2023-2024學(xué)年新疆烏魯木齊101中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（8月份）（含解析）

2023-2024學(xué)年新疆烏魯木齊101中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷

（理科）（8月份）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知i是虛數(shù)單位.若z=+Qi,z?z=4,貝IJQ的值為（）

A.一<3或B.1C.-1D.1或一1

2.數(shù)據(jù)12,12,12,14,15的平均數(shù)與眾數(shù)的差為（）

A.2B.1C.-1D.—2

x

3.已知全集U=R,集合M={x\2>1},集合N={%|log2x<1},則下列結(jié)論中成立的是（）

A.MnN=MB.MUN=NC.Mn（QN）=0D.（QM）nN=。

4.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的

體積（單位：。M3）是（）

A.2

B.4

C.6

D.8

俯視圖

5.函數(shù)f（%）的部分圖象大致為（）

6.設(shè)函數(shù)/（%）=（x2+a）e》在R上存在最小值（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，aeR）,則函數(shù)

g（x）=/+x+a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.無法確定

7.如圖，PA1圓。所在平面，4B是圓。的直徑，C是圓周上一點(diǎn),

其中AC=3,PA=4,BC=5,則PB與平面PAC所成角的正弦

值為（）

A號(hào)

B4

D.?

8.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極其豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委菽依組內(nèi)

角，下周三丈，高七尺，問積及為菽幾何？”其意思為：“靠墻壁堆放大豆成半圓錐形，大

豆堆底面的弧長為3丈，高為7尺，間大豆堆體積和堆放的大豆有多少斛？”己知1斛大豆=

2.43立方尺，1丈=10尺，圓周率約為3,估算出堆放的大豆有（）

A.140斛B.142斛C.144斛D.146斛

9.已知圓錐的母線與底面所成的角等于60。，且該圓錐內(nèi)接于球0,則球。與圓錐的表面積之

比等于()

A.4：3B.3：4C.16：9D.9：16

10.拋物線C：y=M的焦點(diǎn)為尸，直線2經(jīng)過點(diǎn)F與拋物線C相交于4,B兩點(diǎn),若點(diǎn)F是線段AB

的三等分點(diǎn)，則直線，的斜率是()

A.2\T2B.±2y/~2C._D.

11.如圖，4B為定圓。的直徑，點(diǎn)P為半圓上的動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)P作ZB的P

垂線，垂足為Q，過Q作OP的垂線，垂足為M.記弧4P的長為％,線段QM:歡、

BOO

的長為y,則函數(shù)y=/(x)的大致圖象是()

12.己知定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y=/'(x),當(dāng)x＞0時(shí)，/(x)+竽＜0,

且f(2)=3,則不等式-x-l)＜提的解集為()

12

A.(一8弓)u+8)B.(-8,1)u(3,+8)

c.(3,+8)D.(i,l)U(l,3)

二、填空題(本大題共4小題，共16.0分)

13.對(duì)于任意向量方、b＞定義新運(yùn)算“團(tuán)"：a0d=|a||K|-sin。(其中。為無與方所的角).利

用這個(gè)新知識(shí)解決：若|五|=1,|b|=5，且方?b=4，則五回b=.

14.己知兩圓相交于4(1,3)和兩點(diǎn)，且兩圓心都在直線x-y+c=0上，則m+c的

值為.

15.從正四面體的四個(gè)面的中心以及四個(gè)頂點(diǎn)共八個(gè)點(diǎn)中取出四個(gè)點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的

取法總數(shù)為種.

16.拿破侖是十九世紀(jì)法國偉大的軍事家、政治家，對(duì)數(shù)學(xué)也很有興趣，他發(fā)現(xiàn)并證明了著

名的拿破侖定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三

角形的中心恰為另一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)”，在△ABC中，以4B,BC,C4為邊向外構(gòu)造的

三個(gè)等邊三角形的中心依次為O,E,F,若NB4C=60。，DF=2y/~3,利用拿破侖定理可求

得4-AC的最大值______.

