2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型總結(jié)一輪復(fù)習(xí) 空間直線、平面的平行（精練：基礎(chǔ)+重難點(diǎn)）

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)

第33練空間直線、平面的平行(精練)

刷真題明導(dǎo)向

一、解答題

1.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)如圖，在三棱錐尸-ABC中，ABJ.BC,AB=2,BC=2①，PB=PC=瓜,BP,AP,BC

的中點(diǎn)分別為2瓦。，點(diǎn)尸在AC上，BF±AO.

(1)求證：石尸〃平面ADO；

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)給定條件，證明四邊形ODE廣為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.

【詳解】(1)連接/，設(shè)AP=rAC,貝!]3尸=胡+4/=(1-。&4+12(7,AO=-BA+^BC,BFLAO,

1-21

貝！JBFAO=[(l-t)BA+tBC](-BA+-BC)=(t-l)BA+-tBC1=4(r-l)+4r=0,

解得f=則尸為AC的中點(diǎn)，由2E,。/分別為M,PABC,AC的中點(diǎn)，

于是DEUAB,DE=-AB,OF//AB,OF=-AB,DE//OF,DE=OF,

22

則四邊形ODEF為平行四邊形，

EF//DO,EF=DO,又所.平面ADO,DOu平面ADO,

所以EF〃平面ADO.

2.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)如圖，在三棱錐P-ASC中，ABJ.BC,AB=2,BC=2拒,PB=PC=?BP,

AP,BC的中點(diǎn)分別為。，E,O,AD=^/5DO,點(diǎn)尸在AC上，BFLAO.

A

⑴證明：EF〃平面ADO；

【答案】⑴證明見解析；

【分析】(1)根據(jù)給定條件，證明四邊形ODE尸為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.

【詳解】(1)連接。瓦OF,設(shè)4尸=幺。，則3尸=84+4尸=(1-。24+/261,AO=-BA+^BC,BFLAO,

1一21

貝!|BFAO^[(l-t)BA+tBC](-BA+-BC)=(t-V)BA+-tBC1=4(z-l)+4r=0,

解得/=；,則尸為AC的中點(diǎn)，由。，瓦O,尸分別為尸員PABC,AC的中點(diǎn)，

于是DE11AB,DE=《AB,0F11ABQF=；AB,即DE//OF,DE=OF,則四邊形O￡＞所為平行四邊形，

EF//DO,EF=DO,又EFu平面ADO,￡）Ou平面ADO,

所以所〃平面ADO.

3.（2023?天津?統(tǒng)考高考真題）三棱臺(tái)ABC-AqG中，若A】A，面ABC,AB，AC,48=AC=A4,=2,AG=1,M,N

分別是BC,BA中點(diǎn).

(1)求證：AN//平面C|MA；

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)先證明四邊形1c是平行四邊形，然后用線面平行的判定解決;

【詳解】（1）

B

連接MN,C|A.由M,N分別是BC,￡4的中點(diǎn)，根據(jù)中位線性質(zhì)，MN//AC,且MN=?=1,

由棱臺(tái)性質(zhì)，\CJIAC,于是MN〃AG，由MN=AG=I可知，四邊形…G是平行四邊形，則AN〃MG,

又AN<Z平面C|MA,MGu平面GMA,于是AN//平面G〃A.

4.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）如圖，尸。是三棱錐尸-ABC的高，PA=PB,AB1AC,￡是PB的中點(diǎn).

P

⑴證明：OE〃平面B4C；

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）連接8。并延長交AC于點(diǎn)。，連接。4、PD,根據(jù)三角形全等得到。4=03,再根據(jù)直角三角形的

性質(zhì)得到AO=DO,即可得到。為的中點(diǎn)從而得到0E//P。，即可得證；

【詳解】（1）證明：連接8。并延長交AC于點(diǎn)D,連接。4、PD,

因?yàn)镻。是三棱錐的高，所以P。1平面A3C,AO,BO^^ABC,

所以「O_LAO、POLBO,

又PA=PB,所以APOAMAPOB,即。4=03,所以NQ4B=NO54,

又AB1AC,即/B4C=90。，所以/。45+/040=90°,ZOBA+ZODA=90°,

所以NOD4=NOAD

所以40=00,即40=00=03,所以。為3。的中點(diǎn)，又E為網(wǎng)的中點(diǎn)，所以O(shè)E//PD,

又0EU平面PAC,PDu平面PAC,

所以0￡7/平面PAC

p

5.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面ABCD

是邊長為8（單位：cm）的正方形，EAB,FBC.GCD,的均為正三角形，且它們所在的平面都與平面ABCD垂

直.

⑴證明：EF〃平面ABCD；

（2）求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）.

【答案】⑴證明見解析；

640r-

【分析】（1）分別取A8,BC的中點(diǎn)連接MN,由平面知識(shí)可知EM，A3,FNL3C,EM=FN,依題從而

可證EM,平面ABCD,RVL平面ABCD,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知EM//FN,即可知四邊形￡MVF為平行

四邊形，于是EF/IMN,最后根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；

（2）再分別取中點(diǎn)K,Z,由（1）知，該幾何體的體積等于長方體血kWL-EFG//的體積加上四棱錐

體積的4倍，即可解出.

