DEF＝90°﹣∠CEF＝43°，∴∠2＝180°﹣∠DEF＝137°．故選：C．（2022秋?龍崗區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，若，，點(diǎn)在上，求的度數(shù)．【分析】由平行線的性質(zhì)求出，由三角形的外角性質(zhì)得出，即可求出的度數(shù)．【解答】解：，，，，．（2022秋?嶧城區(qū)校級(jí)期末）（1）已知：如圖（a），直線．求證：；（2）如圖（b），如果點(diǎn)在與之外，其他條件不變，那么會(huì)有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么新的猜想？【分析】（1）首先過點(diǎn)作，由直線，可得，然后由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可證得；（2）首先由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可證得．【解答】（1）證明：過點(diǎn)作，，，，，；（2）結(jié)論：，證明：如圖：，，在中，，，．（2022秋?伊川縣期末）如圖：（1）若，猜想圖①中，、與之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（2）若，如圖②，直接寫出、與之間的數(shù)量關(guān)系：．（3）學(xué)以致用：一個(gè)小區(qū)大門欄桿的平面示意圖如圖所示，垂直地面于，平行于地面，若，則．【分析】（1）過點(diǎn)作；通過平行線的性質(zhì)倒角即可；（2）過點(diǎn)作；根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)列出等式求解；（3）由（2）中的結(jié)論計(jì)算即可．【解答】解：（1）；理由如下：如圖，過點(diǎn)作；，，，，，；（2）；理由如下：如圖，過點(diǎn)作；，，，，，故答案為：；（3）解：由（2）可知：，，，，故答案為：120．（2022秋?臨汾期末）綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師展示了一個(gè)問題：如圖1，直線，直線與，分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上，且在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在直線上，且在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合）．當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)，之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問題．實(shí)踐探究：勤學(xué)小組對(duì)此問題進(jìn)行了更深一步的思考：當(dāng)點(diǎn)在，兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，之間的數(shù)量關(guān)系又是如何？（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)上方時(shí)，試猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)下方時(shí)，請(qǐng)直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）過點(diǎn)作，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，再由與平行線中的一條平行，與另一條也平行得到，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，等量代換即可得證；（2），如圖2所示，過點(diǎn)作，同理即可得證；（3），如圖2所示，過點(diǎn)作，同理即可得證．【解答】解：（1）．理由如下：如圖1，過點(diǎn)作，則．，，，；（2）．理由如下：如圖2，過點(diǎn)作，則．，，，；（3）．理由如下：如圖3，過點(diǎn)作，則．，，，．（2022秋?長春期末）（1）【問題】如圖1，若，，．則；（2）【問題歸納】如圖1，若，請(qǐng)猜想，，之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；（3）【聯(lián)想拓展】如圖2，，點(diǎn)在的上方，問，，之間有何數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論．【分析】（1）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；（3）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)作，，，，，．故答案為：；（2），理由如下：如圖1，，，，，；（3），理由如下：如圖2，過點(diǎn)作，，，，，．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）已知，點(diǎn)在直線、之間，．（1）如圖1，請(qǐng)直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系：．（2）如圖2，和滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．（3）如圖3，平分，平分，與交于點(diǎn)，則的度數(shù)為．【分析】（1）過點(diǎn)作，利用平行線的性質(zhì)即可求得結(jié)論；（2）過點(diǎn)作，利用平行線的性質(zhì)即可求得結(jié)論；（3）利用（2）的結(jié)論和三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可求得結(jié)論．【解答】解：（1）過點(diǎn)作，如圖，，．，，．．．．故答案為：；（2）和滿足：．理由：過點(diǎn)作，如圖，，．，，．．．．．．．（3）設(shè)與交于點(diǎn)，如圖，平分，．平分，．，．，．，．由（2）知：，．故答案為：．二、多拐點(diǎn)（2023?惠陽區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，，，平分，平分，則A． B． C． D．【分析】首先過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，由，即可得，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，由，即可求得，又由平分，平分，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可求得的度數(shù)，又由兩只線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得的度數(shù)．【解答】解：過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，，，，，，，，平分，平分，，，，，，．故選：．（2022秋?渠縣校級(jí)期末）如圖，直線，，，則A． B． C． D．【分析】過點(diǎn)作的平行線，過點(diǎn)作的平行線，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出，然后計(jì)算即可得解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作的平行線，過點(diǎn)作的平行線，，，，，，，．故選：．（2022秋?大渡口區(qū)校級(jí)期末）如圖，，，，則A． B． C． D．【分析】如圖，作．利用平行線的性質(zhì)得，，即可解決問題．【解答】解：如圖，作，，，，，，，，，，．故選：．（2022秋?秦州區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線，，，則A． B． C． D．【分析】過點(diǎn)作的平行線，過點(diǎn)作的平行線，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出，然后計(jì)算即可得解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作的平行線，過點(diǎn)作的平行線，則，，，，，，．故選：．（2022秋?東昌府區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知，，則、與的關(guān)系是．【分析】首先過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，由，即可得，然后由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得答案．【解答】解：過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，，，，，，①，②，由①②得：．故答案為：．（1）如圖（1），已知，探索、、、，、、、之間的關(guān)系；（2）如圖（2），已知，探索、、、，、之間的關(guān)系；（3）如圖（3），已知，探索、、、之間的關(guān)系．【分析】（1）過點(diǎn)作，由平行線的性質(zhì)證得，，則，即．（2）如圖2，證法同上；（3）過作，結(jié)合平行線的性質(zhì)可得出結(jié)論，從而找到規(guī)律，利用規(guī)律解