第一章 直角三角形的邊角關(guān)系單元測(cè)試卷（解析版）

第一章直角三角形的邊角關(guān)系單元測(cè)試卷一．選擇題（共10小題）1．（2022秋?姑蘇區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，點(diǎn)是直線外一點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離是4，點(diǎn)、點(diǎn)是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則線段的長(zhǎng)的最小值為A． B． C．3 D．4【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)作直線直線，則直線與直線之間的距離為4，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，交直線于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于．首先證明當(dāng)，，共線時(shí)，的值最小，此時(shí)的值最小，解直角三角形求出此時(shí)的值，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作直線直線，則直線與直線之間的距離為4，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，交直線于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于．在中，，的值最小時(shí)，的值最小，，當(dāng)，，共線時(shí)，的值最小，此時(shí)的值最小，直線垂直平分線段，，，，，，，，，可以假設(shè)，，，，，，，解得，的最小值，故選：．2．如圖，已知、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)、分別是直線和軸上的動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，當(dāng)面積取得最小值時(shí)，的值是A． B． C． D．【分析】如圖，設(shè)直線交軸于．由題意，推出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，5為半徑的圓，推出當(dāng)直線與相切時(shí)，的面積最小，作于．求出，即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，設(shè)直線交軸于．由題意，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，5為半徑的圓，當(dāng)直線與相切時(shí)，的面積最小，是切線，點(diǎn)是切點(diǎn)，，，，，，，，，作于．，，，，故選：．3．北碚區(qū)政府計(jì)劃在縉云山半山腰建立一個(gè)基站，其設(shè)計(jì)圖如圖所示，，與地面平行，的坡度為，的坡角為，小王想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量基站頂部到地面的距離，若，米，米，小王在山腳點(diǎn)處測(cè)得基站底部的仰角為，在點(diǎn)處測(cè)得基站頂部的仰角為，則基站頂部到地面的距離為（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，，A．21.5米 B．21.9米 C．22.0米 D．23.9米【分析】延長(zhǎng)交過(guò)點(diǎn)的水平線于，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作于，于，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出結(jié)果．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)交過(guò)點(diǎn)的水平線于，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作于，于，的坡度為，，設(shè)米，米，則米，，，米，米，的坡角為，米，米，四邊形和四邊形是矩形，，米，，米，米，在中，，米，，，米，在中，，（米，（米．故選：．4．（2021?淄博）如圖，在中，，是斜邊上的中線，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．若，的面積為5，則的值為A． B． C． D．【分析】根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半可得，進(jìn)而得到，從而有，根據(jù)三角形的面積公式求出，由勾股定理，在中，求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可．【解答】解：連接，是斜邊上的中線，，是的垂直平分線，，，，，，在中，，，，，，又，，，，，故選：．5．（2021春?