2022-2023學年九年級數(shù)學中考復習《幾何圖形變換綜合壓軸題》提升訓練(附答案)

2022-2023學年九年級數(shù)學中考復習《幾何圖形變換綜合壓軸題》專題提升訓練(附答案)

1.如圖，已知/ZMC=90°,AABC是等邊三角形，點尸為射線上任意一點(點尸與

點A不重合)，連接CP,將線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ,連接QB并

延長交直線AD于E.

(1)如圖1,猜想；

(2)如圖2,若當/D4c是銳角時，其他條件不變，猜想/QE尸的度數(shù)，并證明；

2.如圖1,在等腰△ABC中，AB=AC,為中線，將線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,

得到線段AE,連接BE交直線于點凡連接CF.

(1)若NBAC=30°,貝°；

(2)若N8AC是鈍角時，

①請在圖2中依題意補全圖形，并標出對應字母；

3.在△ABC中，AB^AC,90°,點。在射線BC上(不與點2、點C重合)，將

線段AD繞A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,作射線BA與射線CE,兩射線交于點F.

(1)若點。在線段上，如圖1,請直接寫出CD與EF的關系.

(2)若點。在線段8c的延長線上，如圖2,(1)中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由.

(3)在(2)的條件下，連接。E,G為。E的中點，連接GR若tan/AEC=1，AB=

我，求GF的長.

4.已知△ABC中，NA2C=90°,將△ABC繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點A的對應點為

點。，點C的對應點為點E,直線DE與直線AC交于點F,連接FB.

(1)如圖1,當/BAC<45°時，

①求證：DFXAC；

②求/。尸8的度數(shù)；

(2)如圖2,當NBAC>45°時，

①請依意補全圖2；

②用等式表示線段FC,FB,BE之間的數(shù)量關系，并證明.

如圖，ZVIBC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,BD、

【問題發(fā)現(xiàn)】

(1)把△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到圖1,BD、CE的關系是(“相等”或“不相等”),

請直接寫出答案;

【類比探究】

(2)若4B=3,AD=5,把△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)，當NEAC=90°時，在圖中作出旋轉(zhuǎn)后

的圖形，并求出此時尸O的長；

【拓展延伸】

(3)在(2)的條件下，請直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段尸。的最小值為.

6.如圖，在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，點A(0,3)與點8關于x軸對稱，點

C(m0)為x軸的正半軸上一動點.以AC為邊作等腰直角三角形ACD,ZACD=90°,

點。在第一象限內(nèi).連接交x軸于點八

(1)如果NOAC=38°,求/QCF的度數(shù)；

(2)用含n的式子表示點D的坐標；

(3)在點C運動的過程中，判斷在的長是否發(fā)生變化？若不變求出其值，若變化請說

明理由.

7.［問題背景］如圖1所示，在中，AB^BC,/A2C=90°,點。為直線BC上的一

個動點(不與8、C重合)，連接A。，將線段AD繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,使點

A旋轉(zhuǎn)到點E,連接EC.

［問題初探］如果點。在線段BC上運動，通過觀察、交流，小明形成了以下的解題思路:

過點E作M_LBC交直線BC于尸，如圖2所示，通過證明,可推證

［繼續(xù)探究］如果點D在線段C8的延長線上運動，如圖3所示，求出NOCE的度數(shù).

［拓展延伸］連接8E,當點。在直線BC上運動時，若AB=&，請直接寫出BE的最小

值.

8.如圖，在等邊△ABC中，點。為BC的中點，點E為AD上一點，連EB、EC,將線段

EB繞點E順時針旋轉(zhuǎn)至EF,使點F落在BA的延長線上.

(1)在圖1中畫出圖形：

①求NCEF的度數(shù)；

②探究線段AB,AE,AF之間的數(shù)量關系，并加以證明；

(2)如圖2,若A8=4,點G為AC的中點，連。G,將△CDG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到

△CMN,直線BM、AN交于點尸，連CP,在△CDG旋轉(zhuǎn)一周過程中，請直接寫出△8CP

的面積最大值為.

圖1圖2

9.在△ABC中，點尸為BC邊中點，直線。繞頂點A旋轉(zhuǎn)，直線。于點CN,直

線a于點、N,連接PM,PN.

(1)如圖1,若點B,尸在直線a的異側(cè)，延長交CN于點E.求證：PM=PE；

(2)若直線。繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，點8,尸在直線。的同側(cè)，其它條件不變,

此時SABMP+SACNP—7,BM—1,CN—3,求MN的長度.

(3)若過尸點作PGL直線。于點G,試探究線段尸G、8M和CN的數(shù)量關系.

