2024年高考數學考前信息必刷卷05（新高考新題型專用）

絕密★啟用前2024年高考考前信息必刷卷05數學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）全國陸續(xù)有多個省份官宣布在2024年的高考數學中將采用新題型模式。新的試題模式與原模式相比變化較大，考試題型為8（單＋3（多選題）＋3（填空題）＋5（解答題），其中單選題的題量不變，多選題、填空題、解答題各減少1題，多選題由原來的0分、2分、5分三種得分變?yōu)椤安糠诌x對得部分分，滿分為6分”，填空題每題仍為5分，總分15分，解答題變?yōu)?題，分值依次為13分、15分、15分、17分、17分。函數和導數不再是壓軸類型，甚至有可能是第一道大題，增加的新定義的壓軸題，以新舊知識材料為主來考察考生的數學思維能力，難度較大從2024屆九省聯考新模式出題方向可以看出，除了8+3+3+5的模式外，核心的變化在于改變以往的死記硬背的備考策略，改變了以前套公式的學習套路，現在主要是考查學生的數學思維的靈活，對三角函數喝數列的考察更加注重技巧的應用，統(tǒng)計概率結合生活情景來考查考生數學在生活中的實際應用，特別是最后一道大題，題目給出定義，讓考生推導性質，考查考生的數學學習能力和數學探索能力，這就要求考生在平時的學習中要注重定理、公式的推導證明，才能培養(yǎng)數學解決這類問題的思維素養(yǎng)。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知全集，集合，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由可得，解得，所以或，故選:.2．甲箱中有2個白球和4個黑球，乙箱中有4個白球和2個黑球.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，以，分別表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示從乙箱中取出的是白球，則下列結論錯誤的是（

）A．，互斥 B． C． D．【答案】C【解析】因為每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正確；由題意得，，，，，故B，D均正確；因為，故C錯誤.故選：C.3．某中學進行數學競賽選拔考試，，，，，共5名同學參加比賽，決出第1名到第5名的名次.和去向教練詢問比賽結果，教練對說：“你和都沒有得到冠軍．”對說：“你不是最后一名.”從這兩個回答分析，5人的名次排列方式共有（

）A．54種 B．72種 C．96種 D．120種【答案】A【解析】根據題意可知和都沒有得到冠軍，且不是最后一名，分兩種情況：①是最后一名，則可以為第二、三、四名，即有3種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況；②不是最后一名，，需要排在第二、三、四名，有種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況，則5人的名次排列方式共有種.故選A．4．古希臘的數學家海倫在他的著作《測地術》中最早記錄了“海倫公式”：，其中，，，分別為的三個內角，，所對的邊，該公式具有輪換對稱的特點.已知在中，，且的面積為，則邊上的中線長度為（

）A． B．4 C． D．【答案】D【解析】設是的中點，連接.依題意，在中，，設，由余弦定理得，所以為鈍角，所以，所以，，兩邊平方得，所以.故選：D5．如圖1，兒童玩具紙風車的做法體現了數學的對稱美，取一張正方形紙折出“十”字折痕，然后把四個角向中心點翻折，再展開，把正方形紙兩條對邊分別向中線對折，把長方形短的一邊沿折痕向外側翻折，然后把立起來的部分向下翻折壓平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，這樣，紙風車的主體部分就完成了，如圖2，是一個紙風車示意圖，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】不妨設，則，對于A項，顯然與方向不一致，所以，故A項錯誤；對于B項，由圖知是鈍角，則，故B項錯誤；對于C項，由題意知點是線段的中點，則易得：,即得：，故C項正確；對于D項，由，而與顯然不共線，故．即項錯誤．故選：C．6．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點，點C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以∽，設，則，設，則，．因為平分，由角平分線定理可知，，所以，所以，由雙曲線定義知，即，，①又由得，所以，即是等邊三角形，所以．在中，由余弦定理知，即，化簡得，把①代入上式得，所以離心率為．故選：A．7．已知四點均在半徑為（為常數）的球的球面上運動，且，若四面體的體積的最大值為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因取BC中點為N，則，又，平面，，則平面，面，則平面平面，要使四面體的體積最大，則有平面，且球心O在DN上.設球體半徑為R，則，則，又注意到，，則.注意到.當且僅當，即時取等號.又四面體的體積的最大值為，則.則球的表面積為.故選：D.8．若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，，，，，則，令，，當時，，所以在時單調遞增，所以當時，，所以在時單調遞減，所以，所以；當時，，令，則，所以在上單調遞增，所以，所以在上單調遞增，所以，所以，綜上，.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．如圖所示，已知角的始邊為軸的非負半軸，終邊與單位圓的交點分別為，為線段的中點，射線與單位圓交于點，則（

）

A．B．C．點的坐標為D．點的坐標為【答案】ABC【解析】對于A：因為，，所以，正確；對于B：依題意為線段的中點，則，則，又，所以，正確；對于C：為線段的中點，射線與單位圓交于點，則為的中點，所以，又，所以點的坐標為，正確；對于D：，，所以點的坐標為，錯誤.故選：ABC.10．英國著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數零點.已知二次函數有兩個不相等的實根，其中.在函數圖象上橫坐標為的點處作曲線的切線，切線與軸交點的橫坐標為；用代替，重復以上的過程得到；一直下去，得到數列.記，且，，下列說法正確的是（

）A．（其中） B．數列是遞減數列C． D．數列的前項和【答案】AD【解析】對于A選項，由得，所以，故A正確.二次函數有兩個不等式實根，，不妨設，因為，所以，在橫坐標為的點處的切線方程為：，令，則，因為所以，即：所以為公比是2，首項為1的等比數列.所以故BC錯.對于D選項，，得故D正確.故選：AD11．定義在上的函數同時滿足①；②當時，，則（