萬(wàn)州區(qū)校級(jí)期中）江津四面山是國(guó)家級(jí)風(fēng)景區(qū)，里面有一個(gè)景點(diǎn)被譽(yù)為亞洲第一巖土地神巖，土地神巖壁畫(huà)高度從石巖處開(kāi)始一直豎直到山頂處，為了測(cè)量土地神巖上壁畫(huà)的高度，小明從山腳處，沿坡度的斜坡上行65米到達(dá)處，在處測(cè)得山頂處仰角為，再往正前方水平走15米到達(dá)處，在處測(cè)得壁畫(huà)底端處的俯角為，壁畫(huà)底端處距離山腳處的距離是12米，、、、、、在同一平面內(nèi)，、在同一水平線上，，根據(jù)小明的測(cè)量數(shù)據(jù)，則壁畫(huà)的高度為米（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，，，，A．49.5 B．68.7 C．69.7 D．70.2【分析】如圖，作于，延長(zhǎng)交于．解直角三角形分別求出、即可解決問(wèn)題；【解答】解：如圖，作于，延長(zhǎng)交于．在中，，，，，四邊形是矩形，，，，在中，，，在中，，，，故選：．6．（2021?渝中區(qū)校級(jí)二模）如圖，旗桿豎立在斜坡的頂端，斜坡長(zhǎng)為65米，坡度為．小明從與點(diǎn)相距115米的點(diǎn)處向上爬12米到達(dá)建筑物的頂端點(diǎn)，在此測(cè)得旗桿頂端點(diǎn)的仰角為，則旗桿的高度約為米．（參考數(shù)據(jù)：，，A．12.9 B．22.2 C．24.9 D．63.1【分析】通過(guò)作高，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系和坡度即可求出答案．【解答】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，在中，由斜坡的坡度，得，，又，設(shè)，，由勾股定理得，，，，，又，，在中，，（米，故選：．7．已知中，，，，且，延長(zhǎng)到，使，連接，則的值為A． B． C． D．【分析】過(guò)點(diǎn)作于，利用勾股定理得數(shù)量關(guān)系，過(guò)點(diǎn)作于，建立等腰三角形，求角的關(guān)系，等量代換后，再用三角函數(shù)求值．【解答】解：過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)，，，，，．解得：，，．，，，，．故選：．8．（2021?宜興市模擬）如圖，在中，，，，，連接，則長(zhǎng)的最大值是A． B． C． D．【分析】如圖，在的下方作，使得，，連接，則，證明，推出，推出，再根據(jù)，可得，由此即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，在的下方作，使得，，連接，則，，，，，，，，，，，，，的最大值為，故選：．9．（2022?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在中，，，，平分交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為A． B．2 C． D．【分析】作于，作于，分別解直角三角形求得，和，從而求得，設(shè)，在直角三角形中表示出，進(jìn)而根據(jù)列出方程求得，進(jìn)而求得結(jié)果．【解答】解：如圖，作于，作于，在中，，在中，，，，在中，設(shè)，在中，，，由得，，，，故答案為：．10．（2021秋?柯橋區(qū)期末）中，，的平分線交于，在延長(zhǎng)線上，在上，經(jīng)過(guò)中點(diǎn)，，若，則的值為A． B． C． D．【分析】過(guò)作于，延長(zhǎng)交于，由，設(shè)，則，而為中點(diǎn)，得，根據(jù)平分，可得，即有，，而，可得，即知，根據(jù)，得，從而可得．【解答】解：過(guò)作于，延長(zhǎng)交于，如圖：在中，，，設(shè)，則，為中點(diǎn)，，平分，，，，，，，，，，，，，即，，，，即，，，，，，故選：．二．填空題（共6小題）11．如圖所示，一艘輪船在處觀測(cè)到北偏東方向上有一個(gè)燈塔，輪船在正東方向以每小時(shí)20海里的速度航行1.5小時(shí)后到達(dá)處，又觀測(cè)到燈塔在北偏東方向上，則此時(shí)輪船與燈塔相距海里．（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】作，垂足為．構(gòu)建直角三角形后，利用已知角的正弦值，以及的長(zhǎng)，可求出．然后放到直角三角形中，根據(jù)的角對(duì)的直角邊是斜邊的一半，求出．【解答】解：作，垂足為．根據(jù)題意，得，，，則，（海里），在中，，，（海里）．在中，，，（海里）．此時(shí)輪船與燈塔相距海里．12．如圖，在四邊形中，，交于，使得且．若在線段上取一點(diǎn)，滿(mǎn)足：平分且，則的值為．【分析】由，設(shè)，由外角定義和角平分線證得，進(jìn)而證得，由，可設(shè)，利用勾股定理和相關(guān)結(jié)論分別求出、、，即可解答．