新高一數(shù)學(xué)銜接講義講義系列一

第1講教與式

1、理解并掌握乘法公式與因式分解

教學(xué)目標(biāo)2、理解并掌握二次根式的運(yùn)算與化簡(jiǎn)

3、理解并掌握繁分式的化簡(jiǎn)

乘法公式與因式分解

重點(diǎn)、難點(diǎn)

二次根式與分式

1、理解并掌握乘法公式與因式分解

考點(diǎn)及考試要求2、理解并掌握二次根式的運(yùn)算與化簡(jiǎn)

3、理解并掌握繁分式的化簡(jiǎn)

教學(xué)內(nèi)容

知識(shí)框架

知識(shí)點(diǎn)一：乘法公式

【內(nèi)容概述】

【公式1]（a+Z?+c）2=。2+/?2+c2+2ab+20c+2ca

【公式2]（a+8）（〃2-82）=〃3+。3（立方和公式）

【公式3]（a-4）3+>1+"2）=43-加（立方差公式）

【公式4]（a+0）3=。3+加+3。2。+3以?2（請(qǐng)同學(xué)證明）

【公式5】（a-b）3=〃3-3々2。+3出?2-加（請(qǐng)同學(xué)證明）

【典型例題一1】:

例1.計(jì)算：(%2->/2%+1)2例2.計(jì)算：(2〃+力(4。2一2出?+。2)

例3.計(jì)算(I)(3x+2y)(9x2—6xy+4y2)(2)(2x-3)(4%2+6^+9)

變式1:利用公式計(jì)算

(1)忙”機(jī)2++》(2)(a+&)(o2-ab+b^){a-b\a^+ab+b^)

變式2:利用立方和、立方差公式進(jìn)行因式分解

(1)27m3-"3(2)27/713-1/13(3)X3-125(4)m6-〃6

8

【典型例題一2】:

例4.計(jì)算：(1)(.I/?/-m2-+JLn2)

5225104

例5.已矢口工2—3工+1=0，求+_L的值.

X3

例6.己知Q+/?+C=0,求6/(1+-)+b(-+-)+c(—+1)的值.

bccaab

變式1:計(jì)算：(x+l)(x-1)(X2-%+1)(X2+%+1).

變式2：已知Q+/?+C=4,+QC=4,求。2+/?2+C2的值.

知識(shí)點(diǎn)二、根式

【內(nèi)容概述】

式子展(aN0)叫做二次根式，其性質(zhì)如下：

(1)(y/a)2=a(a>0)(2)yfa2=\a1

(3)yfab=>fa-yfb(a>0,b>0)(4)=2^(a>0,ft>0)

yja

【典型例題一11：基本的化簡(jiǎn)、求值

例7.化簡(jiǎn)下列各式：⑴-2)2+一1)2(2)?-x)2+J(2-x)2(x>l)

例8.計(jì)算J4+2V5

變式1:二次根式疝=-。成立的條件是（）

A.a>0B.a<QC.a<QD.。是任意實(shí)數(shù)

變式2:若x<3,則?79-6苫+苫2-1彳-61的值是（）

A.-3B.3C.-9D.9

變式3：計(jì)算"7+40

【說(shuō)明】

1、二次根式的化簡(jiǎn)結(jié)果應(yīng)滿足：

①被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因

式.

2、二次根式的化簡(jiǎn)常見(jiàn)類型有下列兩種:

①被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式.化簡(jiǎn)時(shí)，先將它分解因數(shù)或因式，然后把開(kāi)得盡方的因

數(shù)或因式開(kāi)出來(lái);

②分母中有根式（如」『），或被開(kāi)方數(shù)有分母（如、E）.這時(shí)可將其化為至形式

2+73丫2枇

可化為由），轉(zhuǎn)化為“分母中有根式”的情況.

（如,

V272

化簡(jiǎn)時(shí)，要把分母中的根式化為有理式，采取分子、分母同乘以一個(gè)根式進(jìn)行化

簡(jiǎn).（如，化為3（：我其中2+萬(wàn)與2-6叫做互為有理化因式.

