高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第24講 8.1基本立體圖形（第1課時 棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征）（教師版）

第01講8.1基本立體圖形（第1課時棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①通過對實物模型的觀察，歸納認(rèn)知棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征。②.理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關(guān)系。③能運用棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實生活中簡單幾何體的結(jié)構(gòu)并進(jìn)行有關(guān)計算。1.通過對實物模型的觀察，歸納認(rèn)知棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征；2.理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關(guān)系.學(xué)會用連續(xù)變化的觀點，或者函數(shù)的思想找到他們之間的區(qū)別與聯(lián)系；3.在熟悉基本知識的基礎(chǔ)上，能運用棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實生活中簡單幾何體的結(jié)構(gòu)并進(jìn)行有關(guān)計算，提升數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算能力；知識點01：空間幾何體的相關(guān)概念（1）空間幾何體如果只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其它因素，那么這些由物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體.（2）多面體由若干平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體,圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點.（3）旋轉(zhuǎn)體由一個平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.知識點02：棱柱（1）棱柱的定義定義：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱底面(底)：兩個互相平行的面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點：側(cè)面與底面的公共頂點（2）棱柱的圖形（3）棱柱的分類及表示①按棱柱底面邊數(shù)分類:②按棱柱側(cè)棱與底面位置關(guān)系分類:③直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱表示法：用各頂點字母表示棱柱，如圖棱柱【即學(xué)即練1】（2023上·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）觀察下面的幾何體，哪些是棱柱？（

）A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5）C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7）【答案】A【詳解】根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征：一對平行的平面且側(cè)棱相互平行的幾何體，所以，棱柱有（1）（3）（5）.故選：A知識點03：棱錐（1）棱錐的定義定義：有一面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐底面：多邊形面?zhèn)让妫河泄岔旤c的各三角形面?zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點：各側(cè)面的公共頂點（2）棱錐的圖形（3）棱錐的分類及表示按照棱錐的底面多邊形的邊數(shù)，棱錐可分為：三棱錐、四棱錐、五棱錐……特別地，三棱錐又叫四面體，底面是正多邊形，且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐表示法：棱錐也用頂點和底面各頂點字母表示，如圖棱錐【即學(xué)即練2】（2023下·高一課時練習(xí)）下列幾何體中不是棱錐的為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)棱錐的定義，B、C、D中的幾何體是棱錐，A中的幾何體不是棱錐.故選：A.知識點04：棱臺（1）棱臺的定義定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)让妫撼舷碌酌嬉酝獾拿鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點（2）棱臺的圖形（3）棱臺的分類及表示由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……用各頂點字母表示棱柱，如棱臺【即學(xué)即練3】（2021·高一課時練習(xí)）下列空間圖形中是棱臺的為.(填序號)【答案】③【詳解】由棱臺的定義知，棱臺的上底面必須與下底面平行，且側(cè)棱延長后交于同一點.圖①中側(cè)棱延長后不能交于同一點，圖②中上底面不平行于下底面，故圖①和圖②都不是棱臺.圖③符合棱臺的定義與結(jié)構(gòu)特征.故答案為：③題型01棱柱的結(jié)構(gòu)特征【典例1】（2023下·高一課時練習(xí)）下列命題中為真命題的是（

）A．長方體是四棱柱，直四棱柱是長方體B．棱柱的每個面都是平行四邊形C．有兩個側(cè)面是矩形的四棱柱是直四棱柱D．正四棱柱是平行六面體【答案】D【詳解】對于A，當(dāng)?shù)酌娌皇蔷匦螘r，直四棱柱不是長方體，故A錯誤；對于B，棱柱的上、下底面可能不是平行四邊形，比如三棱柱，五棱柱等，故B錯誤；對于C，可以是兩對稱面為矩形的平行六面體，故C錯誤；對于D，正四棱柱是平行六面體，故D正確.故選：D.【典例2】（多選）（2022下·新疆喀什·高一新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)?？计谥校┫铝嘘P(guān)于棱柱的說法正確的是(

