專題5.9中點(diǎn)四邊形大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題八下浙教）-【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題（解析版）【浙教版】

【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題【浙教版】專題5.9中點(diǎn)四邊形大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)30題）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項(xiàng)：本試卷試題解答30道，共分成三個(gè)層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個(gè)題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、解答題1．如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別為矩形ABCD四條邊的中點(diǎn)，證明：四邊形EFGH是菱形．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)矩形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理求證EF=FG=GH=EH，然后利用四條邊都相等的平行四邊形是菱形即可判定．【詳解】解：連接BD，AC．∵矩形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴AC=BD，∴EF=12AC，GH=12同理，F(xiàn)G=12BD，EH=1∴EF=FG=GH=EH，∴四邊形EFGH是菱形．2．如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)．（1）判斷四邊形EFGH是何種特殊的四邊形，并說明你的理由；（2）要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個(gè)條件是．【答案】（1）詳見解析；（2）AD=BC【詳解】試題分析：（1）利用三角形的中位線定理可證得EF∥GH，EF=GH后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定即可；（2）由（1）中的結(jié)論，再根據(jù)菱形的判定定理即可得到條件．試題解析：（1）四邊形EFGH是平行四邊形；理由如下：在△ACD中∵G、H分別是CD、AC的中點(diǎn)，∴GH∥AD，GH=AD，在△ABC中∵E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)，∴EF∥AD，EF=AD，∴EF∥GH，EF=GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．（2）要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個(gè)條件是AD=BC．理由如下：∵E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，∴EF=12AD同理可得：FG=12BC∵AD=BC，即EF=FG，又∵四邊形EFGH是平行四邊形．∴?EFGH是菱形．考點(diǎn)：1．菱形的判定；2．平行四邊形的判定；3．三角形的中位線定理3．如圖，E、F、G、H分別為四邊形ABCD四邊之中點(diǎn)．(1)求證：四邊形EFGH為平行四邊形；(2)當(dāng)AC、BD滿足______時(shí)，四邊形EFGH為矩形．【答案】（1）見解析；（2）AC⊥BD【分析】（1）連接BD，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得EH∥BD，EH=12BD，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G=12BD，從而得出（2）當(dāng)AC⊥BD時(shí)，連接AC，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得EF∥AC，從而得出EF⊥BD，然后由（1）的結(jié)論可證出EF⊥EH，最后根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可證出結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接BD∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)∴EH是△ABD的中位線，F(xiàn)G是△CBD的中位線∴EH∥BD，EH=12BD，F(xiàn)G∥BD，∴EH∥FG，EH=FG∴四邊形EFGH為平行四邊形；（2）當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為矩形，理由如下連接AC，∵E、F為BA和BC的中點(diǎn)∴EF為△BAC的中位線∴EF∥AC∵AC⊥BD∴EF⊥BD∵EH∥BD∴EF⊥EH∴∠FEH=90°∵四邊形EFGH為平行四邊形∴四邊形EFGH為矩形故答案為：AC⊥BD．【點(diǎn)睛】此題考查的是中位線的性質(zhì)、平行四邊形的判定和矩形的判定，掌握中位線的性質(zhì)、平行四邊形的判定定理和矩形的定義是解決此題的關(guān)鍵．4．如圖，E、F、G、H為四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，對角線AC⊥BD．求證：四邊形EFGH為矩形．【答案】見解析．【分析】先由三角形的中位線定理推知四邊形EFGH是平行四邊形，然后由AC⊥BD可以證得平行四邊形EFGH是矩形．【詳解】證明：∵E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF＝12AC，EF//AC同理，GH＝12AC，GH//AC，F(xiàn)G＝12∴EF＝GH，EF//GH，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∵AC⊥BD，∴∠HEF＝90°，∴平行四邊形EFGH為矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查中點(diǎn)四邊形以及矩形的判定，解題時(shí)利用三角形中位線定理判定四邊形EFGH是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，G，H分別是對角線BD，AC的中點(diǎn)，依次連接E，G，F(xiàn)，H，連接EF，GH．（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；（2）當(dāng)AB=CD時(shí)，EF與GH有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由；【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)AB=CD時(shí)，EF⊥GH，理由見解析【分析】（1）利用三角形的中位線定理可以證得四邊形EGFH的一組對邊平行且相等，即可證得；（2）根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)，∴FG=12CD，F(xiàn)G∥CD．HE=12CD，HE∥C∴FG=EH，F(xiàn)G∥EH，∴四邊形EGFH是平行四邊形；（2）解：當(dāng)AB=CD時(shí)，EF⊥GH，理由：由（1）知四邊形EGFH是平行四邊形，當(dāng)AB=CD時(shí)，EH=12CD，EG=12∴EG=EH，∴四邊形EGFH是菱形，∴EF⊥GH．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理的應(yīng)用，平行四邊形和菱形的判定，掌握三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半和菱形的對角線互相垂直是解題的關(guān)鍵．6．如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H得四邊形EFGH．(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形．(2)當(dāng)四邊形ABCD分別是菱形、矩形、正方形時(shí)，相應(yīng)的平行四邊形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一種？請將你的結(jié)論填入下表：四邊形ABCD菱形矩形正方形平行四邊形EFGH【答案】(1)見解析(2)矩形，菱形，正方形【分析】（1）連接BD，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，可得EH和FG為中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求證．（2）由（1），根據(jù)矩形，菱形，正方形的判定即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接BD，∵E、H分別是AB、AD中點(diǎn)，∴EH//BD，EH＝12BD同理FG//BD，F(xiàn)G＝12BD∴EH//FG，且EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．