2024屆北京市海淀區(qū)101中學(xué)數(shù)學(xué)九年級上冊期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆北京市海淀區(qū)101中學(xué)數(shù)學(xué)九上期末經(jīng)典模擬試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（每小題3分,共30分）

1.有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？若設(shè)每輪傳染中平

均一個人傳染了X個人，那么X滿足的方程是（）

A.x(l+%)=121B.l+x(l+x)=121c.%+?(l+x)=121D.l+x+x(l+x)=121

2.下列式子中，y是X的反比例函數(shù)的是（）

11,

3.把函數(shù)y的圖象，經(jīng)過怎樣的平移變換以后，可以得到函數(shù)），=—5（x—iy+l的圖象（）

A.向左平移1個單位，再向下平移1個單位

B.向左平移1個單位，再向上平移1個單位

C.向右平移1個單位，再向上平移1個單位

D.向右平移1個單位，再向下平移1個單位

AB3

4.如圖，h〃b〃b,若——=一，DF=6,則DE等于（）

BC2

A.3B.3.2C.3.6D.4

5.如果關(guān)于X的方程（M—3）XoIJ7_%+3=0是一元二次方程，那么的值為：（）

A.±3B.3C.-3D.都不是

3

6.已知反比例函數(shù)尸-一，下列結(jié)論不正確的是（）

X

A.圖象必經(jīng)過點（-1,3）B.若x>l,則-3<yV0

C.圖象在第二、四象限內(nèi)D.y隨X的增大而增大

7.已知〃比=〃）'，則下列各式中不正確的是（）

xn?xnynm

8.二次函數(shù)y=3(χ-2)2—1的圖像頂點坐標(biāo)是()

A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(2,1)D.(2,-1)

9.已知點E在半徑為5的。O上運(yùn)動，AB是。O的一條弦且AB=8,則使AABE的面積為8的點E共有()個.

A.1B.2C.3D.4

10.給出四個實數(shù)石，2,0,-1,其中負(fù)數(shù)是()

A.√5B.2C.0D.-1

二、填空題(每小題3分,共24分)

11.若一個反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點Ama)和3(3。,-2),則這個反比例函數(shù)的表達(dá)式為

12.如圖，二次函數(shù)y=aχ2+bx+c(a≠0)的圖象與X軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,OA=OC.則下列結(jié)論:

①abc<O;②'二處>0；③ac-b+l=O;(S)OAOB=--.其中正確結(jié)論的個數(shù)是_____個.

40a

Af)2

13.如圖，若AADEsAACB.目——=-.DE=IO.U!∣lBC=

AC3

22

14.如圖，已知反比例函數(shù)y=—與一次函數(shù)y=x+l的圖象交于點A(a,-1)、B(1,b),則不等式一，x+1的解集為

XX

15.扇形的弧長為IoTrCffI,面積為120πc,"2,則扇形的半徑為cm.

16.兩幢大樓的部分截面及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖，小明在甲樓A處透過窗戶E發(fā)現(xiàn)乙樓廠處出現(xiàn)火災(zāi)，此時尸在同一直

線上.跑到一樓時，消防員正在進(jìn)行噴水滅火，水流路線呈拋物線，在1.2m高的。處噴出，水流正好經(jīng)過瓦足若點B

和點E、點C和P的離地高度分別相同，現(xiàn)消防員將水流拋物線向上平移0.4m,再向左后退了一m,恰好把水噴到

尸處進(jìn)行滅火.

17.在一個不透明的盒子中裝有n個小球，它們只有顏色上的區(qū)別，其中有2個紅球，每次摸球前先將盒中的球搖勻,

隨機(jī)摸出一個球記下顏色后再放回盒中，通過大量重復(fù)試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定于0.2,那么可以推算出n

大約是.

18.如圖，已知四邊形ABCD是菱形，BC〃x軸，點B的坐標(biāo)是(1,由)，坐標(biāo)原點O是AB的中點.動圓。P的半徑

是石，圓心在X軸上移動，若。P在運(yùn)動過程中只與菱形ABCD的一邊相切，則點P的橫坐標(biāo)m的取值范圍是

19.(10分)⑴計算：√12-2cos30°-tan60o+(-1)2°2°.

(2)用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

①(X-2『-16=0；

②5f+2x-1=0.

