14.3.1提公因式法（解析版）

提公因式法知識點管理知識點管理歸類探究夯實雙基，穩(wěn)中求進歸類探究知識點一：因式分解概念把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.特別說明：（1）因式分解只針對多項式，而不是針對單項式，是對這個多項式的整體，而不是部分，因式分解的結果只能是整式的積的形式.（2）要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算.題型一：判斷是否是因式分解【例題1】（2022·山東青島·八年級期中）下列各式從左到右是分解因式的是（

）A．20=4xy·5 B．+4x－6=(x－1)(x+5)－1C．9－6ab+= D．(a－b)(a+b)=－【答案】C【分析】根據(jù)因式分解的定義，把左邊的多項式因式分解成幾個整式相乘的形式進行判斷即可．【詳解】A選項，左邊是單項式，不符合因式分解的定義，故選項A不符合題意；B選項，右邊是個多項式，沒有因式分解成幾個整式相乘的形式，故選項B不符合題意；C選項，左邊是多項式，分解成右邊幾個整式相乘的形式，故選項C符合題意；D選項，從右往左是分解因式，故選項D不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查因式分解的概念，熟練理解和掌握因式分解的定義是解決本題的關鍵．變式訓練【變式1-1】（2022·江蘇淮安·七年級期中）下列等式從左到右變形，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．由定義進行判斷即可．【詳解】解：A．a(chǎn)（x﹣y）＝ax﹣ay是單項式乘多項式，故不符合題意；B．是多項式乘多項式，故不符合題意；C．x2+2x+1＝（x+1）2，是因式分解，符合題意；D．，因式分解錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查因式分解的意義，牢固掌握因式分解的定義，能夠根據(jù)定義對所給的式子進行判斷是解題的關鍵．【變式1-2】（2022·湖南永州·七年級期中）下列各式從左到右的變形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的定義，因式分解是把多項式寫成幾個整式積的形式，對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】A.原式是整式的乘法，不是因式分解，故本選項不符合題意；B.原式右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項不符合題意；C.原式左右兩邊不相等，故本選項不符合題意；D.原式符合因式分解的定義，是因式分解，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了因式分解的定義，因式分解與整式的乘法是互為逆運算，要注意區(qū)分．【變式1-3】（2022·福建三明·八年級期中）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的定義：把一個多項式變成幾個整式的乘積的形式叫做因式分解，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A、不是把多項式分解成幾個整式的乘積形式，不是因式分解，不符合題意；B、，不是把多項式分解成幾個整式的乘積形式，不是因式分解，不符合題意；C、是多項式乘以多項式，不是因式分解，不符合題意；D、是因式分解，符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查了因式分解的定義，熟知因式分解的定義是解題的關鍵．題型二：利用因式分解求值【例題2】（2022·湖南岳陽·七年級期中）將多項式進行因式分解，得到，則，分別是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】先利用多項式乘多項式法則計算（x-9）（2x-n），根據(jù)乘法與因式分解的關系得到關于m、n的方程，求解即可．【詳解】解：∵（x-9）（2x-n）=2x2-18x-nx+9n=2x2-（18+n）x+9n，又∵2x2+mx-18因式分解得到（x-9）（2x-n），∴2x2+mx-18=2x2-（18+n）x+9n，∴m=-（18+n），9n=-18，∴n=-2，m=-16．故選：B．【點睛】本題主要考查了整式的因式分解，掌握乘法與因式分解的關系是解決本題的關鍵．變式訓練【變式2-1】（2022·四川達州·八年級期中）已知多項式分解因式的結果為，則的值是（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】把根據(jù)乘法法則計算后與比較即可．【詳解】解：=2(x2+x-2x-2)=2x2+2x-4x-4=2x2-2x-4，∵=2x2-2x-4，∴b=-2，c=-4，故選B．【點睛】本題考查了因式分解，以及多項式與多項式的乘法計算，熟練掌握因式分解與乘法運算是互為逆運算的關系是解答本題的關鍵．【變式2-2】（2022·湖南岳陽·七年級期末）多項式可分解為，則a的值是(