）A．B．為偶函數C．存在，使得D．對任意【答案】ACD【解析】對于A，，令，則，即，又，，即，可知，即，得即，故A正確；對于B，由選項A可得，又令得，解得，，所以函數不是偶函數，故B錯誤；對于C，因為，當時，，又滿足上式，，，令，則，所以存在，使得，故C正確；對于D，令，則，即，即是以1為周期的周期函數，因為當，，則，當且僅當且與異號時等號成立，但，故與2同號，故等號不成立，故結合周期性可知對任意，均有，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，若存在使得，則k的最大值為．【答案】1011【解析】二項式的通項為，二項式的通項為，所以，，若，則有：當為奇數時，此時，即，則，可得，又因為為奇數，所以的最大值為1011；當為偶數時，此時，不合題意；綜上所述：的最大值為1011.故答案為：1011.13．已知是雙曲線上任意一點，若到的兩條漸近線的距離之積為，則上的點到焦點距離的最小值為．【答案】【解析】所求的雙曲線方程為，則漸近線方程為，設點，則，點到的兩條浙近線的距離之積為，解得：，故雙曲線方程為：，故，故雙曲線上的點到焦點距離的最小值為．故答案為：．14．某同學在學習和探索三角形相關知識時，發(fā)現了一個有趣的性質：將銳角三角形三條邊所對的外接圓的三條圓?。踊。┭刂切蔚倪呥M行翻折，則三條圓弧交于該三角形內部一點，且此交點為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點）.如圖，已知銳角外接圓的半徑為2，且三條圓弧沿三邊翻折后交于點.若，則；若，則的值為.【答案】；/5.75【解析】設外接圓半徑為，則，由正弦定理，可知，即，由于是銳角，故，又由題意可知P為三角形ABC的垂心，即,故，所以；設，則，由于，不妨假設，由余弦定理知，設AD,CE,BF為三角形的三條高，由于,故,則得，所以，同理可得，所以,故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數.(1)求函數的單調區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）∵，∴，令，解得：，所以，函數在上單調遞減，，函數在上單調遞增，即函數單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（2）由題可知，由（1）可知，當時，函數有最小值，∴，即，故的取值范圍為.16．（15分）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點E為的中點.(1)證明：平面；(2)求點到直線的距離；(3)求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）證明：取的中點，連接，因為為的中點，所以，又因為且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）解：取的中點，連接，因為且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為，所以，又因為平面，平面，所以，以為坐標原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，則,所以，則可得，所以，則點到直線的距離為.（3）解：由（2）中的空間直角坐標系，可得，所以，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17．（15分）在平面直角坐標系中，點為動點，以為直徑的圓與軸相切，記的軌跡為.(1)求的方程；(2)設為直線上的動點，過的直線與相切于點，過作直線的垂線交于點，求面積的最小值.【解析】（1）設，則線段的中點坐標為，因為以為直徑的圓與軸相切，所以，化簡得，所以的方程為；（2）設，由，則點處的切線斜率為，所以直線方程為，整理為，令，則，所以，易知直線斜率為，所以直線，整理為，與聯立可得，有，解得，即的橫坐標為，所以，，所以面積為，又，當且僅當時，等號成立，所以的面積最小值為.18．（17分）為落實《關于全面加強和改進新時代學校體育工作的意見》，完善學校體育“健康知識＋基本運動技能＋專項運動技能”教學模式，建立“校內競賽－校級聯賽－選拔性競賽－國際交流比賽”為一體的競賽體系，構建校、縣（區(qū)）、地（市）、省、國家五級學校體育競賽制度．某校開展“陽光體育節(jié)”活動，其中傳統(tǒng)項目“定點踢足球”深受同學們喜愛．其間甲、乙兩人輪流進行足球定點踢球比賽（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設甲每次踢球命中的概率為，乙每次踢球命中的概率為，且各次踢球互不影響．（1）經過1輪踢球，記甲的得分為，求的數學期望；（2）若經過輪踢球，用表示經過第輪踢球累計得分后甲得分高于乙得分的概率．①求，，；【解析】（1）記一輪踢球，甲命中為事件，乙命中為事件，，相互獨立．由題意，，甲的得分的可能取值為，0，1．，．，∴的分布列為：01．（2）①由（1），．經過三輪踢球，甲累計得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分；甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得分．∴，②∵規(guī)定，且有，∴代入得：，∴，∴數列是等比數列，公比為，首項為，∴．∴．19．（17分）給定整數，由元實數集合定義其相伴數集，如果，則稱集合S為一個元規(guī)范數集，并定義S的范數為其中所有元素絕對值之和.(1)判斷、哪個是規(guī)范數集，并說明理由；(2)任取一個元規(guī)范數集S，記、分別為其中最小數與最大數，求證：；(3)當遍歷所有2023元規(guī)范數集時，求范數的最小值.注：、分別表示數集中的最小數與最大數.【解析】（1）對于集合A：因為，所以集合A不是規(guī)范數集；對于集合B：因為，又，，，，，，所以B相伴數集，即，故集合B是規(guī)范數集.（2）不妨設集合S中的元素為，即，因為S為規(guī)范數集，則，則，且，使得，當時，則，當且僅當且時，等號成立；當時，則，當且僅當且時，等號成立；當時，則，當且僅當時，等號成立；綜上所述：.（3）法一：不妨設，因為S為規(guī)范數集，則，則，且，使得，當時，則當時，可得，當且僅當時，等號成立，則范數，當且僅當時，等號成立，又，當且僅當時，等號成立，故，即范數的最小值；當時，則當時，可得，當且僅當時，等號成立，則，則范數，當且僅當時