20.(6分)一艘觀光游船從港口A以北偏東6()。的方向出港觀光，航行8()海里至C處時發(fā)生了側(cè)翻沉船事故，立即

發(fā)出了求救信號，一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號，測得事故船在它的北偏東37°方向，馬上以40海里

每小時的速度前往救援，

(1)求點C到直線43的距離；

(2)求海警船到達(dá)事故船C處所需的大約時間.(溫馨提示：sin530七0.8,cos53o≈0.6)

C借船戲

≡60>∕'J

K第口）W海警船）

21.（6分）如圖，已知菱形ABCD,AB=AC,E、F分別是BC、AD的中點，連接AE、CF.

（1）求證：四邊形AECF是矩形；

（2）若AB=6,求菱形的面積.

22.（8分）綜合與實踐

背景閱讀：旋轉(zhuǎn)就是將圖形上的每一點在平面內(nèi)繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動，其中“旋''是過程，"轉(zhuǎn)''是結(jié)

果.旋轉(zhuǎn)作為圖形變換的一種，具備圖形旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等：對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角

等于旋轉(zhuǎn)角：旋轉(zhuǎn)前、后的圖形是全等圖形等性質(zhì).所以充分運(yùn)用這些性質(zhì)是在解決有關(guān)旋轉(zhuǎn)問題的關(guān)健.

實踐操作：如圖1,在Rt2?A8C中，NB=90。，BC=IAB-=U,點D,E分別是邊8C,AC的中點，連接OE,將AEDC

繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為ɑ.

ΛJ7AP

問題解決：（1）①當(dāng)α=0。時，—=；②當(dāng)α=180。時，—=.

BD----------BD----------

AF

（2）試判斷：當(dāng)0。%<360。時，——的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明.

BD

問題再探：（3）當(dāng)AEDC旋轉(zhuǎn)至A,D,E三點共線時，求得線段BO的長為.

23.（8分）如圖，把點A（3,4）以原點為中心，分別逆時針旋轉(zhuǎn)90°,180。，270°,得到點3,C,D.

（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，寫出點3,C,。的坐標(biāo)，并順次連接A、B,C,D各點;

（2）求出四邊形ABCD的面積；

（3）結(jié)合（1）,若把點P（。,加繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°到點〃，則點P'的坐標(biāo)是什么？

24.（8分）（問題呈現(xiàn)）阿基米德折弦定理:

如圖1,AB和BC是。。的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BOAB,點M是ABC的中點，則從〃向SC

所作垂線的垂足。是折弦ABC的中點，即CD=O8+3A.下面是運(yùn)用“截長法”證明CD=OB+BA的部分證明過程.

證明：如圖2,在CD上截取CG=A3,連接K4、MB、MC和MG.

YM是ABC的中點，

：.MA=MC?

又：NA=NO@

Λ?Λ∕AB^Δ∕WCG(3)

J.MB=MG

又：MD_LBC

：.BD=DG

.?AB+BD=CG+DG

即CD=DB+BA

根據(jù)證明過程，分別寫出下列步驟的理由:

①,

②,

③;

（理解運(yùn)用）如圖LA8、BC是。。的兩條弦,A5=4,BC=6,點歷是ABC的中點,MDLBC于點。,則BD=；

（變式探究）如圖3,若點M是Ac的中點，（問題呈現(xiàn)）中的其他條件不變，判斷C。、DB.BA之間存在怎樣的數(shù)

量關(guān)系？并加以證明.

（實踐應(yīng)用）根據(jù)你對阿基米德折弦定理的理解完成下列問題：

如圖4,BC是。。的直徑，點4圓上一定點，點Q圓上一動點，且滿足NZMC=45°,若A5=6,Θθ的半徑為5,

求40長.

k

25.（10分）如圖，函數(shù)yι=-x+4的圖象與函數(shù)為=一（x>0）的圖象交于A（m,1）,B（1,n）兩點.

(1)求k,m,n的值;

（2）利用圖象寫出當(dāng)Xml時，yι和yz的大小關(guān)系.

y1=-x+4

26.（10分）知識改變世界，科技改變生活，導(dǎo)航裝備的不斷更新極大方便了人們的出行.周末，小強(qiáng)一家到民C兩處

景區(qū)游玩，他們從家A處出發(fā)，向正西行駛160初?到達(dá)B處，測得C處在8處的北偏西15。方向上，出發(fā)時測得C處

在A處的北偏西60。方向上

（1）填空：NC=度；

（2）求3處到C處的距離即BC的長度（結(jié)果保留根號）

參考答案

一、選擇題(每小題3分,共30分)

1、D

【分析】先由題意列出第一輪傳染后患流感的人數(shù)，再列出第二輪傳染后患流感的人數(shù)，即可列出方程.