（2）連接AC，BD，如圖所示：當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，∴AC⊥BD，∵FG//BD，EH//FG，∴EH⊥EF，∴平行四邊形EFGH是矩形，當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，AC=BD，則EH=EF，∴平行四邊形ABCD是菱形，當(dāng)四邊形ABCD是正方形時(shí)，AC=BD且AC⊥BD，則EH=EF且EH⊥EF，∴平行四邊形EFGH是正方形，故答案為：矩形，菱形，正方形．【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形、平行四邊形的判定、三角形的中位線的性質(zhì)，菱形的判定，矩形的判定及正方形的判定，熟練掌握其各判定定理是解題的關(guān)鍵．7．已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）．(1)四邊形EFGH的形狀是________，并證明你的結(jié)論．(2)當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足________條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形．(3)在教材課本中你學(xué)過的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形？________【答案】(1)平行四邊形，證明見解析(2)AC⊥BD(3)矩形【分析】（1）連接BD，然后根據(jù)三角形中位線可進(jìn)行求解；（2）根據(jù)矩形的判定定理可進(jìn)行求解；（3）由矩形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．（1）解：四邊形EFGH的形狀是平行四邊形，理由如下：如圖1，連結(jié)BD．∵E、H分別是AB、AD中點(diǎn)，∴EH∥BD，同理FG∥BD，∴EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形；（2）解：當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是矩形；理由如下：連結(jié)AC，如圖所示：由（1）可知四邊形EFGH是平行四邊形，∴EH//∵AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四邊形EFGH是矩形；（3）解：由（1）可知四邊形EFGH是平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，∴EF=EH，∴四邊形EFGH是菱形；故答案為矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查中點(diǎn)四邊形、三角形中位線、矩形的性質(zhì)與判定及菱形的判定，熟練掌握中點(diǎn)四邊形、三角形中位線、矩形的性質(zhì)與判定及菱形的判定是解題的關(guān)鍵．8．如圖，E，F(xiàn)，G，H是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)．(1)證明：四邊形EFGH為平行四邊形．(2)若四邊形ABCD是矩形，且其面積是7cm2，則四邊形EFGH的面積是【答案】(1)見解析(2)3.5【分析】（1）連接BD，由三角形中位線定理可得出EF=GH，EF∥GH，由平行四邊形的判定可得出結(jié)論；（2）由矩形的判定與性質(zhì)得出答案．（1）證明：連接BD，∵E、F分別為AD、AB的中點(diǎn)，∴EF是△ABD的中位線，∴EF=12BD，EF∥BD同理，GH=12BD，GH∥BD∴EF=GH，EF∥GH，∴四邊形EFGH為平行四邊形；（2）如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∵E，F(xiàn)，G，H是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，∴DH=AF=CH=BF，∴四邊形AFHD和四邊形HFBC都是矩形，∴AD=HF=BC，DC=EG=AB，∴S四邊形EFGH=12EG?HF＝12AB?∵四邊形ABCD的面積是7cm2，∴AB?BC=7cm2，∴四邊形EFGH的面積是3.5（cm2），故答案為：3.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查中點(diǎn)四邊形以及矩形的性質(zhì)，解題時(shí)利用三角形中位線定理判定四邊形EFGH是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．9．我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．（1）如圖1，四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．求證：中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如圖2，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想；（3）若改變（2）中的條件，使∠APB=∠CPD=90°，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀．（不必證明）【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形EFGH是菱形，證明見解析；（3）四邊形EFGH是正方形【分析】（1）如圖1中，連接BD，根據(jù)三角形中位線定理只要證明EH∥FG，EH=FG即可．（2）四邊形EFGH是菱形．先證明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再證明EF=FG即可．（3）四邊形EFGH是正方形，只要證明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可證明∠COD=∠CPD=90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）證明：如圖1中，連接BD．∵點(diǎn)E，H分別為邊AB，DA的中點(diǎn)，∴EH∥BD，EH=12BD∵點(diǎn)F，G分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，∴FG∥BD，F(xiàn)G=12BD∴EH∥FG，EH=GF，∴中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形．（2）四邊形EFGH是菱形．證明：如圖2中，連接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，∴△APC≌△BPD（SAS），∴AC=BD．∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為邊AB，BC，CD的中點(diǎn)，∴EF=12AC，F(xiàn)G=12∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴四邊形EFGH是菱形．（3）四邊形EFGH是正方形．證明：如圖2中，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O．AC與PD交于點(diǎn)M，AC與EH交于點(diǎn)N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，∵四邊形EFGH是菱形，∴四邊形EFGH是正方形．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)和中點(diǎn)四邊形，綜合性較強(qiáng)，作出適當(dāng)輔助線是本題的關(guān)鍵．10．如圖，已知△ABC，點(diǎn)O是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，B，C重合的任意一點(diǎn)，連接OA，OB，OC，并順次連接AB，OB，OC，AC的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G得四邊形DEFG．（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；（2）若使四邊形DEFG為矩形，則OA與BC的位置關(guān)系是；若使四邊形DEFG為菱形，則OA與BC的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）OA⊥BC，OA＝BC【分析】（1）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得DG//BC，DG＝12BC，EF//BC，EF＝12BC，進(jìn)而可得DG//EF，DG＝（2）由矩形的判定和菱形的判定可得出答案．