2023-2024學(xué)年天津市咸水沽高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年天津市咸水沽高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.直線x+（2，〃一l）y+l=0與直線-3x+〃zy+3=O垂直，則根的值（）

333

A.—或1B.—1C.—或—1D.—

222

【正確答案】C

【分析】討論直線斜率不存在的情況，斜率存在時(shí)，根據(jù)直線垂直可得斜率之積為-1,列

式即可求得答案.

【詳解】當(dāng)m時(shí)，直線x+（2〃?-l）y+l=O即x+l=0,

直線-3x+,〃y+3=O即-3x+gy+3=0,二者不垂直，不合題意；

當(dāng)m=0時(shí)，直線x+（2加一l）y+l=0即x-y+l=0,

直線一31+?。?，+3=0即x—l=0,二者不垂直，不合題意；

故mwg,m*0,則由直線》+（2，〃-1）丁+1=0與直線-3犬+加），+3=0垂直，

可得一k—x三=7,解得切=-1或〃?=:,

2m-1m2

故選:C

2.已知公差不為0的等差數(shù)列｛4｝,滿足%,%,小成等比數(shù)列，｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,,

則興言的值為（）

312

A.-B.-C.3D.4

233

【正確答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列性質(zhì)可求出首項(xiàng)和公差的關(guān)系，再利用等差數(shù)

列前n項(xiàng)和公式即可求得表達(dá)式的結(jié)果.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,且4/0,

又滿足4，%，即成等比數(shù)列，即42=4。4,可得（4+2。=4（a,+3"）,

所以q+4d=0,

Sq-S、aA+4~"d1S’—S?1

則"才京YMF所以看方

故選：B.

22

3.拋物線V=8x的焦點(diǎn)到雙曲線看-'=1的漸近線的距離是()

A.百B.2C.qD.-

22

【正確答案】A

【分析】寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和雙曲線的漸近線方程，由點(diǎn)到直線的距離計(jì)算.

【詳解】拋物線寸=8》的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0),雙曲線匕-《=1的漸近線方程是小土y=0,

62

所求距離為d==y/3.

V3+1

故選：A.

ULW1111nllur

4.四棱錐尸—ABCD中，設(shè)3A=q,BC=b,BP=c，PE=^PD.^BE=()

n2rIflr

B.—a+—b——c

333323

2r1r2r

D.-a+-b+-c

323

【正確答案】A

iwn

【分析】根據(jù)空間向量基本定理，先表示出尸。=〃+/?-c，可得尸E=+進(jìn)而根

據(jù)BE=BP+PE，即可得出結(jié)果.

【詳角星】PD=PB+BA+AD=BA+BC—BP=a+b—c，

iun1unr1r1r1r

所以尸￡=一尸。=一。+—/?一一c.

3333

所以BE=BP+PE=c+—a^—b--c=—a+—b+—c.

333333

故選：A.

5.已知，P,Q分別為圓V+y2-8x-8y+28=0與圓/+了2+8］一4了+19=0上的動(dòng)點(diǎn)，A

點(diǎn)為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則IM+IA0的最小值是()

A.7B.8C.11D.14

【正確答案】A

【分析】確定圓心和半徑，求得/+9+8》-4)，+19=0關(guān)于工軸的對(duì)稱的圓的方程，采用

幾何作圖分析，即可確定的最小值.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)丁+尸_8尤—8y+28=0為圓M:(x-4)2+(y-4『=4,半徑H=2,

設(shè)圓x2+y2+8x-4y+19=0為圓N:(x+4)?+(y-2)2=l,半徑廠=1,

設(shè)圓N'與圓N關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)Q'與點(diǎn)。關(guān)于x軸對(duì)稱，

則圓N'的方程為M:(x+4>+(y+2)2=1,

又由Q為N:(x+4>+(y-2)2=l上的動(dòng)點(diǎn)，則。'在圓V上，

連接，設(shè)MM交x軸點(diǎn)A,則有同"+%。=^^+60|,

設(shè)此時(shí)朋N'交圓M與點(diǎn)P,交圓V于。'

在x軸上任取一異于點(diǎn)A的C點(diǎn)，則|CM|+|CN[=|CM|+|CN|>|W|,

則+1AQ|的最小值為|MV1-R-r=J(4+守+(4+2)2-2-1=7,

故選：A.