三、解答題(本大題共6小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

數(shù)列｛即｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，%=1,當(dāng)?1>2時(shí),ci"-an_r=J即+Jan_r

(1)證明：｛口；｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)%=白彳，數(shù)列｛4｝前n項(xiàng)和為右，證明：Sn<1.

18.(本小題12.0分)

如圖，四邊形4BC。為菱形，AB=2,Z.ABC=60。，將△力CD沿4c折起，得至lj三棱錐。一4BC,

(2)當(dāng)三棱錐D-4BC的體積最大時(shí)，求二面角N-BM-。的余弦值.

19.(本小題12.0分)

設(shè)一汽車在前進(jìn)途中要經(jīng)過4個(gè)路口，汽車在每個(gè)路口遇到綠燈的概率為本遇到紅燈(禁止通

行)的概率為:?假定汽車只在遇到紅燈或到達(dá)目的地才停止前進(jìn),f表示停車時(shí)已經(jīng)通過的路口

數(shù)，求：

(IR的概率的分布列及期望以；

(n)停車時(shí)最多已通過3個(gè)路口的概率.

20.(本小題12.0分)

己知拋物線C：/=2py(p>0)的焦點(diǎn)為廣，直線x=4與x軸的交點(diǎn)為與C的交點(diǎn)為N,

且|NF|=||MW|.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)4(—2,1),5(2,1),動(dòng)點(diǎn)Q(m,n)(-2cm<2)在曲線C上,曲線C在點(diǎn)Q處的切線為，.問:

是否存在定點(diǎn)P(O,t)(t<0),使得/與P4PB都相交，交點(diǎn)分別為C,E,且AQAB與APDE的

面積之比是常數(shù)？若存在，求￡的值；若不存在，說明理由.

21.(本小題12.0分)

(1)求證：Vx+1<|+l(x>—1)；

(2)已知f(x)=1+占，求/。)=0的根的個(gè)數(shù)；

(3)求證：若x>0,則e*>(x+2)>x+1+—4.

22.(本小題12.0分)

已知物線C：y2=2px(p>0)過點(diǎn)M(4,-4，N).

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)F為拋物線C的焦點(diǎn)，直線八y=2刀一8與拋物線C交于4B兩點(diǎn)，求△凡4B的面積.

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：■；z=V"?+ai,且z-z=4,

z'z=|z|2-(V-^)2+a?=4,即a=-1或1.

故選：D.

由已知結(jié)合Z.z=|z|2列式求解a值.

本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：平均數(shù)為超衛(wèi)磬±￡=13,眾數(shù)為12,差為1.

故選：B.

先求出平均數(shù)和眾數(shù)，再求差即可.

本題主要考查了平均數(shù)和眾數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：因?yàn)镸={x\2x>1]={x\x>0],

N={x|log2x<1}={x|0<%<2},

則MnN=N,MUN=M,

Mn(Cy/V)={x\x>2),(CyM)CN=0.

故選：D.

先通過解指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式化簡集合，再通過研究集合之間的運(yùn)算進(jìn)行判定.

本題考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖的應(yīng)用和棱柱體積，屬于基礎(chǔ)題.

直接利用三視圖的復(fù)原圖求出幾何體的體積.

【解答】

解：根據(jù)三視圖：該幾何體為底面為直角梯形的四棱柱.

如圖所示：

故該兒何體的體積為：K=1(1+2)X2X2=6.

故選C

5.【答案】A

【解析】解：??"(x)=第，

由cos%—1H0,得f(%)的定義域?yàn)閧%|xH2kn,k€Z}?

???函數(shù)/(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且/(-X)=

???函數(shù)/(X)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除B選項(xiàng)，

結(jié)合八1)=黑T<°'排除C。兩項(xiàng)，故只有4項(xiàng)符合題意.

故選：A.

根據(jù)題意，先判斷函數(shù)/(x)的奇偶性，再取特殊點(diǎn)得出答案.

本題主要考查函數(shù)奇偶性、函數(shù)的圖象變換及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)

算能力，屬于難題.

