專題03 三角恒等變換與解三角形-2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)考點(diǎn)分層與專項(xiàng)檢測(cè)（新高考專用）原卷版

專題03三角恒等變換與解三角形（新高考）目錄目錄【備考指南】 2 【真題在線】 3【基礎(chǔ)考點(diǎn)】 5【基礎(chǔ)考點(diǎn)一】三角函數(shù)同角關(guān)系 5【基礎(chǔ)考點(diǎn)二】三角函數(shù)和差角公式 6【基礎(chǔ)考點(diǎn)三】三角函數(shù)倍角公式 7【基礎(chǔ)考點(diǎn)四】三角函數(shù)輔助角公式 7【基礎(chǔ)考點(diǎn)五】正弦定理、余弦定理 8【綜合考點(diǎn)】 9【綜合考點(diǎn)一】三角恒等變換應(yīng)用（給角求值、給值求值、給值求角） 9【綜合考點(diǎn)二】三角形中線模型 10【綜合考點(diǎn)三】三角形角平分線模型 11【綜合考點(diǎn)四】三角形中的范圍、最值模型（對(duì)邊對(duì)角） 12【培優(yōu)考點(diǎn)】 13【培優(yōu)考點(diǎn)一】三角形中的范圍、最值模型（異邊異角） 13【培優(yōu)考點(diǎn)二】三角形中的結(jié)構(gòu)不良型 14【總結(jié)提升】 15【專項(xiàng)檢測(cè)】 15備考指南備考指南考點(diǎn)考情分析考頻三角恒等變換2023年新高考Ⅰ卷T82023年新高考Ⅱ卷T72022年新高考Ⅱ卷T62021年新高考Ⅰ卷T62021年全國(guó)甲卷T93年5考三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)2023年新高考Ⅰ卷T152023年新高考Ⅱ卷T162023年全國(guó)乙卷T62022年新高考Ⅰ卷T62022年新高考Ⅱ卷T92022年全國(guó)甲卷T112022年全國(guó)乙卷T152021年新高考Ⅰ卷T42021年全國(guó)甲卷T163年9考解三角形及應(yīng)用2023年新高考Ⅰ卷T172023年新高考Ⅱ卷T172023年全國(guó)乙卷T182022年新高考Ⅰ卷T182022年新高考Ⅱ卷T182022年全國(guó)甲卷T162022年全國(guó)乙卷T172021年新高考Ⅰ卷T192021年新高考Ⅱ卷T183年9考三角函數(shù)的圖象變換與解析式2023年全國(guó)甲卷T102021年全國(guó)乙卷T72年2考同角三角函數(shù)的基本關(guān)系2023年全國(guó)甲卷T7三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式2023年全國(guó)甲卷T13預(yù)測(cè)：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值是高考的命題熱點(diǎn)，其中同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式是解決計(jì)算問題的工具；三角恒等變換是利用三角恒等式(兩角和與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)進(jìn)行變換，“角”的變換是三角恒等變換的核心.正弦定理與余弦定理以及解三角形是高考的必考內(nèi)容，主要考查邊、角、面積、周長(zhǎng)等的計(jì)算.以三角函數(shù)、三角形為背景的最值及范圍問題是高考的熱點(diǎn)，常用的方法主要有：函數(shù)的性質(zhì)(如有界性、單調(diào)性)、基本不等式、數(shù)形結(jié)合等.全國(guó)卷近三年三角恒等變換與解三角形的考察注意以基礎(chǔ)性題型為主.建議在二輪復(fù)習(xí)時(shí)抓好查缺補(bǔ)漏，鞏固好基礎(chǔ)知識(shí)，掌握好基本方法，同時(shí)要加強(qiáng)鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力.要關(guān)注如2022年新高考Ⅱ卷T18結(jié)構(gòu)不良型試題.真題在線真題在線一、單選題1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）．A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．4．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．5．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若，則（

）A． B．C． D．6．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若，則（

）A． B． C． D．7．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（

）A． B． C． D．8．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（

）A．和 B．和2 C．和 D．和29．（2016下·上海金山·高三華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)校考期中）若，則（