2+73（2+73）（2-73）

【典型例題一2】：有理化因式和分母有理化

有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，那

么這兩個(gè)代數(shù)式叫做有理化因式。如拓與、萬(wàn)；°6+八夕與b"互為有理化因

式。

分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。

Jay[a

例9.計(jì)算：（1）（2）-4-

a-y/aba+yjab

例10.設(shè)X=求x3+y3的值

2-73-2+73

知識(shí)點(diǎn)三、分式

【典型例題一1】：分式的化簡(jiǎn)

例11.化簡(jiǎn)-+3X+9+6x--7例12.化簡(jiǎn)X

-279工一工36+2x1-x

x+-------

1

x——

X

【典型例題一2】：分式的證明

例13.（1）試證：1-I-1（其中n是正整數(shù)）；

n（n+1）nn+\

⑵計(jì)算：_L+_L++_L；

1x22x39x10

11

（3）證明：對(duì)任意大于1的正整數(shù)"，有_二+一二++------<_.

2x33x4〃（及+1）2

【典型例題一3】：分式的運(yùn)用

例14.設(shè)e=￡,且e>l,2c2—5ac+2a2=0,求e的值.

變式1：對(duì)任意的正整數(shù)n,——

〃（〃+2）

若2%-y_2

變式2:選擇題：一,則2=()

x-vy3y

46

(A)1(B)￡(C)(D)

455

變式3:計(jì)算_L111

+---+--—十,...+--

1x22x33x499X100

知識(shí)點(diǎn)四、因式分解

【內(nèi)容概述】

因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形。在

分式運(yùn)算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用。是一種重要的基本技能。

因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式

和完全平方公式）外，還有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分組分解法等

等。

【典型例題一1】：公式法（立方和、立方差公式）

【內(nèi)容概述】

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式中的立方和、立方差公式：

3+6）（。2-曲+i>2）=43+加（立方和公式）

（4-。）（42+而+。2）=43-加（立方差公式）

由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過(guò)來(lái)寫，就得到：

這就是說(shuō)，兩個(gè)數(shù)的立方和（差），等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）乘以它們的平方和與它們積的

差（和）。運(yùn)用這兩個(gè)公式，可以把形式是立方和或立方差的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。

例15.用立方和或立方差公式分解下列各多項(xiàng)式：

（1）8+X3（2）0.125-27M

變式：分解因式：⑴3a36-816（2）w-ab（）

【典型例題一2】：分組分解法

【內(nèi)容概述】

從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)式.而

對(duì)于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，如汕+〃a+湖既沒(méi)有公式可用，也沒(méi)有公因式可以提

取.因此，可以先將多項(xiàng)式分組處理.這種利用分組來(lái)因式分解的方法叫做分組分解法.

分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組.常見(jiàn)題型：

（1）分組后能提取公因式（2）分組后能直接運(yùn)用公式

（1）分組后能提取公因式

例16.把2a》-10緲+5力-法分解因式。變式：把a(bǔ)b（c-2-]2）-（。2-82）cd分解因式。

(2)分組后能直接運(yùn)用公式

例17.把工2-產(chǎn)+ax+ay分解因式。變式：把2m+4孫+2產(chǎn)一分解因式。

【典型例題一3】：十字相乘法

【內(nèi)容概述】

(1)m+(p+q)x+pq型的因式分解

這類式子在許多問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：①二次項(xiàng)系數(shù)是1;②常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)

數(shù)之積；③一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和.

?「X2+(p+g)x+pq=尤2+px+qx+pq=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q),

運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式.

(2)一般二次三項(xiàng)式辦2+/7X+C型的因式分解

由QQX2+(ac+ac)x+cC=3x+c)(Qx+c)，我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)Q分解成

121221121I22

aa，常數(shù)項(xiàng)c分解成cc，把a(bǔ),a,c,c寫成,這里按斜線交叉相乘，再相加，就

12121212°2c2

得至！Jac+aco

1221

如果它正好等于0X2+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù)6,那么ax2+bx+c就可以分解成

(ax+c)(ax+c),其中a,c位于上一行，a,c位于下一行.這種借助畫十字交叉線分

I122II22

解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過(guò)多次嘗試，才

能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解.