6.在四棱錐P-ABCD中，PO_L底面ABC￡>,底面A8CD是直角梯形，AB//CD,

ZADC=90°,AB=AD=],PD=8=2,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到PB的距離為

()

R

A.V2C.顯D

22-T

【正確答案】B

【分析】在直角梯形中證明出80,然后由線面垂直的性質(zhì)定理得PCJ_8C,從而得

BC上平面PBD,得出BC_LP3,然后利用中點(diǎn)性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】叨，平面A3C￡>,8Cu平面ABC。，PDLBC,

ABC。是直角梯形，ZADC=90°,AB//CD,AS=AD=1,CD=2,

貝|J8D=及，8c="+(2—1)2=0,所以BCZ+BD=CD?,BCLBD,

BDPD=D,84,POu平面尸皿，所以6C上平面產(chǎn)應(yīng))，又psu平面尸8￡),所以8C_LP8,

即C到直線尸8的距離是正,

E是PC中點(diǎn)，所以E到所的距離等于C到直線總的距離的一半，即為五.

2

故選：B.

7.雙曲線/■-/1(“>02>0)的右焦點(diǎn)恰是拋物線V=2px(p>0)的焦點(diǎn)尸，雙曲線與

拋物線在第一象限交于點(diǎn)A(2,加)，若|河|=5,則雙曲線的方程為()

-)922)2

X-y.nX-21廠廠3rln2yl

AA.---------=1B.y=1C.----------=1D.x-------=1

638368

【正確答案】D

【分析】由拋物線的定義求出。的值，可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可求得點(diǎn)A、尸的方

程，可求得雙曲線的左焦點(diǎn)尸'的坐標(biāo)，利用雙曲線的定義可求得。的值，進(jìn)而可求得6的值,

由此可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】由拋物線的定義可得|4目=2+5=5,可得p=6,故拋物線的方程為丁=12X,

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線方程可得病=24,m>0,解得機(jī)=2",

拋物線r=12.r的焦點(diǎn)為尸(3,0),故雙曲線的左焦點(diǎn)為F(-3,0),

則|4尸［=“2+3)2+(26)2=7,：.2a=\AF'\-\AF\=2,.-.a=l,貝打=^^=20，

因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為犬-亡=1.

8

故選：D.

8.已知橢圓C*+/ie>0>0)的下焦點(diǎn)F(0,—c)(c>0),M點(diǎn)在橢圓C上，線段M/

(Yh-LUIiaw

與圓V+y+:r吟相切于點(diǎn)N,且FN=^NM,則橢圓C的離心率為()

A.-B.叵C.叵D.-

5342

【正確答案】B

|EN|i

【分析】記上焦點(diǎn)為F',圓心為E(0,-C,，由線段成比例得出E7V〃尸'M,且渴=3,于

是有|F'M|=6,然后由橢圓定義和垂直得出關(guān)于a,6,c?齊次等式，化簡(jiǎn)后可求得離心率.

【詳解】如圖，記上焦點(diǎn)為尸，圓心為40,-早，則F'(c,O),連接P/LNE,

2iur1LUU\FN\1\FE\

巾=2c,閥=§c,又FNfNM,則落=丁局，

所以EN"M,局\EN\方1

|EN|=>，則尸M|=6,

由橢圓定義iPMnM—FMKZa-d

又ENLFM,所以F'MLFM,所以從+(2a-與？=0。尸，

2(a2-c2)+/?2=2ab,即3/=2","=

c=yja1-b2=a所以e='=?