10.在RtZXABC中與Rt^QCE中，ZACB=ZDCE=90°,ZBAC=ZDEC=2>0°,AC=

DC=M，將Rt^OCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，連接2。，A￡,點凡G分別是8。，AE的

中點，連接CF,CG.

(1)觀察猜想

如圖1,當點。與點A重合時，CF與CG的數(shù)量關系是，位置關系是；

(2)類比探究

當點。與點A不重合時，(1)中的結(jié)論是否成立？如果成立，請僅就圖2的情形給出證

明；如果不成立，請說明理由.

(3)問題解決

在RtADCE旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出△CFG的面積的最大值與最小值.

11.如圖1,Rt^ABC中，NC=90°，點E是AB邊上一點，且點E不與A、2重合，ED

LAC于點D.

(1)當sin8=』時,

2

①求證：BE=2CD；

②當△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(60°<ZCAD<9Q°),2E=2C。是否成立?

若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

(2)當sin8=與時，將△AOE繞點A旋轉(zhuǎn)到/DEB=90°,若AC=10,AD=2爬,

請直接寫出線段CD的長.

12.如圖，已知點A(0,8),B(16,0),點尸是x軸上的一個動點(不與原點。重合),

連接AP，把△OAP沿著AP折疊后，點。落在點C處，連接尸C,BC,設尸G,0).

(1)如圖1,當A尸〃BC時，試判斷△BCP的形狀，并說明理由.

(2)在點尸的運動過程中，當NPCB=90°時，求/的值.

(3)如圖2,過點2作28,直線CP,垂足為點從連接在點尸的運動過程中，

是否存在A”=BC?若存在，求出r的值：若不存在，請說明理由.

13.如圖，點8,C,。在同一條直線上，△8CF和△ACD都是等腰直角三角形.連接A8,

DF,延長。尸交AB于點E.

(1)如圖1,若AD=BD,是△A3。的平分線，BC=1,求C￡)的長度；

(2)如圖2,連接CE,求證：DE=MCE+AE；

(3)如圖3,改變的大小，始終保持點F在線段AC上(點廠與點A,C不重合).將

ED繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到EP.取A。的中點O,連接OP.當AC=2時，直接寫

出。尸長度的最大值.

14.綜合與實踐

問題情境

從“特殊到一般”是數(shù)學探究的常用方法之一，類比特殊圖形中的數(shù)量關系和探究方法

可以發(fā)現(xiàn)一般圖形具有的普遍規(guī)律.

如圖1,在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,4D為BC邊上的中線，E為AD上一點，

將△AEC以點C為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△3PC,AD的延長線交線段BF于點

P.探究線段EP,FP,8尸之間的數(shù)量關系.

圖1圖2

數(shù)學思考

(1)請你在圖1中證明AP_L8F；

特例探究

(2)如圖2,當CE垂直于時，求證：EP+FP=2BP；

類比再探

(3)請判斷(2)的結(jié)論在圖1中是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明

理由.

15.在RtZXABC中，AB=AC,OB=OC,ZA=90°,ZMON=a,分別交直線AB、AC于

點M、N.

(1)如圖1,當a=90°時，求證：AM=CN；

(2)如圖2,當a=45°時，求證：BM=AN+MN；

(3)當a=45°時，旋轉(zhuǎn)NMON至圖3位置，請你直接寫出線段8M、MN、AN之間的

數(shù)量關系.

16.教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級上冊數(shù)學教材第94頁的部分內(nèi)容.

2.線段垂直平分線

我們已經(jīng)知道線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對稱軸.如圖，直線

是線段的垂直平分線，尸是上任一點，連接小、PB.將線段沿直線對

折，我們發(fā)現(xiàn)以與尸8完全重合.由此即有：

線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段：垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.

己知：如圖，MNLAB,垂足為點C,AC=BC,點P是直線上的任意一點求證：PA

=PB.

分析：圖中有兩個直角三角形APC和BPC,只要證明這兩個三角形全等，便可證得如

=PB.

(1)請根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整的證明

過程；

(2)如圖②，在△ABC中，直線/,〃分別是邊AB,BC,AC的垂直平分線.

求證：直線/、，仄“交于一點；(請將下面的證明過程補充完整)

證明：設直線/,機相交于點。

(3)如圖③，在△ABC中，AB=BC,邊AB的垂直平分線交AC于點。，邊BC的垂直

平分線交AC于點E，若NA8C=120°,AC=15,則DE的長為______.

17.如圖，在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，點A(x,y)中的橫坐標x與縱坐標y

滿足心工+ly-8|=0,過點A作x軸的垂線，垂足為點。，點E在x軸的負半軸上，且

滿足AD-OD=OE,線段AE與y軸相交于點F,將線段向右平移8個單位長度，得

到線段BC.