法一：f'(x)=(x2+2x+d)ex,x2+2x+a=0的判別式4=4(1—a),對(duì)a分類討論，當(dāng)a>1時(shí)，

f'(x)20在R恒成立，可得函數(shù)/(%)=(/+a)e^在R上單調(diào)遞增，沒有最小值；當(dāng)a<1時(shí)，令

f'(x)=0得叼=-V1-a-1,x2=yj1-a-1,且與<%2，通過研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最

值，即可得出a的范圍，進(jìn)而得出結(jié)論.

法二：特殊值檢驗(yàn)，取a=0時(shí)，函數(shù)〃%)=/靖在R的最小值為0,即可得出結(jié)論.

【解答】

解：法一：f'{x}=(%2+2x+a)ex,/+2x+a=0的判別式△=4(1—a),

當(dāng)a>1時(shí)，x2+2x+a>0在/?恒成立，所以/''(x)=(x2+2x+a)ex>。在R恒成立,

所以函數(shù)f(x)=(x2+a)e》在R上單調(diào)遞增，沒有最小值；

當(dāng)a<l時(shí)，令尸(x)=。得與=—=1—a—1,x2~yj1-a—1)且與<打

X(一8/1)%2(X2,+00)

f(x)+0—0+

f(x)7極大值極小值7

當(dāng)XT-8時(shí)，/(x)0,所以若/(x)有最小值，只需要f(X2)?0,

???/(x2)=(2—2。1—a)e*zw0=2-2>J1—a<0a<0,

..x2+x+a=0的判別式4=1-4a>1>0,因此g(x)=x2+x+a有兩個(gè)零點(diǎn)；

法二：特殊值檢驗(yàn)，取a=0時(shí)，函數(shù)/(x)=Fe*在R的最小值為0,函數(shù)g(x)=必+%有兩個(gè)零

點(diǎn).

故選：C.

7.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，力B是圓。的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，則BCJ.4C,

又由圓。所在平面，則P4LBC,

則BCJ_平面PAC,故4BPC是PB與平面P4C所成角，

A4cB中，AC=3,BC=5,AC1BC,則力B=VAC2+BC2=A/^34,

△PAB中,AB=V_34.PA=4,PA1AB,貝UPB=V+432=5c,

△ACB中，BC=5,PB=SC，則sin/BPC=^=￥，

PB2

故選：A.

根據(jù)題意，由線面垂直的判斷方法可得BC_L平面P4C,貝此BPC是PB與平面PAC所成角，計(jì)算求

出PB的值，由此計(jì)算可得答案.

本題考查直線與平面所成的角，涉及直線與平面垂直的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：令錐體底面半圓半徑為r,半圓弧長I,則有□=，，即r=L

n

2

圓錐體底面面積為S=1r，=L，而1=30尺，圓錐體的高h(yuǎn)=7尺，

227r

22

于是得圓錐體體積為U=-Sh=---h^-x-x7=350(立方尺)，

332n32x3'

由言，144,得大豆有144(斛)，

堆放的大豆大約有144(斛).

故選：c.

由已知根據(jù)錐體的體積公式結(jié)合給定條件計(jì)算即可.

本題考查圓錐的體積計(jì)算，正確理解題意是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

9.【答案】C

【解析】解：設(shè)圓錐底面直徑為2r,圓錐的母線與底面所成的角等于60。，

則母線長為2r,高為Cr,

則圓錐的底面積為：nr2,側(cè)面積為;2r?2”，

則圓錐的表面積為仃2+^2r-2rn=3nr2,

該圓錐內(nèi)接于球0,則球在圓錐過高的截面中的截面為圓，即為邊長為2r的等邊三角形的內(nèi)切圓，

則半徑為R=2—r，表面積為：4兀/?2=等二

則球。與圓錐的表面積之比等于（工竽）：（3/rr2）=16：9,

故選：C.

由圓錐的母線與底面所成的角等于60。，可知過高的截面為等邊三角形，設(shè)底面直徑，可以求出其

表面積，

根據(jù)圓錐內(nèi)接于球0,在高的截面中可以求出其半徑，可求其表面積，

可求比值.