3a3

故選：B

9.正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則，將某些整數(shù)染成紅色.先染1；再染3個(gè)偶

數(shù)2,4,6；再染6后面最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)7,9,11,13,15；再染15后面最鄰近的

7個(gè)連續(xù)偶數(shù)16,18,20,22,24,26,28；再染此后最鄰近的9個(gè)連續(xù)奇數(shù)29,31,…,

45；按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列：I,2,4,6,7,9,11,13,15,16,……,

則在這個(gè)紅色子數(shù)列中，由1開始的第2021個(gè)數(shù)是()

A.3991B.3993C.3994D.3997

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題意將染色的所有數(shù)字進(jìn)行分組，找出每組數(shù)字的最后一個(gè)數(shù)與組數(shù)和該組數(shù)

的數(shù)字個(gè)數(shù)的關(guān)系，找出第〃組最后一個(gè)數(shù)在紅色子數(shù)列中所處的位數(shù)，即可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)染色規(guī)律可將染色的所有數(shù)字分組，規(guī)律如下:

第一組：1共1個(gè)數(shù);

第二組:2,4,6共3個(gè)數(shù);

第三組:1,9,11,16,15共5個(gè)數(shù);

第四組:16,18,20,22,24,26,28共7個(gè)數(shù);

第五組:29,31,33,35,37,39,41,43,45共9個(gè)數(shù);

由此規(guī)律可知，第八組最后一個(gè)數(shù)是組數(shù)”與該組的數(shù)字個(gè)數(shù)2〃-1的乘積為〃(2〃-1),且該

數(shù)在組成的紅色子數(shù)列中是第1+3+5+……+2〃-1=〃2個(gè)數(shù)，

易知，當(dāng)”=45時(shí)，即第45組最后一個(gè)數(shù)是452=2025與數(shù)字2021接近，

此時(shí)，紅色子數(shù)列中第2025個(gè)數(shù)為45x(2*45-1)=4005,

所以再往前數(shù)4個(gè)計(jì)數(shù)即為第2021個(gè)數(shù)，該數(shù)為3997.

故選：D

二、填空題

10.已知向量a=(2，〃+l,3,〃?-l),b=(2,m,-m),且.〃〃，則實(shí)數(shù)，"的值為.

【正確答案】-2

【分析】利用向量共線的性質(zhì)，直接計(jì)算求解即可.

(詳解】由題意得(2m+1):2=3:m=(m-r)-.(-m)=>m=-2

故-2

11.隨著雙減政策的落地，小明決定利用寫完作業(yè)后的時(shí)間，進(jìn)行了一次“閱讀經(jīng)典'’的活動(dòng),

閱讀書籍共1200頁.他第一天只讀了10頁，之后采取了積極措施，從第二天起每一天閱讀

的量都比前一天多10頁.這次“閱讀經(jīng)典”活動(dòng)小明一共進(jìn)行的天數(shù)為.

【正確答案】15

【分析】由題意可得小明每天閱讀書籍構(gòu)成了一個(gè)以10頁為首項(xiàng)，以10頁為公差的等差數(shù)

列，設(shè)小明一共閱讀了〃天，然后建立關(guān)于”的方程，求出〃即可.

【詳解】由題意可得，第一天閱讀10頁，第二天閱讀20頁，

小明每天閱讀構(gòu)成了一個(gè)以10頁為首項(xiàng)，以10頁為公差的等差數(shù)列，

根據(jù)題意，設(shè)小明一共閱讀了〃天，則1200=10〃+普10,

解得〃=15或-16(舍去)，所以”=15,

故15.

12.已知直線/：3+丫-2-2初=0與圓/+丫2-2》-8=0相交于4,B兩點(diǎn)，則取最小

值時(shí)直線/的方程是.

【正確答案】x+2y-6=0

【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)(2,2)可知，當(dāng)圓心到直線距離最大時(shí)，弦長(zhǎng)最小，即可得出

直線斜率求得/的方程.

【詳解】由直線/：爾+y—2-2加=0可知，直線/過定點(diǎn)(2,2),

圓x?+-2x-8=0即(x-l)2+丁=9,可得圓心(1,0),半徑r=3；

設(shè)圓心到直線/的距離為d,根據(jù)弦長(zhǎng)公式卜同=2/2--可知,

d最大時(shí)，|A@取最小值，

易知，d的最大值為圓心(1,0)到定點(diǎn)(2,2)的距離,

此時(shí)圓心(1,0)和定點(diǎn)(2,2)的連線與直線/垂直，

可得直線/的斜率f滿足f=得機(jī)=：

所以，直線/的方程為x+2y-6=0

故x+2y-6=0

13.已知拋物線C:V=4y,過點(diǎn)&0,1)作傾斜角為g的直線/,若/與拋物線交于8,C兩

點(diǎn)、,弦8C的中點(diǎn)尸到x軸的距離為.