(1)直接寫出點A和點E的坐標；

(2)在線段8C上有一點G,連接。凡FG,DG,若點G的縱坐標為如三角形。尸G

的面積為S,請用含m的式子表示S(不要求寫m的取值范圍)；

(3)在(2)的條件下，當S=26時，動點尸從。出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著線

段D4向終點A運動，動點。從A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿著折線AB-BC向終

點C運動，P,。兩點同時出發(fā)，當三角形尸GP的面積是三角形AGQ面積的2倍時，求

出P點坐標

18.如圖1,在RtZXACB中，AC=BC,過8點作BO_LC。于。點，AB交CD于E.

(1)如圖1,若AC=6,tanZACD=2,求。E的長；

(2)如圖2,若CE=2BD,連接AD,在A￡＞上找一點凡?CF=DF,在尸。上取一點

G,使/EGF=NCFG,求證：AF=EG；

(3)如圖3,。為線段8C上方一點，且/8Z)C=90°,AC=6,連接A。，將繞A

點逆時針旋轉(zhuǎn)90°,。點對應點為E點，H為DE中點,求當AH有最小值時，直接寫

出的面積.

19.(1)問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,△ACB和△ZJCE均為等邊三角形，當△QCE旋轉(zhuǎn)至點A,D,E在同一直線上，

連接3E.貝U：

①NAEB的度數(shù)為0；

②線段A。、8E之間的數(shù)量關系是.

(2)拓展研究：

如圖2,△ACB和△ZJCE均為等腰三角形，且/ACB=NOCE=90°,點A、Q、E在同

一直線上，若A￡)=a,AE=b,AB=c,求a、b、c之間的數(shù)量關系.

(3)探究發(fā)現(xiàn)：

圖1中的△AC8和△OCE,在△OCE旋轉(zhuǎn)過程中，當點A,D,E不在同一直線上時，

設直線AO與BE相交于點。，試在備用圖中探索/AOE的度數(shù)，直接寫出結(jié)果，不必說

明理由.

20.類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學學習和研究中經(jīng)常用到.小明在數(shù)學學

習中遇到了這樣一個問題：”如圖1,RtZVIBC中，90°,ZCAB^a,點尸在

AB邊上，過點尸作尸QLAC于點Q,AAPQ繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2,連接CQ.O

為8c邊的中點，連接P。并延長到點使。M=OP,連接CM.探究在△AP。的旋

轉(zhuǎn)過程中，線段CM,C0之間的數(shù)量關系和位置關系”小明計劃采用從特殊到一般的方

法探究這個問題.

特例探究：

(1)填空：如圖3,當a=30°時，舁=_______,直線CQ與CM所夾銳角的度數(shù)

CM

為；如圖4,當a=45°時，國=，直線C。與CM所夾銳角的度數(shù)

--------CM-----------

為；

一般結(jié)論：

(2)將AAP。繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，線段CQ,CM之間的數(shù)量關系如何(用

含a的式子表示)？直線CQ與CM所夾銳角的度數(shù)是多少？請僅就圖2所示情況說明

理由；

問題解決

(3)如圖4,在中，若A8=4,a=45°,AP=3,將△AP。由初始位置繞點

A逆時針方向旋轉(zhuǎn)0角(0°<P<180°),當點。到直線AC的距離為2時，請直接寫

出線段CM的值.

圖3圖4

參考答案

1.解：(1)/QEP=60°；

證明：如圖1,QE與CP的交點記為M,

圖1

：PC=CQ,且NPCQ=60°,

：.ZPCQ^ZACB^6Q0,

J.ZBCQ^ZACP,

則△CQB和中，

rPC=CQ

-ZBCQ=ZACP)

AC=BC

.?.△CQB0△(?m(SAS),

:./CQB=/CPA,

在△PEM和△CQW中，ZEMP=ZCMQ,

；.NQEP=NQCP=60°.

故答案為：60°；

(2)/QEP=60°.

理由如下：如圖2,

,/AABC是等邊三角形，

：.AC=BC,ZACB=60°,

?.?線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ,

：.CP=CQ,ZPCQ=6O°,

：.ZACB+ZBCP=ZBCP+ZPCQ,

即ZACP=ZBCQ,

在△ACP和△BCQ中，

CA=CB

<NACP=/BCQ，

CP=CQ

:.△NCP經(jīng)XBCQ(SAS),

...NAPC=NQ,

'：ZBOP^ZCOQ,

:.NQEP=NPCQ=60°；

(3)作CH±AD于H,如圖3,

圖3

與(2)一樣可證明△ACP之△BCQ,

J.AP^BQ,

VZZ)AC=135°,ZACP=15°,

：.ZAPC=30°,ZPCB=45°,

：.ZHAC=45°,

△ACH為等腰直角三角形，

；.AH=CH=與AC=3近,

在RtZW/C中，PH=MCH=3遍,

:.PA=PH--3&,

，BQ=3瓜-3近.