本題考查圓錐的性質(zhì)，以及其外接球，表面積，屬于中檔題.

10.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線48的方程與拋物線的方程聯(lián)立求出兩根之和及兩根

之積，由尸為AB的三等分點(diǎn)可得力，B的橫坐標(biāo)的關(guān)系，代入兩根之和及兩根之積中可得直線4B的

斜率.

【解答】

解：拋物線C：y=/的標(biāo)準(zhǔn)方程：x2=y,可得焦點(diǎn)坐標(biāo)（0,》，

由題意可得直線[的方程斜率存在，設(shè)直線y=kx+[,

設(shè)8（%2，丫2），

因?yàn)镕是線段4B的三等分點(diǎn)，設(shè)/=2而，則一X1=2次①，

y=kx+4,整理可得：x2-fcx-i=o,

(x2=y4

X1+x2=k,xxx2=-i@,

由①②可得上=—匕所以2x)=3即

解得k=士?，

故選：D.

11.【答案】A

【解析】解：在直角三角形OQP中，設(shè)OP=1,

??,弧4P的長為％,則NPOQ=x,0Q=\cosx\,

???點(diǎn)Q到直線OP的距離即QM=y,

???y=/(%)=OQ\sinx\=|cosx|?\sinx\=|\sin2x\,

其周期為r=3,最大值為;，最小值為o,

故選A.

在直角三角形OQP中，求出。Q,注意長度、距離為正，再根據(jù)直角三角形的銳角三角函數(shù)的定義

即可得到f(x)的表達(dá)式，然后化簡，分析周期和最值，結(jié)合圖象正確選擇.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正確表示函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查二倍角公

式的運(yùn)用.

12.【答案】B

【解析】解:令F(%)=xf(x),

所以尸'(%)=/(X)+xf'(x),

由x>0時(shí)，(0)+竽<0,

所以x>0時(shí),F'(x)<0,尸。)單調(diào)遞減,

因?yàn)閒。)是偶函數(shù)，

所以/(%)=/(一%)，

所以?(一%)=(-%)/(-%)=-x/(x)=-F(x),

所以尸(X)為奇函數(shù)，

由f(2)=3,可得F(2)=2/(2)=6,

當(dāng)x>1時(shí)，f(x-1)<言可變形為(X-1)/(%-1)<6>

所以F(x-1)<F(2),

因?yàn)镕(x)=xf(x)在R上單調(diào)遞減，

所以x—1>2且x>1,

所以x>3,

當(dāng)x<1時(shí)，fix-1)<告可變形為(x-l)/(x-1)>6,

所以F(x-1)>F(2),

因?yàn)槭?x)=xf(x)在R上單調(diào)遞減，

所以x-1<2且x<1,

所以x<1,

綜上所述，不等式/(x-1)<言的解集為(一8,1)u(3,+00),

故選:B.

令F(x)=xf(x),求導(dǎo)可得尸'(x)=/(x)+xf'(x},由％>0時(shí)，f'(x)+<0>則F'Q)<0,F(x)

單調(diào)遞減，由f(x)是偶函數(shù)可得F(x)為奇函數(shù)，由/(2)=3,可得F(2)=2/(2)=6,當(dāng)X>1時(shí)，

f(x-1)〈含可變形為(工一l)/(x-1)<6,即F(x-1)<F(2),結(jié)合尸(x)單調(diào)性，即可得出答

案.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

13.【答案】3

【解析】解:v|a|=1,|K|=5,且五7=4，

44

???COSO=—r=-=,

1x55

st?nOn=3

a06=|a|?|h|-sind

3

=1x5x-

=3.

故答案為：3.

先由|五|=1,|9|=5,且小加=4,求出cos。=±=g,從而得到s出。是，再由公式五回方=\a\-

\b\-sin0i+Ma□b.

本題考查平面向量的數(shù)量積的計(jì)算，是基礎(chǔ)題.解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式力圖9=1尚?|1|,

sin。的靈活運(yùn)用.