【正確答案】7

【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式代入即可求解.

【詳解】由題意可知A((),l)為拋物線的焦點(diǎn)，直線/的方程為y=6x+l,

聯(lián)立直線與拋物線的方程［1=-_4瓜_4=0,

x=4y

設(shè)5(不乂),。(孫必)，則石+W=4>Q,

則BC的中點(diǎn)P到x軸的距離為21±匹='(西+々)+2=‘?462=7,

222

故7

14.點(diǎn)P是直線x+y-4=0上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓(x+l)?+(y—1)2=/上>0)的兩條切線

7T

出和PB,A和B是切點(diǎn)，NAP8的最大值是則r的值______.

【正確答案】2

【分析】由切線性質(zhì)得出最大時(shí)，尸與圓心連線垂直于直線/,然后由最大值求得圓

半徑廠.

\AC,,

【詳解】如圖，設(shè)圓心為C,sinZAPC=L^,當(dāng)圓固定時(shí)，|PC|取最小值時(shí)，sin/APC

最大，NAPC是銳角，從而/APC最大,

中2日

由已知C(—l,l),|PC|mi?=

由題意NAPC最大值為三，此時(shí)sinNAPC=」==sin&="，r=2,

42V242

故2.

①已知直線X+百y-2=0,則該直線的傾斜角為2

6

②拋物線20/=y的準(zhǔn)線方程為x=5

③在等差數(shù)列｛4｝中，—<-L若｛4｝的前n項(xiàng)和S“有最小值，則使S“<0時(shí)最大的自然

“1012

數(shù)〃的值為2022

_z、|—〃]M+2,/2>8/八

④己知數(shù)列｛%｝,q=13）（〃eN）若對(duì)于任意（〃eN*）有4>%,則實(shí)

a"~\n<S

數(shù)“取值范圍是

其中正確命題的序號(hào)為.

【正確答案】③

【分析】根據(jù)傾斜角和斜率，拋物線，數(shù)列最值和單調(diào)性等知識(shí)點(diǎn)分別判斷即可.

【詳解】對(duì)于①：直線x+百），-2=0的斜率為k,傾斜角為a,則％=￡=tana,即傾斜

角為已故①錯(cuò)誤；

O

對(duì)于②：拋物線20/=g，即八右y的準(zhǔn)線方程為），=-白，故②錯(cuò)誤；

zu80

對(duì)于③：因?yàn)榈炔顢?shù)列｛q｝中，—<-L所以4。124?！?lt;0,所以如+1="">"+即"2<o,

^101240126012

又因?yàn)椋āǎ那啊?xiàng)和S“有最小值，所以4（）“<0,-2>。，，1+%012<。

c_2022（4+。2。22）_2O22（4o]]+即）]2）,八

d2O22==2<口'

邑g=2023（"；+*）=23即；+即“2）=2023為“2>0,

則使S“<0時(shí)最大的自然數(shù)〃的值為2022,故③正確;

_(|—+〃>8

對(duì)于④：因?yàn)閿?shù)列{q},4=13JnGN)

an-\n<8

若對(duì)于任意(”eN*)有%>%,當(dāng)。2時(shí)凡單調(diào)遞減,

當(dāng)=""7時(shí)4"單調(diào)遞減，且%>。9

所以;<“<1,故④錯(cuò)誤;

故③

三、解答題

16.(1)已知圓M經(jīng)過A(0,0),8(1,1),C(4,2)三點(diǎn)，求圓"的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)在(1)的條件下，求過尸(-1,3)作圓M的切線/,求切線/的方程.

【正確答案】(1)(X-4)2+(>>+3)2=25(2)llx+60y-169=0和下—1

【分析】(1)代入三個(gè)點(diǎn)即可求解圓的一般式方程，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程即可,

(2)根據(jù)相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑即可求解.