【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了X個人，

則第一輪傳染后患流感的人數(shù)是：l+χ,

第二輪傳染后患流感的人數(shù)是：l+χ+χ(l+χ),

因此可列方程，l+x+x(l+x)=1.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2、C

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義，反比例函數(shù)的一般式是y=&(k≠0),即可判定各函數(shù)的類型是否符合題意.

X

Y

【詳解】A、y=彳是正比例函數(shù)，錯誤；

B、不是反比例函數(shù)，錯誤；

C、e=一2是反比例函數(shù)，正確；

D、不是反比例函數(shù)，錯誤.

故選：C.

【點睛】

本題考查反比例函數(shù)的定義特點，反比例函數(shù)解析式的一般形式為：y=&(k≠0).

X

3、C

【分析】根據(jù)拋物線頂點的變換規(guī)律作出正確的選項.

【詳解】拋物線V=-]/的頂點坐標(biāo)是(0,0),拋物線線y=—/(x—iy+i的頂點坐標(biāo)是(M),

所以將頂點(0,0)向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到頂點(1,1),

即將函數(shù)y=-JX2的圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到函數(shù)y=一；"-1)2+1的圖象.

故選：C.

【點睛】

主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減.并用規(guī)律求函數(shù)解析式.

4、C

【解析】試題解析：根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得：

ABDE3

~BC~~EF~^

設(shè)DE=3x,EF=2x,

DF—5x—6.

解得：X—1.2.

DE=3x=3.6.

故選C.

5、C

【分析】據(jù)一元二次方程的定義得到m-l≠O且m2-7=2,然后解不等式和方程即可得到滿足條件的m的值.

【詳解】解：根據(jù)題意得m-1并且∏Λ7=2,

解得m=-l.

故選：C.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.

6、D

【解析】A.?.?(T)x3=-3,.?.圖象必經(jīng)過點(-1,3),故正確；

B.?.??=-3<0,.?.函數(shù)圖象的兩個分支分布在第二、四象限，故正確；

C.W=I時，y=-3且y隨X的增大而而增大，.?x>l時，-3<y<0,故正確；

D.函數(shù)圖象的兩個分支分布在第二、四象限，在每一象限內(nèi)，y隨X的增大而增大，故錯誤.

故選D.

7、C

【分析】依據(jù)比例的基本性質(zhì)，將比例式化為等積式，即可得出結(jié)論.

in

【詳解】A.由2V=-可得加￥=町》，變形正確，不合題意；

Xn

mn?

B.由一=一可得如=改，變形正確，不合題意；

y尤

mX

C由一=—可得叫V=依，變形不正確，符合題意；

ny

γV

D.由一=上可得mr=改，變形正確，不合題意.

nm

故選C?

【點睛】

本題考查了比例的性質(zhì)，此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是掌握比例的變形.

8、D

【分析】由二次函數(shù)的頂點式，即可得出頂點坐標(biāo).

【詳解】解：V二次函數(shù)為y=a（x-h）2+k頂點坐標(biāo)是（h,k）,

二二次函數(shù)y=3（x-2）口的圖象的頂點坐標(biāo)是（2,-1）.

故選：D.

【點睛】

此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)為y=a（x-h）2+k頂點坐標(biāo)是（h,k）.

9、C

【分析】根據(jù)AABC的面積可將高求出，即。。上的點到AB的距離為高長的點都符合題意.

【詳解】過圓心向弦AB作垂線，再連接半徑.

設(shè)AABE的高為h,由S"E=gxABxZz=8可求〃=2.由圓的對稱性可知，有兩個點符合要求；

又弦心距=?/?2-42=3?

V3+2=5,故將弦心距AB延長與。O相交，交點也符合要求，故符合要求的點有3個.

故選C.

考點：Q）垂徑定理；（2）勾股定理.

10、D

【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的定義，負(fù)數(shù)小于O即可得出答案.

【詳解】根據(jù)題意：負(fù)數(shù)是-1,

故答案為：D.