14.【答案】3

【解析】解:兩圓相交于4(1,3)和-1)兩點(diǎn),

所以心B—=T~f

由于直線％-y+c=0的斜率々=1,

所以7~，一Xl=-1,解得m=5；

1-m

且AB的中點(diǎn)(3,1)滿足直線x-y+c=O,

解得c=-2；

故m+c=3.

故答案為：3.

直接利用直線垂直的充要條件求出m的值，進(jìn)一步利用中點(diǎn)坐標(biāo)滿足的直線的方程的應(yīng)用求出結(jié)

果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線垂直的充要條件，圓和直線的方程，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)

思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】60

【解析】【分析】

本題考查棱錐及其結(jié)構(gòu)特征，以及組合與組合數(shù)公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

利用正四面體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合組合與組合數(shù)公式，計(jì)算得結(jié)論.

【解答】

正四面體ZBCD,。1、。2、。3和。4分別是面4BC、面AC。、面力BD和面BCD的中心，

則每個(gè)面上的三個(gè)頂點(diǎn)與這個(gè)面的中心，這四個(gè)點(diǎn)共面，如面ACD上，4、C、。和外共面，

每條棱都與小正四面體。4-。1。2。3的一條棱平行，如8(7/。2。3，則B、C、。2和。3四點(diǎn)共面,

因此四個(gè)點(diǎn)不共面的取法總數(shù)為或-4-6=60.

故答案為60.

16.［答案］4V-3

【解析】解：設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,如圖所示，連接4D,

AF,BD,

由拿破侖定理可知，ADE尸為等邊三角形.

因?yàn)?。為等邊三角形的中心?/p>

所以在AOAB中，ZABD=/.BAD=30°,AADB=120°,

設(shè)40=BO=x,由余弦定理得：c2=x2+x2-2X2COS120°,

即C2=3/,即￡=<3=X=YC，即40=*c，

x33

同理AF=?b;

又因?yàn)镹B4C=60°,4CAF=30°,

所以NDAF=4BAD+^BAC+ACAF=120°,

在AADF中，由余弦定理可得=AD2+4F2-2/WSF-COS120。，g|J12=|c2+1/J2-2X

化簡得：(b+c)2=bc+36,

由基本不等式得：(6+c)2<(^)2+36,

解得b+c<4，可，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2，耳時(shí)等號(hào)成立，

所以AB+AC的最大值為4/3.

故答案為：4A/~3.

在^DAB中，設(shè)4D=BD=X,乙ABD=4BAD=30°n乙4nB=120°,由余弦定理可求得x與c的

關(guān)系；同理可得4F與b的關(guān)系，由余弦定理可求得4B與4c的關(guān)系，再由基本不等式即可求出48+

力C的最大值.

本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查作圖能力、邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，屬中

檔題.

17.［答案］解：(1)證明：an-aM_!=/~a^+Jan_i，??.(1屋-J即-1)(/^+V?n-i)=

7an+Van-l)

又?jǐn)?shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，即";+"二；力0,二廣；一戶蒜=1，

又，石=1,則數(shù)列｛幾｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,

2

???y/an—7a1+(n-1)=n,即。耳=n；

2

(2)證明：由(1)得即=n,貝I]%=4Li)

=

bn=(2n-l)(2n+l)

F=，(1_§+5飛+廠尹…+罰一罰)=2(1-苗)，

則1一焉<1’一焉)<3，即％<：?

【解析】⑴將遞推式變形為-廣二)(4^+"二')=廠屋+"^7,利用等差數(shù)

列的定義即可證明結(jié)論，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得出答案；

(2)由(1)得與=聲，則與=懸不變形得%=：(上一焉)，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算上,即可

證明結(jié)論.

本題考查等差數(shù)列的定義和裂項(xiàng)相消法求和，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬

于中檔題.

18.【答案】解：(1)延長BM交AD于P點(diǎn)，延長BN交4c于。點(diǎn)，連接P0.

因?yàn)辄c(diǎn)"，N分別為△48。和AABC的重心，所以點(diǎn)P,

所以PO〃CD,

又CD仁平面8MN,POu平面BMN,

所以CD〃平面BMN.