【詳解】（1）如圖所示：

G

分別取ABIC的中點(diǎn)M,N,連接建V,因?yàn)镋AB,FBC為全等的正三角形，所以EM，AS,FN，BC,EM=FN,

又平面E45_L平面ABC。，平面E45c平面ABC。=AB,㈤位u平面E4B,所以EH_L平面ABC。，同理可得印_L

平面AfiCD,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知￡做〃月V,而EM=FN,所以四邊形EM7VF為平行四邊形，所以

EF//MN,又ERO平面ABC。，MNu平面ABCD,所以砂//平面ABCD.

（2）［方法一］:分割法一

如圖所示：

分別取AROC中點(diǎn)K,Z,由（1）知，EFUMN且EF=MN,同理有，HE//KM,HE=KM,HGUKL,HG=KL,

GF//LN,GF=LN,由平面知識(shí)可知，BDLMN,MNLMK,KM=MN=NL=LK,所以該幾何體的體積等于

長方體KMNL-EFGH的體積加上四棱錐B-MNFE體積的4倍.

因?yàn)镸N=NL=LK=KM=4EM=8sin60=473.點(diǎn)5到平面M2VFE的距離即為點(diǎn)5到直線建V的距離d,

d=2屈，所以該幾何體的體積

V-（4V2）2X4A/3+4X1X4A/2X4A/3X2^^128A/3+^P^^^A/3.

［方法二］:分割法二

如圖所示：

連接AC,BD,交于O,連接OE,OF,OG,OH.則該幾何體的體積等于四棱錐O-EFGH的體積加上三棱錐A-OEH的4

倍,再加上三棱錐E-OAB的四倍.容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中點(diǎn)P,連接APQP.則EH垂直平面

APO.由圖可知，三角形APO,四棱錐O-EFGH與三棱錐E-OAB的高均為EM的長.所以該幾何體的體積

V=1.4A/374V2f+4---4A/2--4V2-4^+4—--4^-4^=

31,32323

6.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱ABC-ABG中，側(cè)面BCC由為正方形，平面88由，平面A典A,

AB=BC=2,M,N分別為人耳，AC的中點(diǎn).

⑴求證：MV〃平面Bec/；

【答案】（1）見解析

【分析】（1）取A3的中點(diǎn)為K,連接皿&腿，可證平面〃平面8CC由，從而可證〃平面8CG瓦.

【詳解】（1）取A3的中點(diǎn)為K,連接MK,NK,

由三棱柱ABC-AB?可得四邊形ABBtA｝為平行四邊形，

而與M二肱^臺(tái)長二必，則MK//84，

而MK.平面BCQB-平面BCC畫,故MK〃平面BCQ瓦，

而CN=NA,BK=KA,則腿//3C,同理可得腔〃平面BCC1耳，

而NKMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKNH平面BCC｛片,而MNu平面MKN,故MNII平面BCC、B1,

【A組在基礎(chǔ)中考查功底】

一、解答題

1.如圖，ABC。和都是正方形，MeAC,NwFB,且A〃=WV.證明：MN〃平面3CE.

【答案】見詳解

【分析】由線面平行的判定定理即可證明結(jié)論.

【詳解】

作MG//AB交BC于G,悍NHHEF交BE千H.

連結(jié)G”,貝UCM:C4=MG:AB,BN:BF=NH:EF,

又AM=FN,AC=BF

故CM=BN,

于是MG=NH,且,MGIINH.

：.四邊形ACVHG為平行四邊形，

故AGV//GH.

G/fu平面3CE,睦VU平面3CE,

；.MN〃平面BCE

2.如圖所示，尸為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M,N分別為AB,PC的中點(diǎn).求證：〃平面PAD

p

【答案】證明見解析

【分析】取叨的中點(diǎn)E,連接E4,EN,根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論成立.

【詳解】證明：取PZ）的中點(diǎn)E,如圖所示，連接E4,EN.

,：E,N分別為尸D,PC的中點(diǎn)，AEN//CD,且EN=gcD.

?四邊形A3CD為平行四邊形，M為A3的中點(diǎn)，

AAM//CD且AM=|CD,AM,EN平行且相等，

:.四邊形AMNE為平行四邊形，,MN//AE.

又AEu平面E1D,腦V<Z平面PAD,

二八小〃平面PAD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查證明線面平行，熟記線面平行的判定定理即可，屬于?？碱}型.

3.如圖所示，在三棱柱ABC-A4cl中，。為AC的中點(diǎn)，求證：AB,平面8CQ

【分析】連接8c交BG于。，連接0。，則由平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理可得0D//A用，然后利用線

面平行的判定定理可證得結(jié)論

【詳解】證明：如圖，連接4C交BG于。，連接

?；四邊形8CG耳是平行四邊形..?.點(diǎn)。為8c的中點(diǎn).

,。為AC的中點(diǎn)，二為VAqC的中位線，。。//4月.

'：OD^^BC.D,A4a平面8Cj。，二A片〃平面BCQ.