)A．所有的棱柱兩個底面都平行B．所有的棱柱一定有兩個面互相平行，其余各面每相鄰兩個面的公共邊互相平行C．棱柱至少有五個面D．有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱【答案】ABC【詳解】根據(jù)棱柱的定義可知棱柱的兩個底面平行且全等，故A正確；根據(jù)棱柱的定義可知棱柱的兩個底面平行且全等，側(cè)棱均平行，故B正確；棱柱底面至少為三角形，故棱柱至少有2個底面+3個側(cè)面=5個面，故C正確；如圖所示，該幾何體滿足有兩個面互相平行且其余各面都是四邊形，但該幾何體不是棱柱，故D錯誤．故選：ABC．【變式1】（2022·高一課時練習(xí)）下列命題：①有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；③過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【詳解】①如圖1，滿足有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形，顯然不是棱柱，故①錯誤；②如圖2，滿足兩側(cè)面與底面垂直，但不是直棱柱，②錯誤；③如圖3，四邊形為矩形，即過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形可能是矩形，③錯誤；④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因為兩底面不一定是正方形，④錯誤．故選：A【變式2】（多選）（2023下·安徽·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列關(guān)于棱柱的說法正確的是（

）A．棱柱的兩個底面一定平行B．棱柱至少有五個面C．有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱D．正四棱柱一定是長方體【答案】ABD【詳解】選項A：由棱柱定義可得棱柱的兩個底面一定平行.判斷正確；選項B：三棱柱是最簡單的棱柱，三棱柱有五個面，則棱柱至少有五個面.判斷正確；選項C：在正四棱柱上面放置一個與其底面相同的斜四棱柱，所得幾何體是組合體，但是滿足兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形.判斷錯誤；選項D：正四棱柱底面是正方形，側(cè)棱與底面垂直，則正四棱柱一定是長方體.判斷正確.故選：ABD題型02棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征【典例1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）下列描述中，不是棱錐幾何結(jié)構(gòu)特征的是（

）A．三棱錐有4個面是三角形 B．棱錐的側(cè)面都是三角形C．棱錐都有兩個互相平行的多邊形面 D．棱錐的側(cè)棱交于一點.【答案】C【詳解】A中，根據(jù)棱錐的幾何結(jié)構(gòu)，可得三棱錐有4個面是三角形

，所以A正確；B中，根據(jù)棱錐的定義，可得棱錐的側(cè)面都是三角形，所以B正確；C中，根據(jù)棱錐的定義，可得棱錐都沒有兩個互相平行的多邊形面，所以C錯誤；D中，根據(jù)棱錐的定義，可得棱錐的側(cè)棱交于一點，所以D正確.故選：C.【典例2】（2023下·安徽·高一安徽省太和中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列敘述正確的是（

）A．用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺B．兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C．有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺D．棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點【答案】D【詳解】對于A，當(dāng)截面不平行于底面時，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺，A錯誤；對于B，C，如圖的幾何體滿足條件，但側(cè)棱延長線不能相交于一點，不是棱臺，B，C錯誤；

對于D，由棱臺結(jié)構(gòu)特征知側(cè)棱延長后必交于一點，D正確.故選：D.【變式1】（2023下·安徽合肥·高一合肥市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列命題中成立的是（

）A．有兩個相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱B．各個面都是三角形的多面體一定是棱錐C．一個棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱錐D．各個側(cè)面都是矩形的棱柱是長方體【答案】A【詳解】對A，以三棱柱為例，如圖，若側(cè)面和側(cè)面為矩形，則.又平面ABC，所以面，又棱柱側(cè)棱互相平行，故其他側(cè)棱也與底面垂直.所以此三棱柱為直三棱柱，故A正確；

對B，如圖所示的八面體滿足每個面都是三角形，但它不是棱錐，故B不正確；

對C，如圖所示的三棱錐中有，滿足側(cè)面是全等的等腰三角形，但它不是正三棱錐，故C不正確；

對D，各個側(cè)面都是矩形且上下底面也是矩形的棱柱才是長方體，故D不正確.故選：A【變式2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）棱臺不具備的特點是（