【詳解】（1）證明：∵D、G分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DG//BC，DG＝12BC∵E、F分別是OB、OC的中點(diǎn)，∴EF//BC，EF＝12BC∴DG＝EF，DG//EF，∴四邊形DEFG是平行四邊形；（2）解：當(dāng)四邊形DEFG是矩形，OA⊥BC．由三角形中位線性質(zhì)得∠EDG＝90°，所以平行四邊形DEFG是矩形．當(dāng)OA＝BC時(shí)，四邊形DEFG是菱形．由三角形中位線性質(zhì)得DE＝EF，所以平行四邊形DEFG是菱形．故答案為：OA⊥BC，OA＝BC．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線，矩形的判定，菱形的判定，解本題的關(guān)鍵是判定四邊形DEFG是平行四邊形．11．我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，中點(diǎn)四邊形EFGH是．（2）如圖2，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想．（3）若改變（2）中的條件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀（不必證明）．【答案】（1）平行四邊形；（2）菱形，見解析；（3）正方形【分析】（1）連接BD，根據(jù)三角形中位線定理證明EH∥FG，EH=FG，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明即可；（2）證明△APC≌△BPD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=BD，再證明EF=FG，根據(jù)菱形的判定定理證明結(jié)論；（3）證明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得到∠ACP=∠BDP，即可證明∠COD=∠CPD=90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠EHG=90°，根據(jù)正方形的判定定理證明即可．【詳解】解：（1）如圖1，連接BD，∵點(diǎn)E，H分別為邊AB，DA的中點(diǎn)，∴EH∥BD，EH=12BD∵點(diǎn)F，G分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，∴FG∥BD，F(xiàn)G=12BD∴EH∥FG，EH=GF，∴中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形，故答案為：平行四邊形；（2）結(jié)論：四邊形EFGH是菱形，理由：如圖2，連接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，AP=BP∠APC=∠BPD∴△APC≌△BPD（SAS），∴AC=BD，∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為邊AB，BC，CD的中點(diǎn)，∴EF=12AC，F(xiàn)G=12∴EF=FG，由（1）知中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形，∴平行四邊形EFGH是菱形；（3）結(jié)論：四邊形EFGH是正方形，理由：如圖2，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O．AC與PD交于點(diǎn)M，∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠DOC=90°，由（2）知中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形，∴菱形EFGH是正方形．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形中位線定理，學(xué)會添加常用輔助線．12．如圖，四邊形ABCD中，AC＝m，BD＝n，且AC丄BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn)，得到四邊形A2B2C2D2…，如此進(jìn)行下去，得到四邊形AnBnCnDn．(1)四邊形A1B1C1D1是形；(2)四邊形A2B2C2D2是形；(3)四邊形A5B5C5D5的周長是；(4)四邊形AnBnCnDn的面積是．【答案】(1)矩(2)菱(3)m+n(4)mn【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理、矩形的判定定理解答；（2）根據(jù)菱形的判定定理解答；（3）、（4）根據(jù)矩形、菱形的面積公式計(jì)算，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答．（1）解∵在四邊形ABCD中，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1，∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，∴四邊形A1B1C1D1是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴A1B1⊥A1D1，∴平行多邊形A1B1C1D1是矩形，故答案為：矩；（2）連接A1C1，B1D1，∵四邊形A1B1C1D1是矩形，∴B1D1=A1C1，∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2，∴四邊形A2B2C2D2是菱形；故答案為：菱；（3）根據(jù)中位線的性質(zhì)易知，根據(jù)中位線的性質(zhì)可知，A5B5=12A3B3=14A1B1=18AC，B5C5=12B3C3=14B1C∴四邊形A5B5C5D5的周長是2×18（m+n）=m+n故答案為m+n4（4）∵四邊形ABCD中，AC=m，BD=n，且AC⊥BD，∴S四邊形ABCD=ab÷2；由三角形的中位線的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话?，四邊形AnBnCnDn的面積是mn2故答案為：mn2【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的判定定理、矩形的判定定理、三角形中位線定理，掌握菱形和矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．13．定義：對于一個(gè)四邊形，我們把依次連接它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”．如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形叫做“中方四邊形”．概念理解：下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是_____________．A．平行四邊形

B．矩形

C．菱形

D．正方形性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關(guān)于四邊形ABCD的兩條結(jié)論；問題解決：如圖2，以銳角△ABC的兩邊AB，AC為邊長，分別向外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，連接BE，EG，GC．求證：四邊形BCGE是“中方四邊形”；拓展應(yīng)用：如圖3，已知四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，（1）試探索AC與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．【答案】概念理解：D；性質(zhì)探究：①AC=BD，②AC⊥CD；問題解決：見解析；拓展應(yīng)用：（1）MN=22AC，理由見解析；（【分析】概念理解：根據(jù)定義“中方四邊形”，即可得出答案；性質(zhì)探究：由四邊形ABCD是“中方四邊形”，可得EFGH是正方形且E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理即可得出答案；問題解決：如圖2，取四邊形BCGE各邊中點(diǎn)分別為P、Q、R、L并順次連接成四邊形MNRL，連接CE交AB于P，連接BG交CE于K，利用三角形中位線定理可證得四邊形MNRL是平行四邊形，再證得△EAC≌△BAG（SAS），推出?MNRL是菱形，再由∠LMN=90°，可得菱形MNRL是正方形，即可證得結(jié)論；拓展應(yīng)用：（1）如圖3，分別作AD、BC的中點(diǎn)E、F并順次連接EN、NF、FM、ME，可得四邊形ENFM是正方形，再根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）如圖4，分別作AD、BC的中點(diǎn)E、F并順次連接EN、NF、FM、ME，連接BD交AC于O，連接OM、ON，當(dāng)點(diǎn)O在MN上（即M、O、N共線）時(shí)，OM+ON最小，最小值為MN的長，再結(jié)合（1）的結(jié)論即可求得答案．