(1)X2+(p+g)x+pq型的因式分解

例18.把下列各式因式分解：

(1)X2-7x+6⑵m+13x4-36

例19.把下列各式因式分解：

(1)-24(2)x2-2x-15

例20.把下列各式因式分解：

(1)x2+xy-6y2⑵(尤2+X)2-8(X2+%)+12

(2)一般二次三項(xiàng)式QK2+/?x+c型的因式分解

例21,把下列各式因式分解：⑴12X2-5X-2(2)5x2+6xy-8y2

變式練習(xí)：

(1)X2-6x+5(2)X2+15X+56(3)X2+2xy-32y(4)

(修+x4(x+x)T2

【典型例題一31：其它因式分解的方法

(1)配方法

例22.分解因式工2+6x-16變式：(1)X2+12x+20(2)aq+a2b2+bi

(2)拆項(xiàng)法(選講)

例23.分解因式工3-312+4

(3)其它方法(選講)

例24.(X2-5X+2)(X2-5X+4)-8

課后練習(xí)

1.填空：

一、11,J,1、/

(1)-fl2——/72-(—b+—a)();

9423

(2)(4/n+)2=16m2+4m+()；

⑶(a+2b—c)2=a2+4Z?2+c2+().

(4)1,則x,y的值為

(5)若X2+X+1=0,則X4—X2—2x—1=

(6)a=l,b=L則3-"

233O2+5ab—2b2

(7)若X2+xy-2y2=0,則±2吵

X2+y2

(8)若yj—a—b—lyfaE=-J—b—Q—a,則()

(A)a<b(B)a>b(C)a<b<0(D)b<a<0

(9)計(jì)算等于()

(A)(B)Ja(C)-^a(D)—y[a

(10)若，—1=2,則3x+砂-3y的值為(

)

尤yx-xy-y

55

B.cD.

A.II,33

2.化簡(jiǎn)：⑴?yJ9m+10m一2m2⑵

(x>y>0)

3.把下列各式分解因式:

(1)3ax-3ay+xy-y2(2)8x3+4x2-2x-l(3)5x2-15x+2xy-6y

(4)4xy+1-4x2-y2(5)a4b+a3b2—a2b3-ab，(6)%6-y6-2x3+1

第2講一元二次法教與二次不等式

1、能熟練掌握二次函數(shù)的圖像，能夠根據(jù)解析式快速畫出函數(shù)

的圖像

2、理解并掌握二次函數(shù)的三種表達(dá)式

教學(xué)目標(biāo)

3、理解并掌握二次函數(shù)的最值問(wèn)題

4、能夠根據(jù)二次函數(shù)、一元二次不等式不等式的關(guān)系解二次不

等式

二次函數(shù)的最值問(wèn)題

重點(diǎn)、難點(diǎn)

一元二次不等式的解法

考點(diǎn)及考試要求二次函數(shù)的最值與一元二次不等式的解法

教學(xué)內(nèi)容

知識(shí)框架

1、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)2、二次函數(shù)的三種表達(dá)式

3,二次函數(shù)的最值問(wèn)題4、一元二次不等式

知識(shí)點(diǎn)一、y=ax2+hx+c的圖像與性質(zhì)

【內(nèi)容概述】

1、當(dāng)a〉0時(shí)，

Q函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開(kāi)口方向________；頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__________,對(duì)稱軸為

直線___________；

Q當(dāng)________時(shí)，y隨著x的增大而_______；當(dāng)__________時(shí)，y隨著x的增大

而_________；當(dāng)_________時(shí)，函數(shù)取最小值__________.

2、當(dāng)a<0時(shí)，

Q函數(shù)>=62+以+。圖象開(kāi)口方向________；頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______,對(duì)稱軸為直

線__________;

Q當(dāng)_______時(shí)，y隨著x的增大而_______；當(dāng)_________時(shí)，y隨著x的增大

而__________；當(dāng)________時(shí)，函數(shù)取最大值___________.

上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過(guò)上圖直觀地表示出來(lái).因此，在今后解決二次函

數(shù)問(wèn)題時(shí)，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解決問(wèn)題.