4.已知四棱錐尸-ABCD中，CD//AB,取上4的中點(diǎn)M,BC的中點(diǎn)N,求證：MN〃平面PDC.

【答案】證明見解析

【分析】如圖，連接AN并延長，交DC的延長線于點(diǎn)E,連接尸E,可得N為AE的中點(diǎn)，再由三角形中位線定理

可得MN〃PE,然后由線面平行的判定定理可證得結(jié)論

【詳解】證明：如圖，連接⑷V并延長，交OC的延長線于點(diǎn)E,連接尸E.

因?yàn)镃D〃AB,N為3C的中點(diǎn)，

所以N為AE的中點(diǎn).

因?yàn)镸為44的中點(diǎn)，

所以MN〃PE.

因?yàn)槠矫媸珼C,尸Eu平面尸DC,

所以MN〃平面PAC.

5.如圖，在長方體ABC。-44GR中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CG的中點(diǎn).證明：E尸"平面ACQ.

Di

4

F

C

【答案】證明見解析

【分析】取G。的中點(diǎn)G,連接GF,AG,證明四邊形AEFG為平行四邊形，進(jìn)而有AGEF,然后根據(jù)線面平

行的判斷定理即可證明.

【詳解】證明：取的中點(diǎn)G,連接GF,AG,

D\G

4

AEB

因?yàn)镚為的中點(diǎn)，F(xiàn)為CG的中點(diǎn)，所以GF8且CD=2GF,

又E為AB的中點(diǎn)，AB=CD,ABCD,所以AEG/且AE=GF,

所以四邊形AEFG為平行四邊形，所以AGEF,

因?yàn)锳Gu平面AC/,EFO平面AG。，

所以訪平面ACQ.

6.如圖，幾何體的底面A8C。為平行四邊形，點(diǎn)M為PC中點(diǎn)，證明：PA//平面

P

【答案】證明見解析

【分析】連接AC交BD于點(diǎn)O,連接OM,證明OM〃PA,即可證明PA〃平面BDM.

【詳解】證明：連接AC交BD于點(diǎn)O,因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，所以O(shè)為AC中點(diǎn),

在2kPAC中，又M為PC中點(diǎn)，所以O(shè)M〃PA,

又PAC平面BDM,OMu平面BDM,

所以PA〃平面BDM.

7.如圖所不，在正方體-A8CZ）中，M,N,P分別是GC,B￡,GR的中點(diǎn).求證：平面MVP〃平

面A肛

【答案】證明見解析

【分析】連接8Q,由三角形中位線定理可得PN〃42,再由正方形的性質(zhì)可證得耳A〃則PN〃BD,利

用線面平行的判定定理可證得PN〃平面AB。，同理可證得〃平面48。，再利用面面平行的判定定理可證得

結(jié)論.

【詳解】證明：如圖，連接42.

因?yàn)槭?，N分別是RG，月G的中點(diǎn)，所以PN〃耳R.

因?yàn)镈D、//BBt,DDl=BB[,

所以四邊形B{BDD,為平行四邊形，

所以耳DJ/BD,

所以PN〃BD.

因?yàn)镻N<X平面4臺(tái)。，BDu平面A?。,

所以PN〃平面480.

同理可證MN〃平面AH。.

又因?yàn)镸NcPN=N,PN,MNu平面MNP,

所以平面感？〃平面48。.

8.正三棱柱ABC-A與G的底面正三角形的邊長為2,。為BC的中點(diǎn)，M=3.

⑴證明：AB//平面AOG；

⑵求該三棱柱的體積.

【答案】⑴證明見解析

⑵3百

【分析】(1)作出輔助線，由中位線得到線線平行，從而線面平行;

(2)求出底面正三角形的面積，進(jìn)而利用柱體體積公式進(jìn)行求解.

【詳解】(1)證明：連接AC,設(shè)ACAC1=E,連接DE

???ACGA是正三棱柱的側(cè)面,

ACGA為矩形,

...E是4c的中點(diǎn),

:.DE是劇8的中位線,

：.DEH\B,

又A8cz平面AOG，DEU平面AOG，

二AB//平面Ag.

(2)因?yàn)樵谡庵?，底面正三角形的邊長為2,。為BC的中點(diǎn)

所以8C=2,AD=ABsin60°=^,

故SMC=N?BC=6,

又知_L平面ABC,AAl=3,

所以正三棱柱的體積U=S^-AA,=73x3=35/3-

9.如圖，在正方體ABCD-ABGA中，S是8a的中點(diǎn)，耳尸,G分別是的中點(diǎn)，求證:

(1)￡67/平面BDD4；

(2)平面EFG//平面BDD.B,.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)利用線面平行的判定定理即可證明；(2)利用面面平行的判定定理證明.

如圖，連接S3,,..E,G分別是BC,SC的中點(diǎn)，EG//S3.

又；SB三平面BDRB],EGO平面802百，二直線EG//平面BDD4.