2.解：(1)如圖1中，

E

圖1

'：AB=AC,ZBAC=30°,

：.ZABC=ZACB=^-(180°-30°)=75°,

2

\'AE±AC,

：.ZEAC=90°,

AZBAE=30°+90°=120°,

'：AB=AE,

：.ZABE=ZE-(180°-120°)=30°,

2

：.ZFBC=ZABC-ZABF^15°-30°=45°.

故答案為：45.

（2）①圖形如圖2所示.

圖2

②結(jié)論：△BCF是等腰直角三角形

理由如下：如圖2中，

\'AB^AC,BD=CD,

C.ADLBC,

：.AD是BC的垂直平分線，

；.FB=FC,

又AB=AC,AF^AF,

：.AABF^AACF(SSS),

；.Nl=/2,

由旋轉(zhuǎn)可知AE=AC，又AB=AC,

：.AB^AE,

??.Z1=Z3,

.\Z2=Z3.

又/4=N5,

：.ZCFE=ZCAE=90°

即NCFB=90°,

又FB=FC,

??.△Bb為等腰直角三角形.

③如圖3中，作EHLDF交DF的延長線于H.

圖3

：AB=AC=5,BD=CD=4,

：.AD±BC,

：.ZADB^9Q°,

?"?^=VAB2-BD2=^52-42=3)

VZADC=ZEAC^ZH=90°,

：.ZDAC+ZACD^90°,ZDAC+ZHAE=90°,

ZACD=ZHAE,

VAE=AC,

AADC^AEHA(AAS),

:?EH=AD=3,

???△3。尸是等腰直角三角形，F(xiàn)D±BC,

：.ZDFB=^-ZBFC=45°,

2

???NHEF=NHFE=45°,

VZH=90°,

：.ZEHF=ZHFE=45°,

:,EH=FH=3,

：.EF=42EH=342^

故答案為：3M.

3.解：(1)CD=EF,CDLEF,

理由如下：9：AB=AC,ZBAC=90°,

AZABCZACB=45°,

??,將線段AD繞A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE

：.AD=AE,NDAE=90°=NBAC,

：.ZBAD=ZCAE,且A8=AC,AD=AE,

：.AABD^AACE(SAS)

:?BD=CE,ZABD=ZACE=45°,

AZBCF=ZACB+ZACE=90°,

：.CD±EF,

又???NA3C=45°,

AZBFC=ZABC,

:?BC=CF,

：.CD=EF；

(2)結(jié)論仍然成立，

9

理由如下：：AB=ACfZBAC=90°,

AZABCZACB=45°,

???將線段A。繞A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,

：.AD=AE,ZDAE=90°=ZBAC,

：.ZBAD=ZCAE,且A3=AC,AD=AE,

：.AABD^AACE(SAS)

:,BD=CE,ZABD=ZACE=45°,

AZBCF=ZACB+ZACE=90°,

：.CDLEF,

XVZABC=45°,

???ZBFC=AABC,

:,BC=CF,

：.CD=EF；

(3)如圖，過點A作AN_LCE于點N,過點G作GH_LCE于",

圖3

,：AB=AC=y/2^

：.BC=CF=2,

*：AN±CEfZACF=45°,

:.AN=CN=\,

:.EN=2,

:.EC=CN+EN=3,

：.EF=EC-CF=1=CD,

?：GH_LCE,ZECD=90°,

J.HG//CD,

.EGHG

=—,且EG=DG,

..麗CDEC

：.HG=^,EH=3,

22

：.FH=EH-EF=L

2

=22

?，.GFVHG+FH=點==隼

4.解(1)①由旋轉(zhuǎn)知，ZABD=ZABC=90°,ZD=ZA,

：.ZD+ZBED=9Q°,

ZA+ZBE￡)=90°,

?:/BED=/AEF,

：.ZA-^ZAEF=90°,

AZAFE=90°,

：.DF±AC；

②如圖b

過點B作BGLBF交。尸于G,

：.ZFBG=90°,

由旋轉(zhuǎn)知，ND=NA,BD=AB,ZABD=90°,

:?/FBG=/ABD,

：.ZDBG=/ABF,

:?△BDGQ4BAF(ASA),

:.BG=BF,

VZFBG=90°,

：.ZBFD=45°；

(2)①如圖2所示，

@CF-EF=y[2BF.

過點B作BGLBF交AC于G,

：.ZFBG=90°,

由旋轉(zhuǎn)知，ZC=ZE,BC=BE,

VZABC=90°,

；?NFBG=/ABC,

:?NCBG=/EBF,

:?ABCG義ABEF(ASA),

:?CG=EF,BG=BF,

VZFBG=90°,

：.ZBFD=45°,

:?FG=?BF,

?：CF=FG+CG,

：.FG=CF-CG=CF-EF=?BF,

即：CF-EF=MBF.