）A．兩底面相似 B．側(cè)面都是梯形C．側(cè)棱長都相等 D．側(cè)棱延長后都交于一點【答案】C【詳解】根據(jù)棱臺的定義知，棱臺底面相似，側(cè)面都是梯形，側(cè)棱延長后都交于一點，但是側(cè)棱長不一定相等，故選：C題型03棱柱展開圖及最短距離問題【典例1】（2023上·四川南充·高二儀隴中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在直三棱柱中分別為的中點，沿棱柱的表面從到兩點的最短路徑的長度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得直三棱柱底面為等腰直角三角形．①若把面和面展開在同一個平面內(nèi)，則線段在直角三角形中，

由勾股定理得；②若把面和面展開在同一個平面內(nèi)，則線段在直角三角形中，

此時.③若把面和面展開在同一個平面內(nèi)，設(shè)的中點為，

在直角三角形中，由勾股定理得．④若把面和面展開在同一個面內(nèi)，

過作與行的直線，過作與平行的直線，所作兩直線交于點，則在直角三角形中，由勾股定理得．由于，可得從到兩點的最短路徑的長度為,故選：B【典例2】（多選）（2023下·新疆·高一兵團(tuán)第三師第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）長方體的棱長，則從點沿長方體表面到達(dá)點的距離可以為（

）

A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】從點沿長方體表面到達(dá)有三種展開方式，若以為軸展開，

則；以為軸展開，

則，以為軸展開，

．故選：ABC．【典例3】（2023·全國·高三對口高考）如圖，在直三棱柱中，，，，，為線段上的一動點，則過三點的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為．

【答案】/【詳解】由題意可知過三點的平面截該三棱柱所得截面的周長即的周長，因為直三棱柱，所以各側(cè)面均為矩形，所以，直三棱柱的側(cè)面部分展開圖如圖所示，

則在矩形中，所以過三點的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為，故答案為：【變式1】（2023上·江西南昌·高二?？计谥校┤鐖D，在長方體中，若，且面對角線上存在一點使得最短，則的最小值為.

【答案】【詳解】把沿翻折，使矩形和在一個平面上，連接，則的最小值為，

在中，可知，由余弦定理得，所以的最小值為.故答案為：.【變式2】（2023上·云南大理·高一大理白族自治州民族中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在底面為正三角形的直三棱柱中，，，點為的中點，一只小蟲從沿三棱柱的表面爬行到處，則小蟲爬行的最短路程等于．

【答案】【詳解】

如圖1，將三棱柱的側(cè)面和側(cè)面沿展開在同一平面內(nèi)，連接，是中點，和是等邊三角形，，，在中，由勾股定理得：.如圖2，把底面和側(cè)面沿展開在同一平面內(nèi)，連接，過點作于點，交于點，則四邊形是矩形，，在中，，，，，，在中，由勾股定理可得，.如圖3，連接,交于點，則，，在中，，，.，小蟲爬行的最短路程為.故答案為：.【變式3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在所有棱長均為1的直三棱柱上，有一只螞蟻從點A出發(fā)，圍著三棱柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)點A1，則爬行的最短路線長為．【答案】【詳解】正三棱柱的側(cè)面展開圖如圖所示的矩形，矩形的長為3，寬為1，則其對角線AA1的長為最短路程．因此螞蟻爬行的最短路程為．故答案為：．題型04判斷正方體中截面問題【典例1】（2023·高一課時練習(xí)）若正方體的一個截面恰好截這個正方體為等體積的兩部分，則該截面(

)A．一定通過正方體的中心 B．一定通過正方體一個表面的中心C．一定通過正方體的一個頂點 D．一定構(gòu)成正多邊形【答案】A【詳解】根據(jù)題意，恰好截正方體為等體積的兩部分的截面，可能為中截面、對角面、也可能是傾斜的平面，不管哪種截面都過正方體的中心．故選：A．【典例2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體中，是棱的中點，過三點的截面把正方體分成兩部分，則該截面的周長為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，取BC的中點，連接EF，AF，,、分別為棱、的中點，則，正方體中，則有，所以平面為所求截面，因為正方體的棱長為2，所以，，，所以四邊形的周長為.故選：A.【典例3】（多選）（2023下·全國·高一專題練習(xí)）用一個平面去截正方體，截面的形狀不可能是（

