第27講 幾何圖形背景下的相似三角形的存在性（解析版）

第27講幾何圖形背景下的相似三角形的存在性【技巧點(diǎn)撥】二次函數(shù)背景下的相似三角形考點(diǎn)分析：1.先求函數(shù)的解析式，然后在函數(shù)的圖像上探求符合幾何條件的點(diǎn)；2.簡(jiǎn)單一點(diǎn)的題目，就是用待定系數(shù)法直接求函數(shù)的解析式；3.復(fù)雜一點(diǎn)的題目，先根據(jù)圖形給定的數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；4.還有一種常見(jiàn)題型，解析式中由待定字母，這個(gè)字母可以根據(jù)題意列出方程組求解；5.當(dāng)相似時(shí)：一般說(shuō)來(lái)，這類(lèi)題目都由圖像上的點(diǎn)轉(zhuǎn)化到三角形中的邊長(zhǎng)的問(wèn)題，再由邊的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化到三角形的相似問(wèn)題；6.考查利用幾何定理和性質(zhì)或者代數(shù)方法建立方程求解的方法?！緜渥ⅰ浚?.以下每題教法建議，請(qǐng)老師根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況參考；2.在講解時(shí)：不宜采用灌輸?shù)姆椒?，?yīng)采用啟發(fā)、誘導(dǎo)的策略，并在讀題時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些題目中的條件（相等的量、不變的量、隱藏的量等等），使學(xué)生在復(fù)雜的背景下自己發(fā)現(xiàn)、領(lǐng)悟題目的意思；3.可以根據(jù)各題的“教法指導(dǎo)”引導(dǎo)學(xué)生逐步解題，并采用講練結(jié)合；注意邊講解邊讓學(xué)生計(jì)算，加強(qiáng)師生之間的互動(dòng)性，讓學(xué)生參與到例題的分析中來(lái)；4.例題講解，可以根據(jù)“參考教法”中的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生分析題目，邊講邊讓學(xué)生書(shū)寫(xiě)，每個(gè)問(wèn)題后面有答案提示；5.引導(dǎo)的技巧：直接提醒，問(wèn)題式引導(dǎo)，類(lèi)比式引導(dǎo)等等；6.部分例題可以先讓學(xué)生自己試一試，之后再結(jié)合學(xué)生做的情況講評(píng)；7.每個(gè)題目的講解時(shí)間根據(jù)實(shí)際情況處理，建議每題7分鐘，選講例題在時(shí)間足夠的情況下講解。【中考挑戰(zhàn)滿(mǎn)分模擬練】1．（2023浦東新區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，tanC＝，點(diǎn)D是斜邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD，EF垂直平分BD交射線BA于點(diǎn)F，交邊BC于點(diǎn)E．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D是斜邊AC上的中點(diǎn)時(shí)，求EF的長(zhǎng)；（2）聯(lián)結(jié)DE，如果△DEC和△ABC相似，求CE的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)F在邊BA的延長(zhǎng)線上，且AF＝2時(shí)，求AD的長(zhǎng)．【分析】（1）連接DF，DE，由∠ABC＝90°，AC＝10，tanC＝，得AB＝6，BC＝8，而D是AC中點(diǎn)，知BD＝AC＝5，從而DG＝BD＝，證明△DGF∽△ABC∽△EGD，可得＝，＝，解得FG＝，EG＝，即可得EF＝FG+EG＝；（2）分兩種情況：①當(dāng)△DEC∽ABC時(shí)，設(shè)CE＝m，則BE＝8﹣m＝DE，有＝，解得m＝；②當(dāng)△EDC∽△ABC時(shí)，設(shè)CE＝n，則BE＝DE＝8﹣n，可得＝，解得n＝5，即可得△DEC和△ABC相似，CE的長(zhǎng)為或5；（3）連接DF，過(guò)D作DK⊥AB于K，由∠ADK＝∠C，有＝，設(shè)AK＝3t，則DK＝4t，在Rt△DKF中，得（4t）2+（3t+2）2＝82，解方程即可得到答案．【解答】解：（1）連接DF，DE，如圖：∵∠ABC＝90°，AC＝10，tanC＝，∴AB＝6，BC＝8，∵D是AC中點(diǎn)，∴BD＝AC＝5，∵EF是BD的垂直平分線，∴DG＝BD＝，∵D是AC中點(diǎn)，∠ABC＝90°，∴AD＝BD＝CD，∴∠A＝∠DBA，∠C＝∠DBC，∵EF是BD的垂直平分線，∴DF＝BF，DE＝BE，∴∠FDG＝∠DBA，∠EDG＝∠DBC，∴∠FDG＝∠A，∠EDG＝∠C，∵∠DGF＝∠ABC＝90°＝∠EGD，∴△DGF∽△ABC∽△EGD，∴＝，＝，∴＝，＝，解得FG＝，EG＝，∴EF＝FG+EG＝；（2）①當(dāng)△DEC∽ABC時(shí)，如圖：設(shè)CE＝m，則BE＝8﹣m＝DE，∵＝，∴＝，解得m＝，∴CE＝；②當(dāng)△EDC∽△ABC時(shí)，如圖：設(shè)CE＝n，則BE＝DE＝8﹣n，∵＝，∴＝，解得n＝5，∴CE＝5；綜上所述，△DEC和△ABC相似，CE的長(zhǎng)為或5；（3）連接DF，過(guò)D作DK⊥AB于K，如圖：∴DK∥BC，∴∠ADK＝∠C，∴tan∠ADK＝tanC＝，即＝，設(shè)AK＝3t，則DK＝4t，∵AB＝6，AF＝2，∴BF＝8＝DF，KF＝AK+AF＝3t+2，在Rt△DKF中，DK2+KF2＝DF2，∴（4t）2+（3t+2）2＝82，解得t＝或t＝（舍去），∴AD＝＝＝5t＝，∴AD的長(zhǎng)是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形中的相似問(wèn)題，涉及勾股定理及應(yīng)用，垂直平分線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理及應(yīng)用．