2022-2023學(xué)年上海市浦東新區(qū)民辦遠(yuǎn)翔實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含詳解

上海浦東新區(qū)民辦遠(yuǎn)翔實(shí)驗(yàn)學(xué)校2022學(xué)年度第一學(xué)期期中考試

初三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷

（時(shí)間：100分鐘總分：150分）

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿(mǎn)分24分）

1.拋物線(xiàn)y=/+3x-4的對(duì)稱(chēng)軸是（）

33

A直線(xiàn)尤=3；B.直線(xiàn)x=—3；C.直線(xiàn)元=一；D.直線(xiàn)x=---.

22

2.RtZVlBC中，ZC=90°,那么sinNB等于（）

BC

D.

~AC

3.如圖，在平行四邊形ABC。中，若E為C7）中點(diǎn)，且AE與交于點(diǎn)F,則,.EDF與的周長(zhǎng)比為（）

4.如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度為1:3,若它把物體從地面點(diǎn)4處送到離地面2米高的B處，則物體從A到

3所經(jīng)過(guò)的路程為（）

A.6米B.9米C.2而米D.3標(biāo)米

5.已知e是一個(gè)單位向量，〃是非零向量，那么下列等式正確的是（）

11_1,

A.?=aB.1平=1C-曠e

6.如圖，在RtaABC中，ZC=90°,BC=2,ZB=60°,OA的半徑為3,那么下列說(shuō)法正確的是（)

A.點(diǎn)B、點(diǎn)C都在。A內(nèi)B.點(diǎn)C在。A內(nèi)，點(diǎn)B在OA外

C.點(diǎn)B在。A內(nèi)，點(diǎn)C在。A外D.點(diǎn)B、點(diǎn)C都在。A外

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿(mǎn)分48分）

7.如果3=P,那么土生的值等于.

53a+b

8.拋物線(xiàn)y=(x-1)2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

9.計(jì)算：tan600-sin450=.

10.計(jì)算：a—3(a—.

11.己知點(diǎn)尸是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，AP>PB.若AB=2,則AP=.

12.如果兩個(gè)相似三角形面積比是1:4,那么它們的周長(zhǎng)比是.

13.將拋物線(xiàn)y=-(x-l)2+2向左平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位，所得到的拋物線(xiàn)的解析式為

14.如圖，在。。中，渺=為C,NB=70°，則NBAC=

15.離旗桿20米處的地方用測(cè)角儀測(cè)得旗桿頂?shù)难鼋菫閏,如果測(cè)角儀高為1.5米.那么旗桿的高為

米(用含。的三角函數(shù)表示).

16.如圖，在RtZ\ABC中，NACB=90。，AC=6,點(diǎn)G是AABC的重心，GH±BC,垂足是H,則GH的長(zhǎng)為

17.如圖，正方形A8CQ中，點(diǎn)E是8C的中點(diǎn)，將正方形ABCD沿AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)尸處，延長(zhǎng)爐交CO

于點(diǎn)P,若AB=6,則。。的長(zhǎng)為

18.已知拋物線(xiàn)y=/—2元一〃與x軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)y=f+2x-〃與x軸交于C、。兩點(diǎn)，其中〃>0,

若A￡>=2BC,則"的值為.

三、解答題：（本大題共7題，滿(mǎn)分78分）

19.計(jì)算：---------------sin30°-cot45°.

sin600-cos60°

20.如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,CD=6,點(diǎn)、E、F分別在兩腰上，且所〃A￡）,AE：￡3=2:1.

（1）求線(xiàn)段CE的長(zhǎng)；

（2）設(shè)A8="，A￡>=b，求作EC在a和方向上分向量.

21.如圖，己知在48c中，ZACB=90°,SLAB于點(diǎn)。，AC=2,BD=3,

（1）求A￡>的長(zhǎng)；

（2）如果。產(chǎn)過(guò)AB的中點(diǎn)E,且滿(mǎn)足CE=CB,求N尸的正切值.

