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3.3定積分的分部積分和換元積分3.3.1定積分的換元積分3.3.2定積分的分部積分定理2微積分學(xué)基本定理復(fù)習(xí)牛頓-萊布尼茨公式牛頓—萊布尼茨公式

牛頓－萊布尼茨公式揭示了定積分與不定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系,并提供了計(jì)算定積分的簡(jiǎn)便的基本方法，即求定積分的值，只要求出被積函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)，然后計(jì)算原函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.該公式把計(jì)算定積分歸結(jié)為求原函數(shù)的問(wèn)題，.例1求

解例2求

解例3計(jì)算，其中解

例4計(jì)算由曲線、直線x=2與x軸圍成的圖形的面積．解由定積分的幾何意義，得定理設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，若滿足下列三個(gè)條件：5.3.1定積分的換元積分法

上述公式稱為定積分的換元積分公式，簡(jiǎn)稱換元公式.(2)當(dāng)t在α與β之間變化時(shí)，單調(diào)變化且連續(xù)，則5.3定積分的積分方法注意：(1)定積分的換元法在換元后，積分上，下限也要作相應(yīng)的變換，即“換元必?fù)Q限”.(2)在換元之后，按新的積分變量進(jìn)行定積分運(yùn)算，不必再還原為原變量.(3)新變?cè)姆e分限可能α>β，也可能α<β，但一定要求滿足，即對(duì)應(yīng)于，對(duì)應(yīng)于.例1求解方法二注:用第一類換元法即湊微分法計(jì)算一些定積分時(shí)，可以不引入中間變量例2計(jì)算解=

注用第二類換元法計(jì)算定積分時(shí)，由于引入了新的積分變量，因此，必須根據(jù)引入的變量代換，相應(yīng)地變換積分限．

例3求解例4證明

例4表明了連續(xù)的奇、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間[–a,a]上的積分性質(zhì)，即偶函數(shù)在[–a,a]上的積分等于區(qū)間[0,a]上積分的兩倍；奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分等于零，可以利用這一性質(zhì)，簡(jiǎn)化連續(xù)的奇、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分的計(jì)算.例5求解例6證明證明5.3.2分部積分法例7求解例8求解例８計(jì)算

解例9求解小結(jié)定積分的計(jì)

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