第四章第01講認識三角形(9類熱點題型講練)（原卷版）

第01講認識三角形(9類熱點題型講練)1.理解三角形及與三角形有關的概念,掌握它們的文字、符號語言及圖形表述方法；2.理解并會應用三角形三邊間的關系；3.理解三角形的高、中線、角平分線的概念，學會它們的畫法.知識點01三角形的概念三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次聯(lián)結所組成的圖形.知識點02三角形的分類(1)按邊分類可以分為；(2)按角分類可以分為知識點03三角形基本元素角與邊的有關定理(1)三角形的內角和等于.(2)直接三角形兩個銳角互余.(3)三角形的任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.知識點04三角形的中線、角平分線、中線三角形的高：從三角形的一個頂點向對邊作垂線，頂點與垂足之間的線段；三角形的中線：聯(lián)結三角形一個頂點與對邊中點的線段；三角形的重心：三角形有三條中線，它們交于三角形內一點．這點稱為三角形重心。三角形的角平分線：三角形的一個內角的角平分線與對邊相交于一點頂點與交點之間的線段；三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語言從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段．三角形一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段．圖形語言作圖語言過點A作AD⊥BC于點D．取BC邊的中點D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點D．標示圖形符號語言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點D是BC邊的中點．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語言因為AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因為AD是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因為AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內．—與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長線)交于一點．一個三角形有三條中線，它們交于三角形內一點．一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內一點．題型01三角形的識別與有關概念【例題】（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）如圖，在中，邊BE所對的角是，所對的邊是；在中，邊AE所對的角是，所對的邊是；以為內角的三角形有．【變式訓練】1．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）觀察圖形．(1)圖中有幾個三角形？把它們一一寫出來；(2)寫出的邊、頂點及三個內角；(3)以為內角的三角形有哪些？(4)以AB為邊的三角形有哪些？2．（2023·全國·八年級課堂例題）如圖所示，在中，點，分別在，上，交于點．(1)圖中有幾個三角形？把它們一一寫出來．(2)寫出以為內角的三角形．(3)寫出的對邊．(4)寫出以線段為邊的三角形．題型02三角形的分類【例題】（2023上·河南周口·八年級?？茧A段練習）如圖均表示三角形的分類，下列判斷正確的是（

）A．①對，②不對 B．①不對，②對 C．①、②都不對 D．①、②都對【變式訓練】1．（2023上·河北廊坊·八年級校考階段練習）如圖，一個三角形紙片被一塊長方形木板遮擋了一部分，則該三角形是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上均有可能2．（2023上·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）若如圖表示三角形分類，則下列說法正確的是（

）A．表示等邊三角形 B．表示銳角三角形C．表示等腰三角形 D．表示三邊都不相等的三角形題型03構成三角形的條件【例題】（2024上·新疆阿克蘇·八年級統(tǒng)考期末）下列長度的三條線段，不能構成三角形的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，【變式訓練】1．（2024上·廣西百色·八年級統(tǒng)考期末）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（

）A．5，6，12 B．4，4，8 C．2，3，4 D．2，3，52．（2024上·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）用下列長度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、題型04確定第三邊的取值范圍【例題】（2024上·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）兩根木棒的長度分別為，取第三根木棒，使它們首尾順次相接組成一個三角形，則第三根木棒的長度可以是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2024上·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）已知一個三角形兩邊長分別為2，6，則第三邊長可以為（）A．3 B．4 C．7 D．92．（2024上·重慶巴南·八年級統(tǒng)考期末）一木工師傅準備用三根木條做一個三角形形狀的模具，現(xiàn)在已有兩根長度分別為、的木條，選擇下列長度的木條能做成三角形模具的是（