5.解：（1）BD、CE的關系是相等.

理由：:△ABC和△AOE是有公共頂點的等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,

：.AB=AC,

NBAD=NCAE,

DA=EA,

：.AABD^AACE（SAS）

：.BD=CE.

故答案為：相等.

（2）如圖2,3即為旋轉(zhuǎn)后的圖形.

B

①如圖2,當C在AD上時，

由（1）知△A3。絲△ACE,

ZADB=ZAEC

又,：/PCD=/ACE,

:.△PCDsXACE,

?.?-P-D---C-D

AECE

又C￡=VAE2+AC2=正+/=相

CD^AD-AC^5-3=2

.PDP

5V34

解得PD百伊；

如圖3,當C在AO反向延長線上時，

同理△PEBS/VIB。

PB=BE

ABBD

VB￡）=V34

BE=AE-AB=5-3=2

.PB_2

解得尸2=芭&1

17__

PD=DB+PB=V341.

答：此時尸。的長為旦^20/34.

(3)如圖4所示,

圖4

以點A為圓心，AC長為半徑畫圓，

當CE在圓A下方與圓A相切時，尸。的值最小.

在RtAACE中，CE=yj_虹2=?52-32=4

在RtAADE中，￡>￡=7AD2+AE2=752+52=蚯

???四邊形A8PC是正方形，

.?.PC=AB=3

：.PE=PC+CE=3+4=1

在RtADEP中，PD=\/FE2_DE2=V50-49=1

線段的最小值為1.

故答案為：1.

6.解：(1)VZAOC=90°,

：.ZOAC^ZACO=90°,

VZACD=90°,

：.ZDCF+ZACO=90°,

：.ZDCF=ZOACf

*：ZOAC=38°,

:.NDCF=38°；

(2)如圖，過點。作軸于H,

；?/CHD=90°

：.ZAOC=ZCHD=90°,

??,等腰直角三角形AC。，ZACD=90°

：.AC=CDf

由(1)知，ZDCF=ZOAC,

:?△AOSACHD(AAS),

：?OC=DH=n,A0=CH=3,

???點￡＞的坐標(n+3,〃)；

(3)不會變化，理由：

??,點A(0,3)與點5關于x軸對稱，

：.AO=BO,

又〈OCLAB,

Ax軸是AB垂直平分線，

：.AC=BC,

：.ZBAC=ZABCf

又???AC=CZ),

:?BC=CD,

：.ZCBD=ZCDB,

VZACD=90°,

：.ZACB+ZDCB=270°,

AZBAC+ZABC+ZCBZ)+ZCr)B=90°,

AZABC+ZCBD=45°,

VZBOF=90°,

；?/OFB=45°,

：.ZOBF=ZOFB=45°,

JOB=OF=3,

???O/的長不會變化.

7.解：［問題初探］

如圖2,過點E作石廠，8。交直線于尸,

；?NDFE=90°=NABD,

:?/EDF+/DEF=90°,

由旋轉(zhuǎn)知，AD=DEfZADE=90°,

AZADB+ZEDF=90°,

NADB=/DEF,

：.AABD^ADFE(AAS),

：.BD=EF,DF=AB,

?：AB=BC,

：.BC=DF,

:?BD=CF,

：?EF=CF,

:?叢CEF是等腰直角三角形，

AZECF=45°,

：.ZDCE=135°,

故答案為：ADB,等腰直角，135；

［繼續(xù)探究］

如圖3,

過點E作EFLBC^F,

:?NDFE=9U°=ZABD,

：.ZEDF+ZDEF=90°,

由旋轉(zhuǎn)知，AD=DE,ZAZ)E=90°,

AZADB+ZEDF=90°,

JNADB=/DEF,

：.AABD^ADFE(AAS),

:?BD=EF,DF=AB,

?：AB=BC,

???BC=DF,

；?BD=CF,

；.EF=CF,

:ACEF是等腰直角三角形,

.\Z￡CF=45°,

.?./OCE=45°；

［拓展延伸］

如圖4,

在△ABC中，ZABC=90°,AB=BC=^,

：.ZACB=45°

當點。在射線8C上時，

由［問題初探］知，ZBCM=135°,

J.ZACM^ZBCM-ZACB=90°,

當點。在線段CB的延長線上時，

由［繼續(xù)探究］知，NBCE=45°,

：./ACN=ZACB+ZBCM=90°,

點E是過點C垂直于AC的直線上的點，

當BELMN時，BE最小，

'：ZBCE=45°,

.\ZCB￡=45°=ZBCE,

：.BE=CE,

:.BE最小=零2。=我,

即：3E的最小值為6.