）A．直角三角形 B．等腰梯形 C．正五邊形 D．正六邊形【答案】AC【詳解】截面為六邊形時，可能出現(xiàn)正六邊形，當(dāng)截面為五邊形時，假若截面是正五邊形，則截面中的截線必然分別在5個面內(nèi)，由于正方體有6個面，分成兩兩平行的三對，故必然有一對平行面中有兩條截線，而根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可知這兩條截線互相平行，但正五邊形的邊中是不可能有平行的邊的，故截面的形狀不可能是正五邊形；截面為四邊形時，可能出現(xiàn)矩形，平行四邊形，等腰梯形，但不可能出現(xiàn)直角梯形；當(dāng)截面為三角形時，可能出現(xiàn)正三角形，但不可能出現(xiàn)直角三角形；故選：AC．【變式1】（2024上·河南三門峽·高三校聯(lián)考期末）已知正方體的棱長為2，M、N分別為、的中點，過、的平面所得截面為四邊形，則該截面最大面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖所示，最大面積的截面四邊形為等腰梯形，其中，高為，故面積為.故選:D．【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在正方體中，，，分別是，，的中點，則過這三點的截面圖的形狀是（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】D【詳解】分別取、、的中點、、，連接、、，在正方體中，，，分別是，，的中點，，，，六邊形是過，，這三點的截面圖，過這三點的截面圖的形狀是六邊形．故選：D【變式3】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）在邊長為2的正方體中，是的中點，那么過點、、的截面圖形為（在“三角形、矩形、正方形、菱形”中選擇一個）；截面圖形的面積為.【答案】菱形【詳解】

如圖，取的中點為，連接,因為且,所以四邊形為菱形，所以過點、、的截面圖形為菱形；連接,則,所以截面圖形的面積為，故答案為:菱形；.題型05棱錐的展開圖【典例1】（2023下·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》卷五《商功》中描述幾何體“陽馬”為“底面為矩形，一棱垂直于底面的四棱錐”.在陽馬中，平面，點分別在棱上，則空間四邊形的周長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由于為定值，故只需求折線段的最小值，將側(cè)面翻折到和底面重合，得到的形狀如下，于是轉(zhuǎn)化成平面問題，折線段的最值可通過作對稱點的方式處理，作關(guān)于的對稱點，連接和交于，交于，由于，顯然為的中位線，則，由和相似可得，說明這樣的符合題意，故，于是空間四邊形的周長的最小值為.故選：C【典例2】（2023下·河北保定·高一定州市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，，，，，，分別為棱，上一點，則的最小值為．

【答案】【詳解】由題意可知：，則，所以，將翻折至一個平面，過點A作，垂直為點，則的最小值為點A到邊的距離，因為，所以，即的最小值為.故答案為：.

【變式1】（2023下·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）在三棱錐中，，，一只蝸牛從點出發(fā)，繞三棱錐三個側(cè)面爬行一周后，到棱的中點，則蝸牛爬行的最短距離是（）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖所示，將三棱錐的側(cè)面展開，則線段為所求，

由題意得，，由余弦定理可得，則，即蝸牛爬行的最短距離是.故選：D.【變式2】（2023上·四川內(nèi)江·高二?？计谥校┤鐖D，在三棱錐中，，，過點作截面，則周長的最小值為.

【答案】【詳解】如圖，

沿著側(cè)棱把正三棱錐展開在同一個平面內(nèi)，原來的點被分到兩處，則線段的長度即為周長的最小值.在中，，，故，所以.故答案為：.題型06棱錐中截面有關(guān)問題【典例1】（2023下·河南·高一長葛市第二高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）芻（chú）甍（méng）是中國古代算數(shù)中的一種幾何體，是底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w．現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，底面ABCD為矩形，平面，和是全等的正三角形，，，，為的重心，則過點，，的平面截該芻甍所得的截面周長為（

）

A．11 B． C．9 D．【答案】A【詳解】如圖，延長交于點，取的中點，連接，，易得為的中點，∴，∵，∴，即過點，，的平面截該芻甍所得的截面為四邊形，∵，，∴過點，，的平面截該芻甍所得的截面周長為．