【詳解】解：概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四邊形”，理由如下：因?yàn)檎叫蔚膶蔷€相等且互相垂直，故選：D；性質(zhì)探究：①AC=BD，②AC⊥BD；理由如下：如圖1，∵四邊形ABCD是“中方四邊形”，∴EFGH是正方形且E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，∴∠FEH=90°，EF=EH，EH∥BD，EH=12BD，EF∥AC，EF=12∴AC⊥BD，AC=BD，故答案為：AC⊥BD，AC=BD；問題解決：如圖2，取四邊形BCGE各邊中點(diǎn)分別為M、N、R、L并順次連接成四邊形MNRL，連接CE交AB于P，連接BG交CE于K，∵四邊形BCGE各邊中點(diǎn)分別為M、N、R、L，∴MN、NR、RL、LM分別是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位線，∴MN∥BG，MN=12BGRL∥BG，RL=12BGRN∥CE，RN=12CEML∥CE，ML=12CE∴MN∥RL，MN=RL，RN∥ML∥CE，RN=ML，∴四邊形MNRL是平行四邊形，∵四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形，∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，又∵∠BAC=∠BAC，∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAG，在△EAC和△BAG中，AE=AB∠EAC=∠BAG∴△EAC≌△BAG（SAS），∴CE=BG，∠AEC=∠ABG，又∵RL=12BG，RN=12∴RL=RN，∴?MNRL是菱形，∵∠EAB=90°，∴∠AEP+∠APE=90°．又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK，∴∠ABG+∠BPK=90°，∴∠BKP=90°，又∵M(jìn)N∥BG，ML∥CE，∴∠LMN=90°，∴菱形MNRL是正方形，即原四邊形BCGE是“中方四邊形”；拓展應(yīng)用：（1）MN=22AC如圖3，分別作AD、BC的中點(diǎn)E、F并順次連接EN、NF、FM、ME，∵四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴四邊形ENFM是正方形，∴FM=FN，∠MFN=90°，∴MN=FM2+FN2=∵M(jìn)，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴FM=12AC∴MN=22AC（2）如圖4，分別作AD、BC的中點(diǎn)E、F并順次連接EN、NF、FM、ME，連接BD交AC于O，連接OM、ON，當(dāng)點(diǎn)O在MN上（即M、O、N共線）時(shí)，OM+ON最小，最小值為MN的長，∴2（OM+ON）≥2MN，由性質(zhì)探究②知：AC⊥BD，又∵M(jìn)，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AB=2OM，CD=2ON，∴2（OM+ON）=AB+CD，∴AB+CD≥2MN，由拓展應(yīng)用（1）知：MN=22AC又∵AC=2，∴MN=2，∴AB+CD的最小值為22．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短等知識，理解“中方四邊形”的定義并運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．14．已知：如圖1，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）．(1)四邊形EFGH的形狀是．(2)如圖2，請連接四邊形ABCD的對角線AC與BD，當(dāng)AC與BD滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形；證明你的結(jié)論．(3)你學(xué)過的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形？說明理由．【答案】(1)平行四邊形(2)AC⊥BD，證明見解析(3)菱形，見解析【分析】（1）連接BD，根據(jù)三角形中位線定理得到EH//BD，EH=12BD，F(xiàn)G//BD，F(xiàn)G=12BD，推出EH//FG，EH=（2）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，可知當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足AC⊥BD的條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形；（3）菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形，根據(jù)三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半可得EH∥FG，EH＝FG，進(jìn)而得出四邊形EFGH是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)證明EH⊥HG，可得平行四邊形EFGH是矩形．(1)解：四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．理由如下：如圖1，連結(jié)BD．∵E、H分別是AB、AD中點(diǎn)，∴EH∥BD，EH＝12BD同理FG∥BD，F(xiàn)G＝12BD∴EH∥FG，EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，故答案為：平行四邊形；(2)當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足AC⊥BD條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形．理由如下：如圖2，連結(jié)AC、BD．∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)，∴EH∥BD，HG∥AC，∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，又∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴平行四邊形EFGH是矩形，故答案為：AC⊥BD．(3)菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形．理由如下：如圖3，連結(jié)AC、BD．∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)，∴EH∥BD，HG∥AC，F(xiàn)G∥BD，EH＝12BD，F(xiàn)G＝12∴EH∥FG，EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EH∥BD，HG∥AC，∴EH⊥HG，∴平行四邊形EFGH是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查中位線定理、平行四邊形的判定、矩形的判定、菱形的性質(zhì)等知識，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．15．如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；(2)當(dāng)AD=BC時(shí)，□EFGH是；（填空即可）(3)當(dāng)AD⊥BC時(shí)，□EFGH是．（填空即可）【答案】(1)證明見解析(2)菱形，理由見解析(3)矩形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得到EF=12AD，EF∥AD，GH=12AD，（2）根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形解答；（3）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形解答．（1）證明：∵E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)，∴EF是△BAD的中位線，∴EF=12AD∵G、H分別是CD、AC的中點(diǎn)，∴GH是△CAD的中位線，∴GH=12AD∴EF=GH，EF∥GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．（2）平行四邊形EFGH是菱形．理由如下：∵F、G分別是BD、CD的中點(diǎn)，∴FG是△DBC的中位線，∴FG=12BC同理：EF=1∵AD=BC，∴EF=FG，∴平行四邊形EFGH是菱形．（3）平行四邊形EFGH是矩形．理由如下：∵EF∥AD，∴∠FEB=∠DAB，∵EH∥BC，∴∠HEA=∠ABC，∵AD⊥BC，∴∠DAB+∠ABC=90°，∴∠HEF=180°-=180°-=180°-90°=90°，∴平行四邊形EFGH是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理，矩形的判定，菱形的判定和平行四邊形的判定等知識．理解和掌握菱形、矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．16．【猜想結(jié)論】如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，可以根據(jù)度量或目測猜想結(jié)論：DE∥BC，且DE=12B(1)【驗(yàn)證結(jié)論】如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，延長DE至F，使得EF＝DE，連接FC．