2023-2024學年湖南省湘潭市湘鄉(xiāng)市名民實驗學校高一（上）入學數(shù)學試卷（含解析）

2023.2024學年湖南省湘潭市湘鄉(xiāng)市名民實驗學校高一（±）入學數(shù)學

試卷

一、單選題（本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（）

A.ax2+b%+c=0B.x2—2%—1

C./+妥=0D.(%-1)(%+2)=1

長方體

3.下列計算，正確的是（）

32523-1

A.Q2.=a6B.小+@3=@5C.(a)=aD.a4-a=a

4.如圖，在RtZkABC中，ZC=90°,AB=10,BC=6,sin4B等于()B

3

-

5

AB.

3

-

4

5.若兩個相似三角形的周長之比為3：5,則這兩個三角形的面積之比為（）

A.3：5B.3：8C.9：15D.9：25

6.二次函數(shù)y=—（%—+3的圖象的頂點坐標是（）

A.（-1,3）B.（1,3）C.（-1,-3）D.（1,-3）

7.若一一2（m+4）%+25是一個完全平方式，則m的值為（）

A.1或一9B.2C.3D.5或1

8.若數(shù)軸上表示數(shù)X的點在原點的左邊，則化簡|3x+，寵I的結(jié)果是（）

A.-4xB.4xC.-2.xD.2x

二、填空題（本大題共8小題，共24.0分）

9.若廳不的意義，則實數(shù)x的取值范圍____.

10.如圖，四邊形4BC0內(nèi)接于圓。，若/。=100。，貝吐B的度數(shù)是

11.如圖，在RM4BC中,Z.C=90°,如果cosA=(,AB=6,那么AC的長為

12.已知一元二次方程/+mx-8=。的一個根為2,則m=.

13.書香相伴，香滿校園，某校學生9月份借閱圖書500本，11月份借閱圖書845本，如果每月借閱圖書數(shù)量

的增長率相同，設這個增長率為生,那么根據(jù)題意可列方程為.

14.若點（%,為），（%2，、2）都是反比例函數(shù)y=-金圖象上的點，并且與>x2>0,則％丫2?（填“>”，

或“=”）

15.某校為了解學生對籃球、足球、排球等三種球類運動的喜愛程度，隨機調(diào)查了該校50名學生，其中30名

同學喜歡籃球運動.若該校共有800名學生，根據(jù)所學的統(tǒng)計知識可以估計該校喜歡籃球運動的學生有

名.

16.如圖，已知二次函數(shù)y1=ax2+bx+c（aH0）與一次函數(shù)y2=kx+

m（k*0）的圖象相交于點4（-2,7n）和B（8,n）,若y1<y2>則x的取值范圍是

三、解答題（本大題共10小題，共72.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題6.0分）

5x—2>3（%+1）

解不等式組-

18.（本小題6.0分）

嘉淇在用公式法解方程2/一4尤=5時出現(xiàn)了錯誤，解答過程如下所示:

解方程2/—4x=5

解：a=2,b=-4,c=5（第一步）

.1?b2-4ac=（一4產(chǎn)-4x2x5=-24<0（第二步）

???原方程無實數(shù)根（第三步）

（1）嘉淇的解答過程從第步開始出錯的，其錯誤的原因是；

（2）請你寫出此題的正確的求解過程.

19.（本小題6.0分）

某班四個數(shù)學小組，準備研讀四部古代數(shù)學著作.現(xiàn)制作背面完全相同的4張卡片，正面分別寫有《九章算術(shù)

?凋髀算經(jīng)少伍經(jīng)算術(shù)微秫亍記遺》，將4張卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每個小組選一代表從

中依次抽取一張卡片.

（1）第一學習小組抽到相經(jīng)算術(shù)》的概率是.

（2）若第一和第二小組依次從中抽取一張（不放回），請利用列表或畫樹狀圖的方法，求這兩組抽取的兩張卡

片正面寫的是仇章算術(shù)J）和凋髀算經(jīng)》的概率.

工

九一網(wǎng)-款

罐

的

?W算

算一算一年

折

物.ft.盤

20.（本小題6.0分）

已知某蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流/（單位：4）與電阻R（單位：。）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的

圖象如圖所示.

（1）求這個反比例函數(shù)的解析式；

（2）如果以此蓄電池為電源的用電器的限制電流不能超過34,那么用電器可變電阻應控制在什么范圍？

21.（本小題6.0分）

如圖，D、E分別是AC、4B上的點，連接DE,S.Z.ADE=Z.B,若DE=8,AB=18,AD=6,求BC的長.