例1.求二次函數(shù))，=-34-6》+1圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值(或最小值)，并

指出當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大(或減小)？并畫出該函數(shù)的圖象.

變式1：作出以下二次函數(shù)的草圖

(1)y-x2-x-6⑵y=x2+2x+l(3)y=-x2+1

例2.某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價(jià)x(元)與產(chǎn)品的日銷售量y(件)

之間關(guān)系如下表所示：

X/元130150165

y/件705035

若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤(rùn)，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)

應(yīng)定為多少元？此時(shí)每天的銷售利潤(rùn)是多少？

例3.把二次函數(shù)y=&+bx+c的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到

函數(shù)y=x2的圖像，求b,c的值.

知識(shí)點(diǎn)二、二次函數(shù)的三種表示方式

【內(nèi)容概述】

1、一般式：y=ax2+bx+c(aW0)；

2、頂點(diǎn)式：y=a(x+h)2+k(aWO),其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是(一h,k).

3、交點(diǎn)式：y=a(x—x)(x—x)(aWO).

12

【典型例題】

例4.已知某二次函數(shù)的最大值為2,圖像的頂點(diǎn)在直線y=x+l匕并且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,—1),求

二次函數(shù)的解析式.

例5.已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(一3,0),(1,0),且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2,求此二

次函數(shù)的表達(dá)式.

例6.已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(一1,—22),(0,-8),(2,8),求此二次函數(shù)的表達(dá)式.

例7.函數(shù)y=—x/+x—1圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

(A)0個(gè)(B)1個(gè)(C)2個(gè)(D)無(wú)法確定

變式1:已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)與x軸交于點(diǎn)(一1,0)和(2,0),則該二次函數(shù)的解析式可設(shè)為

y=a(aWO).

變式2：二次函數(shù)y=-X2+25x+1的函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為.

變式3：根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式.

(1)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,-2),(0,—3),(―1,—6)；

(2)當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)有最小值5,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，11);

(3)函數(shù)圖象與x軸交于兩點(diǎn)(1—淄，0)和(1+淄，0),并與y軸交于(0,-

2).

知識(shí)點(diǎn)三、二次函數(shù)的最值問(wèn)題

【內(nèi)容概述】

1.二次函數(shù)y=ar2+bx+c(awO)的最值.

二次函數(shù)在自變量x取任意實(shí)數(shù)時(shí)的最值情況:

當(dāng)。>0時(shí)，函數(shù)在X=-_L處取得最小值色士，無(wú)最大值；當(dāng)。<0時(shí)，函數(shù)

2a4a

在》=一2處取得最大值小心，無(wú)最小值

2a4a

2.二次函數(shù)最大值或最小值的求法.

第一步：確定a的符號(hào)，a>0有最小值，aVO有最大值；

第二步：配方求頂點(diǎn)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為對(duì)應(yīng)的最大值或最小值.

3.求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值.

如：y=ax^+bx+c^（￡m<x<n（其中機(jī)<〃）的最值.

第一步：先通過(guò)配方，求出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸：x=x；

0

第二步：討論：

（1）若。>0時(shí)求最小值或時(shí)求最大值，需分三種情況討論：

①對(duì)稱軸小于根即x<m,即對(duì)稱軸在加〃的左側(cè)；

o

②對(duì)稱軸機(jī)（x<n,即對(duì)稱軸在機(jī)的內(nèi)部；

o

③對(duì)稱軸大于〃即x>n,即對(duì)稱軸在mWxW〃的右側(cè)。

o

（2）若。>0時(shí)求最大值或。<0時(shí)求最小值，需分兩種情況討論：

①對(duì)稱軸x4竺二，即對(duì)稱軸在m4尤4〃的中點(diǎn)的左側(cè)；

02

②對(duì)稱軸x>—,即對(duì)稱軸在mWxW〃的中點(diǎn)的右側(cè)；

o2

說(shuō)明：求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值，要注意對(duì)稱軸與自變量的取值范圍相應(yīng)位置

【典型例題】

例8.求下列函數(shù)的最大值或最小值.