(2)當(dāng)三棱錐。-4BC的體積最大時(shí)，點(diǎn)。到底面4BC的距離最大,

即平面￡MC_L平面ABC,

連接。0,因?yàn)椤鰽DC和△ABC均為正三角形，

于是DOJLAC,BO1,AC,

又平面D4cD平面4BC=AC,

所以。。，平面ABC,所以南，靈,而兩兩垂直，

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,0C,。。分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,

則。(0,0,0),4(0,—1,0),B(<3,0,0),D(0,0,C),P(0,—g,?)，

所以麗=前=(-O,0,<3),0B=(O,0,0),0?=

又二面角N-BM-D即二面角。-BP—D,

設(shè)平面BPO的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

則也更=0,

1元?BD=0

可得一「苫一2丫+h2=°,取z=i,則元=(i,_q,i),

V-3%+y/~3z=0

同理可求得平面。BP的一個(gè)法向量為記=(0,，行,1),

—

所，匚以I”/—?―\沅員3+1\/-5

由圖可知二面角N-BM-。為鈍角，

所以二面角N-BM-。的余弦值為一萼.

【解析】(1)延長BM交AD于P點(diǎn)，延長8N交AC于。點(diǎn)，連接PO.由己知可得CD〃OP,可證CD〃平

面BMN；

(2)當(dāng)三棱錐。-48C的體積最大時(shí)，點(diǎn)D到底面4BC的距離最大，可知平面ZMC1平面A8C,進(jìn)

而可證以南,萬？,而兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC,。0分別為x,y,z軸建立空間直角坐

標(biāo)系Oxyz,利用向量法求二面角N-BM-。的余弦值.

本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，屬中檔題.

19.【答案】解：(/)由題意知泛的所有可能值為0,1,2,3,4

用4K表示“汽車通過第k個(gè)路口時(shí)不停(遇綠燈)”，

則P(4K)=算憶=123,4),且醺砥4獨(dú)立?

1

-P--

4

Pd=l)=p(4.君)="；=得

P(f=2)=P(4.&.否)=(62,=看

P延=3)=「(4?&?&?%)=(1)3i=裊,

P(f=4)=P(4?&“3"4)=弓)4=裝

從而f有分布列：

產(chǎn)01234

1_3_92781

P

41664256256

廠/

EV=OCX-1+,IYx3—,+C2x9—,+C3xZZ27T+,4“Xyr8y1=52Z577

,41664256256256

(〃)P(fw3)=1-P(f=4)=1-裊=

即停車時(shí)最多己通過3個(gè)路口的概率為竟|.

【解析】(/)由題意知6表示停車時(shí)已經(jīng)通過的路口數(shù)，因?yàn)楣灿?個(gè)路口，f的所有可能值為0,1,

2,3,4,根據(jù)條件所給的在每個(gè)路口遇到綠燈的概率為本遇到紅燈(禁止通行)的概率為看做出

變量對(duì)應(yīng)不同數(shù)值時(shí)的概率，得到分布列和期望.

(〃)停車時(shí)最多已通過3個(gè)路口的對(duì)立事件是停車時(shí)己經(jīng)通過4個(gè)路口，根據(jù)上一問做出的通過4個(gè)

路口的概率和對(duì)立事件的概率，得到結(jié)果.

本題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，對(duì)立事件的概率，離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，是

一個(gè)近幾年經(jīng)常出現(xiàn)的概率問題，解題時(shí)注意分清事件的關(guān)系.

p

20.【答案】解：(1)設(shè)N(4,%),代入/=2py,得yi=]

|M/V|=1,\NF\=^+yr=^+^,

P85

-+-=-x1,解得p=2,

2b4

C的方程為尤2=4y；

(2)點(diǎn)4、B均在拋物線/=4y上，

假設(shè)存在點(diǎn)P(0,t)(t<0)滿足條件，

則直線P4的方程是y=與1%+3直線PB的方程是y=y％+3

曲線C在Q處的切線/的方程是y=它與y軸的交點(diǎn)為G(0,-苧)，

由于一2<m<2,因此一1</<1,

①當(dāng)—l<t<0時(shí)，-1<與^<—存在m€(―2,2),使得，=與工

即I與直線PA平行，故當(dāng)-l<t<0時(shí)不符合題意.