22.（本小題6.0分）

2022年11月29日，搭載神舟十五號載人飛船的運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射,運載火箭從發(fā)射點0

處發(fā)射，當火箭到達4處時、在地面雷達站C處測得點4的仰角為30。，在地面雷達站B處測得點4的仰角為45。.

已知4c=20km,。、B、C三點在同一條直線上，求8、C兩個雷達站之間的距離（結(jié)果精確至UO.OlkM,參

考數(shù)據(jù)C?1.732）.

23.（本小題8.0分）

已知關(guān)于x的方程：x2+ax+a-2-0.

（1）求證：不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根;

（2）若方程的兩個實數(shù)根,打，小滿足好+以=7,求a的值.

24.（本小題8.0分）

某超市銷售一批日用品，每個進價為10元，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：該日用品每個售價為15元時，每天的銷售量

為200個，銷售單價每提高1元，銷售量就會減少8個，設銷售單價為x（元），每天的銷售量為y（個），每天的

銷售利潤為W（元）.

（1）直接寫出銷售量y與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求當銷售單價x定為多少元時，每天銷售利潤W最大？最大利潤是多少元？

25.（本小題10.0分）

請閱讀材料?，并完成相應的任務：學習了圓的切線以后，某課外小組的同學們發(fā)現(xiàn)，過圓外一點可以畫圓

的兩條切線.如圖1,P為。。外一點，過點P可以畫。。的兩條切線P4PB.切點分別為4B.

［發(fā)現(xiàn)結(jié)論］智慧小組在操作中發(fā)現(xiàn)，沿直線OP將圖形對折，可以得出結(jié)論：PA=PB,N71PO=NBPO.

［證明結(jié)論］啟迪小組為了證明上述結(jié)論的正確性，做了如下證明：

如圖2,連接04和OB.

PA,PB是0。的兩條切線，

PA1OA,PB108.（依據(jù)）

乙PAO=乙PBO=90°.

任務:

（1）請寫出括號中的依據(jù)：；

（2）請將上面的證明過程補充完整；

（3）如圖2,在。。中，PA,PB為。。的兩條切線，4B分別為它們的切點，。。的半徑為5,44PB=60。.連

接AB,請直接寫出APAB的周長.

圖1圖2

26.（本小題10.0分）

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=-/+bx+c的圖象與x軸交于4、B兩點,與y軸交于C(0,3),4點

在原點的左側(cè)，B點的坐標為(3,0),點P是拋物線上一個動點，且在直線BC的上方.

(1)求這個二次函數(shù)的表達式.

(2)連接P。、PC,并把APOC沿C。翻折，得到四邊形POP'C,那么是否存在點P,使四邊形POP'C為菱形？

若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)當點P運動到什么位置時，使ABPC的面積最大，求出點P的坐標和ABPC的面積最大值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：對于4當aHO時，ax2+bx+c=o才是關(guān)于x的一元二次方程，不滿足題意:

對于8,/-2x-1是關(guān)于x的一個代數(shù)式，不是關(guān)于x的一元二次方程，不滿足題意；

對于C,/+妥=。是分式方程，不是關(guān)于％的一元二次方程，不滿足題意；

對于D,(x-l)(x+2)=1,即為/+x-3=0,是關(guān)于x的一元二次方程，滿足題意.

故選：D.

根據(jù)一元二次方程的定義逐一判斷即可.

本題考查了一元二次方程的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：正方體的三視圖都是正方形，因此4符合題意，

長方體的三視圖雖然都是長方形，但大小不相同，因此B不符合題意，

圓錐的主視圖、左視圖是三角形，而俯視圖是圓形的，因此C不符合題意，

圓柱的主視圖、左視圖是長方形，而俯視圖是圓形的，因此0不符合題意.

故選:A.

根據(jù)正方體、長方體、圓錐體、圓柱體的三視圖的形狀進行判斷即可.

本題考查簡單幾何體的三視圖，掌握簡單幾何體三視圖的形狀是正確判斷的前提，屬基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：。2.。3=。5,故A錯誤；

a2+a3a5,故B錯誤；

(a3)2=a6,故C錯誤；

a24-a3=a-1,故￡>正確.

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合指數(shù)基的運算法則，即可求解.