（1）y=2x2-3x-5；（2）y=-x2-3x+4

例9.當(dāng)UW2時(shí)，求函數(shù)y=-犬2-x+1的最大值和最小值.

例10.當(dāng)xNO時(shí)，求函數(shù)y=—x（2—尢）的取值范圍.

例11.當(dāng)YxWf+l時(shí)，求函數(shù)y=lx2-x-2的最小值（其中t為常數(shù)）.

22

變式1：設(shè)?！?,當(dāng)-iWxWl時(shí)，函數(shù)y=-x2-ax+b+1的最小值是T,最大值是0,

求a,6的值.

變式2：已知函數(shù)y=x2+2ax+l在-l〈xW2上的最大值為4,求。的值.

變式3：求關(guān)于龍的二次函數(shù)y=x2-2a+1在TAxWl上的最大值（r為常數(shù)）.

變式4：已知函數(shù)y=-X2—2x+3,當(dāng)自變量x在下列取值范圍內(nèi)時(shí)，分別求函數(shù)的最大值或最小

值，并求當(dāng)函數(shù)取最大（?。┲禃r(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值：

（1）xW-2；（2）xW2；（3）—2WxWl：（4）0<xW3.

知識(shí)點(diǎn)四、一元二次不等式

【內(nèi)容概述】

通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，咱們已經(jīng)掌握了根據(jù)二次函數(shù)的解析式畫函數(shù)的圖像，現(xiàn)在同

學(xué)們根據(jù)圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)分類，詳細(xì)總結(jié)，然后對(duì)比二次函數(shù)、一元二次方程、

一元二次不等式之間的關(guān)系.（在黑板上畫出表格的框架，讓學(xué)生來(lái)填，引導(dǎo)學(xué)生自主

找規(guī)律）

1、一元二次不等式ax2+/?x+c>0或an+bx+c<oG*0）的解集：

設(shè)相應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c-oGw0）的兩根為x、x且，

1212

△=m-4敬，則不等式的解的各種情況如下表：

二次函數(shù)

（a〉0）的圖象

一元二次方程

2.簡(jiǎn)單分式不等式的解法

解簡(jiǎn)單的分式不等式的方法：對(duì)簡(jiǎn)單分式不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為整式不等

式，應(yīng)當(dāng)注意分母不為零.

3.含有字母系數(shù)的一元一次不等式

一元一次不等式最終可以化為以〉匕的形式：

(1)當(dāng)a〉0時(shí)，不等式的解為：x>—

a

b

(2)當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解為：x<—

a

(3)當(dāng)a=0時(shí)，不等式化為：0x>b；

①若〃>0,則不等式的解是全體實(shí)數(shù)；

②若。40,則不等式無(wú)解.

【典型例題】

例12.解下列不等式：⑴X2+X—6>0(2)(x-l)(x+2)>(x-2)(2x+l)

例13.解下列不等式：⑴%2-2X-8<0(2)%2-4X+4<0(3)

X2-x+2<0

例14.已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)無(wú)，"2-2x+左恒為正數(shù)，求實(shí)數(shù)后的取值范圍.

例15.解下列不等式：⑴2x~3<0(2)J_<3

x+1x+2

例16.解關(guān)于x的不等式-1)>0

例17.已知不等式on+hx+c<0(a豐0)的解是x<2,或x>3求不等式bxi+or+c>0的

解.

變式1：(1)2x2+x<0(2)%2-3X-18<0(3)-X2+x>3x+l(4)

x(x+9)>3(x-3)

—>0(2)3++1<2(3)3>-1(4)2『7+1〉0

變式2：解下列不等式：(1)

x—12x—1X2x+1

111八

變式3：解下列不等式：⑴X2-2X>2X2+2(2)—X2--X+->0

235

變式4:已知關(guān)于x的不等式如2-x+a<0的解是一切實(shí)數(shù)，求相的取值范圍.(選做)

課后練習(xí)

1.根據(jù)下列條件，分別求出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式.