求證：DE∥BC，DE=12B(2)【應(yīng)用結(jié)論】如圖3，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)得到新四邊形EFGH，稱為四邊形ABCD中點(diǎn)四邊形．應(yīng)用上述驗(yàn)證結(jié)論，求解下列問題：①證明：四邊形EFGH是平行四邊形；②當(dāng)AC、BD滿足時(shí)，四邊形EFGH是矩形；③當(dāng)AC、BD滿足時(shí)，四邊形EFGH是正方形．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②垂直；③垂直且相等【分析】（1）先根據(jù)“SAS”證明△AED≌△CEF，得出∠A=∠ECF，AD=CF，根據(jù)平行線的判定得出AD∥CF，得出BD=CF，證明四邊形BCFD為平行四邊形，得出DE∥BC，DF=BC，即可證明結(jié)論；（2）①連接AC、BD，根據(jù)中位線性質(zhì)得出EF∥GH，EH∥GF，即可得證明四邊形EFGH為平行四邊形；②根據(jù)矩形的判定方法，得出結(jié)論即可；③根據(jù)正方形的判定方法，得出結(jié)論即可．（1）證明：∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴AE=CE，∵在△AED和△CEF中AE=CE∠AED=∠CEF∴△AED≌△CEF，∴∠A=∠ECF，AD=CF，∴AD∥CF，∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴AD=BD，∴BD=CF，∴四邊形BCFD為平行四邊形，∴DE∥BC，DF=BC，∵DE=1∴DE=1即DE∥BC，DE=12B（2）①連接AC、BD，如圖所示：∵點(diǎn)E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，GF∥BD，∴EF∥GH，EH∥GF，∴四邊形EFGH為平行四邊形；②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是矩形；根據(jù)解析①可知，GH∥AC，EH∥BD，四邊形EFGH是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∵GH∥AC，∴∠HMO=90°，∵EH∥GF，∴∠EHM+∠HMO=180°，∴∠EHM=180°-90°=90°，∴四邊形EFGH是矩形；故答案為：垂直；③當(dāng)AC=BD且AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是正方形；根據(jù)解析②可知，當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是矩形，根據(jù)解析①可知，GH=12AC∵AC=BD，∴GH=EH，∴四邊形EFGH是正方形．故答案為：垂直且相等【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握特殊四邊形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．17．如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG，GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）．(1)四邊形EFGH的形狀是______，當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足______（填入位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系）時(shí)，四邊形EFGH是矩形．(2)當(dāng)AC＝BD時(shí)，四邊形EFGH的形狀是______．(3)若AC⊥BD且AC＝BD，求證：四邊形EFGH為正方形．【答案】(1)平行四邊形，AC⊥BD(2)菱形(3)見解析【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理和平行四邊形判定定理可得EFGH是平行四邊形，當(dāng)AC⊥BD時(shí)，由三角形的中位線定理易知EF⊥EH，結(jié)合EFGH是平行四邊形即可解答；（2）當(dāng)AC=BD時(shí)，由三角形的中位線定理易知EF=EH，結(jié)合EFGH是平行四邊形即可得到四邊形EFGH是菱形；（3）當(dāng)AC=BD時(shí)，由（2）可得四邊形EFGH是菱形，由EF⊥EH和EFGH是平行四邊形即可得到四邊形EFGH是矩形即可證明結(jié)論；（1）解：∵四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，∴線段EH，F(xiàn)G分別是?ADC，?ABC的中位線，∴EH//AC，EH=12AC，F(xiàn)G//AC，F(xiàn)G=12∴EH//FG，EH=FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形；∵四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，∴線段EF是?ABD的中位線，∴EF//BD，∵EH//AC，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴四邊形EFGH是矩形；故答案是：平行四邊形，AC⊥BD．（2）∵四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，∴線段EF是?ABD的中位線，∴EF=12BD，EH=1∵AC=BD，∴EF=EH∵四邊形EFGH是平行四邊形；∴四邊形EFGH是菱形．故答案：菱形．（3）解：由（2）可得當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是菱形∵EH//AC，EF∥BD，AC⊥BD，∴EF⊥EH∵四邊形EFGH是平行四邊形∴四邊形EFGH是矩形∴四邊形EFGH是正方形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中點(diǎn)四邊形的有關(guān)問題，熟練掌握好三角形的中位線定理和平行四邊形，矩形，菱形，正方形的轉(zhuǎn)化關(guān)系及判定方法是解題的關(guān)鍵．18．四邊形ABCD，點(diǎn)M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)．(1)如圖1，順次連結(jié)M、N、P、Q得到四邊形ANPQ，試猜想四邊形MNPQ的形狀并證明；(2)如圖2，若∠B＝∠C，AB＝CD，順次連結(jié)M、N、P、Q得到四邊形MNPQ，試猜想四邊形MNPQ的形狀并證明；(3)如圖3，若∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，AB＝3，設(shè)線段CQ的長度為m，則m的取值范圍是______．【答案】(1)四邊形MNPQ為平行四邊形，理由見解析(2)四邊形MNPQ為菱形，理由見解析(3)72≤m≤【分析】（1）連結(jié)BD，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得MQ∥BD，MQ＝12BD，PN∥BD，PN＝12BD，進(jìn)而可得MQ∥PN，MQ＝（2）連結(jié)BD、AC，同理可得四邊形MNPQ為平行四邊形證明△ABC≌△DCB（SAS）得出AC＝BD，根據(jù)中位線的性質(zhì)，即可得出MQ＝MN，根據(jù)平菱形的判定定理即可求解；（3）連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)P，連接QP、CP，得出PQ是△ABD的中位線，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求解．（1）解：四邊形MNPQ為平行四邊形，連結(jié)BD∵點(diǎn)M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、AD的中點(diǎn).∴MQ∥BD，MQ＝12BD，PN∥BD，PN＝1∴MQ∥PN，MQ＝PN∴四邊形MNPQ為平行四邊形．（2）四邊形MNPQ為菱形，連結(jié)BD、AC∵點(diǎn)M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn).∴MN＝12在△ABC與△DCB中AB=CD∠ABC=∠DCB∴△ABC≌△DCB（SAS）∴AC＝BD∵點(diǎn)M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、AD的中點(diǎn).∴MQ∥BD，MQ＝12BD，PN∥BD，PN＝1∴MQ∥MN，MQ＝PN∵四邊形MNPQ為平行四邊形