【詳解】設(shè)圓M的一般方程為/+丫2+以+@+尸=0(02+￡2-4尸>0),

F=0伊=-8

將4(0,0),8(1,1),C(4,2)代入得，2+0+E+尸=0=,E=6,

20+4D+2E+F=0[F=0

所以M的一般方程為/+y2-8x+6y=0,

故圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)?+(y+3)2=25,

(2)當(dāng)直線無斜率時(shí)，則方程為k-1,此時(shí)直線與圓相切，滿足條件,

當(dāng)直線有斜率時(shí)，設(shè)直線/的方程為k3=4+1),即依-y+3+后=0,

圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為廠=5,

4攵+3+3+攵?I

根據(jù)相切得1~g,=5,解得左=-2,此時(shí)切線方程為：llx+60y-169=0

綜上：切線方程為：Ux+60y-169=0和

17.如圖，在四棱錐尸-中，PAL底面ABC。，底面ABC。為平行四邊形，AC=2,

ZBAC=90°,BC=JI5且抬=3,E是尸。中點(diǎn).

⑴求證：P3〃平面AEC；

（2）求直線PC與平面ACE所成角的正弦值；

（3）在線段PB上（不含端點(diǎn)）是否存在一點(diǎn)M,使得二面角M-AC-E夾角的余弦值為叵?

10

若存在，確定M的位置：若不存在，說明理由.

【正確答案】（1）證明見解析

返

26

（3）存在點(diǎn)M,且

【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明〃平面AEC；

（2）根據(jù)幾何體特征可以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求得直線

PC與平面ACE所成角的正弦值；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)利用共線向量寫出其坐標(biāo)，根據(jù)空間向量求出二面角M-AC-E夾角

的余弦值的表達(dá)式，即可確定M的位置.

【詳解】（1）證明：連接8。交AC于F,連接EE如下圖所示：

因?yàn)榈酌鍭BCQ為平行四邊形，所以F是3。的中點(diǎn)，又E是PD中點(diǎn);

所以PB〃防，

又尸31z平面AEC,EFu平面AEC,

所以，P3〃平面AEC；

(2)由AC=2,ABAC=90°,8C=如得鉆=3,

又因?yàn)镻A_L底面ABC。，所以P4_LA8,P4_LAC；

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC,AB,A/,所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系；如

下圖所示：

則A(0,0,0),5(0,3,0),C(2,0,0),0(2,-3,0),P(0,0,3),E1,一|,|)

設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為〃=(%,y,z),AC=(2,0,0),AE=fl331

9~292J;

nAC=2x=0

所以，33得x=0,令y=l,貝Uz=l；

n-AE=x——y+—z=0

I2-2

即“=(0,1,1).

又PC=(2,0,-3),設(shè)直線PC與平面ACE所成的角為心,

則sina=|cos(n,PC)\=言|=布=嚕)

即直線PC與平面ACE所成角的正弦值為跡.

26

(3)假設(shè)存在點(diǎn)M滿足題意，

^PM=2PB(O<2<1),得M(0,343-34),

設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為〃2=(N，X，Z]),AC=(2,0,0),AM=(0,3/1,3-34),

nvAC=2x,=01

所以《得玉=0,令4=1,得y=1-

m-AM=34,+(3—34)Z]=02

即初=(0』-9,1)；

A,

設(shè)二面角M-AC-E的平面角為巴

1?

化簡(jiǎn)得-92+2=0,解得2或

又因?yàn)槎娼?-AC-后夾角的余弦值為巫，所以兀=工

103

所以，在線段PB上(不含端點(diǎn))存在一點(diǎn)M,且=使得二面角M-AC-E夾角

的余弦值為畫.

10

18.已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和公式為S,,,數(shù)列｛a｝是等比數(shù)列4=1,仇=2,

%+a=23,b4=S4,

⑴求數(shù)列｛%｝和他｝的通項(xiàng)公式；

Q)令c----("cN'),求數(shù)列｛c'｝的前”項(xiàng)和A“，求證：4<1

anati+\2

⑶令4,=(T)"字("eN，),求數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和刀,；

【正確答案】⑴2=2"；

(2)證明見解析;

⑶北=3-5（”）—應(yīng)「

【分析】（1）設(shè)｛4｝的公差為d,｛4｝的公比為4,由已知列方程組求得4g后可得通項(xiàng)公

式;

（2）由裂項(xiàng)相消法求得和4可證得不等式成立;

（3）由錯(cuò)位相減法求和.