(1)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,-1),B(1,0),C(-1,2)；

(2)已知拋物線的頂點(diǎn)為(1,-3),且與y軸交于點(diǎn)(0,1)；

(3)已知拋物線與x軸交于點(diǎn)M(-3,0),(5,0),且與y軸交于點(diǎn)(0,-3)；

(4)已知拋物線的頂點(diǎn)為(3,-2),且與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4.

2.已知函數(shù)y=,其中aN-2,求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)

取最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量X的值.

3.若0<a<l,則不等式(x-a)(x--)<0的解是()

a

A.a<x<—B.—<x<aC.x>工或x<aD.x<，或x>a

aaaa

4.如果方程ax2+bx+b=0中，a<0,它的兩根x,滿足那么不等式ax2+bx+b<0的解

是_______________

5.解下列不等式：

(1)3X2-2X+1<0；(2)3X2-4<O；(3)2x-X22一l；

(4)4—X2^0.(5)4+3x—2x2^0;(6)9x2—12x>—4;

6.解關(guān)于x的不等式X2-(i+a)x+a<0(a為常數(shù)).

7.關(guān)于x的不等式以2+bx+c<0的解為x<-2或X〉」求關(guān)于X的不等式

2

ax2-bx+c>0的解.

第3講一元二次方程與韋達(dá)定理

1、理解并掌握一元二次方程根的判別式

教學(xué)目標(biāo)

2、理解并掌握根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)

1、韋達(dá)定理與一元二次方程的關(guān)系

重點(diǎn)、難點(diǎn)

2、韋達(dá)定理的應(yīng)用

1、一元二次方程根的判別式

考點(diǎn)及考試要求

2、根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)

教學(xué)內(nèi)容

知識(shí)框架

1、一元二次方程根的判別式2、根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)

3、簡(jiǎn)單的二元二次方程組(選講)4、分式方程和無(wú)理方程的解法(選講)

知識(shí)點(diǎn)一、一元二次方程根的判別式

【典型例題】

例1.求下列方程的根

(1)X2+2X-3=0(2)X2+2X+1=0(3)簧+2關(guān)+3=0

例2.判定下列關(guān)于x的方程的根的情況(其中a為常數(shù))，如果方程有實(shí)數(shù)根，寫出方程的實(shí)數(shù)根.

(1)xz—3x+3=0；(2)xz—ax—1=0；(3)X2—ax+(a—1)—0(4)xz—2x+a=0.

變式練習(xí)：己知關(guān)于x的一元二次方程3X2-2X+Z=0,根據(jù)下列條件，分別求出左的范

圍：

(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

(3)方程有實(shí)數(shù)根；(4)方程無(wú)實(shí)數(shù)根。

知識(shí)點(diǎn)二、根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)

【內(nèi)容概述】

—b+J/72—4-

右一元二次方程ax2+bx+c=0(aNO)有兩個(gè)頭數(shù)根--------------，

?2a

_-b-yjb2-4ac

x=--------------,

22a

則有：

-b-\-Jb2-4ac-b-Jh2-4ac-2hb

x+x=--------------+---------------=----=；

122。2a2aa

-b+Jb2-4ac-b-Jln-^ac從一(4-4ac)4acc

V"V-*__

122a2a4〃24〃2a'

所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：

bc

x+x=——,X?X=—.

12a12a

這一關(guān)系也被稱為“韋達(dá)定理”.特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2+px+q=O,

若%,%是其兩根，由韋達(dá)定理可知：

x+x=-p,x?x=q,即：p=-(x+x),q=x?x,

12121212

所以，方程x2+px+q=0可化為X2—(x+x)x+x?x=0。由于x，x是一元二次方程x?+

1212I2

px+q=O的兩根，所以，x「x,也是一元二次方程X2—(X]+X2)x+X1?*2=0的兩根.因此有：

以x,x為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是X2—(x+x)x+x?x=0.

121212

【典型例題】

例3.已知方程5"+"一6=°的一個(gè)根是2,求它的另一個(gè)根及k的值.

例4.已知關(guān)于X的方程X2+2(m—2)x+nt+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)

根的積大21,求m的值.

例5.已知兩個(gè)數(shù)的和為4,積為一12,求這兩個(gè)數(shù).

例6.若X1和色分別是一元二次方程2X2+5X—3=0的兩根.