)A． B．5 C． D．6【答案】D【分析】根據(jù)多項式乘以多項式及因式分解可進行求解．【詳解】解：由題意得：，∵多項式可分解為，∴；故選D．【點睛】本題主要考查因式分解及多項式乘多項式，熟練掌握因式分解及多項式乘多項式是解題的關鍵．【變式2-3】（2022·廣東深圳·八年級期末）若多項式可分解為，則的值為（

）A．—2 B．—1 C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)因式分解與整式的乘法互為逆運算，把（x-2）（x+b）利用多項式乘法法則展開即可求解．【詳解】解：∵（x-2）（x+b）=x2+bx-2x-2b=x2+（b-2）x-2b=x2-ax-1，∴b-2=-a，-2b=-1，∴b=0.5，a=1.5，∴a+b=2．故選：D．【點睛】本題主要考查了因式分解與整式的乘法互為逆運算．知識點二：公因式多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.特別說明：（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數(shù)，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.題型三：公因式【例題3】（2022·廣西桂林·七年級期中）與的公因式為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)找公因式的方法解答，即可求解．【詳解】解∶與的公因式為．故選：C【點睛】本題主要考查公因式的確定，解題的關鍵在于掌握找公因式的方法：（1）公因式的系數(shù)是多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)；（2）字母取各項都含有的相同字母；（3）相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的是解題的關鍵．變式訓練【變式3-1】（2022·陜西·紫陽縣師訓教研中心八年級期末）多項式中各項的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用公因式的確定方法可得答案，這兩項的系數(shù)1與3，它們的最大公約數(shù)是1；兩項的字母部分a2b3與abc都含有字母a和b，其中a的最低次數(shù)是1，b的最低次數(shù)是1，因此公因式為ab．【詳解】解：∵a2b3與2abc這兩項的系數(shù)1與3，∴它們的最大公約數(shù)是1；∵兩項的字母部分a2b3與abc都含有字母a和b，其中a的最低次數(shù)是1，b的最低次數(shù)是1，∴多項式a2b3+2abc中各項的公因式為ab，故選：A．【點睛】本題考查了公因式，解題的關鍵是掌握確定多項式中各項的公因式的方法，可概括為三“定”：①定系數(shù)，即確定各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②定字母，即確定各項的相同字母因式（或相同多項式因式）；③定指數(shù)，即各項相同字母因式（或相同多項式因式）的指數(shù)的最低次冪．【變式3-2】（2021·陜西銅川·八年級期末）使用提公因式法分解時，公因式是（

）A． B． C．2ab D．【答案】C【分析】在找公因式時，一找系數(shù)的最大公約數(shù)，二找相同字母的最低次冪．同時注意首項系數(shù)通常要變成正數(shù)．【詳解】解：使用提公因式法分解4a2b﹣6ab2+2a3b3時，公因式是2ab．故選：C．【點睛】本題主要考查了公因式的定義，正確理解公因式的概念是解題關鍵．【變式3-3】（2022·河北滄州·八年級期末）將多項式利用提公因式法分解因式，則提取的公因式為（）A． B．a(chǎn)b C．a(chǎn) D．b【答案】D【分析】利用提公因式法進行分解即可．【詳解】解：a2b-2b=b（a2-2），將多項式a2b-2b利用提公因式法分解因式，則提取的公因式為：b，故選：D．【點睛】本題考查了因式分解-提公因式法，熟練掌握因式分解-提公因式法是解題的關鍵．知識點三：提公因式把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．特別說明：（1）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關鍵是準確找出多項式各項的公因式.（3）當多項式第一項的系數(shù)是負數(shù)時，通常先提出“—”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時多項式的各項都要變號.