等差數(shù)列求和公式

關(guān)于等差數(shù)列求和公式泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕。傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見上圖），奢靡之程度，可見一斑。你知道這個圖案一共耗費了多少寶石嗎？第2頁,共17頁，2024年2月25日，星期天高斯答：1+2+3+4+…+97+98+99+100=

1+100=101

101×50=5050

2+99=101

3+97=101

……

50+51=10150501+2+3+4+…+97+98+99+100=？

情景

高斯（1777---1855），德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家。他和牛頓、阿基米德，被譽為有史以來的三大數(shù)學(xué)家。有“數(shù)學(xué)王子”之稱。

第3頁,共17頁，2024年2月25日，星期天

實際上高斯解決了求等差數(shù)列

1,2,3,4，…n,…前100項的和的問題

定義一般的，我們稱a1+a2+a3+…+an為數(shù)列{an}的前n項和，用Sn

表示，即Sn=a1+a2+a3+…+an如何求等差數(shù)列

1,2,3,4，…n,…前n項的和？第4頁,共17頁，2024年2月25日，星期天

sn=

1

+2+3+…+(n-1)+

n

sn=

n

+（n-1）+（n-2）+…+2+

1∴2sn=（n+1）+（n+1）+…+（n+1）

=n(n+1)思考：這種方法能否推廣到求一般等差數(shù)列前n項求和呢？+)——倒序相加法求等差數(shù)列1,2,3,…n,…前n項的和？第5頁,共17頁，2024年2月25日，星期天由S

n=a1+a2+a3+…+an－1+an

S

n=an+an－1+an－2+…+a2+a1

+)2Sn=(a1+an)+(a2+an－1)+…+(an+a1)=n(a1+an)

倒序相加法故等差數(shù)列的前n項求和公式：探究發(fā)現(xiàn)第6頁,共17頁，2024年2月25日，星期天方法2：等差數(shù)列｛an

｝a1，a2，a3，…，an

，…的公差為d.第7頁,共17頁，2024年2月25日，星期天觀察公式的形式，回憶我們所學(xué)過的知識，你是否發(fā)現(xiàn)了什么？它的形式是不是跟我們學(xué)過的梯形面積公式相同？第8頁,共17頁，2024年2月25日，星期天例1：

2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于小學(xué)“校校通”工程的通知.某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年的時間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng).據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費為500萬元.為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程的總投入是多少？學(xué)以致用總結(jié)：實際問題，建立數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)的觀點解決問題，然后再回歸問題實際第9頁,共17頁，2024年2月25日，星期天解：根據(jù)題意，從2001-2010年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費都比上一年增加50萬元，所以，可以建立一個等差數(shù)列｛an

｝，表示從2001年起各年投入的資金，其中，a1=500，d=50那么，到2010年（n=10）,投入的資金總額為答：從2001-2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元.第10頁,共17頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)：根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列的前n項和答案

：根據(jù)條件,選擇公式第11頁,共17頁，2024年2月25日，星期天例2

公式應(yīng)用已知等差數(shù)列{an}前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？列方程組，解方程第12頁,共17頁，2024年2月25日，星期天解：由題意知

將它們代入公式

得到方程組，

解這個方程組，得到：

所以

2第13頁,共17頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)：已知一個等差數(shù)列前5項和是25，第六項是11，求此等差數(shù)列前n項和公式答案

：根據(jù)條件,選擇公式2第14頁,共17頁，2024年2月25日，星期天等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)：倒序相加法類比思想、方程思想、數(shù)學(xué)建模思想，整體思想數(shù)學(xué)思想:等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用：課堂總結(jié)第15頁,共17頁，2024年2月25日，星期天課后作業(yè)必做題：課本P46習(xí)題[A組]2、6題選做題：（1）請你把其它不同推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和的公式方法寫出來。（2）根據(jù)習(xí)題