(1)求|x-x|的值；(2)求「-+」一的值；(3)X3+X3.

12X2X2I2

變式：若是方程X2+2X-2007=0的兩個(gè)根，試求下列各式的值：

I2

(1)%2+犬2；(2)A4-—；(3)(x-5)(九-5)；(4)Ix-xI

12xX1212

例7.若關(guān)于x的一元二次方程xz—x+a—4=0的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)

a的范圍.

例8.已知關(guān)于x的方程X2-(k+l)x+；也+1=0,根據(jù)下列條件，分別求出左的值。

(1)方程兩實(shí)根的積為5；⑵方程的兩實(shí)根滿足lxl=x。

1212

例9.已知x,x是一元二次方程4區(qū)2-4區(qū)+左+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

12

3

(1)是否存在實(shí)數(shù)3使(2x-x)(x-2x)=-二成立？

12122

若存在，求出攵的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

(2)求使人+5-2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值。

XX

21

變式1：填空:

(1)若方程X2-3x-l=0的兩根分別是x和x,則」_+_￡=

12XX----------

12

(2)方程mx2+x—2m=0(m#0)的根的情況是.

(3)以一3和1為根的一元二次方程是.

(4)若m,n是方程x2+2005x—1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則irm+mm—mn的值等于.

(5)如果a,b是方程x2+x—1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式a3+a2b+abz+b3的值是.

變式2:已知&^8〃口6+仍-11=0,當(dāng)k取何值時(shí)，方程kxz+ax+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)

數(shù)根？

變式3:已知方程X2—3x—1=0的兩根為x和x,求(x—3)(x—3)的值.

、1212

變式4:已知關(guān)于x的方程X2—kx—2=0.

(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)設(shè)方程的兩根為x和x,如果2(x+x)>xx,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

變式5：一元二次方程ax21+bx2+c=0(aW1O)2的兩1根2為x和x.

12

X+X

求：(1)IX—XI和-?二2;(2)X3+x3.

12212

變式6：關(guān)于x的方程X2+4x+m=0的兩根為x,x滿足|x—X|—2,求實(shí)數(shù)m的值.

知識(shí)點(diǎn)三、簡(jiǎn)單的二元二次方程組(選講內(nèi)容)'~'

【內(nèi)容概述】

在初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程組的解法，掌

握了用“消元法”解二元一次方程組.高中新課標(biāo)必修2中學(xué)習(xí)圓錐曲線時(shí)，需要用到

二元二次方程組的解法.因此，需介紹簡(jiǎn)單的二元二次方程組的解法。

含有兩個(gè)未知數(shù)、且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做二元二次

方程。

由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組，或由兩個(gè)二元二次方程

組組成的方程組，叫做二元二次方程組。

(1)由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組

【內(nèi)容概述】

一個(gè)二元-一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組，一般都可以用“代入法”

求解.其蘊(yùn)含著，轉(zhuǎn)化思想：將二元一次方程化歸為熟悉的一元一二次方程求解。

2x~y=Q(1)例11.解方程組<x+y=11(1)

例10.解方程組，

X2-J2+3=0(2)xy-28(2)

(2)由兩個(gè)二K三二次方程組成的方程組(可因式分解型)

【內(nèi)容概述】

方程組中，一個(gè)方程可以因式分解化為兩個(gè)二元一次方不呈，則原方程組可轉(zhuǎn)化為

兩個(gè)方程組，其中每個(gè)方程組都是由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成。

降—=5(x+y)⑴例13.解方程組+孫=12(1)

例12.解方程組,*

%2+孫+>2=43(2)xy+=4(2)

無(wú)2+*=26⑴例15.解方程組，xy+x=3(1)

例14.解方程組.