8.解：（1）如圖1所示：延長BE,

圖1

①：等邊AABC中，點。為BC的中點，

是BC的垂直平分線，ZBAD=ZC4D=30°,

:.BE=CE,

:./EBC=NECB,

?.?將線段EB繞點E順時針旋轉(zhuǎn)至EF,

：.BE=EF,

:.NEBF=NEFB,

,：/CEF=ZFEH+ZHEC^ZEBF+ZBFE+ZEBC+ZECB=2ZABE+2ZEBC,

：.ZC￡F=2ZABC=120°；

②AB=AF+6AE,

理由如下：

如圖1-1,在AB上截取連接ME,過點E作EN_LAB于N,

圖

,JBM^AF,ZAFE^ZEBM,BE=EF,

:.ABME沿AFAE(SAS),

:.AE=EM,

又,：ENIAB,

:.AN=MN=LAM,

2

VZBAZ)=3O0,

：.AE=2NE,AN=6NE,

a

:.AN=^-AE,

2

：.AM=y/3AE,

：.AB=BM+AM=AF-i-/3AE；

(3)如圖2,

「△ABC是等邊三角形，A8=4,點G為AC的中點，

：.AC=BC,ZACB=60°,CG=CD=2,

:將△CZX?繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△CMN,

/.CM=CN=CG=CD=2,ZMCN=ZACB=60°,

：.ZACN=ZBCM,

:.ABCM冬AACN(SAS),

：.ZCAN=ZCBM,

...點A,點B,點C,點P四點共圓，

：.ZBPC=ZBAC=60°,

:將△CDG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△CAW,

...點M在以點C為圓心，CM為半徑的圓上，

.,.當2M與OC相切于點M時，ABCP的面積有最大值，如圖所示，過點尸作尸以，BC

圖3

是OC的切線，

:./BMC=90°=NPMC,

又；/BPC=60°,

.\ZPCM=30°,

:.CM=MPM=2,

3

VBM=7BC2-CM2=V16-4=2>/3,

BP=BM+MP=^Zs_,

3

VsinZPBC=—=^H.,

BCBP

:.PH』私退,

433__

：.ABCP的面積最大值=」義4義生應=苴叵,

233

故答案為雪.

9.(1)證明：如圖1中，

，直線a于點M,CALL直線a于點N,

:./BMA=/CNM=90°,

C.BM//CN,

：.ZMBP=ZECP,

又?.?尸為BC邊中點，

：.BP=CP,

又；NBPM=/CPE,

:.4BPM當4CPECASA),

:.PM=PE

(2)解：延長MP與NC的延長線相交于點E.

A￡

BP--,?一??<

圖2比

直線a于點M,CN_L直線a于點N,

NBMN=/CNM=90°

：.ZBMN+ZCNM=180°,

J.BM//CN

：.ZMBP=ZECP,

又\?尸為8c中點，

：.BP=CP,

又,：/BPM=/CPE,

:.ABPM烏ACPE(ASA),

/.PM—PE,SAPBM=SAPCE,

：.AE=CN+CE=4,

SABMP+SACNP=7,

.*?SAPNE=7,

?'-SAMNE=2SAPNE=14,

.-.AXWX4=14,

2

：.MN=1.

(3)解：如圖1-1中，當點3,尸在直線。的異側(cè)時,

\'PG±a,CN±a,

C.PG//CN,

,:PM=PE,

:?MG=GN,

:.PG=LEN=L(CN-EC),

22

,:EC=BM,

：.PG=^-(CN-BM).

2

如圖2-2中，當點,B,尸在直線a的同側(cè)時，延長MP交NC的延長線于Q.

\'PG±a,CN±a,

C.PG//CN,

'：BM//CQ,

：.NBMP=/Q,

,：ZBPM=ZCPQ,BP=CP,

：./\PMB^/\PQCCAAS),

J.PM^PQ,BM=CQ,

：.MG=GN,

.?.PG=]AQ=3(CN+BM).

綜上所述，PG=—(CN-BM)或PG=」(CN+BM).