2．（2023楊浦區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是邊AB上的中線，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)Q是CB延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QP⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．（1）當(dāng)點(diǎn)B為CQ的中點(diǎn)時(shí)，求PD的長(zhǎng)；（2）設(shè)BQ＝x，PD＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；（3）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AB交PQ于F，當(dāng)△BDF和△ABC相似時(shí)，求BQ的長(zhǎng)．【分析】（1）由勾股定理可求得AB的長(zhǎng)，由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得∠PCQ＝∠ABC，則可得△PCQ∽△CBA，由相似三角形的性質(zhì)即可求得PC的長(zhǎng)度，從而求得結(jié)果；（2）由△PCQ∽△CBA，即可求得PC的長(zhǎng)度，從而由y＝PC﹣CD即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，由CQ在CB延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，即可寫(xiě)出x的取值范圍；（3）分△DBF∽△ACB，△DBF∽△BCA兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)即可完成求解．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴，∵CD是邊AB上的中線，∴，∴∠PCQ＝∠ABC，∵∠PQC＝∠ACB＝90°，∴△PCQ∽△CBA，即，∵點(diǎn)B為CQ的中點(diǎn)，∴CQ＝2BC＝8，∴，∴；（2）解：∵△PCQ∽△CBA，∴，∵CQ＝BC+BQ＝4+x，∴，∴，∵點(diǎn)Q是CB延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，∴x＞4，∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，x的取值范圍為x＞4；（3）若△DBF∽△ACB，如圖，則，∴，∵∠FBQ+∠ABC＝∠ABC+∠A＝90°，∠PCQ+∠ACD＝∠PCQ+∠PQC＝90°，∴∠FBQ＝∠A，∠ACD＝∠PQC，∴△FBQ∽△DAC，∴，∵，∴；若△DBF∽△BCA，如圖，則，∠FDB＝∠ABC，∴，DF∥CQ，∴△PDF∽△PCQ，∴，即DF?PC＝PD?CQ，∴，化簡(jiǎn)得：4x2+7x﹣36＝0，解得：，x2＝﹣4（舍去），∴．綜上，BQ的長(zhǎng)為4或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，勾股定理，正確運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分類(lèi)討論．3．（2022徐匯區(qū)一模）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，∠EDB＝∠ADC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為點(diǎn)G，交射線AC于點(diǎn)F．（1）如果點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，求∠DAB的正切值；（2）當(dāng)點(diǎn)F在邊AC上時(shí)，設(shè)CD＝x，CF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及x的取值范圍；（3）聯(lián)結(jié)DF，如果△CDF與△AGE相似，求線段CD的長(zhǎng)．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H．解直角三角形求出DH，AH即可解決問(wèn)題．（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)A作AT⊥AC，延長(zhǎng)FE交AT于T，直線DE交AT于K，交AC的延長(zhǎng)線于R．想辦法證明AR＝AT＝8，再證明△ACD∽△TAF，可得＝＝，推出AF＝2CD＝2x，可得結(jié)論．（3）利用△CFD與△ADH相似，可得＝或＝，由此構(gòu)建方程求出CD，當(dāng)點(diǎn)F在下方時(shí)，同法可求CD．【解答】解：（1）如圖1中，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H．∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝4，∵CD＝DB＝2，∠B＝45°，∠DHB＝90°，∴DH＝BH＝DB＝，∴AH＝AB﹣BH＝3，∴tan∠DAB＝＝．（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)A作AT⊥AC，延長(zhǎng)FE交AT于T，直線DE交AT于K，交AC的延長(zhǎng)線于R．