高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版選擇性必修一）第10講 拓展四：空間中距離問題（學(xué)生版）

第10講拓展四：空間中距離問題（等體積法與向量法）一、知識點歸納知識點01：用向量法求空間距離1、點到直線的距離已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點，是直線外一點.設(shè)，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：2、點到平面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點，是平面外一點.過點作平面的垂線，交平面于點，則是直線的方向向量，且點到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.二、題型精講題型01利用向量法求點到直線的距離【典例1】（2023春·四川雅安·高二雅安中學(xué)校考期中）直線的方向向量為，且l過點，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·吉林長春·高二長春吉大附中實驗學(xué)校?？计谀┮阎?，，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．【典例3】（2023春·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點，若點和點在直線上，則點到直線的距離為___________.【變式1】（2023秋·天津·高二校聯(lián)考期末）已知空間內(nèi)三點，，，則點到直線的距離是（

）．A． B．1 C． D．【變式2】（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知空間中三點，則點到直線的距離為__________．題型02點到平面的距離等體積法【典例1】（2023春·天津河西·高一天津市第四十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，直三棱柱的體積為6，的面積為，則點到平面的距離為（

）A． B． C．2 D．【典例2】（2023春·四川德陽·高二德陽五中?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知底面是正方形，底面，且是棱上一點．

(1)若平面，證明：是的中點．(2)線段上存在點，使得，求到平面的距離．【典例3】（2023春·安徽·高一安徽省郎溪中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知空間幾何體中，是邊長為2的等邊三角形，是腰長為2的等腰三角形，，，，．

(1)作出平面與平面的交線，并說明理由；(2)求點到平面的距離．【典例4】（2023春·陜西商洛·高二鎮(zhèn)安中學(xué)?？计谥校┤鐖D,在四棱錐中,已知棱兩兩垂直且長度分別為1,1,2,,．(1)若中點為,證明:平面;(2)求點到平面的距離．【變式1】（2023春·重慶·高一重慶一中?？计谥校┤鐖D所示，在四棱錐中，四邊形為等腰梯形，.

(1)證明：平面：(2)若，求點到平面的距離.【變式2】（2023·上海·高三專題練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，已知，是的中點.(1)求直線與所成的角正切值(2)求證：平面平面，并求點到平面的距離.【變式3】（2023·河南·許昌實驗中學(xué)校聯(lián)考二模）在四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，，．(1)證明：平面平面．(2)若，，求點到平面的距離．【變式4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在長方體中，，，且E為中點．求到平面的距離．題型03點到平面的距離的向量法【典例1】（2023春·浙江溫州·高二校聯(lián)考期末）如圖所示，在棱長為1的正方體中為線段的中點.

(1)求證：平面平面；(2)求到平面的距離.【典例2】（2023春·高二單元測試）如圖，四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為正三角形，,，平面平面，為棱上一點（不與重合），平面交棱于點.

(1)求證：；(2)若二面角的余弦值為，求點到平面的距離.【典例3】（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）在正方體中，為的中點，過的平面截此正方體，得如圖所示的多面體，為直線上的動點.

(1)點在棱上，當時，平面，試確定動點在直線上的位置，并說明理由；(2)若為底面的中心，求點到平面的最大距離.【變式1】（2023春·江西宜春·高二江西省清江中學(xué)校考期中）在棱長為4的正方體中，點P在棱上，且．(1)求直線與平面所成的角的正弦值大??；(2)求點到平面的距離．【變式2】（2023春·重慶·高三重慶一中校考階段練習(xí)）如圖所示的幾何體是一個半圓柱，點是半圓弧上一動點（點與點，不重合），為弧的中點，.

(1)證明：；(2)若平面與平面所成的銳二面角的平面角為，求此時點到平面的距離.【變式3】（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）在如圖所示的圓錐中，已知為圓錐的頂點，為底面的圓心，其母線長為6，邊長為的等邊內(nèi)接于圓錐底面，且.

(1)證明：平面平面；(2)若為中點，射線與底面圓周交于點，當二面角的余弦值為時，求點到平面的距離.題型04點到平面的距離的探索性問題【典例1】（2023春·福建·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，三棱錐的底面是以為底邊的等腰直角三角形，且，各側(cè)棱長均為3.(1)求證：平面平面；(2)若點為棱的中點，線段上是否存在一點，使得到平面的距離與到直線的距離之比為？若存在，求出此時的長；若不存在，說明理由.【典例2】（2023春·福建漳州·高二漳州三中?？茧A段練習(xí)）如圖,四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,,,且,為的中點．(1)求證:⊥平面;(2)求與平面所成角的正弦值;(3)在線段上是否存在點,使得