22.如圖，熱氣球探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為60?？催@棟高樓底部的俯角為30。熱氣球與高樓

的水平距離AO為120米，請(qǐng)問(wèn)：這棟高樓的樓高CB為多少米？（百a1.732,結(jié)果精確到01米）

B

23.已知：如圖，在△ABC中，AO是邊BC上的中線(xiàn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段BO上，且過(guò)點(diǎn)B作BF〃4C,交線(xiàn)

段AE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.

(1)求證：AC=3BF；

(2)如果榭-近型)，求證：與立，.遍!」疝耳潼.

24.已知拋物線(xiàn)了=/+加+。與彳軸交于4(1,0)、8(3,0)兩點(diǎn)，且與),軸的公共點(diǎn)為點(diǎn)C,設(shè)該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為

D.

(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式，并求出頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)戶(hù)為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足尸3=PC,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

DF1

(3)連接CD,8C,點(diǎn)E為線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作砂工CO交CO于點(diǎn)尸，若一=—,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

CF2

4

25.如圖，平行四邊形ABC。中，AB=5,BC=7,sin8=不，點(diǎn)尸是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線(xiàn)AD上,

滿(mǎn)足NAPQ=NAOC,直線(xiàn)P。與直線(xiàn)8交于點(diǎn)E,射線(xiàn)AP與直線(xiàn)C￡)交于點(diǎn)F,

(1)求證：△ABPS^Q州；

(2)當(dāng)點(diǎn)0在線(xiàn)段AD上時(shí)，設(shè)8P=x,AQ=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域;

(3)若CE=5PC,求BP的長(zhǎng).

上海浦東新區(qū)民辦遠(yuǎn)翔實(shí)驗(yàn)學(xué)校2022學(xué)年度第一學(xué)期期中考試

初三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿(mǎn)分24分）

1.拋物線(xiàn)＞=/+3*-4的對(duì)稱(chēng)軸是（）

33

A.直線(xiàn)x=3；B.直線(xiàn)％=-3；C.直線(xiàn)x=一；D.直線(xiàn)x=一-.

22

【答案】D

【分析】把拋物線(xiàn)解析式化為頂點(diǎn)式即可得到答案.

【詳解】解：...拋物線(xiàn)解析式為y=f+3x—4=（x+m）-年，

3

拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=—-,

2

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，熟知對(duì)于二次函數(shù)y=。（%—〃）2+女（a力0）的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)

x=/i是解題的關(guān)鍵.

2.在RtZ\ABC中，ZC=90°,那么sin/3等于（）

ACBCACBC

A.---B.---C.---D.---

ABABBCAC

【答案】A

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出sinB等于/B的對(duì)邊除以斜邊，即可得出答案.

［詳解］

根據(jù)在△ABC中，ZC=90°,

那么sinB，噌警二生，

斜邊AB

故答案選A.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是銳角三角函數(shù)的定義,解題的關(guān)鍵是熟練的掌握銳角三角函數(shù)的定義.

3.如圖，在平行四邊形ABC。中，若￡為CO中點(diǎn),且AE與3。交于點(diǎn)E則與△鉆戶(hù)的周長(zhǎng)比為（）

DEc

A.1:2B.1:4C.1:3D.1:9

【答案】A

【分析】先證明△EOEs&WR，然后根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似之比進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???四邊形ABCD是平行四邊形,

AAB//CD,AB=CD,

：.MDFs^ABF,

為C。中點(diǎn),

DE=-CD=-AB,

22

CAFDFDE1

=—=T（C表示周長(zhǎng)）,

CGABFAB2

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟知相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似之

比是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度為1:3,若它把物體從地面點(diǎn)A處送到離地面2米高的B處，則物體從A到

8所經(jīng)過(guò)的路程為（）

A.6米B.加米C.2河米D.3V10米

【答案】C

【分析】過(guò)點(diǎn)B作3C±AC于點(diǎn)C,構(gòu)造直角一A8C求出A3的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作BC±AC于點(diǎn)C,

?.?傳送帶和地面所成斜坡的坡度為1:3,

BC_1

AC-3

/.AC=6米,

在Rt^ABC中，NACB=9O。，由勾股定理得AB=dAC?+BC?=,6?+2?=2M米，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角

形.