（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現(xiàn)錯誤.題型四：提公因式【例題4】（2021·海南鑫源高級中學八年級期中）因式分解（1）（2）【答案】（1）；（2）；【分析】（1）提出公因式，提公因式法因式分解即可；（2）提出公因式，提公因式法因式分解即可；【詳解】（1）（2）【點睛】本題考查了提公因式法因式分解，掌握提公因式法因式分解是解題的關鍵．變式訓練【變式4-1】（2021·上海市南洋模范初級中學七年級期中）因式分解：﹣6m3n+4mn2﹣2mn．【答案】-2mn(3m2-2n+1)．【分析】原式提取-2mn，即可分解．【詳解】解：-6m3n+4mn2-2mn=-2mn(3m2-2n+1)．【點睛】本題考查了提公因式分解因式，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．【變式4-2】（2021·全國·八年級課時練習）把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【分析】利用提公因式法即可完成．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）【點睛】本題考查了提公因式法分解因式，關鍵是找出公因式，當首項系數(shù)為負時，連負號提出，此時括號里的各項都要改變符號．【變式4-3】（2021·全國·八年級課時練習）把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【分析】用提公因式法即可．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【點睛】本題考查了因式分解的方法——提公因式法，當首項系數(shù)為負時，提公因式時連負號一同提出來．題型五：提多項式公因式【例題5】（2021·海南鑫源高級中學八年級期中）因式分解【答案】【分析】提出公因式，提公因式法因式分解即可；【詳解】【點睛】本題考查了提公因式法因式分解，掌握提公因式法因式分解是解題的關鍵．變式訓練【變式5-1】（2021·江門市第二中學九年級二模）分解因式：______．【答案】【分析】先將提取負號，再提取公因式即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題主要考查的是提公因式法因式分解，解題關鍵是熟練掌握找公因式的方法，以及提負號的方法．【變式5-2】（2021·湖南七年級期中）因式分解（a﹣b）2﹣a+b的結果是_______________．【答案】（a﹣b）（a﹣b﹣1）【分析】先整理，再根據(jù)提取公因式法分解因式即可得出答案．【詳解】解：（a﹣b）2﹣a+b＝（a﹣b）2﹣（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣b﹣1）．故答案為：（a﹣b）（a﹣b﹣1）．【點睛】本題考查了分解因式，熟練掌握提取公因式法分解因式是解題的關鍵．【變式5-3】（2021·常州市第二十四中學七年級月考）因式分解：____________．【答案】【分析】將y(1-m)變形為-y（m-1），再提取公因式即可．【詳解】∵x（m-1）+y(1-m)=x（m-1）-y（m-1），=（x-y）（m-1），故答案為：（x-y）（m-1）．【點睛】本題考查了因式分解，熟練進行代數(shù)式的變形構造公因式是解題的關鍵．題型六：利用提公因式求值【例題6】（2022·貴州黔西·中考真題）已知，，則的值為_____．【答案】6【分析】將因式分解，然后代入已知條件即可求值．【詳解】解：．故答案為：6【點睛】本題考查了因式分解的應用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．變式訓練【變式6-1】（2021·山東）邊長為a，b的長方形，它的周長為10，面積為3，則ab2+a2b的值為__．【答案】15【分析】直接利用矩形周長和面積公式得出ab，a+b，進而利用提取公因式法分解因式得出答案．【詳解】解：∵邊長為a，b的長方形，它的周長為10，面積為3，∴ab＝3，2(a+b)＝10，則，a+b＝5，故ab2+a2b＝ab(a+b)＝3×5＝15，故答案為：15【點睛】此題主要考查了提取公因式法和矩形的性質(zhì)應用，正確分解因式是解題關鍵．【變式6-2】（2021·江蘇蘇州草橋中學七年級期末）若，則________．【答案】15【分析】將原式首先提取公因式xy，進而分解因式，將已知代入求出即可．【詳解】解：∵x?2y＝5，xy＝3，∴．故答案為：15．【點睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確分解因式是解題關鍵．