線段的垂直平分線

關(guān)于線段的垂直平分線AB線段的垂直平分線PA=PBP1P1A=P1B……命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。PMNC動(dòng)手操作：作線段AB的中垂線MN，垂足為C；在MN上任取一點(diǎn)P，連結(jié)PA、PB；量一量：PA、PB的長(zhǎng)，你能發(fā)現(xiàn)什么？由此你能得到什么規(guī)律？第2頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明:∵M(jìn)NAB（已知）∴PCA=PCB(垂直的定義)在PCA和PCB中,AC=CB(已知),PCA=PCB(已證)PC=PC(公共邊)∴PCA≌PCB(SAS)∴PA=PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)ABPMNC命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。PA=PB直線MN⊥AB,垂足為C,且AC=CB.

已知：如圖，點(diǎn)P在MN上.求證：第3頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。線段的垂直平分線ABPMNCPA=PB點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等第4頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天ABCMN

P當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí),上述證明有什么缺陷?PCA與PCB將不存在.PA與PB還相等嗎?相等!此時(shí),PA=CA,PB=CB已知AC=CB∴PA=PB第5頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

線段的垂直平分線ABPC性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。PA=PB點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上?逆命題：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。第6頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天ABPC

已知:線段AB,且PA=PB求證:點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線MN上.

過(guò)點(diǎn)P作PCAB垂足為C.在RtPCA和RtPCB中PA=PB，PC=PC∴PCA≌PCB(HL)∴ＡＣ＝ＢＣ∴PC是線段AB的垂直平分線.即點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線MN上.證明:第7頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.逆定理第8頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天ABC

MN

第9頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天C

ABMN第10頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.線段的垂直平分線可以看作是第11頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天如圖，△ABC中，邊AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn)O。（1）求證：OA=OB=OC。（2）點(diǎn)O是否也在邊AC的垂直平分線上呢？由此你能得出什么結(jié)論？A0CB證明：∵點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上∴OA=OB∵點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上∴OB=OC∴OA=OB∴點(diǎn)O在線段AC的垂直平分線上結(jié)論：三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。第12頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

泰安市政府為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個(gè)購(gòu)物中心，試問(wèn)，該購(gòu)物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等。ABC實(shí)際問(wèn)題1第13頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天BAC線段的垂直平分線1、求作一點(diǎn)P，使它和△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等.實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化pPA=PB=PC實(shí)際問(wèn)題1第14頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

高速公路AB

在某高速公路L的同側(cè)，有兩個(gè)工廠A、B，為了便于兩廠的工人看病，市政府計(jì)劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個(gè)工廠的工人都沒(méi)意見(jiàn)，問(wèn)醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處？你的方案是什么?生活中的數(shù)學(xué)L第15頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，BC的垂直平分線DE交AB于D點(diǎn),則CD=____

4cm

2、在△ABC,PM,QN分別垂直平分AB,AC，則:(1)若BC=10cm則△APQ的周長(zhǎng)=_____cm;(2)若∠BAC=100°則∠PAQ=______.10200第16頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

3、在△ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在的直線相交所得的銳角為50°，則∠B=______.

700或200第17頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明:連結(jié)BC.∵AB＝AC(已知)，∴A點(diǎn)在線段BC的垂直平分線上(垂直平分線性質(zhì)定理)同理，D點(diǎn)也在線段BC的垂直平分線上.∵兩點(diǎn)確定一條直線，∴直線AD是線段BC的垂直平分線.∵E是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)(已知)，∴BE＝CE(垂直平分線性質(zhì)定理)例1

已知：如圖，AB＝AC，DB＝DC，

E是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn).

求證：BE＝CE.DCEBA第18頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明：連結(jié)MA.∵M(jìn)N垂直平分線AB(已知)，∴BM＝AM(垂直平分線性質(zhì)定理)∴∠B＝∠MAB(等角對(duì)等邊).∵AB＝AC(已知)，∴∠B＝∠C(等邊對(duì)等角).∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°(三角形內(nèi)角和定理).∴∠CAM＝∠CAB—∠MAB＝90°.∴AM＝CM(直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).∴CM＝2BM.例2已知：如圖，在△ABC中，∠A＝120°，

AB＝AC，MN垂直平分AB分別交BC、

AB于M、N.