(2)連接SD,???EG分別是。C,SC的中點(diǎn)，

AFG//SD.又,/SDc平面BDD｝與，F(xiàn)G<Z平面BDD｝與，

二FG〃平面瓦比>由，由(1)知，EG〃平面

且1平面斯G,FGq平面EFG,EGFG=G,二平面EPG〃平面耳.

10.如圖，尸為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，AC,3D為圓錐底面的兩條直徑，“為母線尸。上一點(diǎn)，連

接M4，MO,MC.

(1)若M為的中點(diǎn)，證明：尸3〃平面M4C；

(2)若P3〃平面MAC,證明：M為尸￡＞的中點(diǎn).

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】（1）由中位線得進(jìn)而可得結(jié)論;

（2）由線面平行性質(zhì)定理可得P3〃MO,由于。為中點(diǎn)，進(jìn)而可得結(jié)論.

【詳解】（1）若M為尸。的中點(diǎn)，由3。為圓錐底面的直徑，有。為3D的中點(diǎn).

則在APBD中有MO//PB,

又MOu平面M4C,PBa平面AMC,

則有尸3〃平面MAC；

（2）若P3〃平面MAC,由P3u平面PfiD,平面平面M4C=MO,

有PB//MO,

AdDODM

所以在△P8D中，—

OBMP

又。為BO的中點(diǎn)，則有。0=血尸,

則有M為PZ）的中點(diǎn).

11.如圖，在三棱柱ABC-A與G中，E,尸分別為線段AG，4G的中點(diǎn).

⑴求證：EF〃平面BCG4.

（2）在線段8G上是否存在一點(diǎn)G,使平面EFG〃平面AB4A?請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）證明見解析

（2）存在，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)中位線的性質(zhì)可得砂〃AA,再根據(jù)線面平行的判定可得斯//qB即可;

(2)取的中點(diǎn)G,連接GE,G尸，根據(jù)中位線的性質(zhì)判定即可

【詳解】(1)證明：因?yàn)镋,尸分別為線段AGAG的中點(diǎn)所以所〃AA.因?yàn)橛肂//AA,所以斯〃耳B.又因?yàn)镋/a

平面8CG耳，5|8u平面8CC4，所以跖//平面8CC4.

(2)取BG的中點(diǎn)G,連接GE,GE因?yàn)镋為AG的中點(diǎn)所以GE//AB.

因?yàn)镚EZ平面ABg4，ABu平面AB4A，所以GE〃平面AB與耳，

同理可得，砂//平面AB44，又因?yàn)槭T及三以EG,EFu平面跳6,所以平面EFG〃平面4刀44

故在線段BG上存在一點(diǎn)G,使平面EFGH平面ABB.A.

12.如圖，在四棱柱ABC。-A/8/C/Q/中，點(diǎn)M是線段B/d上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E,E分別是BC,CN的中點(diǎn).

0、Q

J/C

(1)求證：所〃平面8DQ8/；

⑵設(shè)G為棱8上的中點(diǎn)，求證：平面GEP〃平面BOD/氏.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理求證即可；

(2)根據(jù)面面平行的判定定理證明即可.

【詳解】(1)證明：在四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，連接BM,如圖,

AB

因E,F分別是BC,CM的中點(diǎn)，

則有EF〃BM,

又EF<Z平面BDDiBi,BMu平面BDD1B1,

所以EF〃平面BDDiBi.

(2)證明：取CD的中點(diǎn)G,連接EG,FG,如圖,

AB

而E是BC的中點(diǎn),

于是得EG〃BD,

而EG<Z平面BDDiBi,BDu平面BDDiBi,

從而得EG//平面BDDiBi,

由（1）知EF〃平面BDDiBi,

EFEG=E,且EF、EGu平面GEF,

因此，平面GEF〃平面BDDiBi,所以當(dāng)G是DC的中點(diǎn)時(shí)，平面GEF〃平面BDDiBi.

13.如圖，四棱錐尸—ABCD的底面是正方形，出，平面E,尸分別為AB,的中點(diǎn)，且B4=AO=2.

⑴求證：AF〃平面PEC；

（2）求三棱錐C-PEF的體積.

【答案】⑴證明見解析；

嗚

【分析】（1）取PC的中點(diǎn)G,由題可得AF〃EG,然后根據(jù)線面平行的判定定理即得;

（2）根據(jù)錐體的體積公式結(jié)合條件即得.

【詳解】（1）取PC的中點(diǎn)G,連接EG,FG,

因?yàn)镕是尸D的中點(diǎn),

所以GF〃CD,GF=gCD,

因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，

所以AE//CD,AE=；CD,

所以GF//AE,GF=AE,

所以四邊形APGE是平行四邊形，

所以AF〃EG,

因?yàn)锳Fe平面PEC,EGu平面PEC,

所以AF〃平面PEC；

(2)因?yàn)镻A,平面ABCD,F為PD的中點(diǎn)，且PA=AD=2,四邊形ABCD是正方形，

所以三棱錐C-PE/的體積為：

匕也=匕一皿-匕皿=gS.8E-PA-g義gSCDE-PA

111ccc2

=—x-x—x2x2x2=—.