本題主要考查指數(shù)基的運算法則，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：在RtAABC中，4。=90。，AB=10,BC=6,

則4c=VAB2-BC2=8.

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合勾股定理，先求出ZC,再結(jié)合正弦的定義，即可求解.

本題主要考查解三角形，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：由相似三角形的性質(zhì)可得：面積之比等于對應邊之比的平方，也等于相似三角形的周長的平

方之比，

因為兩個相似三角形的周長之比為3：5,所以面積之比為9：25.

故選：D.

由題意及相似三角形的性質(zhì)可得面積之比.

本題考查相似三角形的性質(zhì)的應用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：由已知可得函數(shù)的頂點坐標為(1,3).

故選:B.

利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：若產(chǎn)一2(m+4)x+25是一個完全平方式，

則廣—2(m+4)x+25=(x±5)2=x2±10%+25,

所以2(m+4)=±10,解得m=l或—9.

故選：A.

根據(jù)配方法即可求解.

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析1解：|3x+Vx2\=\3x+|x||=|3x-x|=|2x|=-2%.

故選：C.

根據(jù)已知條件，結(jié)合指數(shù)事的運算法則，以及絕對值的解法，即可求解.

本題主要考查指數(shù)幕的運算法則，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】(一8,3]

【解析】解：要使仃耳有意義，

則3—X20,解得XW3,

故實數(shù)x的取值范圍為(—8,3].

故答案為：(一8,3].

根據(jù)已知條件，列出不等式，即可求解.

本題主要考查函數(shù)定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】80°

【解析】解：由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)對角互補可得：48=180。-4。=180。-100。=80。.

故答案為：80°.

由題意及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)對角互補可得NB的大小.

本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應用，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】4

【解析】解：在RtUBC中，ZC=90°,cosA=|,AB=6,

.2ACAC

???cosA=-=—=—,*'?AC=4.

3AB6

故答案為：4.

直接根據(jù)直角三角函數(shù)定義計算即可.

本題考查直角三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】2

【解析】解：由題意得4+2m—8=0,

解得巾=2,經(jīng)檢驗m=2符合題意.

故答案為：2.

把x=2代入已知方程即可求解

本題主要考查了一元二次方程的根的求解，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】500(1+x)2=845

【解析】解：根據(jù)題意得500(1+x)2=845.

故答案為：500(1+*)2=845.

利用11月份借閱圖書數(shù)量=9月份借閱圖書數(shù)量x(1+每月借閱圖書數(shù)量的增長率)2,即可列出關(guān)于x的一

元二次方程，此題得解.

本題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵,

屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】＞

【解析】解：由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)y=-;在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又％1＞打＞°，

則乃＞y2-

故答案為：＞.

由反比例函數(shù)的性質(zhì)直接得解.

本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】480

【解析】解：由題意，喜歡籃球運動的學生所占的比例為瑞=|,

若該校共有800名學生，根據(jù)所學的統(tǒng)計知識可以估計該校喜歡籃球運動的學生有800x|=480名.

故答案為：480.

由題意，先求出喜歡籃球運動的學生所占的比例，再用總體數(shù)量乘以此比例，即為所求.

本題主要考查用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】(一2,8)

【解析】解：由圖象可知，若%4丫2,則二次函數(shù)圖象應該在一次函數(shù)圖象下面，

所以x的范圍為(一2,8).

故答案為：(—2,8).

利用數(shù)形結(jié)合即可求解.

本題考查了二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

(5x—2＞3(x+1)f、5

17.【答案】解：由不等式組13，可得產(chǎn)＞2,故有襄XW8.

^x-l＜7--xL＜82

故原不等式組的解集為弓,8].

【解析】先求出不等式組中每個不等式的解集，再取交集，即得所求.

本題主要考查不等式組的解法，求兩個集合的交集，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】一5沒有移項到等號左邊

【解析】解：(1)嘉淇的解答過程從第一步開始出錯的，其錯誤的原因是5沒有移項到等號左邊；

(2)正確的求解過程是：

解方程2/-4%=5,

移項得2--4x-5=0,

因為a=2,b=-4.c=-5,

所以扭-4ac=(-4)2-4x2x(-5)=56>0,

所以原方程有兩個不等的實數(shù)根，是x=1+午或x=1-三.

(1)根據(jù)解一元二次方程的基本步驟判斷即可；

(2)寫出正確的求解過程即可.