5.已知e是一個(gè)單位向量，“、〃是非零向量，那么下列等式正確的是（）

A.麻=0B.\e\b=bc,訃=，D."才

【答案】B

【分析】長(zhǎng)度不為0的向量叫做非零向量，向量包括長(zhǎng)度及方向，而長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量,

注意單位向量只規(guī)定大小沒(méi)規(guī)定方向，則可分析求解.

【詳解】A.由于單位向量只限制長(zhǎng)度，不確定方向，故錯(cuò)誤：

B.符合向量的長(zhǎng)度及方向，正確；

C.得出的是a的方向不是單位向量，故錯(cuò)誤；

D.左邊得出的是a的方向，右邊得出的是b的方向，兩者方向不一定相同，故錯(cuò)誤.

故答案選B.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平面向量.

6.如圖，在RtaABC中，ZC=90°,BC=2,NB=60°,OA的半徑為3,那么下列說(shuō)法正確的是（）

A.點(diǎn)B、點(diǎn)C都在OA內(nèi)B.點(diǎn)C在。A內(nèi)，點(diǎn)B在OA外

C.點(diǎn)B在。A內(nèi)，點(diǎn)C在。A外D.點(diǎn)B、點(diǎn)C都在。A外

【答案】D

【分析】先求出AB的長(zhǎng)，再求出AC的長(zhǎng)，由B、C到A的距離及圓半徑的長(zhǎng)的關(guān)系判斷B、C與圓的關(guān)系.

【詳解】由題意可求出NA=30°,，AB=2BC=4,由勾股定理得AC=1儂_6c2=2后,

AB=4>3,AC=26>3,.??點(diǎn)B、點(diǎn)C都在。A外.

故答案選D.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿(mǎn)分48分）

7.如果色=2,那么色二匕的值等于.

53a+b

【答案】；

4

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，可用b表示a,根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案.

【詳解】解：由色=匕，得a=生

533

當(dāng)2=史時(shí)，

3

5bL2b

a-b_3____=J_=_L

a+b5b,8b4'

——+b——

33

故答案為一.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，利用了比例的性質(zhì)，分式的性質(zhì).

8.拋物線(xiàn)y=(x-l)2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

【答案】(1,3)

【分析】根據(jù)頂點(diǎn)式：y=a(x-/?)2+上的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k)即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】解：由頂點(diǎn)式可知：y=(x-iy+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,3).

故答案為(1,3).

【點(diǎn)睛】此題考查的是求頂點(diǎn)坐標(biāo)，掌握頂點(diǎn)式：y=a(x-左的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k)是解決此題的關(guān)鍵.

9.計(jì)算：tan600-sin450=.

【答案】V3--

2

【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算法則求解即可.

【詳解】解：tan60°-sin450=G-也，

2

故答案為：V3-—,

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值，熟知60度角的正切值和45度角的正弦值是解題的關(guān)鍵.

io.計(jì)算：4—3(4—5/?)=,

【答案】-2a+b

【分析】根據(jù)向量的相關(guān)計(jì)算法則求解即可.

［詳解］解："30—1］

111

=a—3a+b

=—2a+b-

故答案為：—2a+b.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的計(jì)算，熟知向量的相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵.

11.已知點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，AP>PB.若AB=2,則4P=.

【答案】V5-l##-l+V5

【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知AP是較長(zhǎng)線(xiàn)段；則AP=叵1A8,代入數(shù)據(jù)即可得出AP的長(zhǎng).

2

【詳解】解：由于P為線(xiàn)段A8=2的黃金分割點(diǎn)，且AP是較長(zhǎng)線(xiàn)段；

則AP=2x告1=6-1，

故答案為：V5-1.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割點(diǎn)即線(xiàn)段上一點(diǎn)把線(xiàn)段分成較長(zhǎng)和較短的兩條線(xiàn)段，且較長(zhǎng)線(xiàn)段的平方等于較短線(xiàn)

段與全線(xiàn)段的積，熟練掌握黃金分割點(diǎn)的公式是解題的關(guān)鍵.

12.如果兩個(gè)相似三角形的面積比是1:4,那么它們的周長(zhǎng)比是.

【答案】1：2

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形面積的比等于相似比的平方，周長(zhǎng)的比等于相似比，即可完成.