【解答】解：由，設(shè)，則，平分，，，而，故，，，，，，不妨令，則，，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，設(shè)，，則，，，，，，即，，在中，，，，由勾股定理得：，解得或（舍去），，在中，且中，，故，故答案為：．13．已知，，是的三邊，，滿(mǎn)足等式，且，則．【分析】先對(duì)等式化簡(jiǎn)，得到，，的關(guān)系后，再求解銳角三角函數(shù)的值．【解答】解：，，，．為直角三角形，且．，，．設(shè)，，，．．14．如圖，是斜邊上的高線，若，，則．【分析】證明，求出的長(zhǎng)；進(jìn)而求、，運(yùn)用勾股定理求．【解答】解：是斜邊上的高線，．，．，，．，．．15．我們規(guī)定：等腰三角形的底角與頂角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”．如圖，是以為頂點(diǎn)的“特征值”為的等腰三角形，在外有一點(diǎn)，若，，，則度，的長(zhǎng)是．【分析】由等腰三角形的“特征值”定義可知，“特征值”為的等腰三角形由三角形內(nèi)角和可計(jì)算出頂角為，底角為，故可知，由聯(lián)想一線三等角構(gòu)造相似三角形，過(guò)點(diǎn)作垂足為，交延長(zhǎng)線于，得，再在中，由勾股定理即可求出．【解答】解：設(shè)等腰三角形的底角為，是以為頂點(diǎn)的“特征值”為的等腰三角形，根據(jù)定義可知頂角為．，，即，，過(guò)點(diǎn)作垂足為，交延長(zhǎng)線于，如圖：，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，是等腰直角三角形，，，在中，．故答案為：45，．16．如圖，是的中線，，，，求線段的長(zhǎng)．【分析】通過(guò)作高，構(gòu)造直角三角形，利用中線的性質(zhì)、三角形的面積公式、銳角三角函數(shù)和勾股定理，在不同的直角三角形中求出相應(yīng)的邊即可，【解答】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，在中，，，，，，又是的中線，，，，，在中，，由，可得，在中，，，在中，，，故答案為：．三．解答題（共8小題）17．（2023?龍馬潭區(qū)二模）某校王老師組織九（1）班同學(xué)開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，某天帶領(lǐng)同學(xué)們測(cè)量學(xué)校附近一電線桿的高．已知電線桿直立于地面上，在太陽(yáng)光的照射下，電線桿的影子（折線恰好落在水平地面和斜坡上，在處測(cè)得電線桿頂端的仰角為，在處測(cè)得電線桿頂端的仰角為，斜坡與地面成角，，請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)求電線桿的高．（結(jié)果用根號(hào)表示）【分析】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，作于，根據(jù)正弦、余弦的定義求出、，根據(jù)正切的定義求出，設(shè)，根據(jù)正切的定義求出，結(jié)合圖形列出方程，解方程即可．【解答】解：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，作于，在中，，，則，，，，，，設(shè)，，，，，，，，解得：答：電線桿的高為．18．（2023秋?巴州區(qū)期中）如圖為住宅區(qū)內(nèi)的兩幢樓，它們的高，現(xiàn)需了解甲樓對(duì)乙樓的采光的影響情況．當(dāng)太陽(yáng)光與水平線的夾角為時(shí)．試求：（1）若兩樓間的距離時(shí)，甲樓的影子，落在乙樓上有多高？（2）若甲樓的影子，剛好不影響乙樓，那么兩樓的距離應(yīng)當(dāng)有多遠(yuǎn)？【分析】（1）首先設(shè)太陽(yáng)光與的交點(diǎn)為，連接，易得四邊形是矩形，然后在中，由即可求得答案；（2）首先根據(jù)題意可得當(dāng)太陽(yáng)光照射到點(diǎn)時(shí)，甲樓的影子，剛好不影響乙樓，然后由，即可求得答案．【解答】解：（1）設(shè)太陽(yáng)光與的交點(diǎn)為，連接，，，，四邊形是矩形，，，，在中，，．答：甲樓的影子，落在乙樓上有高；（2）如圖：當(dāng)太陽(yáng)光照射到點(diǎn)時(shí)，甲樓的影子，剛好不影響乙樓，在中，，，．答：兩樓的距離應(yīng)當(dāng)為．19．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)三模）為鞏固精準(zhǔn)扶貧成果，打通“道路最后一公里”，政府決定在、兩村之間修建一條互通大道（即線段．如圖，湖泊區(qū)域是以點(diǎn)為圓心、半徑為的圓形區(qū)域．經(jīng)測(cè)量：湖泊區(qū)域的圓心位于村北偏東方向且為，村位于村正東方向，湖泊區(qū)域的圓心位于村北偏西方向．