）A． B． C． D．10．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距二、填空題11．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．三、解答題12．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．13．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．14．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.15．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．16．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：17．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長(zhǎng)．18．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．基礎(chǔ)考點(diǎn)基礎(chǔ)考點(diǎn)【考點(diǎn)一】三角函數(shù)同角關(guān)系【典例精講】（多選）（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測(cè)）下列化簡(jiǎn)正確的是（

）A．B．C．D．【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，則（

）A． B． C． D．2．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）已知角的終邊不在坐標(biāo)軸上，則下列一定成等比數(shù)列的是（

）A． B．C． D．二、多選題（2022上·江西吉安·高二江西省吉水縣第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，，則（）A． B．C． D．三、填空題4．（2023·廣東汕頭·?？家荒＃┮阎瑒t.【考點(diǎn)二】三角函數(shù)和差角公式【典例精講】（多選）（2023·河南信陽·信陽高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知，為坐標(biāo)原點(diǎn)，終邊上有一點(diǎn).則（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·全國(guó)·鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題4．（2023·安徽·池州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知銳角滿足，則.【考點(diǎn)三】三角函數(shù)倍角公式【典例精講】（多選）（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）下列化簡(jiǎn)正確的是（

）A．B．C．D．【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考一模）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期是 B．，使C．在內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn) D．函數(shù)的圖像是中心對(duì)稱圖形三、填空題4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知角滿足，則．【考點(diǎn)四】三角函數(shù)輔助角公式【典例精講】（多選）（2023·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃╆P(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的最大值為2C．直線是的圖像的一條對(duì)稱軸D．點(diǎn)是的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·四川瀘州·四川省敘永第一中學(xué)校?？家荒＃┰阡J角中，若，且，則能取到的值有（

）A．2 B． C． D．42．（2022上·山東淄博·高三統(tǒng)考期末）（

）A． B． C． D．二、填空題3．（2017·安徽蚌埠·高二蚌埠二中階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且，則sinA+sinC的最大值是．三、解答題4．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）已知向量，，．函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)設(shè)，，求的零點(diǎn)組成的集合A．【考點(diǎn)五】正弦定理、余弦定理【典例精講】（多選）（2023下·安徽合肥·高一統(tǒng)考期中）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則（

）A． B．C．角A的最大值為 D．面積的最小值為【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，，，且的面積為，則（

）A． B． C． D．2．（2023·山東·統(tǒng)考一模）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，面積為S，且，則角的值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，其中，且，若邊上的中點(diǎn)為，則（

）A． B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為三、填空題4．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考一模）已知的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a、b、c，其中A、C、B成等差數(shù)列，，，則的面積為．綜合考點(diǎn)綜合考點(diǎn)【考點(diǎn)一】三角恒等變換應(yīng)用（給角求值、給值求值、給值求角）【典例精講】（多選）（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．的零點(diǎn)是D．的單調(diào)遞增區(qū)間為【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）式子化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若，且滿足，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·云南曲靖·?？既＃┮阎瘮?shù)，以下說法中，正確的是（

）A．函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，的取值范圍為D．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像的解析式為三、填空題4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，則．【考點(diǎn)二】三角形中線模型【典例精講】（多選）（2021下·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期中）《數(shù)書九章》是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個(gè)問題，分為九類，每類九個(gè)問題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊a，b，c求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價(jià)，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)，一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即.現(xiàn)有滿足，且的面積，請(qǐng)運(yùn)用上述公式判斷下列命題正確的是（

）A．周長(zhǎng)為B．三個(gè)內(nèi)角A，C，B滿足關(guān)系C．外接圓半徑為D．中線CD的長(zhǎng)為【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預(yù)測(cè)）在銳角中，，，則中線的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·山西呂梁·統(tǒng)考二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，為邊上的中線，，且，則的面積為(

)A．2 B． C． D．二、多選題3．（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考一模）中，，BC邊上的中線，則下列說法正確的有（

）A．為定值 B．C． D．的最大值為30°三、填空題4．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）在中，，為邊上的中線且，則的取值范圍是．【考點(diǎn)三】三角形角平分線模型【典例精講】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）在△ABC中，角所對(duì)的邊分別是，其中，，.若B的角平分線BD交AC于點(diǎn)D，則.【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·江西上饒·統(tǒng)考二模）在中，的角平分線交于點(diǎn)，，，，則（