2323

__IT

14.在四棱錐尸-ABCD中，上4,底面ABCD,四邊形ABCD為邊長為1的菱形，ZABC=-,PA=2,M為R4中

點(diǎn)，N為3C的中點(diǎn).

⑴求證：直線〃平面PCD；

(2)求直線AB與MD所成角大小.

【答案】⑴證明見解析

嗎

【分析】(1)作出輔助線，證明出平面腦VE//平面PCD,從而得到線面平行；

(2)作出輔助線，由余弦定理得到AC=F反，找到直線。與MD所成的角NMDC或其補(bǔ)角為直線A3與MD

所成角，由勾股定理求出由余弦定理求出答案.

【詳解】(1)取AD的中點(diǎn)E,連接NE,ME,

因?yàn)?為24中點(diǎn)，N為8C的中點(diǎn)，

所以ME〃PD,NE//CD,

因?yàn)镸Ea平面PCD,PDu平面PCD,

所以ME//平面PCD,同理可得NEV/平面PCD,

因?yàn)镸EcNE=E,ME,NEu平面MNE,

所以平面跖VE//平面PCD,

因?yàn)镸0u平面MNE,

所以直線〃平面PCD；

(2)連接AC,

-TT

四邊形ABCD為邊長為1的菱形，ZABC=~,所以/W=3C=1,

4

由余弦定理得：AC=VAB2+BC--2AB-BCcosZABC=^l+l-2x^=小2-亞

因?yàn)樯?=2,"為F4中點(diǎn)，所以AM=gpA=l,

因?yàn)镻A_L底面ABCD,AC,ADu平面ABCD,

所以PA_LAC,PA_LAD,

所以MC=VM42+AC2=71+2-72=V3-V2，

MD=y/MA2+AD2=Vl+T=V2>

因?yàn)锳B//CD,所以直線CD與所成的角NMDC或其補(bǔ)角為直線AB與MD所成的角,

由余弦定理得：cosm"+dj2+l.尸」

2MDDC202

故直線與MD所成角的大小為y.

15.已知正方體ABC。-A耳CR,點(diǎn)E為44中點(diǎn)，直線用G交平面CDE于點(diǎn)R求證：點(diǎn)F為用G中點(diǎn).

DiC,

【答案】證明見解析

【分析】先證明線面平行，然后利用線面平行的性質(zhì)得到結(jié)合E為中點(diǎn)可證結(jié)論.

【詳解】在正方體中所以AB"/CD；

因?yàn)镃Du平面CDE,AM<Z平面CDE,

所以的〃平面CDE；

因?yàn)橹本€Eg交平面CDE于點(diǎn)F,

所以EFu平面4片￡〃，且平面ABCQ平面CDE=EF,

因?yàn)?4〃平面CDE,44<=平面44。］。1，平面A4CQ平面CDE=EF,

所以AB"/EF,

因?yàn)辄c(diǎn)E為AA中點(diǎn)，底面是正方形,

所以F為qG中點(diǎn).

16.點(diǎn)P是YABCD所在平面外一點(diǎn)，M是PC中點(diǎn)，在D暇上任取點(diǎn)G,過G和AP作平面交平面瓦亞于G4.證

明：AP//GH.

【答案】證明見詳解

【分析】連結(jié)AC,交BD于點(diǎn)0,連結(jié)ON,可推得OM//",進(jìn)而得到AP〃平面然后根據(jù)線面平行的性

質(zhì)定理可得"〃G”.

【詳解】證明：連結(jié)AC,交于點(diǎn)。，連結(jié)OM.

因?yàn)樗倪呅蜛3CD為平行四邊形，所以。是AC的中點(diǎn).

又M是PC中點(diǎn)，所以O(shè)M〃AP.

因?yàn)镺A/u平面BDA/,平面瓦）A1,

所以AP//平面

又平面GAPI平面BDAf=GH,APu平面G4P,

所以AP〃G8.

17.己知直棱柱ABCO-A4Ga的底面4BCZ）為菱形，^.AB=AD=BD=2,A4,，點(diǎn)E為BQ的中點(diǎn).

（1）證明：4萬//平面8。6；

⑵求三棱錐E-B￡）￡的體積.

【答案】（1）證明見解析

（2）1

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合菱形的性質(zhì)、線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可;

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)、直棱柱的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）連接AC交BD于點(diǎn)尸，連接C7,

在直四棱柱ABCD-A耳GA中A4〃CG,M=cci，

所以四邊形A41cC為平行四邊形，即AC〃A￡,AC=AG，

又因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以點(diǎn)尸為AC的中點(diǎn)，

點(diǎn)E為BQ的中點(diǎn)，即點(diǎn)E為AG的中點(diǎn)，所以G&/A尸，QE=AF,

即四邊形AFGE為平行四邊形，所以AE//QF,

因?yàn)镃/u平面BDG，AEU平面8DG，,所以AE〃平面&DG；

（2）在直棱柱ABC?！狝4GA中BBl±平面,AGu平面A|B|GA,

所以8瓦，AG,

又因?yàn)樯系酌鍭耳GR為菱形，所以與。

因?yàn)锽QJBB[=u平面BB、D、D,

所以AG，平面BBQD,

因?yàn)樵凇鰽BD中，AB=AD=BD=2,

且點(diǎn)尸為BD的中點(diǎn)，所以AF=,一=布,即=

所以%.Bg=%.BDE=；SAB0E.GE=gxgx2x6xg=l.