（參考數(shù)據(jù)：，（1）求湖泊區(qū)域的圓心到鄉(xiāng)村的距離；（結(jié)果精確到（2）勘測(cè)地形后，政府決定將位于湖泊區(qū)域的公路段改建為橋梁，若橋梁段的建造費(fèi)用為200萬(wàn)元，公路段的建造費(fèi)用100萬(wàn)元，政府撥款3500萬(wàn)元用于建造整條互通大道，請(qǐng)問(wèn)政府劃撥的資金充足嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由題可得，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)30度和45度角的直角三角形即可解決問(wèn)題；（2）在、上分別取點(diǎn)．，使，根據(jù)勾股定理可得，，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．【解答】解：（1）由題可知：，，，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則在中，，，在中．，，圓心到鄉(xiāng)村的距離為12.2；（2）政府劃撥的資金充員．在、上分別取點(diǎn)．，使，則在中，，在中，，，，建造費(fèi)用為，政府劃撥的資金充足．20．（2023?朝陽(yáng)縣模擬）如圖，和是同一水平地面上的兩座樓房，已知樓的高為20米，在樓的樓頂點(diǎn)測(cè)得樓的樓頂?shù)难鼋菫?，樓底的俯角為，求樓的高．（結(jié)果保留根號(hào)，參考數(shù)據(jù)：，，【分析】在題中兩個(gè)直角三角形中，知道已知角和其鄰邊，只需根據(jù)正切值求出對(duì)邊后相加即可．【解答】解：延長(zhǎng)過(guò)點(diǎn)的水平線交于點(diǎn)，則有，四邊形是矩形，，米．（米，米．（米．米．答：樓的高是米．21．如圖，在航線的兩側(cè)分別有兩個(gè)燈塔和，燈塔到航線的距離為千米，燈塔到航線的距離為千米，燈塔位于燈塔南偏東方向．現(xiàn)有一艘輪船從位于燈塔北偏西方向的（在航線上）處，正沿該航線自東向西航行，10分鐘后該輪船行至燈塔正南方向的點(diǎn)（在航線上）處．（1）求兩個(gè)燈塔和之間的距離；（2）求該輪船航行的速度（結(jié)果精確到0.1千米小時(shí)）．（參考數(shù)據(jù)：，，，【分析】（1）根據(jù)特殊角三角函數(shù)即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)三角函數(shù)定義可得的長(zhǎng)，進(jìn)而可以求該輪船航行的速度．【解答】解：（1）由題意，得，，，，在中，，，，在中，，，，千米．答：兩個(gè)燈塔和之間的距離為14千米．（2）在中，，，，在中，，，，，在中，，由題意，得，，，設(shè)該輪船航行的速度是千米小時(shí)，由題意，得，（千米小時(shí)），答：該輪船航行的速度是40.7千米小時(shí)．22．（2022春?前郭縣校級(jí)月考）一艘輪船向正東方向航行，在處測(cè)得燈塔在的北偏東方向，航行60海里到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得燈塔在的北偏東方向上．求到燈塔的距離（結(jié)果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：，，．【分析】過(guò)作于點(diǎn)，根據(jù)正弦、余弦的定義求出、，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：過(guò)作于點(diǎn)，在中，，，，（海里），（海里），在中，，，，海里，（海里）．答：到燈塔的距離是89.8海里．23．（2023?廣饒縣校級(jí)模擬）重慶市某校數(shù)學(xué)興趣小組在水庫(kù)某段的附近借助無(wú)人機(jī)進(jìn)行實(shí)物測(cè)量的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)．如圖所示，興趣小組在水庫(kù)正面左岸的處測(cè)得水庫(kù)右岸處某標(biāo)志物頂端的仰角為．在處一架無(wú)人機(jī)以北偏西方向飛行米到達(dá)點(diǎn)處，無(wú)人機(jī)沿水平線方向繼續(xù)飛行30米至處，測(cè)得正前方水庫(kù)右岸處的俯角為．線段的長(zhǎng)為無(wú)人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)、、在同一條直線上．（1）求無(wú)人機(jī)的飛行高度；（2）求標(biāo)志物的高度．（結(jié)果精確到0.1米）（已知數(shù)據(jù)：，，，，，，【分析】（1）根據(jù)題意可得，米，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可得無(wú)人機(jī)的飛行高度；（2）根據(jù)題意可得，米，，作于點(diǎn)交于點(diǎn)，由，可得，即，解得的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出標(biāo)志物的高度．【解答】解：（1