）A． B． C． D．題型05畫三角形的高【例題】（2023下·浙江·九年級階段練習）下面四個圖形中，線段是的高的是（

）A．B．C．D．【變式訓練】1．（2023下·江蘇·七年級階段練習）在中，畫出邊上的高，畫法正確的是（

）A．B．C．D．2．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）如圖，．（1）在中，邊上的高是；（2）在中，邊上的高是．題型06根據三角形的中線求長度【例題】（2023上·全國·八年級專題練習）如圖，已知是的邊上的中線，若，的周長比的周長多，則．【變式訓練】1．（2024上·重慶江津·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，、分別是邊上的高和中線，，，則＝．2．（2023上·山西大同·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，為邊上的中線，已知，，的周長為20，則的周長為．題型07根據三角形的中線求面積【例題】（2024上·云南普洱·八年級統(tǒng)考期末）已知：如圖所示，在中，點分別為的中點，且，則陰影部分的面積為．【變式訓練】1．（2023下·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，中，點D在邊上且，點E為邊上中點，和相交于點M，比的面積大2，則的面積為．2．（2023上·河南商丘·八年級統(tǒng)考期中）如圖，為的中線，為的中線．(1)若，，求的度數(shù)．(2)作的邊上的高，若的面積為，，求的面積．題型08重心的概念及有關應用【例題】（2023上·北京海淀·八年級?？计谥校┤鐖D中的每個小方格都是邊長為1的正方形，點A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格點上，則表示三條中線的交點是．【變式訓練】1．（2023上·全國·八年級課堂例題）如圖，小明用鉛筆可以支起一張質地均勻的三角形卡片，則他支起的這個點應是三角形的交點．2．（2022上·北京朝陽·八年級?？计谥校┫铝袌D中的都表示一塊質地均勻的木板．圖①中，點D、E、F分別是的中點；圖②中，分別是的三條高線；圖③中，分別是的三條角平分線；圖④中，a、b、c分別是的三邊的垂直平分線．用一根細針頂住O點，能使三角形木板保持平衡的圖是．題型09三角形角平分線的定義【例題】（2022上·四川綿陽·八年級東辰國際學校?？计谥校┫铝姓f法正確的是（）A．三角形的三條中線交于一點B．三角形的角平分線是射線C．三角形的高所在的直線交于一點，這一點不在三角形內就在三角形外D．三角形的一條角平分線能把三角形分成兩個面積相等的三角形【變式訓練】1．（2020上·八年級課時練習）如圖，某地有三個車站A，B，C，順次連接AB，BC，CA，構成三角形，一輛公共汽車從B站前往C站．（1）當汽車行駛到點D時，剛好有，連接AD，AD這條線段是中BC邊上的____________，在中，這樣的線段有____________條，此時____________（填“有”或“沒有”）面積相等的三角形；（2）汽車繼續(xù)向前行駛，當行駛到點E時，發(fā)現(xiàn)，那么AE這條線段是中的____________，在中，這樣的線段有____________條；（3）汽車繼續(xù)向前行駛，當行駛到點F時，發(fā)現(xiàn)，那么AF是中BC邊上的____________，在中，這樣的線段有____________條．2．（2023下·江蘇泰州·七年級?？茧A段練習）如圖：中，點D在上，且，E是的中點，交于點F.(1)寫出圖中哪條線段是哪個三角形的角平分線，哪條線段是哪個三角形的中線？(2)若，且的面積為3，求出的面積.一、單選題1．（2024上·山東威海·七年級統(tǒng)考期末）下列選項中的三條線段，能圍成一個三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（2024上·重慶豐都·八年級統(tǒng)考期末）若某三角形的三邊長分別為2，8，m，則m的值可以是（

）A．6 B．7 C．10 D．113．（2024上·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）如圖是一個鈍角，利用一個直角三角板作邊上的高，下列作法正確的是（

）A． B．

C．

D．

4．（2024上·內蒙古包頭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，，，則∠2的度數(shù)為（）A．105° B．108° C．117° D．135°5．（2024上·江西南昌·八年級南昌市第三中學校聯(lián)考期末）如圖，在中，D，E，F(xiàn)分別是的中點，，則陰影部分的面積等于（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2024上·河南商丘·八年級統(tǒng)考期末）若一個三角形的兩邊長分別是2和3，第三邊的長為奇數(shù)．則第三邊的長為．7．（2023上·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是外角的平分線，，，則的度數(shù)是．8．（2024上·河南鄭州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點D，E分別在的邊上，且，點F在邊的延長線上，若，，則．9．（2024上·北京朝陽·八年級統(tǒng)考期末）在中，，D，E是邊上的兩點，且，有下列四個推斷：①若是的高，則可能是的中線；②若是的中線，則不可能是的高；③若是的角平分線，則可能是的中線；④若是的高，則不可能是的角平分線．上述推斷中，所有正確結論的序號是．10．（2024上·河北石家莊·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，的面積為1，分別倍長（延長一倍），，得到；再分別倍長，，得到，則的面積為；……，按此規(guī)律，倍長2022次后得到的面積為．三、解答題11．（2023上·湖南湘西·八年級?？茧A段練習）如圖，在的網格中的每個小正方形邊長都是1，每個小正方形的頂點稱作格點，的頂點都在格點上，按要求作圖：(1)請畫出的高；(2)請畫出的中線；(3)求出的面積．12．（2023上·全國·八年級專題練習）在中，，．(1)若是整數(shù)，求的長；(2)已知是的中線，若的周長為10，求三角形的周長．13．（2023上·湖南長沙·八年級?？奸_學考試）如圖，是的中線，是的中線．(1)在中作邊上的高．(2)若的面積為，，則點到邊的距離為多少？14．（2023上·廣東肇慶·八年級?？茧A段練習）如圖，已知中，，．(1)畫邊上的中線，并求長；(2)畫邊上的高，若，求的面積．15．（2024上·江西南昌·八年級南昌市第三中學校聯(lián)考期末）如圖，在中，分別為的中線和高，為的角平分線．(1)若，求的大小．(2)若的面積為40，，求的長．16．（2023上·四川德陽·八年級四川省廣漢中學?？茧A段練習）如圖，是外角的平分線，且交的延長線于點E．(1)若，，求的度數(shù)；(2)請你寫出、、三個角之間存在的等量關系，并寫出證明過程．17．（2019下·甘肅慶陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，為的中線，為的中線．若，則________；