18.如圖，在長方體ABC。-A14G。中，AB=BC=2,M=3.

（1）設(shè)。、E分別為AC和AB中點(diǎn)，求證：OE平行于平面A。。A；

（2）求異面直線AC與。R所成角的大小.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）首先取4。中點(diǎn)尸，連接。尸、AF,易證四邊形AEO尸為平行四邊形，所以統(tǒng)〃/3,再利用線面平

行的判定即可得到答案.

【詳解】（1）取4。中點(diǎn)尸，連接。尸、AF,如圖所示：

因?yàn)镺為AC中點(diǎn)，所以。尸〃CD,且。P=gco.

又ABC。-4耳CQ是長方體，E為AB中點(diǎn),

所以AE〃CD,3.AE=-CD,BPAE//OF,且AE=O/，

2

四邊形AEOF為平行四邊形，所以O(shè)E〃AF.

又AF在平面ADRA內(nèi)，OE在平面ADRA外，因此，OE〃平面ADRA.

19.如圖，在正四面體S-A5C中，AB=4,E,F,R分別是SB,SC,的中點(diǎn)，取SE,M的中點(diǎn)“，N,

點(diǎn)。為平面SBC內(nèi)一點(diǎn)

(1)求證：平面平面AEF

(2)若RQ/平面AE7L求線段RQ的最小值,

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)先由線面平行判定定理證明線面平行，再由面面平行判定定理證明面面平行即可;

(2)由面面平行確定點(diǎn)。在線段上，再求建\木在邊上的高，即RQ的最小值.

【詳解】(1)'：M,N分別為SE,即的中點(diǎn)，EF,

又平面AEW,EFu平面A￡F,.,.跖V平面AEV,

,：R,M分別為S4,SE的中點(diǎn)，.IRMAE,

又；平面AEb,AEu平面AEb,ARM平面AEF,

又'：MNcRM=M,MNu平面MNR,RMu平面MNR,

二平面平面AEK

s

由(1)知，平面MM?平面AEF,

二若平面SBC內(nèi)存在一點(diǎn)Q,使RQ平面AE7L則。在線段MN上，

二線段RQ的最小值為R到直線MN的距離，即MA五在邊MN上的高，

■:E,尸分別為SB,SC的中點(diǎn)，M,N分別為SE,防的中點(diǎn)，

：.MN=-EF=-BC=\,

24

XVAS=AB=4,SE=BE=2

：.AEA.SB,AE=yjAB2-BE2=2-]3>

又，：R,M分別為&4,SE的中點(diǎn)，.?.RW=gAE=A,同理RN=A/L

.?.當(dāng)。為MN中點(diǎn)時(shí)，RQ±MN,此時(shí)一MM?在邊MN上的高，RQ取最小值,

線段RQ的最小值RQmm=^RM2-MQ2=一已]=羋.

【B組在綜合中考查能力】

一、解答題

1.如圖：在正方體ABCD-中，M■為。2的中點(diǎn).

⑴求證：8,「平面40C；

(2)在線段CG上是否存在一點(diǎn)N,使得平面AMC「平面BN?,說明理由.

【答案】⑴證明見解析

⑵存在，理由見解析

【分析】（1）連接3。交AC于0,連接M。，通過證明OM8。可證明結(jié)論;

（2）CG上的中點(diǎn)N即滿足平面AMC平面BNR,通過證明平面AMC結(jié)合8，平面AMC可證明結(jié)論.

【詳解】（1）連接3。交AC于。，連接M0.

?.?ABC。-AAG。為正方體，底面為正方形，二。為3。的中點(diǎn).

為DR的中點(diǎn)，在中，0M是的中位線，所以O(shè)MBDt.

又OMu平面AMC,BDX<z平面AMC,BD{f平面AMC；

（2）CG上的中點(diǎn)N即滿足平面A0C平面BAR,

???N為CG的中點(diǎn)，M為?！ǖ闹悬c(diǎn)，.?.CN〃MR,且CN=M1

：.四邊形CND、M為平行四邊形，AD{N//MC,

；MCu平面AMC,RNtZ平面AMC,

二D、N平面AMC,

由（1）知8。平面AMC,

又,：BD\D、N=D1,

：.平面AMC平面BND1.

2.如圖所示，三棱柱ABC-A耳G，底面是邊長為2的正三角形,側(cè)棱A4J底面ABC,點(diǎn)瓦尸分別是棱CG，BBt

上的點(diǎn)，點(diǎn)又是線段AC的中點(diǎn)，EC=2FB=2.

G

(1)求證8M〃平面AEF；

(2)求BM與EF所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵BM與EF所成角的余弦值為孚.

【分析】(1)取AE的中點(diǎn)。，連接。尸,。暇；證明前7//O尸，根據(jù)線面平行判定定理證明8M//平面AEb;

(2)根據(jù)異面直線夾角定義證明NEFO為直線8M與E尸所成角，解三角形求其余弦值即可.

