2021-2023年全國(guó)高考數(shù)學(xué)典例真題匯編（新高考模式訓(xùn)練）47

試卷第1頁，共SECTIONPAGES1頁2021-2023年全國(guó)高考數(shù)學(xué)典例真題匯編（新高考模式訓(xùn)練）47姓名：___________班級(jí)：___________一．單選題1．【2021-新高考Ⅰ卷】設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.2．【2021-天津卷】已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不允分也不必要條件3．【2023-全國(guó)數(shù)學(xué)乙卷（文）高考真題】已知是偶函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.24．【2023-天津卷數(shù)學(xué)真題】函數(shù)的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（）A. B.C. D.5．【2023-新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷真題】過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A.1 B. C. D.6．【2023-全國(guó)數(shù)學(xué)甲卷（文）高考真題】曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.7．【2022-全國(guó)II卷數(shù)學(xué)高考真題】正三棱臺(tái)高為1，上下底邊長(zhǎng)分別為和，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積是（）A. B. C. D.8．【2021-天津卷】已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn)，若．則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.3二．多選題9．【2021-新高考Ⅰ卷】有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中(為非零常數(shù)，則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同10．【2021-全國(guó)新高II卷】已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D.若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切11．【2021-新高考Ⅰ卷】已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)、，則（）A.點(diǎn)到直線的距離小于B.點(diǎn)到直線的距離大于C.當(dāng)最小時(shí)，D.當(dāng)最大時(shí)，三．填空題12．【2021-浙江卷】我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長(zhǎng)分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則___________.13．【2021-全國(guó)甲卷（理）】已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為________．14．【2023-北京數(shù)學(xué)乙卷高考真題】我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則___________；數(shù)列所有項(xiàng)的和為____________．四．解答題15．【2023-全國(guó)數(shù)學(xué)甲卷（文）高考真題】記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求面積．16．【2022-天津數(shù)學(xué)高考真題】直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面所成二面角的余弦值．17．【2022-北京數(shù)學(xué)高考真題】已知橢圓：的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)時(shí)，求k的值．18．【2022-浙江卷數(shù)學(xué)高考真題】如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線分別交直線于C，D兩點(diǎn)．（1）求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；（2）求的最小值．19．【2023-全國(guó)數(shù)學(xué)甲卷（文）高考真題】已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，．（1）求；（2）設(shè)為的焦點(diǎn)，為上兩點(diǎn)，且，求面積的最小值．答案第1頁，共SECTIONPAGES1頁2021-2023年全國(guó)高考數(shù)學(xué)典例真題匯編（新高考模式訓(xùn)練）47【參考答案】1．答案:B解析：由題設(shè)有，故選：B.2．答案:A解析：由題意，若，則，故充分性成立；若，則或，推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3．答案:D解析：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，又因?yàn)椴缓銥?，可得，即，則，即，解得.故選：D.4．答案:D解析：由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，其為偶函數(shù)，且，由且定義域?yàn)镽，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；當(dāng)時(shí)、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除；故選：D5．答案:B解析：方法一：因?yàn)?，即，可得圓心，半徑，過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，因?yàn)?，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，連接，可得，則，因?yàn)榍?，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點(diǎn)的距離，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，則，整理得，且設(shè)兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.6．答案:C解析：設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)?，所以，所以所以所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故選：C7．答案:A解析：設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．8．答案:A解析：設(shè)雙曲線與拋物線的公共焦點(diǎn)為，則拋物線的準(zhǔn)線為，令，則，解得，所以,又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.9．答案:CD解析：A：且，故平均數(shù)不相同，錯(cuò)誤；B：若第一組中位數(shù)為，則第二組的中位數(shù)為，顯然不相同，錯(cuò)誤；C：，故方差相同，正確；D：由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，故極差相同，正確；故選：CD10．答案:ABD解析：圓心到直線l的距離，若點(diǎn)在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點(diǎn)在圓C內(nèi)，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點(diǎn)在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；若點(diǎn)在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.11．答案:ACD解析：圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點(diǎn)到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；如下圖所示：當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若直線與半徑為圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是.12．答案:25解析：由題意可得，大正方形的邊長(zhǎng)為：，則其面積為：，小正方形的面積：，從而.故答案為：25.13．答案:2解析：由圖可知，即，所以；由五點(diǎn)法可得，即；所以.因?yàn)?，；所以由可得或；因?yàn)?，所以，方法一：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，即，解得，令，可得，可得的最小正整數(shù)為2.方法二：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，又，符合題意，可得的最小正整數(shù)為2.故答案為：2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)圖象求解函數(shù)的解析式是本題求解的關(guān)鍵，根據(jù)周期求解，根據(jù)特殊點(diǎn)求解.14．答案:①.48②.384解析：方法一：設(shè)前3項(xiàng)的公差為，后7項(xiàng)公比為，則，且，可得，則，即，可得，空1：可得，空2：方法二：空1：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則，且，所以；又因?yàn)椋瑒t；空2：設(shè)后7項(xiàng)公比為，則，解得，可得，所以.故答案為：48；384.15．答案:（1）（2）解析：（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對(duì)等式恒等變換，即可解出．【小問1詳解】因?yàn)?，所以，解得：．【小?詳解】由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．16．答案:（1）證明見解析（2）（3）解析：（2）利用空間向量法可求得直線與平面夾角的正弦值；（3）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】證明：在直三棱柱中，平面，且，則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、，則，易知平面的一個(gè)法向量為，則，故，平面，故平面.【小問2詳解】解：，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，.因此，直線與平面夾角的正弦值為.【小問3詳解】解：，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，則，因此，平面與平面夾角的余弦值為.17．答案:（1）（2）解析：（2）首先表示出直線方程，設(shè)、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由直線、的方程，表示出、，根據(jù)得到方程，解得即可；【小問1詳解】解：依題意可得，，又，所以，所以橢圓方程為；【小問2詳解】解：依題意過點(diǎn)的直線為，設(shè)、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直線的方程為，令，解得，直線的方程為，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得18．答案:（1）；（2）．解析：（2）設(shè)直線與橢圓方程聯(lián)立可得，再將直線方程與的方程分別聯(lián)立，可解得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，最后代入化簡(jiǎn)可得，由柯西不等式即可求出最小值．【小問1詳解】設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn),,則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值是.【小問2詳解】設(shè)直線,直線方程與橢圓聯(lián)立,可得,設(shè)，所以，因?yàn)橹本€與直線交于,則,同理可得,.則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查最值計(jì)算，第一問利用橢圓的參數(shù)方程以及二次函數(shù)的性質(zhì)較好解決，第二問思路簡(jiǎn)單，運(yùn)算量較大，求最值的過程中還使用到柯西不等式求最值，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，屬于較難題．19．答案:（1）（2）解析：（2）設(shè)直線：，利用，找到關(guān)系，以及的面積表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求