【詳解】???相似三角形面積的比等于相似比的平方

???兩個(gè)相似三角形的相似比為1：2

:兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比

兩個(gè)三角形周長(zhǎng)的比等于1：2

故答案為：1：2

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵.

13.將拋物線(xiàn)y=-(x-1『+2向左平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位，所得到的拋物線(xiàn)的解析式為

【答案】y=—(x+l『+l

【分析】先求出原拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平移方式確定平移后的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得到答案.

【詳解】解：???原拋物線(xiàn)解析式為y=-(x—iy+2,

.?.原拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),

???將拋物線(xiàn)丁=—(%—1)2+2向左平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位，所得到的拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為

???平移后的拋物線(xiàn)解析式為y=—(x+l)2+l,

故答案：y=—(x+l7+I.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的平移，正確根據(jù)平移方式求出平移后的拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在中，舫=注。，AB=70°（則NB4C=

【答案】40°##40度

【分析】根據(jù)同圓中等弧所對(duì)圓周角相等，求出/C的度數(shù)，即可利用三角形內(nèi)角和定理求出/B4c的度數(shù).

【詳解】解：?.?在0。中,AB=AC，

,NC=ZB=70。，

ZA4C=180°-ZB-ZC=40°,

故答案為：40°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等弧所對(duì)的圓周角相等，三角形內(nèi)角和定理，正確求出NC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

15.離旗桿20米處的地方用測(cè)角儀測(cè)得旗桿頂?shù)难鼋菫閍,如果測(cè)角儀高為1.5米.那么旗桿的高為

米（用含a的三角函數(shù)表示）.

【答案】1.5+20tana

【分析】由題意得，在直角三角形中，知道了己知角的鄰邊求對(duì)邊，用正切值計(jì)算即可.

【詳解】根據(jù)題意可得：旗桿比儀器高20tana,測(cè)角儀高為1.5米，

L5米|]

2睞

故旗桿的高為（1.5+20tana）米.

故答案為1.5+20tana

【點(diǎn)睛】考查解直角三角形的應(yīng)用，屬于仰角問(wèn)題,要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，在Rt/XABC中，/ACB=90。，AC=6,點(diǎn)G是AABC的重心，GH1BC,垂足是H,則GH的長(zhǎng)為

B\

【答案】2

GDiGD1

【分析】如圖，連接AG并延長(zhǎng)AG交BC于D,由重心的性質(zhì)可知一=一，可得——=一,由GH±BC,ZACB=90°

AG2AD3

可得GH//BC,根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理即可得答案.

【詳解】如圖，連接AG并延長(zhǎng)AG交BC于D,

?點(diǎn)G是4ABC重心，

GD1

?AG=2GD,nn即-一,

AG2

GD

?由GH_LBC,ZACB=90°,

.GH//BC,

GD_GH

'AD-AC'

,AC=6,

GD1

?GH=AC-=6X—=2，

AD3

故答案為：2

【點(diǎn)睛】此題考查的是重心的性質(zhì)和平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，掌握重心的性質(zhì)，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理

列比例式是解決此題的關(guān)鍵.

17.如圖，正方形A8C。中，點(diǎn)E是8。的中點(diǎn)，將正方形A8CO沿AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)尸處，延長(zhǎng)Eb交CO

于點(diǎn)P,若A3=6,則OP的長(zhǎng)為.

【答案】2

【分析】如圖所示，連接AP,先由折疊和正方形的性質(zhì)得到A尸=A￡>,NAFP=ND=90°,由此證明

RtAADWRtAAEP(HL),則￡>p=EP，由E是BC的中點(diǎn)，得到所=3E=CE=3,設(shè)DP=EP=x,

則EP=x+3,CP=6-x,在RtAPCE中，由勾股定理得：(x+3)2=32+(6-x)2,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：如圖所示，連接AP,

:四邊形ABC。正方形，

:.AB=BC=CD=AD=&NB=NC=ND=90。,

由折疊的性質(zhì)可知4尸=AB,NAFE=NB=90°,FE=BE,

AF=AD,ZAFP=ZD=90°,

又：AP=AP，

RtAADP^RtAAFP(HL),

/.DP=FP，

是BC的中點(diǎn)，

EF=BE=CE、BC=3,

2

設(shè)DP=FP=x,則EP=x+3,CP=6-x,

在RtZ\PC￡中，由勾股定理得：PE2=CP2+CE2，

，(X+3)2=32+(6—X)2,

解得x=2,

；?DP=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)

造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

18.已知拋物線(xiàn)y=x2-2%-〃與x軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)y=x?+2x—〃與x軸交于C、。兩點(diǎn)，其中〃>0,

若AD=2BC,則〃的值為.