故選：A【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，空間四邊形的邊，成的角，且，，平行于與的截面分別交，，，于，則截面面積的最大值為.【答案】【詳解】∵∥平面，平面，平面平面，∴，同理，∴，同理，∴四邊形是平行四邊形.∵與所成的角為，∴（或），設(shè)，∵，∴，由，，得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即為的中點時，截面的面積最大，為.故答案為：.【變式1】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）一個透明封閉的正四面體容器中，恰好盛有該容器一半容積的水，任意轉(zhuǎn)動這個正四面體，則水面在容器中的形狀可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正確的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】解：根據(jù)已知，任意轉(zhuǎn)動這個正四面體，則水面在容器中的形狀即為作一截面將正四面體截成體積相等的兩部分，根據(jù)對稱性和截面性質(zhì)作圖如下：觀察可知截面不可能出現(xiàn)直角三角形.故選：C【變式2】（2023下·山東泰安·高一新泰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在三棱錐中，，G為的重心，過點G作三棱錐的一個截面，使截面平行于直線PB和AC，則截面的周長為.【答案】8【詳解】解：如圖所示，過點G作EF∥AC，分別交PA，PC于點E，F(xiàn)

過點F作FM∥PB交BC于點M，過點E作EN∥PB交AB于點N.由作圖可知：EN∥FM，∴四點EFMN共面可得MN∥AC∥EF，EN∥PB∥FM.∴可得EF=MN=2.同理可得：EN=FM=2.∴截面的周長為8.故答案為：8.題型07棱臺展開圖問題【典例1】（2023·高一課時練習(xí)）一個幾何體的表面展開圖如圖，該幾何體中與“?！弊趾汀澳恪弊窒鄬Φ姆謩e是（

）A．前，程 B．你，前 C．似，棉 D．程，錦【答案】A【詳解】因為“?！弊置婧汀扒啊弊置嬷虚g隔著“你”字面，所以“祝”字面和“前”字面相對，同理“你”字面和“程”字面中間隔著“前”字面，所以“你”字面和“程”字面相對，故選：A.【典例2】（2022·高一課時練習(xí)）下列幾何體的側(cè)面展開圖如圖所示，其中是棱錐的為（

）A．B．C． D．【答案】B【詳解】對于A選項，圖形沿著折線翻折起來是一個五棱柱，故A選項不正確；對于B選項，圖形沿著折線翻折起來是一個五棱錐，故B選項正確；對于C選項，圖形沿著折線翻折起來是一個三棱臺，故C選項不正確；對于D選項，圖形沿著折線翻折起來是一個四棱柱，故D選項不正確；故選：B.【變式1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）在一張硬卡紙上，將圖中給出的圖形放大，然后按實線剪紙，再按虛線折痕折起并黏合，說出得到的幾何體的名稱．【答案】三棱臺【詳解】上底面和下底面是大小不同的三角形，故粘合后上底面與下底面平行，側(cè)面與底面不垂直，所以該幾何體為三棱臺.題型08棱臺中的截面問題【典例1】（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）光岳樓位于山東聊城古城中央，主體結(jié)構(gòu)建于明洪武七年（1374年），它是迄今為止全國現(xiàn)存古代建筑中最古老、最雄偉的木構(gòu)樓閣之一，享有“雖黃鶴、岳陽亦當(dāng)望拜”之譽(yù).光岳樓的墩臺為磚石砌成的正四棱臺，如圖所示，該墩臺上底面邊長約為32m，下底面邊長約為34.5m，高約為9m，則該墩臺的斜高約為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m【答案】A【詳解】如圖所示，設(shè)該正四棱臺為，上下底面中心分別為，分別取的中點，連接，在平面內(nèi)，作交于，則，，，顯然四邊形是矩形，則，，所以，在直角中，，即該墩臺的斜高約為9.1m.故選：A【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正四棱臺中，上底面邊長為4，下底面邊長為8，高為5，點分別在上，且.過點的平面與此四棱臺的下底面會相交，則平面與四棱臺的面的交線所圍成圖形的面積的最大值為A． B． C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)斜面α經(jīng)過點時與四棱臺的面的交線圍成的圖形的面積最大，此時α為等腰梯形，上底為MN=4，下底為BC=8此時作正四棱臺俯視圖如下：則MN中點在底面的投影到BC的距離為8-2-1=5因為正四棱臺的高為5，所以截面等腰梯形的高為所以截面面積的最大值為所以選B【變式1】（多選）（2022下·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）用一個平面去截一個幾何體，所得截面的形狀是正方形，則原來的幾何體可能是（