）A． B． C． D．2．（2023·青海玉樹·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，為的角平分線，且，，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2021下·江蘇南京·高一金陵中學(xué)?？计谀┰谥?，角所對(duì)的邊分別為，角的角平分線交于點(diǎn)，若，且，，則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題4．（2023·安徽·池州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知中，，的角平分線交于點(diǎn)，且，則的面積為.【考點(diǎn)四】三角形中的范圍、最值模型（對(duì)邊對(duì)角）【典例精講】（多選）（2022·遼寧·撫順市第二中學(xué)校聯(lián)考三模）在①，②，③這三個(gè)條件中，任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，問題：在中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，，_______．(1)求角B﹔(2)求的范圍．【變式訓(xùn)練】一、解答題1．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)若為銳角三角形，，求周長(zhǎng)范圍．2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并作答.問題：在中，角所對(duì)的邊分別為，且__________.(1)求角的大??；(2)已知，且角有兩解，求的范圍.3．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求角；(2)設(shè)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求的面積．4．（2022上·福建廈門·高三廈門外國(guó)語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，，(1)求角B﹔(2)求的范圍．培優(yōu)考點(diǎn)培優(yōu)考點(diǎn)【考點(diǎn)一】三角形中的范圍、最值模型（異邊異角）【典例精講】（多選）（2022·陜西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知銳角中，角所對(duì)的邊分別為，滿足.(1)求；(2)若，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)求.【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為.若，且該三角形有兩解，則的范圍是（

）A． B．C． D．二、解答題2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，，．(1)求角A的值；(2)若，求面積的范圍．3．（2022上·浙江溫州·高三蒼南中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)的值;(2)若b=2，當(dāng)角最大時(shí)，求的面積.4．（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，平面四邊形中，，，，.(1)若，求的值；(2)試問為何值時(shí)，平面四邊形的面積最大？【考點(diǎn)二】三角形中的結(jié)構(gòu)不良型【典例精講】（多選）（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)?？家荒＃┯浀膬?nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)已知，，邊BC上有一點(diǎn)D滿足，求AD．【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，外接圓半徑為，，D為BC上一點(diǎn)且AD為的平分線，則AD的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知三角形中，，角的平分線交于點(diǎn)，若，則三角形面積的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┮阎娜齻€(gè)內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，若，則下列正確的是（

）A．的取值范圍是B．若是邊上的一點(diǎn)，且，，則的面積的最大值為C．若是銳角三角形，則的取值范圍是D．若平分交點(diǎn)，且，則的最小值為4．（2022下·遼寧錦州·高一統(tǒng)考期末）已知，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列條件一定能夠使為等腰三角形的是（

）A． B．C． D．總結(jié)提升總結(jié)提升1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2.誘導(dǎo)公式的記憶口訣：在eq\f(kπ,2)＋α，k∈Z的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變，符號(hào)看象限”.3.熟記三角函數(shù)公式的兩類變形：(1)和差角公式的變形；(2)倍角公式的變形.4.正弦定理：在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC的外接圓半徑).5.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.變形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).6.求三角函數(shù)式的最值或范圍問題，首先把函數(shù)式化為一個(gè)角的同名三角函數(shù)形式，接著利用三角函數(shù)的有界性或單調(diào)性求解.7.三角形中的最值、范圍問題的解題策略(1)定基本量：根據(jù)題意畫出圖形，找出三角形中的邊、角，利用正弦、余弦定理求出相關(guān)的邊、角，并選擇邊、角作為基本量，確定基本量的范圍.(2)構(gòu)建函數(shù)：根據(jù)正弦、余弦定理或三角恒等變換，將所求范圍的變量表示成函數(shù)形式.(3)求最值：利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性等求函數(shù)的最值.專項(xiàng)專項(xiàng)檢測(cè)一、單選題1．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若，且，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知角滿足，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，若，則（

）A． B．C． D．4．（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若，且，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在，角的對(duì)邊分別為，若，且，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，（

）A． B．C． D．7．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，且，則BD的最小值為（

）A． B．2 C． D．8．（2023·河南洛陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（

）A．16 B．32 C．48 D．52二、多選題9．（2023·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃┮阎?，則（

）A．，使得B．若，則C．若，則D．若，，則的最大值為10．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為1B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．在上單調(diào)遞增D．存在，使得對(duì)任意的都成立11．（2023下·四川·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，則正確的是（