【答案】8

【分析】先求出拋物線(xiàn)y=d+2x—〃與x軸的交點(diǎn)，拋物線(xiàn)y=——2x—〃與x軸的交點(diǎn)，然后根據(jù)

AD=2BC,得出A￡>2=4BC2,列出關(guān)于”的方程，解方程即可.

2

【詳解】解：把y=0代入y=/+2x—〃得：x+2x-n=o,

解得：百=2^7^=_]_后,“2+^T^=_]+的

把y=0代入y=f-2》-〃得：X2-2x-n=0<

布紅俎2—,4+4"r2+:4+4〃r

解得：%,=-----------=1-Vl+tt-%=--------------=l+Jl+〃，

22

,/AD=2BC,

???AD2=4BC2，

,拋物線(xiàn)y=Y+2x-〃與拋物線(xiàn)y=J?-2x-〃中的二次項(xiàng)系數(shù)相同,

AAB=CD（兩個(gè)函數(shù)可以通過(guò)平移得到）,

又：AD=2BC,

如下圖所示，點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)O右側(cè),

二(玉-xj=4(/一七)，即(一1一J1+〃-1-J1+")=4(-1+J1+〃-1+J1+”),

(-1-J1+〃)=4?1+J1+",

令Jl+〃=m，則(一1—m)-=4(1—a)-,

解得：肛=§,加2=3,

11O

當(dāng)町=-時(shí)，\Jl+n,解得：n=-一，

339

：〃〉0,

Q

??.〃=-1不符合題意舍去；

當(dāng)m2=3時(shí)，J1+及=3，解得：〃=8,

V8＞0,

〃=8符合題意；

綜上分析可知，〃的值為8,

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)題意用"表示出4/52=dBO?,列出關(guān)于〃的方程是解

題的關(guān)鍵.

三、解答題：（本大題共7題，滿(mǎn)分78分）

19.計(jì)算：----------------sin30°-cot45°.

sin600-cos60°

【答案】V3+—

2

【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算法則求解即可.

]

【詳解】解:-sin30°-cot45°

sin60°-cos60°

1xl

_14

22

24+1)1

(6+1)(6-1)2

V3+1--

2

gg.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算，熟知相關(guān)特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，梯形ABC￡＞中，AD//BC,CD=6,氤E、尸分別在兩腰上，且防〃AE：EB=2:1.

（2）設(shè)A8=a，AD=b＞求作EC在a和2j方向上的分向量.

【答案】（1）CF=2

（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理求解即可；

UUUUUU

（2）以A為圓心，以6c的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與AO交于G,連接CG交所于〃，則即為所求;

【小問(wèn)1詳解】

解：VAD//BC,EF//AD,

.AEDF

"EB-FC）

AEtEB=2:1,

?DF2

??=—，

FC1

：.CF=-CD=2；

3

【小問(wèn)2詳解】

UUUUUU

解：如圖所示，EH、HC即為所求;

'：AG//BC,AG=BC

四邊形ABCG是平行四邊形，

CH//BE,

...四邊形是平行四邊形，

UUUUUU

EH、HC即為所求.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，平行四邊形的性質(zhì)與判定，畫(huà)向量的分向量等等，熟知相關(guān)

知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，已知在中，NACB=90°,COLAB于點(diǎn)。，AC=2,BD=3,

ADEB

（1）求A￡>的長(zhǎng)；

（2）如果。產(chǎn)過(guò)AB的中點(diǎn)E,且滿(mǎn)足CE=CB,求N尸的正切值.