∴平行四邊形MNPQ是菱形．（3）解：如圖，連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)P，連接QP、CP，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，∴BD＝10，∵點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，∴CP＝BP＝CP＝12BD＝5∵點(diǎn)Q是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，∴PQ是△ABD的中位線，∴PQ＝12AB＝3在△CPQ中，CP﹣PQ＜CQ＜CP+PQ，∴72＜m＜13∵點(diǎn)C、點(diǎn)Q是定點(diǎn)，點(diǎn)P是動點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)C、P、Q三點(diǎn)共線，且點(diǎn)Q在線段CP上時(shí)，m取得最小值72當(dāng)點(diǎn)C、P、Q三點(diǎn)共線，且點(diǎn)Q在射線CP上時(shí)，m取得最大值132綜上，m的取值范圍為：72≤m≤13【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形，菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形三邊關(guān)系，三角形中位線的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．19．如圖，已知在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）．(1)若點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：四邊形EFCH是平行四邊形；(2)在（1）的條件下，四邊形ABCD的對角線AC和BD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形，請說明理由；(3)在（2）的條件下，請直接寫出四邊形ABCD的對角線AC和BD再滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是正方形．【答案】(1)見解析(2)AC=BD，理由見解析(3)AC⊥BD且AC=BD，理由見解析【分析】（1）由三角形中位線定理得到相應(yīng)條件，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；（3）根據(jù)正方形的判定進(jìn)行判斷即可．（1）解：證明：連接BD、AC交于點(diǎn)O，如圖1所示：∵四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EH是△ABD的中位線，F(xiàn)G是△BCD的中位線，EF是△ABC的中位線，GH是△ACD的中位線，∴EH∥BD，EH=12BD，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G=12BD，EF∥AC，GH∥∴EH∥FG，EF∥GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形；（2）當(dāng)AC=BD時(shí)，由（1）得：HG=12AC，EH=12∴EH=GH，∴四邊形EFGH是菱形；（3）當(dāng)AC⊥BD且AC=BD時(shí)，四邊形EFGH既是矩形又是菱形，∴四邊形EFGH是正方形．【點(diǎn)睛】此題考查了中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．20．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，E、F、G、H分別為AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)，順次連接E、G、F、H．（1）求證：四邊形EGFH是菱形．（2）當(dāng)∠ABC與∠DCB滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形EGFH為正方形，并說明理由．（3）猜想：∠GFH、∠ABC、∠DCB三個(gè)角之間的關(guān)系，并證明你的猜想是成立的．【答案】（1）見解析（2）當(dāng)∠ABC＋∠DCB＝90°時(shí)，四邊形EGFH為正方形（3）∠GFH＋∠ABC＋∠DCB＝180°【分析】（1）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到EG＝12AB，EH＝12CD，HF＝12AB，EG//AB，HF（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB，根據(jù)平角的定義得到∠GFH＝90°，于是得到結(jié)論；（3）由平行線的性質(zhì)得到∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB，根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵E、F、G、H分別為AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)，∴EG＝12AB，EH＝12CD，HF＝12AB，EG//AB，HF∴四邊形EGFH是平行四邊形，EG＝EH，∴四邊形EGFH是菱形；（2）當(dāng)∠ABC＋∠DCB＝90°時(shí)，四邊形EGFH為正方形，理由：∵GF//CD，HF//AB，∴∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB，∵∠ABC＋∠DCB＝90°，∴∠GFH＝90°，∴菱形EGFH是正方形；（3）∠GFH＋∠ABC＋∠DCB＝180°，理由：∵GF//CD，HF//AB，∴∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB，∵∠BFG＋∠GFH＋∠HFC＝180°，∴∠GFH＋∠ABC＋∠DCB＝180°．【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形，菱形的判定和性質(zhì)，正方形的判定，三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形．(2)若四邊形ABCD的對角線互相垂直且它們的乘積為48，求四邊形EFGH的面積．【答案】(1)見解析(2)12【分析】（1）連接AC，根據(jù)三角形中位線定理證明HG＝EF，HG∥EF，根據(jù)平行四邊形的判定定理可得結(jié)論；（2）先由三角形的中位線定理和矩形的判定定理推知四邊形EFGH是矩形，進(jìn)而求出HG?HE即可解答．（1）證明：連接AC．∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，∴HG＝12AC，HG∥AC，EF＝12AC，EF∥∴HG＝EF，HG∥EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形；（2）連接BD，AC．由（1）得：HG＝12AC，HG∥AC同理可得：HE＝12BD，HE∥BD∵AC⊥BD，∴HE⊥HG，又∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴平行四邊形EFGH是矩形，∵AC?BD=48，∴HG?HE=1∴矩形EFGH的面積為12．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、中點(diǎn)四邊形、三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形中位線定理，學(xué)會添加常用輔助線．22．已知E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC，CD上的點(diǎn)，AF，DE相交于點(diǎn)G，當(dāng)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點(diǎn)時(shí)，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．試探究下列問題：（1）如圖1，若點(diǎn)E不是邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)不是邊CD的中點(diǎn)，且CE=DF，上述結(jié)論①，②是否仍然成立？（請直接回答“成立”或“不成立”，不需要證明）（2）如圖2，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CB的延長線和DC的延長線上，且CE=DF，此時(shí)，上述結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由；（3）如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，連接AE和BF，若點(diǎn)M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點(diǎn)，請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）成立；（2）成立，理由見試題解析；（3）正方形，證明見試題解析．