22

10.解：(1)觀察猜想

:在RtAABC中與RtAZ)C￡中，ZACB=ZDCE=90°,ZBAC=ZDEC=30°,AC

—DC-1\[3,

：.AE=2DC=2M，AC=V3BC=V3，AB=2BC,ZCDE=60°,

：.BC=1,AB=2,

:點凡G分別是BZ),AE的中點，

：.CG=^AE=y]3,CG=AG,CF=^AB=I,CF=AF,

：.CG=MCF,NGr>C=NGCD=60°,ZACF=ZFAC^3Q0,

；.NFCG=90°,

：.CF±CG,

故答案為：CG=MCF,CF±CG；

(2)類比探究

仍然成立，

理由如下：

VZACB=Z￡)CE=90°,NBAC=/DEC=30°,AC=DC=M，

：.ZBCD=ZACE,AC=[3BC,CE=RcD,

:.ABCDsAACE,

AAE^AC_fTNCAE=NCBD,

BDBC

;點F,G分別是80,AE的中點，

：.BF=^BD,AG=^AE,

22

工AE

年產(chǎn)一BC

△ACGsAecn

ACG_=AC_=ZBCF=ZACG,

CFBC

：.CG=yf3CF,ZACB=ZFCG=90°,

：.CF±CG；

(3)問題解決

如圖，延長BC至H,使BC=CH=1,連接。H,

圖3

E

:點尸是8。中點，BC=CH=1,

：.CF=^DH,

2

由(2)可知，CFLCG,

.'.△CFG的面積=1XC尸XCG=Y3cp2,

22

,'.△CFG的面積;返口好2,

8

.?.當OH取最大值時，△CFG的面積有最大值，當OH取最小值時，△CFG的面積有最

小值，

,:CD=M，

...點。在以點C為圓心，正為半徑的圓上，

當點。在射線HC的延長線上時，OH有最大值為/§+1,

...△C尸G的面積最大值=近(V3+D2=2愿+3,

84

當點。在射線CH的延長線上時，有最小值為百-1,

/.△CFG的面積最小值=江(73-1)2=2代告.

84

11.解：(1)?.?RtZXABC中，ZC=90°,sinB=—,

2

AZB=30°,

/.ZA=60°,

①如圖1,過點E作EHLBC于點H,

'JEDLAC

：.ZADE=ZC=90°,

四邊形CDEH是矩形，即EH=CD,

.?.在RtZXBEH中，NB=30°,

：.BE=2EH

：.BE=2CD；

②BE=2CD成立，

理由：:△ABC和△AOE都是直角三角形，

：.ZBAC^ZEAD=60°,

J.ZCAD^ZBAE,

v..AC1AD1

AB2AE2

,ACAD

ABAE

MACDsXABE,

?.?-B-E--A-B-,

CDAC

又?.,RtzXABC中，坦=2,

AC

.BE_

CD

即BE=2CD；

近

(2)VsinB=—,

2

AZABC^ZBAC^ZDAE^45°,

'：ED±AD,

：.ZAED=ZBAC=45°,

：.AD=DE,AC=BC,

將△AOE繞點A旋轉(zhuǎn)NO￡8=90°,分兩種情況：

①如圖3所示，過A作AP_LBE交8E的延長線于R則/尸=90°,

當/DEB=90°時，ZADE=ZDEF=90°,

又,：AD=DE,

四邊形AZJEF是正方形，

：.AD=AF=EF=2>/5，

\'AC=10=BC,

根據(jù)勾股定理得，AB=10&,

在RtAABF中，BF=7AB2-AF2=正，

：.BE=BF-EF=亞,

又,:AABC和△?1￡)￡都是直角三角形，

且/BAC=/EAD=45°,

：.ZCAD=ZBAE,

..ACV2ADV2

'ABAE

.ACAD

??二,

ABAE

/.△ACDs^ABE,

.??巫望=6,即還=圾，

CDACCD

:.CD=2后;

②如圖4所示，過A作A凡LBE于F,貝iJ/AFE=/AF8=90°,

當/DEB=90°時，NDEB=/ADE=90°,

又,：AD=ED,

四邊形AOEP是正方形，

:.AD=EF=AF=#,

XVAC=10=BC,

：.AB=10y/2>

在RtAABF中，BF—yjAB2-AF2—,

：.BE=BF+EF=^/5，

又,:△&CDs△ABE,

.?.巫望=&，即述=加,

CDACCD

，8=4715，

綜上所述，線段CD的長為2y5或403.

cB

圖4

A

圖3

12.解：(1)等腰直角三角形，

理由如下：9：AP//BC,

：.ZAPC=ZBCP,/APO=/CBP,

尸沿著AP折疊，

ZAPO=ZAPC9OP=PC,

：.ZPCB=ZPBC,

:?PC=PB=0P=8,

???△3C尸是等腰三角形，

,??04=0尸=8,

：.ZOPA=ZAPC=45°,

.\Z0PC=90°,

：.ABCP是等腰直角三角形；

(2)當￡>0時，如圖，

?/△OAP沿著AP折疊,

/.ZAOP=ZACP=90°,OP=PC=t,

：.ZACP+ZBCP=180°,

.?.點A,點C,點8三點共線,

:點A(0,8),B(16,0),

：.OA=S,OB=16,

AAB=VOA2K)B2=。64+256=8泥,

■22。譚啼，

??'8.——―---t--,

8V516-t

；.f=4旄-4；

當t<0時，如圖,

同理可求：t--4A/5_4；

(3);△。4尸沿著4尸折疊,

：.AC=AO=S,ZACP=ZAOP=90°,

"：BH±CP,

AZACP=ZBHC=90°,

'."AH^BC,CH=CH,

：.RtAACH^RtABHC(HL)