∵AT⊥AC，BC⊥AC，∴AT∥BC，∴∠ADC＝∠DAK，∠EDB＝∠AKD，∵∠ADC＝∠EDB，∴∠DAK＝∠DKA，∴DA＝DK，∵∠R+∠DKA＝90°，∠DAC+∠DAK＝90°，∴∠DAC＝∠R，∴DA＝DR，∵DC⊥AR，∴AC＝CR＝4，∵∠AFE+∠CAD＝90°，∠AKE+∠R＝90°，∴∠AFE＝∠AKE，∵∠EAF＝∠EAK＝45°，AE＝AE，∴△AEF≌△AEK（AAS），∴AF＝AK，∵∠RAK＝∠TAF＝90°，∠AKR＝∠AFT，∴△AKR≌△AFT（ASA），∴AR＝AT＝8，∠R＝∠T＝∠DAC，∵∠ACD＝∠TAF，∴△ACD∽△TAF，∴＝＝，∴AF＝2CD＝2x，∵CF+AF＝4，∴y+2x＝4，∴y＝4﹣2x（0＜x＜2）．（3）如圖3中，連接DF，作DH⊥AB于H．∵∠GAE＝∠DAH，∠AGE＝∠AHD，∴△AGE∽△AHD，∵△CDF與△AGE相似，∴△CFD與△ADH相似，∴＝或＝，∴＝或＝，整理得，x2+8x﹣16＝0或x2﹣16x+16＝0，解得，x＝4﹣4或﹣4﹣4（舍棄）或8﹣4或8+4（舍棄），∴CD＝4﹣4或8﹣4，當(dāng)點(diǎn)F在下方時(shí)，同法可得，CD＝，綜上所述，滿(mǎn)足條件的CD的值為4﹣4或8﹣4或．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．4．（2022?徐匯區(qū)二模）如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，BC＝OB，點(diǎn)D是在半圓O上的點(diǎn)（不與A，B兩點(diǎn)重合），CE⊥CD且CE＝CD，聯(lián)結(jié)DE．（1）如圖1，線段CD與半圓O交于點(diǎn)F，如果DF＝BF，求證：；（2）如圖2，線段CD與半圓O交于點(diǎn)F，如果點(diǎn)D平分，求tan∠DFA；（3）聯(lián)結(jié)OE交CD于點(diǎn)G，當(dāng)△DOG和△EGC相似時(shí)，求∠AOD．【分析】（1）連接OF，證明△FCB∽△OCF，由相似三角形的性質(zhì)可得出，則可得出結(jié)論；（2）連接DO交AF于點(diǎn)M，連接BF，證出，設(shè)OM＝a，則BF＝2a，OD＝OF＝4a，DM＝3a，由勾股定理求出MF＝a，由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案；（3）當(dāng)∠ODG＝∠DCE＝90°時(shí)，由直角三角形的性質(zhì)可求出答案；當(dāng)∠DOG＝∠DCE＝90°時(shí)，設(shè)BE的中點(diǎn)為H，連接HO，HC，由直角三角形的性質(zhì)可求出答案．【解答】（1）證明：∵DF＝BF，∴∠DOF＝∠FOB，連接OF，在半圓O中，OD＝OF＝OB，∴∠ODF＝∠OFD＝，∠OFB＝∠OBF＝（180°﹣∠FOB），∴∠ODF＝∠OFD＝∠OFB＝∠OBF，∵∠CFB＝180°﹣∠OFB﹣∠OFD＝180°﹣∠OFB﹣∠OBF＝∠FOC，又∵∠FCB＝∠OCF，∴△FCB∽△OCF，∴，又∵OF＝OB＝BC＝OC，∴；（2）解：連接DO交AF于點(diǎn)M，連接BF，∵點(diǎn)D平分，OD是半徑，∴OD⊥AF于點(diǎn)M，AM＝MF，∵OA＝OB，∴OD∥BF，OM＝BF，又∵OC＝OB，BF∥OD，∴，設(shè)OM＝a，則BF＝2a，OD＝OF＝4a，DM＝3a，在Rt△OMF中，由勾股定理得，MF＝＝＝a，在Rt△DMF中，tan∠DFA＝；（3）解：由題意有∠DGO＝∠CGE，當(dāng)∠ODG＝∠DCE＝90°時(shí)，∵OC＝2OB＝2DO，∴∠DCO＝30°，∴∠AOD＝120°，當(dāng)∠DOG＝∠DCE＝90°時(shí)，設(shè)BE的中點(diǎn)為H，連接HO，HC，在Rt△DOE中，OH＝，∴∠HDO＝∠HOD，在Rt△DOE中，CD＝CE，∴HC＝DE，CH⊥DE，∴HC＝DE＝HO，∴∠HOC＝∠HCO，∵四邊形HCOD的內(nèi)角和為360°，∴∠DOC＝135°，∴∠AOD＝45°．綜上所述，∠AOD為120°或45°．【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，考查了圓的性質(zhì)，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.（2022青浦一模24）．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)BC、BD，求∠CBD的正切值；（3）若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)△BDP與△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得，解得：，所以拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．∵B（3，0）、C（0，﹣3）、D（1，﹣4），∴BC＝，DC＝，BD＝．∴BC2+DC2＝18+2＝20＝DB2．∴∠BCD＝90°．∴tan∠CBD＝．（3）∵tan∠ACO＝，∴∠ACO＝∠CBD．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝45°．∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC．即：∠ACB＝∠DBO．∴當(dāng)△BDP與△ABC相似時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)．（i）當(dāng)時(shí)，∴．∴BP＝6．∴P（﹣3，0）．（ii）當(dāng)時(shí)，∴．∴BP＝．∴P（﹣，0）．綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，0）或（﹣，0）．6.（2022嘉定一模24）（12分）（2021秋?嘉定區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B兩點(diǎn)在直線y＝x上，如圖．