孫=5(2)3xy+y=8(2)

3x2-2xy-y2=0X2+2孫+y2=4

變式練習(xí)：解方程組(1)〈；(2)

(x-y)2-3(冗一y)—18=0(x-y)2+55y=6

知識(shí)點(diǎn)四、分式方程和無(wú)理方程的解法(選講)

【內(nèi)容概述】

初中大家己經(jīng)學(xué)習(xí)了可化為一元一次方程的分式方程的解法。這里將要學(xué)習(xí)可化

為一元二次方程的分式方程的解法以及無(wú)理方程的解法.要求掌握：

(1)不超過(guò)三個(gè)分式構(gòu)成的分式方程的解法，會(huì)用“去分母”或“換元法”求方程

的根，并會(huì)驗(yàn)根；

(2)了解無(wú)理方程概念，掌握可化為一元二次方程的無(wú)理方程的解法，會(huì)用“平方”

或“換元法”求根，并會(huì)驗(yàn)根。

【典型例題一1】可化為一元二次方程的分式方程

(1)去分母，化分式方程為一元二次方程

例16.解方程JL+?=

x+2"-4x-2

(2)用換元法，化分式方程為一元二次方程

例17.解方程(」L)2-把-4=0例18.解方程822x)+38-I)/,

x-lX-1X2-1X2+2x

【典型例題一2】可化為一元二次方程的無(wú)理方程

(1)平方法解無(wú)理方程

例19.解方程-'=1例20.解方程莊17+戶1=3

(2)換元法解無(wú)理方程

例21.解方程3心+15x+2Vx2+5x+l=2

變式練習(xí)：解下列方程

(DyJx—5+x=7(2)Jx+3-2-x(3)>13K+1=Jx+4+1

課堂練習(xí)

1.選擇題:

(1)已知關(guān)于x的方程x?+kx—2=()的一個(gè)根是1,則它的另一個(gè)根是()

(A)-3(B)3(C)-2(D)2

(2)下列四個(gè)說(shuō)法：

①方程xz+2x—7=0的兩根之和為一2,兩根之積為一7；

②方程X2-2X+7=0的兩根之和為一2,兩根之積為7；

7

③方程3xz—7=0的兩根之和為0,兩根之積為一,；

④方程3xz+2x=0的兩根之和為一2,兩根之積為0.

其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是()

(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)

(3)關(guān)于x的一元二次方程axz—5x+a；+a=0的一個(gè)根是0,則a的值是()

(A)0(B)1(C)-1(D)0,或一1

2.填空：

(1)方程kx?+4x—1=0的兩根之和為一2,貝ijk=.

(2)方程2x2—x—4=0的兩根為a,則a2+B2=.

(3)已知關(guān)于x的方程X2—ax—3a=0的一個(gè)根是一2,則它的另一個(gè)根是.

(4)方程2xz+2x—1=0的兩根為x和x,則|x—x|=.

12I2-------------------

3.試判定當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程m2X2—(2m+Dx+l=0有兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)根？有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？沒(méi)有實(shí)數(shù)根？

課后練習(xí)

1、選擇題:

(1)已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)恰好是方程2X2-8X+7=0的兩根，

則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于()

(A)73(B)3(C)6(D)9

尤X

(2)若x,x是方程2XL4X+1=0的兩個(gè)根，則—+一的值為()

12XX

2I

3

(A)6(B)4(C)3(D)-

2

(3)如果關(guān)于x的方程X2—2(1—m)x+m2=0有兩實(shí)數(shù)根a,6,則a+6的取值范圍為()

11

(A)a+0(B)a+0(C)a+P>1(D)a+BWl

22

(4)已知a,"c是△ABC的三邊長(zhǎng)，那么方程cx2+(a+b)x+:=0的根的情況是()

A)沒(méi)有實(shí)數(shù)根B)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D)有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根

2.填空：若方程X2—8x+m=0的兩根為x,x,且3x+2x=18,貝！Im=.

1212-----

3.求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程X2—7X—1=0各根的相反數(shù)

4.已知關(guān)于x的方程x2-(帆-2)x-竺=0.

4

(1)求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根；

(2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x,x滿足|x|=|x|+2,求m的值及相應(yīng)的x,X.

122112

5.若關(guān)于x的方程x?+x+a=0的一個(gè)大于1、零一根小于1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍

6.(選做)已知X」X,是關(guān)于x的一元二次方程4kx2—4kx+k+l=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

3

(1)是否存在實(shí)數(shù)k,使(2X|-x)(x-2x