；.AC=BH,

，四邊形AHBC是平行四邊形，

如圖2,當0W/W16時，點反在PC上時，連接AB交CH于G,

,/四邊形AHBC是平行四邊形，

，AG=8G=4遙，HG=CG,AC=BH=8,

：,HG=VBG2-BH2=480-64=4,

在RtZXPHB中，PB2=BH2+PH2,

：.(16-f)2=64+(「8)2,

**?t=8；

如圖3,當0W/W16時，點〃在尸。的延長線上時,

:四邊形AHBC是平行四邊形，

.?.AG=BG=4A/5，HG=CG,AC=BH=8,

:,HG=7BG2-BH2=V80-64=4,

在RtZXPHB中，PB2=BH2+PH1,

(16-f)2=64+(r+8)

如圖4,當r<0時,

同理可證：四邊形A28C是平行四邊形,

又

四邊形AB8C是矩形，

：.AC=BH=8,AB=CH=8疾,

在RtAPHB中，PB2^BH2+PH2,

(16-/)2=64+(Z+8A/5)2,

：.t=\6-8遙；

當t>16時，如圖5,

?.?四邊形A8HC是矩形，

：.AC=BH=S,AB=CH=8泥,CP=OP=t,

在RtzXP/ffi中，PB2=BH2+PH2,

Ct-16)2=64+(t-8^5)2,

.,./=16+8,/5.

綜上所述：當f=8或當或16-4或16+逃時，存在A”=8C.

3

13.(1)解：???△8CT和△ACD都是等腰直角三角形，

：.AC=CD,FC=BC=1,FB=M，

"：AD=BD,OE是△A3。的平分線，

...OE垂直平分AB,

：.FA=FB=\&

：.AC^FA+FC=42+1，

：.CD=42+1；

(2)證明：如圖2,過點C作CHLCE交￡￡?于點X,

VABCF和△ACD都是等腰直角三角形，

J.AC^DC,FC=BC,ZACB^ZDCF^90°；

.?.△ABC當ADFC(SAS),

；./BAC=/CDF,

:NECH=90°,

：.ZACE+ZACH^90°,

VZAC￡>=90",

：.ZDCH+ZACH^90°,

NACE=/DCH.

在△ACE和△OCH中，

，ZBAC=ZCDF

?AC=DC，

ZACE=ZDCH

AACE^ADCH(ASA),

；.AE=DH,CE=CH,

:.EH=MCE.

,:DE=EH+DH=A/2CE+AE-,

(3)解：如圖3,連接OE,將OE繞點￡順時針旋轉(zhuǎn)90°得到E。，連接。。，PQ,則

OQ=42OE.

由(2)知，ZAED=ZABC+ZCDF=ZABC+ZBAC=90°,

在RtaAE。中，點。是斜邊4。的中點，

：.OE=OD=^-AD=AC=x9=Jp，

222V

：.OQ=42OE=42X&=2，

在△OE。和△QEP中，

rOE=QE

-ZOED=ZQEP-

DE=PE

:.XOED名(SAS),

：.PQ=OD=yf2-

：OPWOQ+PQ=2W^，當且僅當0、P、Q三點共線時，取“=”號,

.,.OP的最大值是2

圖2

14.證明：（1）如圖1,:將以點C為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°得至?△BFC,

AAEC^ABFC,

：.ZCAE=ZCBF,

VZACB=90°,

ZCAE+ZEAB+ZCBA=90°,

ZCBF+ZEAB+ZCBA=90°,

ZAPB=9Q°,

：.AP.LBF；

(2)如圖2,9：CE±AD,

：.ZAEC=90°=/CEP,

??,將△AEC以點C為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到尸C,

AAEC^ABFC,ZECF=90°,

AZAEC=ZBFC=90°,CE=CF,

???四邊形CE尸尸是正方形，

；?EP=PF=CE=CF,NE尸尸=90°,

???AO為5c邊上的中線，

:?CD=BD,

又??,NCDE=NBDP,ZCED=ZBPD=90°,

?MCDE沿ABDP(AAS),

:?CE=BP,

：?EP=PF=BP,

:?EP+FP=2BP；

(3)結(jié)論仍然成立，

理由如下：如圖1,過點。作CALLAO于N,作CM_L8/，交3尸的延長線于

圖1

??,將△AEC以點C為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到43尸C,

：.ZCAE=ZCBF,CE=CF,

VZACB=90°,

ZCAE+Z