【分析】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，CE=DF，可證△ADF≌△DCE(SAS)，即可得到AF=DE，∠DAF=∠CDE，又因?yàn)椤螦DG+∠EDC=90°，可推出∠ADG+∠DAF=90°，即有AF⊥DE；（2）同理（1）即可證明；（3）設(shè)MQ，DE分別交AF于點(diǎn)G，O，PQ交DE于點(diǎn)H，因?yàn)辄c(diǎn)M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點(diǎn)，可得MQ=PN=12DE，PQ=MN=12AF，MQ∥DE，PQ∥AF，然后根據(jù)AF=DE，可得四邊形MNPQ是菱形，又因?yàn)锳F⊥DE即可證得四邊形【詳解】（1）上述結(jié)論①，②仍然成立，理由是：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°．在△ADF和△DCE中，DF=CE∠ADF=∠DCE=90°∴△ADF≌△DCE(SAS)，∴AF=DE，∠DAF=∠CDE．∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（2）上述結(jié)論①，②仍然成立，理由是：.∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°．在△ADF和△DCE中，DF=CE∠ADF=∠DCE=90°∴△ADF≌△DCE(SAS)，∴AF=DE，∠DAF=∠EDC．∵∠ADG+∠EDC=90°∴∠ADG+∠DAF=90°∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（3）四邊形MNPQ是正方形．理由是：如圖，設(shè)MQ，DE分別交AF于點(diǎn)G，O，PQ交DE于點(diǎn)H．∵點(diǎn)M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點(diǎn)，∴MQ=PN=12DE，PQ=MN=12AF，∴四邊形OHQG是平行四邊形．∵AF=DE，∴MQ=PQ=PN=MN，∴四邊形MNPQ是菱形．∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°∴∠HQG=∠AOD=90°∴四邊形MNPQ是正方形．【點(diǎn)睛】本題為四邊形綜合題，考查正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)．掌握特殊四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．23．通過解方程（組）使問題得到解決的思維方式就是方程思想，已學(xué)過的《勾股定理》及《一次函數(shù)》都與它有密切的聯(lián)系，最近方程家族的《一元二次方程》我們也學(xué)習(xí)了它的求解方法和應(yīng)用．如圖1，矩形ABCD中，AB=9,AD=12,G在CD上，且DG=5，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1個(gè)單位每秒的速度在BC邊上向點(diǎn)C運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為x秒．（1）ΔAPG的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y=34時(shí)x的值；（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)B向C運(yùn)動的過程中，是否存在使AP⊥GP的時(shí)刻？若存在，求出x的值，若不存在，請說明理由；（3）如圖2，M、N分別是AP、PG的中點(diǎn)，在點(diǎn)P從B向C運(yùn)動的過程中，線段MN掃過的圖形是什么形狀【答案】（1）x=8；（2）存在，x=6；（3）平行四邊形，15.【分析】（1）PB=x，PC=12-x，然后依據(jù)ΔAPG的面積=矩形的面積-三個(gè)直角三角形的面積可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，然后將y=34代入函數(shù)關(guān)系式可求得x的值；（2）先依據(jù)勾股定理求得PA、PG、AG的長，然后依據(jù)勾股定理的逆定理列出關(guān)于x的方程，從而可求得x的值；（3）確定出點(diǎn)P分別與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)M、N的位置，然后依據(jù)三角形的中位線定理可證明M1M2//N【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴DC=AB=9，AD=BC=12．∵DG=5，∴GC=4．∵PB=x，PC=12-x，∴y=9×12-1整理得：y=-2.5x+54．當(dāng)y=34時(shí)，-2.5x+54=34，解得：x=8．（2）存在．理由如下：∵PB=x，PC=12-x，AD=12，DG=5，∴PA2=AB2∵當(dāng)AG2=A∴81+x整理得：x2配方得：(x-6)2解得：x=6．（3）如圖所示：∵當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)M位于M1處，點(diǎn)N位于點(diǎn)N∴M1為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N1∵當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)M位于M2處，點(diǎn)N位于點(diǎn)N∴M2為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N2∴M1M2//BC，M∴M1M∴四邊形M1∴MN掃過的區(qū)域?yàn)槠叫兴倪呅危甋=故答案為平行四邊形；15．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積公式、一次函數(shù)的應(yīng)用、平行四邊形的判定、三角形中位線定理等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，畫出MN掃過的圖形是解題的關(guān)鍵．24．定義，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做和美四邊形，對角線交點(diǎn)作為和美四邊形的中心．（1）寫出一種你學(xué)過的和美四邊形______；（2）順次連接和美四邊形四邊中點(diǎn)所得四邊形是（

）A．矩形

B，菱形

C．正方形

D．無法確定（3）如圖1，點(diǎn)O是和美四邊形ABCD的中心，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、（4）如圖2，四邊形ABCD是和美四邊形，若AB=4,BC=2,CD=5,求AD的長．【答案】（1）正方形；（2）A；（3）S1+S3=S2+S4；（4）37【分析】（1）根據(jù)正方形的對角線互相垂直解答；（2）根據(jù)矩形的判定定理解答；（3）根據(jù)三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分解答；（4）根據(jù)和美四邊形的定義、勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：（1）正方形是學(xué)過的和美四邊形，故答案為：正方形；（2）順次連接和美四邊形四邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形，如圖，四邊形ACBD中，對角線AB⊥CD，即為“和美四邊形”，點(diǎn)E、F、G、H分別是AC、AD、BD、BC的中點(diǎn)，∴EF∥CD∥HG，且EF=HG=12CDEH∥FG∥AB，且EH=FG=12AB∴四邊形EFGH為平行四邊形，∵AB⊥CD，∴EF⊥EH，∴平行四邊形EFGH是矩形；故選：A．（3）連接AC和BD，由和美四邊形的定義可知，AC⊥BD，則∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，又E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴△AOE的面積=△BOE的面積，△BOF的面積=△COF的面積，△COG的面積=△DOG的面積，△DOH的面積=△AOH的面積，∴S1+S3=△AOE的面積+△COF的面積+△COG的面積+△AOH的面積=S2+S4；（4）如圖，連接AC、BD交于點(diǎn)O，則AC⊥BD，∵在Rt△AOB中，AO2=AB2-BO2，Rt△DOC中，DO2=DC2-CO2，AB=4，BC=2，CD=5，∴可得AD2=AO2+DO2=AB2-BO2+DC2-CO2=AB2+DC2-BC2=42+52-22=37，即可得AD=37【點(diǎn)睛】本題考查的是和美四邊形的定義、矩形的判定、勾股定理的應(yīng)用，正確理解和美四邊形的定義、掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．25．定義：我們把對角線互相垂直的四邊形叫做和美四邊形，對角線交點(diǎn)稱為和美四邊形中心．（1）寫出一種你學(xué)過的和美四邊形________；（2）順次連接和美四邊形四邊中點(diǎn)所得四邊形是________A．矩形

B．菱形

C．正方形

