獨立性二維函數(shù)

關(guān)于獨立性二維函數(shù)12

設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，X與Y獨立的充分必要條件是f(x,y)=fX(x)fY(y)

設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量，其分布律為Pi,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...，則X與Y獨立的充分必要條件是對任意i,j，Pij=Pi.P.j

由上述定理可知，要判斷兩個隨機變量X與Y的獨立性，只需求出它們各自的邊緣分布，再看是否對(X,Y)的每一對可能取值點,邊緣分布的乘積都等于聯(lián)合分布即可第2頁,共19頁，2024年2月25日，星期天3

設(shè)n維隨機變量(X1,X2,...,Xn)的分布函數(shù)為F(x1,x2,...,xn),(X1,X2,...,Xn)的k（1k<n)維邊緣分布函數(shù)就隨之確定，如關(guān)于(X1,X2,…

Xk)的邊緣分布函數(shù)是FX1,…,Xk（x1,...,xk)=F(x1,…,xk,,,...,)若Xk的邊緣分布函數(shù)為FXk(xk),k=1,2,…,n,五．n維隨機變量的邊緣分布與獨立性則稱X1,X2,...Xn

相互獨立，或稱(X1,X2,...Xn)是獨立的第3頁,共19頁，2024年2月25日，星期天4若Xk的邊緣密度函數(shù)為fXk(xk),k=1,2,…,n,

對任意的(x1,x2,…,xn)

Rn，

f(x1,x2,…,xn)＝fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)則稱X1，X2，…，Xn相互獨立。對于連續(xù)型隨機變量,設(shè)n維隨機變量(X1,X2,...,Xn)的密度函數(shù)為f(x1,x2,...,xn),(X1,X2,...,Xn)的k（1k<n)維邊緣密度函數(shù)就隨之確定，如關(guān)于(X1,X2,…

Xk)的邊緣密度函數(shù)是第4頁,共19頁，2024年2月25日，星期天5

設(shè)n維隨機變量(X1,X2,...Xn)的分布函數(shù)為FX(x1,x2,...xn)；m維隨機變量(Y1,Y2,…Ym)的分布函數(shù)為FY(y1,y2,…ym),

X1,X2,...Xn,Y1,Y2,…Ym組成的n+m維隨機變量（X1,X2,...Xn,Y1,Y2,…Ym)的分布函數(shù)為F(x1,x2,...xn,y1,y2,…ym).如果F(x1,x2,...xn,y1,y2,…ym)=FX(x1,x2,...xn)FY(y1,y2,…ym)則稱n維隨機變量(X1,X2,...Xn)與m維隨機變量(Y1,Y2,…Ym)獨立。第5頁,共19頁，2024年2月25日，星期天6二維隨機變量邊緣分布邊緣分布律邊緣分布函數(shù)邊緣概率密度獨立性第6頁,共19頁，2024年2月25日，星期天7EX.設(shè)某昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)X服從參數(shù)為50的泊松分布，又設(shè)一個蟲卵能孵化成蟲的概率為0.8,且各卵的孵化是相互獨立的，求此昆蟲產(chǎn)卵數(shù)X與下一代只數(shù)Y的聯(lián)合分布律.解:已知由題意,在X=k的條件下,由乘法公式,X與Y的聯(lián)合分布律為第7頁,共19頁，2024年2月25日，星期天83.6兩個隨機變量函數(shù)的分布

一、二維離散型隨機變量函數(shù)的分布律例1設(shè)二維隨機變量(X,Y)的分布律為XY12123求Z=X+Y的分布律.解:Z=X+Y的全部可能取值為(2,3,4,5),其分布律為Z2345第8頁,共19頁，2024年2月25日，星期天9一般地,設(shè)二維離散型隨機變量（X，Y），(X,Y)～P(X＝xi,Y＝y(tǒng)j)＝pij，i,j＝1,2,…則Z＝g(X,Y)～P{Z＝zk}＝＝pk,k＝1,2,…(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)…(xi,yj)…pijp11p12pijZ=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)或第9頁,共19頁，2024年2月25日，星期天10二、多個隨機變量函數(shù)的密度函數(shù)1、一般的方法：分布函數(shù)法若(X1,X2,…,Xn)~f(x1,x2,…,xn),(x1,x2,…,xn)Rn,Y=g(X1,X2,…,Xn),則可先求Y的分布函數(shù):然后再求出Y的密度函數(shù):第10頁,共19頁，2024年2月25日，星期天112、幾個常用函數(shù)的密度函數(shù)

(1)和的分布已知(X,Y)～f(x,y),(x,y)

R2,求Z＝X＋Y的密度。

zx+y=z

x+yz

第11頁,共19頁，2024年2月25日，星期天12例2.

設(shè)隨機變量X與Y獨立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求證：Z=X+Y服從N（0，2）分布。

一般地，設(shè)隨機變量X1,X2，...,Xn獨立且Xi服從正態(tài)分布N(

i,i2),i=1,...,n,則第12頁,共19頁，2024年2月25日，星期天13

(2)極大(小)值的分布(p60)

設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨立，其分布函數(shù)分別為F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)，記M＝max{X1,X2,…,Xn},N＝min{X1,X2,…,Xn}則,M和N的分布函數(shù)分別為第13頁,共19頁，2024年2月25日，星期天14例3.設(shè)系統(tǒng)L由兩個相互獨立的子系統(tǒng)聯(lián)接而成，聯(lián)接的方式分別為(i)串聯(lián)，(ii)并聯(lián)，如圖所示設(shè)L1,L2的壽命分別為X與Y，已知它們的概率密度分別為其中

>0，

>0,試分別就以上兩種聯(lián)結(jié)方式寫出L的壽命Z的概率密度．第14頁,共19頁，2024年2月25日，星期天15第二章小結(jié).第15頁,共19頁，2024年2月25日，星期天16多維隨機變量分布函數(shù)函數(shù)的分布離散型——分布律歸一性概率計算歸一性概率計算連續(xù)型——概率密度歸一性概率計算·分布函數(shù)與概率密度的互變邊緣分布律邊緣分布函數(shù)獨立性邊緣概率密度均勻分布正態(tài)分布第16頁,共19頁，2024年2月25日，星期天171.同時擲兩顆骰子，以X表示其中小的點數(shù)，以Y表示其中大的點數(shù).求二維隨機變量(X,Y)的分布律.并求P{Y>4}2.隨機變量X與Y的聯(lián)合概率密度為

(1)求(2)判斷X與Y是否獨立.第17頁,共19頁，2024年2月25日，星期天183．隨機變量X與Y獨立且均服從正態(tài)分布，求4.有一矩形目標(biāo)，長邊長為20，短邊長為10.火炮向該矩形目標(biāo)射擊，射向垂直于長邊.瞄準(zhǔn)點是