【變式6-3】（2021·江西吉安市·）若x﹣y＝3，xy＝﹣1，則代數(shù)式2x2y﹣2xy2的值為（）A．3 B．-3 C．-6 D．6【答案】C【分析】首先因式分解2x2y﹣2xy2，然后把x﹣y＝3，xy＝﹣1代入，求出算式的值即可．【詳解】解：2x2y﹣2xy2＝2xy（x﹣y）當x﹣y＝3，xy＝﹣1時，原式＝2×（﹣1）×3＝﹣6．故選：C．【點睛】此題主要考查了因式分解的應用，解題關鍵是熟練運用提取公因式法對多項式進行因式分解，樹立整體思想，整體代入求值．鏈接中考體驗真題，中考奪冠鏈接中考【真題1】（2022·山東濟寧·中考真題）下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)因式分解的定義對選項逐一分析即可．【詳解】把一個多項式化成幾個整式積的形式，這種變形叫做因式分解．A、右邊不是整式積的形式，故不是因式分解，不符合題意；B、形式上符合因式分解，但等號左右不是恒等變形，等號不成立，不符合題意；C、符合因式分解的形式，符合題意；D、從左到右是整式的乘法，從右到左是因式分解，不符合題意；故選C．【點睛】本題考查因式分解，解決本題的關鍵是充分理解并應用因式分解的定義．【真題2】（2022·青海·中考真題）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)合并同類項，完全平方公式，平方差公式，因式分解計算即可．【詳解】A.選項，3x2與4x3不是同類項，不能合并，故該選項計算錯誤，不符合題意；B.選項，原式=，故該選項計算錯誤，不符合題意；C.選項，原式=，故該選項計算錯誤，不符合題意；D.選項，原式=，故該選項計算正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了合并同類項，完全平方公式，平方差公式，因式分解，注意完全平方公式展開有三項是解題的易錯點．【真題3】（2022·廣西柳州·中考真題）把多項式a2+2a分解因式得（）A．a(chǎn)（a+2） B．a(chǎn)（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）【答案】A【分析】運用提公因式法進行因式分解即可．【詳解】故選A【點睛】本題主要考查了因式分解知識點，掌握提公因式法是解題的關鍵．【真題4】（2022·廣東廣州·中考真題）分解因式：________【答案】【分析】直接提取公因式3a即可得到結果．【詳解】解：．故答案為：【點睛】本題考查因式分解，解本題的關鍵是熟練掌握因式分解時有公因式要先提取公因式，再考慮是否可以用公式法．【真題5】（2022·江蘇常州·中考真題）分解因式：______．【答案】xy(x+y)【分析】利用提公因式法即可求解．【詳解】，故答案為：．【點睛】本題考查了用提公因式法分解因式的知識，掌握提公因式法是解答本題的關鍵．滿分沖刺能力提升，突破自我滿分沖刺【拓展1】（全國七年級課時練習）若，，則之值為何？（）.A．101 B．－101 C．808 D．－808【答案】D【分析】先提取公因式101，然后利用數(shù)的拆分進行簡便計算，從而求解.【詳解】======【點睛】本題考查提取公因式進行簡便計算，準確進行數(shù)的拆分使計算簡便是解題關鍵.【拓展2】（2020·全國八年級課時練習）化簡：，且當時，求原式的值．【答案】，-1【分析】原式逐步提取公因式，計算即可得到結果．【詳解】解：原式……∴當時，原式．【點睛】此題考查了因式分解-提公因式法，熟練掌握提取公因式的方法是解本題的關鍵．【拓展3】（2020·華南師范大學中山附屬中學八年級期中）“閱讀素養(yǎng)的培養(yǎng)是構建核心素養(yǎng)的重要基礎，華師中山附中以實施百書計劃為突破口，著力提升學生的核心素養(yǎng)．”全校師生積極響應和配合，開展各種活動豐富其課余生活．在數(shù)學興趣小組中，同學們從書上認識了很多有趣的數(shù)，其中有一個“和平數(shù)”引起了同學們的興趣．描述如下：一個四位數(shù)，記千位上和百位上的數(shù)字之和為x，十位上和個位上的數(shù)字之和為y，如果x=y，那么稱這個四位數(shù)為“和平數(shù)”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因為x=y，所以1423是“和平數(shù)”．(1)直接寫出：最大的“和平數(shù)”是___．(2)將一個“和平數(shù)”的個位上與十位上的數(shù)字交換位置，同時，將百位上與千位上的數(shù)字交換位置，稱交換前后這兩個“和平數(shù)”為“相關和平數(shù)”，例如：1423與4132為“相關和平數(shù)”．設任意一個“和平數(shù)”千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，則該“和平數(shù)”和它的“相關和平數(shù)”的數(shù)值分別為：“和平數(shù)”值，“相關和平數(shù)