D．無法確定（3）如圖1，點(diǎn)O是和美四邊形ABCD的中心，E、F、G、H分別是邊AB、BC、（4）如圖2，四邊形ABCD是和美四邊形，若AB=3,BC=2,CD=4，求AD的長．【答案】（1）正方形；（2）A；（3）S1+S3＝S2+S4；（4）21【分析】（1）根據(jù)正方形的對角線互相垂直解答；（2）根據(jù)矩形的判定定理解答；（3）根據(jù)三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分解答；（4）根據(jù)和美四邊形的定義、勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：（1）正方形是學(xué)過的和美四邊形，故答案為：正方形；（2）順次連接和美四邊形四邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形，故選：A．（3）由和美四邊形的定義可知，AC⊥BD，則∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，又E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴△AOE的面積＝△BOE的面積，△BOF的面積＝△COF的面積，△COG的面積＝△DOG的面積，△DOH的面積＝△AOH的面積，∴S1+S3＝△AOE的面積+△COF的面積+△COG的面積+△AOH的面積＝S2+S4；（4）如圖2，連接AC、BD交于點(diǎn)O，則AC⊥BD，∵在Rt△AOB中，AO2＝AB2-BO2，Rt△DOC中，DO2＝DC2-CO2，AB＝3，BC＝2，CD＝4，∴可得AD2＝AO2+DO2＝AB2-BO2+DC2-CO2＝AB2+DC2-BC2＝32+42-22＝21，即可得AD=21．【點(diǎn)睛】本題考查的是和美四邊形的定義、矩形的判定、勾股定理的應(yīng)用，正確理解和美四邊形的定義、掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．26．已知：在矩形ABCD中，AB=6，AD=4．（1）如圖1，E、F、G、H分別是AD，AB，BC，CD的中點(diǎn)、求證：四邊形EFGH是菱形；（2）如圖2，若菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、F、H分別在AD，AB，CD上，DE=1①連接BG，若BG=5，求AF②設(shè)AF=m，△GFB的面積為S，且S滿足函數(shù)關(guān)系式S=3-12m．在自變量m的取值范圍內(nèi)，是否存在m，使菱形EPGH【答案】（1）見解析；（2）①72；②存在m=27，菱形EFGH【分析】（1）連接AC，BD，由E、F、G、H分別是AD，AB，BC，CD的中點(diǎn)可得，EF=GH=12BD，EH=FG=12（2）①過點(diǎn)G作GI⊥AB延長線于I，根據(jù)AAS證ΔGIF?ΔEDH，得出GI=DE=1，根據(jù)勾股定理求出BI，設(shè)AF=x，則BF=6-x，再利用勾股定理求出x即可；②延長IG交DC延長線于M，由①知ΔGIF?ΔEDH，同理可證ΔAEF?ΔMGH，則菱形的面積=矩形ADMI的面積-ΔGIF的面積-ΔEDH的面積-ΔAEF的面積-ΔMGH的面積，得出關(guān)于m的關(guān)系式即可得出m最大時(shí)菱形面積最大，當(dāng)H與C重合時(shí)m有最大值，求出此時(shí)的m值即可．【詳解】解：（1）連接AC，BD，∵E、F、G、H分別是AD，AB，BC，CD的中點(diǎn)，∴EF=GH=12BD∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，∴EF=GH=EH=FG，∴四邊形EFGH是菱形；（2）①如圖2，過點(diǎn)G作GI⊥AB延長線于I，∵EH//FG，CD//FI，∴∠DHE=∠GFI，又∵∠I=∠D=90°，F(xiàn)G=EH，∴ΔGIF?ΔEDH(AAS)，∴GI=DE=1∴BI=B設(shè)AF=x，則BF=6-x，∵EF=FG，∴AF即x2解得x=7故AF=7②如圖2，延長IG交DC延長線于M，∴由已知可得，四邊形ADMI是矩形，由①知ΔGIF?ΔEDH，同理可證ΔAEF?ΔMGH，∴菱形的面積=矩形ADMI的面積-ΔGIF的面積-ΔEDH的面積-ΔAEF的面積-ΔMGH的面積，∵S即12∴GI=1，∵AF=m，AB=6，AD=4，DE=1∴FI=G∴S∴當(dāng)m取最大值時(shí)菱形EFGH面積最大，∵當(dāng)H與C重合時(shí)EH有最大值，即m取到最大值，此時(shí)AF=ES菱形∴當(dāng)AF=27時(shí)，菱形EFGH面積最大為18+2【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．27．在四邊形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)分別為P、（1）如圖1，試判斷四邊形PQMN怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論；（2）若在AB上取一點(diǎn)E，連結(jié)DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等邊三角形（如圖2）：①判斷此時(shí)四邊形PQMN的形狀，并證明你的結(jié)論；②當(dāng)AE=6，EB=3，求此時(shí)四邊形PQMN的周長（結(jié)果保留根號）．【答案】（1）平行四邊形，理由見解析；（2）①菱形，證明見解析；②6【分析】（1）連接AC、BD．利用三角形中位線定理判定四邊形PQMN的對邊平行且相等，易證該四邊形是平行四邊形；（2）①設(shè)ΔADE的邊長是x，ΔBCE的邊長是y，由于DB2=(12x+y)②如圖2，過點(diǎn)D作DF⊥AB于F，則通過解三角形求得DF=33，由勾股定理得到DB=(33)2+6【詳解】解：（1）如圖1，連接AC、BD．∵PQ為ΔABC的中位線，∴PQ=12AC同理MN=12AC∴MN=PQ且MN//PQ，∴四邊形PQMN為平行四邊形；（2）①四邊形PQMN是菱形，如圖2，連接AC，BD，∵△ADE和△BCE都是等邊三角形，∴AE=DE，CE=BE，∠AED=∠BEC=60°，∴∠AEC=∠DEB，∴△AEC≌△DEB，∴AC=BD，∵點(diǎn)M，N是AD，CD的中點(diǎn)，∴MN是△ADC的中位線，∴MN=12AC同理：PN=12BD∴MN=PN，由（1）知，四邊形PQMN是平行四邊形，∴平行四邊形PQMN是菱形；②過點(diǎn)D作DF⊥AB于F，則DF=33又∵DF∴DB=(3∴由①知四邊形PQMN是菱形，可計(jì)算得周長是12【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形以及菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題時(shí)，利用了三角形中位線的性質(zhì)定理．28．問題背景：△ABC和△CDE均為等邊三角形，且邊長分別為a，b，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，點(diǎn)F，G，H，I分別為AB，BE，ED，AD的中點(diǎn)，連接FG，GH，HI，IF猜想證明：(1)如圖①，判斷四邊形FGHI是什么特殊四邊形，并說明理由．(2)當(dāng)a＝6，b＝2時(shí)，求四邊形FGHI的周長．拓展延伸：(3)如圖②，當(dāng)四邊形FGHI是正方形時(shí)，連接AE，BD相交于點(diǎn)N，點(diǎn)N，H恰好在FC上．求證：△ABN和△DEN均為等腰直角三角形．【答案】(1)四邊形FGHI是菱形．理由見解析(2)四邊形FGHI的周長為4(3)見解析【分析】（1）根據(jù)△ABC和△CDE為等邊三角形，可得四邊形ABED是等腰梯形，再根據(jù)點(diǎn)F，G，H，I分別為AB，BE，ED，AD的中點(diǎn)，即可得出FG=IH=FI=GH，進(jìn)而得到四邊形FGHI是菱形；（2）過A作AM⊥BC于M，連接AE，再根據(jù)勾股定理，求得Rt△ACM中，AM=33，Rt△AEM中，AE=27，由（1）可得，四邊形FGHI是菱形，且AE=2FG，即可得出四邊形FGHI的周長=4FG=2AE；（3）由點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，△ABC和△CDE均為等邊三角形，所以直線CF為△ABC和△CDE的對稱軸，則有AN＝BN，DN＝EN，再利用三角形中位線得FG∥AEIH，F(xiàn)I∥BD∥GH，則FG∥AEIH，F(xiàn)I∥BD∥GH，又由四邊形FGHI是正方形，得∠FNA＝∠FHI＝45°，∠FNB＝∠FHG＝45°，即可得∠ANB＝∠FNA+∠FNB＝90°，∠DNE＝90°，即可得出結(jié)論．（1）解：四邊形FGHI是菱形.理由：如圖①，連接AE,BD，∵△ABC和△CDE均為等邊三角形，∴AC＝BC,EC＝DC，在△AEC和△BDC中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△AEC≌△BDC(SAS)，∴AE＝BD，∵點(diǎn)F，G，H，I分別為AB，BE，ED，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)G＝12AE＝IH.FI＝12BD＝∴FG＝GH＝IH＝FI.∴四邊形FGHI是菱形；（2）解：如圖②，過點(diǎn)D作DM⊥EC于點(diǎn)M，∵△CDE為等邊三角形，∴MC＝12EC＝12×2＝1，∠C＝∴BM＝BC－MC＝