二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣2的圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，并與y軸相交于點(diǎn)C，如果BC∥x軸，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與BC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上，如果以點(diǎn)E、O、B所組成的三角形與△OBD相似，且相似比不為1，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)是M，求tan∠AMC的值．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣2的圖像與y軸相交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣2），∵BC//x軸，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是﹣2，∵點(diǎn)A、B兩點(diǎn)在直線y＝x上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2），∵這個(gè)二次函數(shù)的圖像也經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1）、B（﹣4，﹣2），∴，解這個(gè)方程組，得a＝，b＝1，∴二次函數(shù)的解析式是y＝+x﹣2；（2）根據(jù)（1）得，二次函數(shù)y＝+x﹣2圖像的對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝﹣2，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），∴OB＝2，BD＝2，∵BC//x軸，∴∠OBD＝∠BOE，∴以點(diǎn)E、O、B組成的三角形與△OBD相似有可能以下兩種：①當(dāng)時(shí)，△BOD∽△OBE，顯然這兩相似三角形的相似比為1，與已知相似比不為1矛盾，這種情況應(yīng)舍去，②當(dāng)時(shí)，△BOD∽△OEB，∴，∴OE＝10，又點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣10，0）；（3）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AM，垂足為H，根據(jù)（1）得，二次函數(shù)的解析式是y＝+x﹣2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（﹣2，﹣3），設(shè)直線AM的解析式為y＝kx+m，，解得k＝1，m＝﹣1，∴直線AM的解析式為y＝x﹣1，設(shè)直線AM與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，﹣1），∴△OPQ是等腰直角三角形，∠OQP＝45°，∵∠OQP＝∠HOC，∴∠HOC＝45°，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣2），∴CQ＝1，∴HC＝HQ＝，又MQ＝2，∴MH＝MQ﹣HQ＝，∴tan∠AMC＝．7.（202崇明一模）24.如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(4，0)，與y軸交于點(diǎn)B(0，3)，點(diǎn)M(m，0)為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P，N．（1）求拋物線的解析式，并寫(xiě)出此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如果以點(diǎn)P、N、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求m的值；（3）如果以B、P、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【小問(wèn)1詳解】解：∵拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(4，0)，與y軸交于點(diǎn)B(0，3)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為y=?x2+x+3，∵y=?x2+x+3=?(x-)2+，∴此拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，)；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)直線AB的解析式為y=px+q，把A（4，0），B（0，3）代入得，解得：，∴直線AB的解析式為y=，∵M(jìn)（m，0），MN⊥x軸，∴N（m，?m2+m+3），P（m，），∴NP=?m2+3m，OB=3，∵NP∥OB，且以點(diǎn)P、N、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，∴NP=OB，即?m2+3m=3，整理得：m2-4m+4=0，解得：m=2；【小問(wèn)3詳解】∵A（4，0），B（0，3），P（m，），∴AB=5，BP=，而NP=?m2+3m，∵PN∥OB，∴∠BPN=∠ABO，當(dāng)時(shí)，△BPN∽△OBA，即，整理得9m2-11m=0，解得m1=0（舍去），m2=，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）；當(dāng)時(shí)，△BPN∽△ABO，即，整理得2m2-5m=0，解得m1=0（舍去），m2=3，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）；綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）或（3，0）．8.