②當(dāng)tW-l時(shí)，^i<-l<y,1>p所以]與直線P8一定相交.

分別聯(lián)立方程組

t-1(1-t

y=-2-x+ty=~2~x+t

2

mm2mmz

U=2x一丁

了=2L才

解得D,E的橫坐標(biāo)分別是

m2+4t__m2+4t

X0=2(m+l-t)(Xe=2(m+t-l)'

則…=("1)黑與

乂|GP|=一:—t，有S“OE=>\GP\-\xE—xD\

_1—t(m2+4t)2

8(t-l)2—m2

又也.8=”―(1一第=第，

222

壬日SAQAB_4(m-4)[m-(t-l)]

丁-----=i~；--------；----2-----

S4PDEIT(?n2+4t)

4-[4+(￡-1)2]/+4(1)2

1-t7n4+8tm2+16t2

對(duì)任意機(jī)(-2,2),要使沁為常數(shù)，

即只需t滿足仁4-I)"",

解得t=—l.此時(shí)沁=2,故存在t=—l,

\>PDE

使得△。43與4PDE的面積之比是常數(shù)2.

【解析】本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于難題.

(1)把％=4代入拋物線方程計(jì)算N點(diǎn)坐標(biāo)，得出|MN|,根據(jù)拋物線的定義列方程解出p；

(2)假設(shè)存在點(diǎn)P滿足條件，求出直線P4PB及切線方程，聯(lián)立方程組求出D,E坐標(biāo)，計(jì)算AQAB

與APDE的面積，令其比值為常數(shù)，得出方程組解出t.

21.【答案】解：(1)證明：當(dāng)K2—1時(shí)，號(hào)“，且*1>0,

4乙

所以GTT<JRx+i=|f+i|=f+1(當(dāng)且僅當(dāng)％=。時(shí)，等號(hào)成立).

故、％+1<|+l(x>—1);

(2)已知/(%)=ex+占，函數(shù)定義域?yàn)?一8,a)u(a,4-00),

當(dāng)%>a時(shí)，ex>0,-^―>0,

x—a

此時(shí)/(%)>0恒成立,

所以函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn)；

exa

當(dāng)％Va時(shí)，/(%)=4--=^~^f

J、'x—ax—a

不妨設(shè)/i(x)=ex(x-a)+1,函數(shù)定義域?yàn)?-8,a)u(a,+8),

要求函數(shù)/Xx)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

即求函數(shù)以久)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

可得“(%)=ex(x—a4-1),

令八'(尢)=0,

解得工=a-1,

當(dāng)工€(-8,a-1)時(shí)，hf(x)<0,九(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)％C(a—1,a)時(shí),hz(x)>0,九(%)單調(diào)遞增，

ar

所以函數(shù)八(%)在(一8,Q)上的最小值為九(。-1)=1-e~.

當(dāng)a=1時(shí)，九(a—1)=0,

又a—1=0,

所以0是函數(shù)f(%)的唯一的零點(diǎn)；

當(dāng)a<1時(shí)，h(a—1)=1—ea-1>0,

此時(shí)函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn)；

當(dāng)Q>1時(shí)，

因?yàn)?i(a-1)=1—ea-1<0,h(a)=ea(a—a)+l=l>0,

且/i(x)在(a-1,a)是增函數(shù)，

所以函數(shù)九(久)在(a-l,a)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

又九(一a)=e-a(-a-a)4-1=-|^+1=

不妨設(shè)g(a)=e。-2a,函數(shù)定義域?yàn)?1,+8),

a

可得g'(a)=e-2>0f

所以函數(shù)g(a)在(L+8)上單調(diào)遞增，

此時(shí)g(a)>g(l)=e-2>0,

即九(一a)>0,

又九(Q-1)V0,且八(%)在(-8,a-1)是減函數(shù),

所以函數(shù)九(%)在(-8,Q-1)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

則當(dāng)a