【詳解】(1)取AE的中點(diǎn)。，連接。尸,。知，

分別為A￡,AC的中點(diǎn)，：.OMHCE,OM=-EC,

2

由BFHCE,且EC=2FB=2,

：.OMUFB,且OM=FB,

二四邊形OMBF為平行四邊形,故BM//OF,

又而平面AEb,Obu平面AEF,

A〃平面AEF；

(2)因?yàn)?河//0尸，

所以ZEFO為直線BM與EF所成角，

RtABF中，AF=yjAB2+FB2=722+12=y[5>

直角梯形3C￡F中，EC=2,BC=2,BF=1,ZCBF=ZBCE=9QP,過產(chǎn)作FGLCE,G為垂足，如圖所示,

則Bb=CG=l,FG=BC=2,GE=1,EF=JGE?+=布，

AF^EF,所以△AEF為等腰三角形，則bOLAE,

Rt_ACE中，AE=VAC2+CE2=A/22+22=20，

所以AO=EO=&,

Rt.AOb中，F(xiàn)ONAP-AO?=J（可—（何1=6,

訴I"/scFO也屈

所以cosZEFO==—r==

EF455

所以BM與E/所成角的余弦值為姮.

5

3.如圖，在正三棱柱ABC-A4G中，E是線段8G上靠近點(diǎn)8的一個(gè)三等分點(diǎn)，。是AQ的中點(diǎn).

⑴證明：4?！ㄆ矫?月￡；

（2）若例二人臺(tái)=6,求點(diǎn)兒到平面4月￡的距離.

【答案】⑴證明見解析

⑵竽

【分析】（1）取線段GE的中點(diǎn)G,連接AG,OG，AB,記歹，連接E尸，證明DG//AE,EF//AtG,從

而可證得平面AOG〃平面AgE,再根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得證；

（2）取棱BC的中點(diǎn)。，以。為原點(diǎn)，分別以08,A。的方向?yàn)閤,y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用

向量法求解即可.

【詳解】（1）取線段CIE的中點(diǎn)G,連接AGDGAB,記連接政，

因?yàn)?。，G分別是AQ,EG的中點(diǎn)，所以DG//AE,

因?yàn)锳￡u平面4月￡,OGC平面48乃，所以O(shè)G〃平面人用石，

由題意可知四邊形AB耳A是矩形，則尸是A8的中點(diǎn)，

因?yàn)镋是3G的中點(diǎn)，所以E///AG,

因?yàn)镸u平面4月￡,439平面4片石，所以4G〃平面4瓦￡,

因?yàn)镈G，AGu平面AQG,且DGcAG=G,所以平面AQG〃平面,

因?yàn)槠矫鍭QG,所以AQ〃平面AB|E；

（2）取棱BC的中點(diǎn)。，以。為原點(diǎn)，分別以08,A。的方向?yàn)閤,丁軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，

因?yàn)锳4j=AB=6,所以4（0,—3百,6）,A（0,-3A/3,0）,^（3,0,6）,E（l,0,2）,

則AA=(0,0,-6),做=(3,36,6),用E=(-2,0,-4),

設(shè)平面AB[E的法向量為〃=（%,y,z）,

n?AB1=3%+36y+6z=0

令龍=2,則y=O,z=-l,所以”=(2,0,-l),

n?B]E=-2%-42=0

融臼_6_6指

故點(diǎn)4到平面A瓦E的距離a=

\n\A/55

4.如圖所示，在直三棱柱ABC-A耳G中，AC1BC,AC=BC=Cq=2,點(diǎn)。、E分別為棱AG、8G的中點(diǎn),

點(diǎn)尸是線段8月上的點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)）.

（1）設(shè)平面。￡戶與平面A6C相交于直線加，求證：44〃加；

【答案】⑴證明見解析

【分析】（1）證明出DE//平面ABC,DE//A.B,,利用線面平行的性質(zhì)可證得血/DE,利用平行線的傳遞型可證得

結(jié)論成立;

【詳解】（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)。、E分別為棱4G、與G的中點(diǎn)，則DE//A耳，

在三棱柱ABC-44G中，四邊形①耳8為平行四邊形，所以，\BJIAB,則DE//AB,

因?yàn)镈E.平面ABC,BCu平面ABC,所以，DE//平面ABC,

因?yàn)镈Eu平面。跖，平面DEFc平面ABC=m，所以，mlIDE,故血M,耳.

5.在四面體中ABC,四邊形EFG"是矩形，且AC/3C.

⑴證明：AC〃平面EFG”；

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)證明〃平面ABC,即可證明"〃AC,根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論;

【詳解】(1)證明：因?yàn)樗倪呅瓮?”是矩形，敬EH〃FG,

由于FGu平面ABC,EH<^^^ABC,

故￡W〃平面ABC,又E”u平面AOC,平面ADC平面ABC=AC,

故曲///。,又￡1"0平面目陽//,470平面跳6”，

故AC〃平面EFGH.