（2022寶山一模）已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，頂點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)，試判斷與是否相似，并證明你的結(jié)論；（3）拋物線上是否存在點(diǎn)，使得．如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【小問(wèn)1詳解】解：拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，設(shè)拋物線解析式為：，將點(diǎn)C代入可得：，解得：，∴，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：；【小問(wèn)2詳解】解：如圖所示：為直角三角形且三邊長(zhǎng)分別為：，，，的三邊長(zhǎng)分別為：，，，∴，∴為直角三角形，∵，∴；【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)存在點(diǎn)P使，作線段AC的中垂線交AC于點(diǎn)E，交AP于點(diǎn)F，連接CF，如（2）中圖：∴，，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，，∴，即解得：，設(shè)，∴，，∴，整理得：①，=，即②，將①代入②整理得：，解得：，，∴，，∴或（不符合題意舍去），∴，，設(shè)直線FA解析式為：，將兩個(gè)點(diǎn)代入可得：，解得：，∴，∴聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)得：，將①代入②得：，整理得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，，∴．9.（2022靜安區(qū)一模24）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（﹣1，m），頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求直線AB的表達(dá)式；（2）求tan∠ABD的值；（3）設(shè)線段BD與x軸交于點(diǎn)P，如果點(diǎn)C在x軸上，且△ABC與△ABP相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【分析】（1）將A（2，0）代入y＝x2+bx，求出拋物線解析式，再將B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x，求出m的值，然后用待定系數(shù)法求直線AB的解析式即可；（2）利用勾股定理判定△ABD是直角三角形，即可求解；（3）求出P點(diǎn)坐標(biāo)（，0），設(shè)C（t，0），當(dāng)∠ABC＝∠APB時(shí)，△ABP∽△APC，過(guò)B點(diǎn)作BQ⊥x軸交于點(diǎn)Q，則tan∠BCQ＝＝，求出CQ＝9，即可求C（﹣10，0）；當(dāng)P點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，△ABC≌△ABP，即可求C點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）將A（2，0）代入y＝x2+bx，∴4+2b＝0，∴b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x，將B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x，∴m＝3，∴B（﹣1，3），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+2；（2）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴D（1，﹣1），∴AD＝，AB＝2，BC＝3，∵AB2＝AD2+BC2，∴△ABD是直角三角形，∴tan∠ABD＝＝；（3）設(shè)直線BD的解析式為y＝k1x+b1，∴，∴，∴y＝﹣2x+1，令y＝0，則x＝，∴P（，0），設(shè)C（t，0），如圖1，當(dāng)∠ABC＝∠APB時(shí)，△ABC∽△APB，∴∠ACB＝∠ABP過(guò)B點(diǎn)作BQ⊥x軸交于點(diǎn)Q，∴tan∠BCQ＝＝，∴CQ＝9，∴CO＝10，∴C（﹣10，0）；當(dāng)C點(diǎn)與P點(diǎn)重合時(shí)，△ABC≌△ABP，此時(shí)C（，0）；綜上所述：C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣10，0）或（，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，利用分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．10.（2021年寶山二模24）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx﹣1（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），B（1，0）和點(diǎn)D（﹣3，n），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）將拋物線平移，使點(diǎn)C落在點(diǎn)B處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，求△ODE的面積；（3）如果點(diǎn)P在y軸上，△PCD與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），B（1，0）和D（﹣3，n），∴，解得：，∴拋物線解析式為：y＝x2+x﹣1；∴＝2，∴D（﹣3，2）；（2）∵將拋物線平移，使點(diǎn)C落在點(diǎn)B處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，∴E（﹣2，3），∴S△ODE＝9﹣﹣＝