求證：CM＝2BM.ABCMN第19頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，

DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

求證：AD垂直平分EF.證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F(已知)，∴∠AED＝∠AFD=90。，

DE＝DF(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).∴D點(diǎn)在線段EF的垂直平分線上(垂直平分線性質(zhì)定理).在Rt⊿AFD和Rt⊿AED中AD=AD(公共邊）DE=DF（已證）∴AFD≌AED(HL)∴AF=AE∴A點(diǎn)在線段EF的垂直平分線上(垂直平分線性質(zhì)定理).∴AD垂直平分EF.ABCDEF第20頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天4。如圖,CD、EF分別是AB、BC的垂直平分線.請(qǐng)你指出圖中相等的線段有哪些?AD=BDCF=BFAC=BCCE=BE123CF=DF即:BF=CF=DFACEBFD

第21頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明題:5.已知:如圖,線段CD垂直平分AB,AB平分CAD.求證:AD∥BC.ABCDO123證明:∵線段CD垂直平分AB(已知)∴CA=CB(線段垂直平分線的性質(zhì)定理)∴1=3(等邊對(duì)等角)又∵AB平分CAD(已知)∴1=2(角平分線的定義)∴2=3(等量代換)∴AD∥BC(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行)第22頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天挑戰(zhàn)自我駛向勝利的彼岸1.如圖,已知AB是線段CD的垂直平分線,E是AB上的一點(diǎn),如果EC=7cm,那么ED=

cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC=

0,.EDABC760第23頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線交斜邊AB于D，交BC于E，AB＝7.8，

AC＝3.9，圖中角度等于60°的角有()(A)2個(gè)(B)3個(gè)(C)4個(gè)(D)5個(gè)(一)選擇題：

練習(xí)D3．若一個(gè)三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)在第三邊上，則這個(gè)三角形是()(A)銳角三角形(B)鈍角三角形

(C)直角三角形(D)任意三角形C第24頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天4．已知：如圖，AB＝AC，DB＝DC.

求證：AD所在直線是BC的垂直平分線.(二)解答題：

練習(xí)

B

C

A

D

先證明△ABD≌△ACD，再導(dǎo)出∠BAD＝∠CAD，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)定理推論1即可證出.第25頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.如圖,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,△BCE的周長(zhǎng)等于50,求BC的長(zhǎng).老師期望:做完題目后,一定要“悟”到點(diǎn)東西,納入到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去.BAEDC∵AD=BD,DE⊥AB∴EA=EB(線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等).∵AC=27∴EA+EC=27∴EB+EC=27

∵

EB+EC+BC=50∴BC=23第26頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1已知：如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，

ED垂直平分AC交AC于D，交BC于E，∠BAE︰∠BAC＝2︰5.求：∠C的度數(shù).AEDBC【分析】由于ED垂直平分AC，則有EA＝EC，從而∠EAC＝∠C.根據(jù)∠BAE︰∠BAC＝2︰5，可設(shè)∠BAE＝2k，∠BAC＝5k，則∠EAC＝∠C＝3k.由直角三角形兩銳角互余，∠C＋∠BAC＝90°，得3k＋5k＝90°，求出k值即可.【點(diǎn)評(píng)】有比例條件的，一般用到設(shè)比例系數(shù).第27頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD平分ABC交AC于D.求證:D點(diǎn)在AB的垂直平分線上.ABCD

證明:30o∵C=90o,A=30o(已知)∴ABC=60o(三角形內(nèi)角和定理)∴A=ABD(等量代換)∴D點(diǎn)在AB的垂直平分線上.(和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.)∵BD平分ABC(已知)∴ABD=30o(角平分線的定義)30o∴AD=BD(等角對(duì)等邊)第28頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．已知：如圖，△ABC中，M、N分