本題考查了一元二次方程的解法與應用問題，是基礎(chǔ)題.

19.【答案】

4

【解析】解：(1)???共有4張卡片混合后正面朝下放置在桌面上，

...第一學習小組抽到伍經(jīng)算術(shù)》的概率是1

4

(2)由題意得，分別記《九章算術(shù)》畫髀算經(jīng)少伍經(jīng)算術(shù)小微銜記遺》為4、B、C、D,畫樹狀圖得：

<B

C

<D

A

C

<D

A

B

<D

A

B

C

一共有12種等可能性結(jié)果，

其中甲、乙兩人抽取的兩張卡片正面寫的是仇章算術(shù)》和調(diào)髀算經(jīng)》的情況有兩種，

所以所求概率P=3=：.

1Zo

(1)由概率公式即可得到答案；

(2)由題意得，分別記1f九章算術(shù)J),凋髀算經(jīng)J),伍經(jīng)算術(shù)》，徵銜記遺》為4B、C、D,畫出

樹狀圖，根據(jù)概率公式即可得到答案.

本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：(1)電流I是電阻R的反比例函數(shù),

設T，

,??圖象經(jīng)過(20,1.8),

...1.8=裊解得：k=1.8x20=36,

???這個反比例函數(shù)的解析式為/=v.

⑵「Y3,/=y.

???^<3,解得：R>12,

即用電器可變電阻應控制在12歐以上的范圍.

【解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式即可：

(2)解不等式，求出R的范圍即可.

本題考查了反比例解析式的求解及應用，是基礎(chǔ)題.

21.【答案】解：4ADE=4B,=

則△

.ADDE

+故而=而‘

DE=8,AB=18,AD=6,

則白=白，解得BC=24.

ioDC

【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

22.【答案】解:已知4c=20km,

又“CO=30°,

則AO=20s譏30°=10km,OC=20cos30°=lO^km,

又乙ABO=45°,

則。B=AO=10km,

則BC=OC-OB=10O-10?7.32km，

即B、C兩個雷達站之間的距離為7.32km.

【解析】先閱讀題意，然后結(jié)合三角函數(shù)的定義求解即可.

本題考查了三角函數(shù)的定義，重點考查了閱讀理解能力，屬基礎(chǔ)題.

23.【答案】(1)證明：A=a2—4(a—2)=a2—4a+8=(a-2)2+4>4,

故該方程都有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)解：由題意得X]+刀2=-a,—a-2,

22

則xg+x：=7=(%1+x2)—2x62=a—2a+4,

所以a2-2a-3=0,

故a=3或a=-1.

【解析】(1)由已知結(jié)合二次方程根的存在條件即可判斷；

(2)由已知結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系即可求解.

本題主要考查了二次方程根的存在條件的應用，還考查了方程的根與系數(shù)關(guān)系的應用，屬于基礎(chǔ)題.

24.【答案】解：(1)由題意得：y=200-8(x-15)=-8x+320,

銷售量y與銷售單價%之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-8x+320；

(2)由題意得：W=(x-10)y=(x-10)(-8x+320)

=-8x2+400%-3200

=-8(x-25)2+1800.

???-8<0,.?.當x=25時，”有最大值，最大值為1800,

...當銷售單價定為25元時，每天銷售利潤W最大，最大利潤是1800元.

【解析】(1)根據(jù)該日用品每個售價為15元時，每天的銷售量為200個，銷售單價每提高1元，銷售量就會減

少8個，列出函數(shù)關(guān)系即可；

(2)根據(jù)利潤等于單個日用品的利潤乘以銷售量求出川與x的關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答.

此題考查了列函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)的實際應用，正確理解題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

25.【答案】解：⑴如圖2,連接04和OB.

圖2

???PA,PB是。。的兩條切線，.。力，PBJ.。8(圓的切線垂直于過切點的半徑),

4PAO=乙PBO=90°.

故答案為：圓的切線垂直于過切點的半徑；

⑵YPA,PB是。0的兩條切線，P41PB1OB,

???"AO=乙PBO=90°.在Rt△04P和Rt△OBP中，

〔咒=槳Rt△OAP=Rt△OBP(HL),；,PA=PB,乙APO=ABPO.

(04=OB、'

(3)v乙APB=60°,OP平分N4PB,???AAPO=QAPB=30°,

又???PA=PB,為等邊三角形，PA=PB=4B,

在RtzXOAP中，￡.APO=30°,PA=