【答案】（1）AD=1

⑵2+V3

【分析】（1）先證明△ACDS/SCB。得到CD?=3AO，再由勾股定理得到3AD=4-4￡>2,由此求解即可；

（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BH1CF于H,先解直角三角形求出NA=60。，進(jìn)而求出CE=2百，再由直角三

角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半得到AE=CE=5E=2,即可證明△AEC是等邊三角形，則

NBEH=NAEC=60。,解直角三角形求出硝、BH,進(jìn)而求出FH即可得到答案.

【小問(wèn)1詳解】

解：；ZAC8=90°,CD±AB,

：.ZADC=NBDC=90°,ZACD+/BCD=90°,

/.NA+NACD=90。，

ZA=/BCD,

：.AACD（^Z\CBD,

.ADCD

??—，

CDBD

'-CD2=ADBD=3AD>

在RtADC中，由勾股定理得CD2=AC2-AD2，

3AD=4-Ah，

，A￡>=1（負(fù)值舍去）

【小問(wèn)2詳解】

解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BH上CF于H,

由（1）得AT>=1,

AD1,

..cosAx———=—,Afi=AD+BD=4^

AC2

NA=60°，

???CF=BC=AC-tanA^2y/3，

是AB的中點(diǎn)，

/.AE=CE=BE=LAB=2,

2

：.△AEC是等邊三角形，

NBEH=NAEC=*°,

???EH=BE-cosZBEH=1,BH=BE-sinZBEH=6，

:.FH=CF-CE-EH=一3，

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)綜合，直角

三角形斜邊上的中線(xiàn)，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為60。看這棟高樓底部的俯角為30。熱氣球與高樓

的水平距離為120米，請(qǐng)問(wèn)：這棟高樓的樓高CB為多少米？（/”1.732,結(jié)果精確到0.1米）

B

【答案】這棟高樓的樓高CB約為277.1米

【分析】分別解RtZXM。和Rt_A￡）C求出BD,8的長(zhǎng)即可得到答案.

【詳解】解：,??在RtzMBO中，N84Z）=60°,ZADB=90°,

；?BD=AD-tanZBAD=12073米，

?.,在Rt_A￡）C中，NOW=30°,NADC=90。,

/?CD=AD?tanZCAD=40>/3米，

???BC=60+8=160GB277.1米，

這棟高樓的樓高CB約為277.1米.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確求出3D8的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

23.已知：如圖，在AABC中，是邊BC上的中線(xiàn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段上，JiBE=ED,過(guò)點(diǎn)3作8/〃AC,交線(xiàn)

段AE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.

（1）求證：AC=3M

（2）如果/昌?檢女求證：筋!:，.泌:~海糜?

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【詳解】分析：（1）根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理由BF〃AC得BF：AC=BE：EC,再利用BD=CD,BE=DE,得

CE=3BE,于是即可得到結(jié)論；

（2）由AE=?ED得AE2=3ED2,把CE=3ED代入得AE?=CE?ED,即AE：ED=CE：AE,根據(jù)相似三角形的判

定易得△AEDs^CEA,則AD：AC=ED：AE,用EB代替ED即可得到結(jié)論.

詳解：證明：(1)：BF〃AC,

BF：AC=BE：EC,

又；BD=CD,BE=DE,

；.CE=3BE,

；.AC=3BF；

(2)VAE=^/3ED,

.\AE2=3ED2,

又；CE=3ED,

.".AE2=CE?ED,即AE：ED=CE：AE,

而/AED=/CEA,

.,.△AED^ACEA,

/.AD：AC=ED：AE,

又〈ED=BE,

AAD：AC=BE：AE,

??.AD?AE=AC?BE.

點(diǎn)睛：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且這兩組對(duì)應(yīng)邊所夾的

角也相等，那么這兩個(gè)三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等.也考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理.

24.己知拋物線(xiàn)+c與x軸交于A(1,O)、8(3,0)兩點(diǎn)，且與y軸的公共點(diǎn)為點(diǎn)C,設(shè)該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為

D.