6.在四棱柱ABCD-A[4C]D[中，D,E=kD,A,DlF=kDlB,Dfi=kDiC,DlH=kDlD.

3

⑴當(dāng)％=1時(shí)，試用AB,A￡),A4,表示”；

⑵證明：瓦EG,“四點(diǎn)共面；

⑶判斷直線AG能否是平面RAB和平面DXDC的交線，并說明理由.

11Q

【答案】(l)AF=-AAi+-AD+-AB

(2)證明見解析

(3)答案見解析

13

【分析】(1)直接利用空間向量線性運(yùn)算可得AF=AE+EF，再根據(jù)已知關(guān)系A(chǔ)E=-ADt,EF=D.F-RE'AB,

進(jìn)行化簡可得出結(jié)果.

(2)可設(shè)AC=XA8+〃A￡>(2,〃不為0),由題意可化簡得到EG=4AC，將AC=XAB+〃A。代入并結(jié)合題意可化

簡得出EG=/LEF+〃EH,即可證明出瓦￡G,X四點(diǎn)共面.

(3)先假設(shè)面，48面DQC=DC，根據(jù)棱柱的性質(zhì)，可得出DC〃平面進(jìn)而得出OC〃AB,反之當(dāng)

DCHAB,可判斷出D￡u平面ABD,,D?u平面DCD{,得出平面ABRc平面DCQ=RG，得出當(dāng)DC//AB時(shí),

直線AG是面AAB和面DQC的交線，反之不行，從而得出結(jié)果.

1[33

【詳解】(1)AF=AE+EF=-ADl+DlF-DlE=-ADl+-DlB--DlA

13113

=-AD.+-AB^-AA+-AD+-AB；

414444

(2)^AC=AAB+^AD(A,〃不為0),

EG=DtG-DtE=kDxC-kDtA=kAC

=k(AAB+]nAD)=kAAB+kjuAD=kA(D1B-D}A)+/jk{DxD-DXA)

=2(2歹-DE)+"(D\H-DtE)=AEF+/uEH

則E/，EG，EH共面且有公共點(diǎn)E，則E,￡G,〃四點(diǎn)共面；

(3)假設(shè)面2A8面AOC=AG，在四棱柱ABC。-ABC。中，

DC//RG，Q￡u面ABA，OCg面ABR,則DC〃平面

又OCu面ABC。，面ABRc面ABCD=AB,貝！|￡>C〃AB；

反過來，當(dāng)。C//AB時(shí)，因?yàn)椤//RG，則A8/ADC，

則AB,￡)G確定平面ABDC

則D、C\U平面ABD],

又因?yàn)镈gu平面DC，，

所以平面ABRc平面DCD產(chǎn)D￡,

所以。C//A5是直線AG是面2AB和面DQC的交線的充要條件；

所以，當(dāng)DCV/AB時(shí)，直線QG是面D/B和面RDC的交線；

當(dāng)OG不平行時(shí)，直線。C不是面RAB和面DQC的交線

7.如圖所示，三棱臺(tái)ABC-DEF的體積為7,其上、下底面均為等邊三角形，平面ACFD_L平面ABC,AB=2DE=4

且&￡>=尸。，棱AC與8C的中點(diǎn)分別為G,H.

⑴證明：平面ABED〃平面FGH；

⑵求點(diǎn)E到平面FGH的距離.

【答案】⑴證明見解析

⑵

【分析】（1）利用面面平行的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明線線平行；

（2）首先根據(jù)第一問轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到平面歹G”的距離，再根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化求點(diǎn)A到平面的距離.

【詳解】（1）證明：QG,H分別是AC,BC的中點(diǎn)，

:.GH//AB,

ABO平面FGH,GHI平面FGH,

.?.鉆//平面人38,

又EF//BH,EF=BH,

：.四邊形BHFE為平行四邊形，二BE//HF.

3EZ平面PG4,HFu平面以汨，

,防〃平面FGH,

ABu平面ABED,3Eu平面ABED,ABBE=B,

平面ABED//平面FGH.

（2）AEu平面ABED,由（1）知AE〃平面FGH,

點(diǎn)E到平面FGH的距離等于點(diǎn)A到平面FGH的距離，設(shè)為d.

由題意得上底面面積為S]=—x22=>/3,下底面面積為$2=—x42=4A/3,

44

設(shè)三棱臺(tái)的高為心貝弓（道+26+4若）/7=7,得h=6.

由AD=FC,得GF=FC,

設(shè)CG的中點(diǎn)為I,連接IH,IF,；平面ACFDL平面ABC且交于AC,FIVAC,

D

，77_L平面ABC,Hl=e，F(xiàn)H=&>,GF=FC=2

&_V15

,△FHG-29

S八AHC=—xAGxGHxsinZAGH=6,

Z\An(j2

??y-y?J_爪SGHA_2y

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?vA-GHF-yF-GHA，??—~~~一，

、,GHF>

故點(diǎn)E到平面FGH的距離為口叵.

5

8.如圖，在正三棱柱ABC-A4G中，。是AC的中點(diǎn)，求證：A旦〃平面D3C].

【答案】證明見解析

【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱的底面邊長為。(。＞