【詳解】（1）設(shè)｛見｝的公差為d,｛4｝的公比為4,由已知得:

1+34+2/=23,[d=2

解得〃

2/=4+6〃14=2

所以為=1+2(〃-1)=2〃-1,〃,=2x2"T=2"；

（2）由（1），"=（2”-1；2”+1）=3+一備兀

匚-1八1、1/1、LI1、111

所以A1=7(1-二)+大(二一=)+'+大(^---7—T----7)=——-----；

2323522n—\2n+\24n+22

(-1)"(2?-1)

(3)由⑴d,=

2”

,135(-1)72/7-1)

(=_]+乎>+?

2"

1^135(T)"(2〃-3)+(-1嚴(yán)(2〃-1)

2^=F"F+F++

2"

3122(-If-2(-l),,+l(2n-l)

相減得尹=-5+m->++

T

[|-

1+2]㈠嚴(yán)(2〃-1)n+

1)1尸(-l)'(2?-l)

6丁22,+i

21+1

2

(-1嚴(yán)(2〃-1)

所以7

3x2"

方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：｛〃“｝是等差數(shù)列，且各項(xiàng)均不為0,｛"｝是等比數(shù)列.

（1）公式法；

（2）裂項(xiàng)相消法：數(shù)列｛」一｝常用裂項(xiàng)相消法求和;

—

（3）錯(cuò)位相減法：數(shù)列伍也』常用錯(cuò)位相減法求和；

（4）分組（并項(xiàng)）求和法：數(shù)列｛%+〃｝用分組求和法求和;

（5）倒序相加法：首末兩項(xiàng)及與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的和相等時(shí)，常用倒序相加法求和.

19.橢圓。:￡+￡=1（"＞分＞0）的離心率e=；,過點(diǎn)左頂點(diǎn)為A,過點(diǎn)4作斜

率為我（火工0）的直線/交橢圓C于點(diǎn)。，交y軸于點(diǎn)E,

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）求△OAD面積取最大值時(shí)的&的值.

（3）若P是線段A。的中點(diǎn)，問是否存在x軸上一定點(diǎn)Q,對(duì)于任意的耳心（））都有,

若存在求出。點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由.

【正確答案】⑴/+片=1;

43

（2）k=+—；

2

3

⑶存在Q（-萬,0）滿足題意，理由見解析.

【分析】（1）由已知列出關(guān)于。力，。的方程組求解可得；

（2）設(shè)Q%,%）,由3”=3|。川|%|=|%|,只要|加|最大即可，此時(shí)O為短軸端點(diǎn)，由

此計(jì)算出上值：

（3）由直線/的方程為y=Hx+2）,求出O點(diǎn)坐標(biāo)得中點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求出E點(diǎn)坐標(biāo),

設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)。（〃?，0）,用坐標(biāo)表示出垂直關(guān)系后由恒等式知識(shí)得小的值.

a=2

19

【詳解】（1）由已知/+訴=1,解得＜b=杷，

c=\

a2=b2+c2

所以橢圓方程為》]

=1;

（2）設(shè)。（和，%）,

由⑴得4-2,0）,易知

當(dāng)。為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)|%|最大，此時(shí)。（o,G）或（0,-石），

從而&=4或k="=—；

222

（3）直線/方程為y=瓜x+2）,代入橢圓方程得（3+必2）/+]6心+16欠2-12=0,

易知x=-2是此方程的根，另一根為赤二=，、=「R，

戶點(diǎn)橫坐標(biāo)為％=也匚=-3二,力=k（%+2）,

23+4公

在y=Hx+2）中令x=0得y=2左,即E（0,2Q,

設(shè)。（加,0）,由EQ，。尸得￡。.。戶=0,EQ=（/??,-2k）,OP=（xp,yp）,

mk22

mxP-2kyP=0,--^--2k｛——^^+2）=0,k（2m+