(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式，并求出頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)尸為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足PB=PC,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

DF1

(3)連接8,BC,點(diǎn)E為線(xiàn)段上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作跖18交CO于點(diǎn)凡若一=一，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

CF2

【答案】(1)y=f-4%+3,(2,-1)

5-舊5-V13^5+V135

(2)或

22J2

207

(3)

7’3

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)解析式即可得到頂點(diǎn)。的坐標(biāo);

(2)先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)進(jìn)而得到O8=OC=3,如圖所示，取中點(diǎn)E,作直線(xiàn)0E,則0E是線(xiàn)段的垂

33

直平分線(xiàn)，E,即可推出點(diǎn)P即為直線(xiàn)0E與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，據(jù)此求解即可;

2,2

(3)如圖所示，連接BD,先利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明△CDB是直角三角形，即NCBD=90。，證

明△ECF'S^DCB,求出CF=逑，則石。=生旦

39

2

同理可求出直線(xiàn)BC的解析式為y=-x+3,設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(加,—m+3),則加2+(—m+3-3)2=20&、

據(jù)此求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

l+b+c=O

解：由題意得：\

9+3Z?+c=0'

b=-4

c=3

.?.拋物線(xiàn)解析式為y=f-4x+3=(x-2y一1,

...頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,-1)

【小問(wèn)2詳解】

解：令x=0,則y=3,

。((),3),

：.OB=OC=3,

如圖所示，取BC中點(diǎn)E,作直線(xiàn)0E,

33、

???0E是線(xiàn)段8C的垂直平分線(xiàn)，E

2,2J，

?:PB=PC,

.?.點(diǎn)P即為直線(xiàn)0E與拋物線(xiàn)的交點(diǎn),

設(shè)直線(xiàn)OE的解析式為y=6,

...k=1,

?,?直線(xiàn)OE的解析式為y=x,

y=x

聯(lián)立＜得J-5彳+3=0,

y=x2-4x+3

5±V13

解得x=

-2~

5+V135+VB'

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為或

BC^>]OC2+OB2=372>BD=7(2-3)2+(-l)2=72-8=百+(_1-3『=2石,

/?BC2+BD2=CD2，

.?.△CT出是直角三角形，即NC8￡>=90。，

EF1CD,

：.NCFE=NCBD=9Q。,

又,：ZECF=NDCB,

：.AECFs叢DCB,

..DF1

?=9

CF2

.245/5

??Cr=—CD=-----，

33

生q,即比學(xué)

DCCBHR

；.EC*

9

同理可求出直線(xiàn)BC的解析式為y=-x+3,

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（根,-,2+3）,

<2072?

77?"+(—m+3—3)~

20

解得加=豆（負(fù)值舍去）,

；?點(diǎn)E的坐標(biāo)為

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理和勾股定理的逆定

理，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)等等，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

4

25.如圖，平行四邊形ABC。中，AB=5,BC=7,sin8=g，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線(xiàn)AO上,

滿(mǎn)足NAPQ=NAOC,直線(xiàn)尸。與直線(xiàn)CO交于點(diǎn)E,射線(xiàn)AP與直線(xiàn)C￡＞交于點(diǎn)F,

(1)求證：△ABPSAQPA；

（2）當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段A。上時(shí)，設(shè)=AQ=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域;

(3)若CE=5PC,求BP的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

、

（3）BP=—

7

【分析】（1）先由平行四邊形的性質(zhì)得到AT>〃3C,/B=NADC,則/4QP=NCPQ,再分別證明

ZAPQ=NB,ZBAP=ZPQA,即可證明；

（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作A”_LBC于H,解直角三角形求出AH,BH,進(jìn)而求出4P?,再由相似三角

AD2

形的性質(zhì)得到AQ=—即可得到答案；

BP

-尤2+13尤一25

（3）如圖3-1所示，當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段AQ（不包括。）上時(shí)，求出，DQ=,CP=7—x,

x

—x~+13x—2525

CE=35—5x,Z）E=30—5x,證明△EQDSAEP。，得到30-5x,解得x=—；當(dāng)點(diǎn)

%=7

7-x35-5x

Q恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合，可得％=6,由（2）得，當(dāng)。與。重合時(shí)，*=13—倔,則此種

2

情形不成立；如圖3-2所示，當(dāng)點(diǎn)Q在延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求出00=廠.1+25,CP=7-x,

X

-13x+25