）A．長方體 B．圓臺 C．四棱臺 D．正四面體【答案】ACD【詳解】解：對于A：若長方體的底面為正方形，則用平行于底面的平面去截幾何體，所得截面的形狀是正方形，故A正確；對于B：圓臺的截面均不可能是正方形，故B錯誤；對于C：若四棱臺的底面是正方形，則用平行于底面的平面去截幾何體，所得截面的形狀是正方形，故C正確；對于D：如圖所示正四面體，將其放到正方體中，取的中點，的中點，取的中點，的中點，依次連接、、、，由正方體的性質(zhì)可知截面為正方形，故D正確；故選：ACDA夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2024·黑龍江伊春·高二伊春二中?？紝W(xué)業(yè)考試）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，，則BD1=（）A．6 B．7 C．10 D．11【答案】A【詳解】故選：A2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在三棱臺中，沿平面截去三棱錐，則剩余的部分是（

）

A．三棱錐 B．四棱錐 C．三棱柱 D．組合體【答案】B【詳解】三棱臺中，沿平面截去三棱錐，剩余的部分是以為頂點，四邊形為底面的四棱錐．故選：B3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）下列命題正確的是（

）A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱B．有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐C．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱D．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體是棱臺【答案】C【詳解】對于A，有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體不一定是棱柱，可能是棱臺或組合圖形，故A錯誤；對于B，有一個面是多邊形，其余各面是有公共頂點的三角形的幾何體才是棱錐，故B錯誤；對于C，根據(jù)棱柱的定義，有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱，故C正確；對于D，用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體才是棱臺，故D錯誤.故選：C.4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在正三棱柱中，，，由頂點沿棱柱側(cè)面(經(jīng)過棱)到達(dá)頂點，與的交點記為，則從點經(jīng)點到的最短路線長為（

）A． B． C．4 D．【答案】B【詳解】如圖，沿側(cè)棱將正三棱柱的側(cè)面展開由側(cè)面展開圖可知，當(dāng)，，三點共線時，從點經(jīng)點到的路線最短．所以最短路線長為.故選：B.5．（2024·全國·高一假期作業(yè)）所有棱長均為6的正三棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2的正三棱錐，則所得棱臺的高為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】

如圖，根據(jù)題意可得所得棱臺為正三棱臺，該棱臺的高等于大正三棱錐的高的.設(shè)大正三棱錐的高為DH，則：因為大正三棱錐的高為:，所以該棱臺的高為.故選：A6．（2024·全國·高一假期作業(yè)）下列說法正確的是（

）A．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體B．有2個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺C．多面體至少有5個面D．六棱柱有6條側(cè)棱，6個側(cè)面，側(cè)面均為平行四邊形【答案】D【詳解】A選項：各側(cè)面都是正方形的四棱柱，可以是底面為菱形的直棱柱，不一定是正方體，故A錯；B選項：有2個面平行，其余各面都是梯形，但若是各側(cè)棱的延長線不能交于一點，則該幾何體不是棱臺，故B錯；C選項：多面體是指四個或四個以上多邊形所圍成的立體，故C錯；D選項：根據(jù)棱柱的定義可知六棱柱有6條側(cè)棱，6個側(cè)面，側(cè)面均為平行四邊形，故D正確.故選：D.7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．底面是正多邊形的棱錐的頂點在底面的射影一定是底面正多邊形的中心B．如果一個棱錐的各個側(cè)面都是等邊三角形，那么這個棱錐不可能為六棱錐C．有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺D．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐【答案】B【詳解】對于A：底面是正多邊形的棱錐的頂點在底面的射影不一定是底面正多邊形的中心,比如：有一條側(cè)棱和底面垂直的棱錐.故A錯誤；對于B：當(dāng)棱錐的各個側(cè)面的頂角之和是360度時,各側(cè)面構(gòu)成平面圖形,構(gòu)不成棱錐,由此推導(dǎo)出如果一個棱錐的各個側(cè)面都是等邊三角形,那么這個棱錐不可能為六棱錐,故B正確；對于C：把兩個相同的棱臺底面重合在一起,就不是棱臺,故C錯誤；對于D：由棱錐的定義，如果一個多面體的一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,才是棱錐.故D錯誤.故選：B8．（2023·上?！ど虾Ｊ衅邔氈袑W(xué)校考模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，在長方體中，鱉臑的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在正方體中，當(dāng)頂點為時，三棱錐、、、、、均為鱉臑．所以個頂點為個．但每個鱉臑都重復(fù)一次，所以，鱉臑的個數(shù)為個.故選：B．

二、多選題9．（2023下·江蘇南京·高一南京師大附中?？茧A段練習(xí)）在正方體中，點是線段上的動點，若過三點的平面將正方體截為兩個部分，則所得截面的形狀可能為（

）A．等邊三角形 B．矩形C．菱形 D．等腰梯形【答案】ABD【詳解】當(dāng)點與重合時，過三點的截面是等邊三角形，A正確；當(dāng)點與重合時，過三點的截面為矩形，B正確；若截面為菱形，則必有，此時點與重合，故C錯誤；當(dāng)點與中點重合時，記的中點為F，連接，易知，由正方體性質(zhì)可知，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以且，設(shè)正方體棱長為2，則，所以過三點的截面為等腰梯形，D正確.故選：ABD

10．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下幾種幾何圖形的4個頂點，這些幾何圖形可以是（

）A．矩形B．有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體C．每個面都是等邊三角形的四面體D．每個面都是直角三角形的四面體【答案】ABCD【詳解】A：如下圖，四邊形為矩形，正確；B：如下圖，四面體三個面為等腰直角三角形，一個面為等邊三角形，正確；C：如下圖，四面體每個面都是等邊三角形，正確；D：如下圖，四面體每個面都是直角三角形，正確；故選：ABCD11．（2023下·廣東·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖在四棱臺中，點，分別為四邊形，的對角線交點，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．若四棱臺是正四棱臺，則棱錐是正四棱錐B．幾何體是三棱柱C．幾何體是三棱臺D．三棱錐的高與四棱錐的高相等【答案】ACD【詳解】由正棱臺的定義知四邊形是正方形，是高，則由正棱錐的定義知是正四棱錐，選項A正確；幾何體中，沒在任何兩個平面平行，選項B錯誤；將四棱臺沿軸截面分成兩部分，其中之一是三棱臺，選項C正確；三棱錐的高和四棱錐的高都是四棱臺的高，所以相等，選項D正確.故選：ACD.三、填空題12．（2023上·上海普陀·高二?？计谥校┤鐖D，在棱長為的正方體中，點分別是棱的中點，則由點確定的平面截正方體所得的截面多邊形的周長等于.【答案】6【詳解】作（實際上）交于，延長交延長線于．連接交于點，可證分別是的中點，同理取中點，連接，六邊形即為截面，該六邊形為正六邊形，由正方體棱長為易得正六邊形邊長為1，周長為6.故答案為：6.13．（2023下·廣東廣州·高一?？计谥校┤鐖D，在長方體中，，點M在棱上，當(dāng)取得最小值時，的長為.

【答案】【詳解】連接，則，如圖，將長方形沿展開到長方形所在平面，連接，當(dāng)三點在同一直線上時，取得最小值，

此時，,則.故答案為:.14．（2023下·高一課時練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，如圖，一只螞蟻從點出發(fā)沿三棱錐的側(cè)面爬行一周后又回到點，則螞蟻爬過的最短路程為．

【答案】【詳解】如圖所示，沿著三棱錐的側(cè)棱剪開展在一個平面上，得到三棱錐的側(cè)面展開圖，連接，因為，，所以，在直角中，可得，即螞蟻爬過的最短路程為.故答案為：.

15．（2023下·天津和平·高一耀華中學(xué)?？计谥校┙o出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②在四棱柱中，若底面為正方形，則該四棱柱為正四棱柱；③存在每個面都是直角三角形的四面體；④棱臺的側(cè)棱延長后交于一點．其中正確命題的序號是．【答案】③④【詳解】①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②不正確，若底面為正方形的直四棱柱為正四棱柱；③正確，如圖，正方體中的三棱錐，四個面都是直角三角形；④正確，由棱臺的概念可知.故答案為：③④B能力提升