【點睛】

此題主要考查了實數(shù)，正確把握負(fù)數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

二、填空題（每小題3分,共24分）

36

11、y=—

X

【分析】這個反比例函數(shù)的表達(dá)式為V=A,將A、B兩點坐標(biāo)代入，列出方程即可求出k的值，從而求出反比例函

X

數(shù)的表達(dá)式.

【詳解】解：設(shè)這個反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=K

X

將點A(α,a)和8(3。,—2)代入，得

k

a=—

a

2」

一乙-----

.30

化簡，得/+6以=O

解得：q=-6,2=0(反比例函數(shù)與坐標(biāo)軸無交點，故舍去)

解得：攵=36

???這個反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-

X

故答案為：y=—.

X

【點睛】

此題考查的是求反比例函數(shù)的表達(dá)式，掌握待定系數(shù)法是解決此題的關(guān)鍵.

12、1

【分析】由拋物線開口方向得a<0,由拋物線的對稱軸位置可得b>0,由拋物線與y軸的交點位置可得c>0,則可

對①進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線與X軸的交點個數(shù)得到b2-4ac>0,加上aV0,則可對②進(jìn)行判斷；利用OA=OC可得到

A(-c,0),再把A(-c,0)代入y=aχ2+bx+c得ac2-bc+c=0,兩邊除以C則可對③進(jìn)行判斷；設(shè)A(x1,O),B

(X2,0),則OA=-X1,OB=X2,根據(jù)拋物線與X軸的交點問題得到Xi和X2是方程aχ2+bx+c=0(a≠0)的兩根，

利用根與系數(shù)的關(guān)系得到X/X2=￡,于是OA?OB=-反，則可對④進(jìn)行判斷.

aa

【詳解】解：：拋物線開口向下，

Λa<O,

Y拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，

Λb>O,

?.?拋物線與y軸的交點在X軸上方，

Λc>O,

JabcVO,所以①正確；

Y拋物線與X軸有2個交點，

ΛΔ=b2-4ac>0,

而a<0,

.?."竺VO,所以②錯誤；

4a

VC(O,c),OA=OC,

ΛA(-c,0),

把A(-c,0)代入y=aχ2+bx+c得ac2-bc+c=0,

Λac-b+l=O,所以③正確；

設(shè)A(xι,O),B(x2,0),

T二次函數(shù)y=aχ2+bx+c(a≠0)的圖象與X軸交于A,B兩點,

.?.xι和X2是方程aχ2+bx+c=0(a≠0)的兩根，

c

二X1?X2=—,

a

?*?OA?OB=-----,所以④正確.

a

故答案為：L

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=aχ2+bx+c（a邦），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和

大?。寒?dāng)a>0時，拋物線向上開口；當(dāng)aVO時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的

位置：當(dāng)a與b同號時（即ab>O）,對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時^RabVO）,對稱軸在y軸右.（簡稱：左同

右異）；常數(shù)項C決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0,c）；拋物線與X軸交點個數(shù)由△決定：4=b2-4ac

>0時，拋物線與X軸有2個交點；A=b2-4ac=0時，拋物線與X軸有1個交點；4=b2-4acV0時，拋物線與X軸

沒有交點.

13、15

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出比例式即可解決問題.

【詳解】解：TAADES^ACB,

DEAD2

:?----==-9OE=IO,

BCAC3

.上L_2

??——9

BC3

：.BC=I5.

【點睛】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì).

14、0〈X〈1或X（-2

【分析】利用一次函數(shù)圖象和反比例函數(shù)圖象性質(zhì)數(shù)形結(jié)合解不等式：

【詳解】解：α+l=-l,α=-2,由函數(shù)圖象與不等式的關(guān)系知，O<x<l或x<-2.

故答案為0<x<l或x<-2.

15、1

【分析】根據(jù)扇形面積公式和扇形的弧長公式之間的關(guān)系：S=-IΓ,把對應(yīng)的數(shù)值代入即可求得半徑r的長.

ΛK2

【詳解】解：?.?sst彩=1”，

2

.?.120%=■!■?1()??r,

2

：.r=24.

故答案為L

【點睛】

本題考查了扇形面積和弧長公式之間的關(guān)系，解此類題目的關(guān)鍵是掌握住扇形面積公式和扇形的弧長公式之間的等量

關(guān)系：SKK=-Ir.

2

16、√∏0-10

【詳解】設(shè)直線AE的解析式為:產(chǎn)奴+21.2.

把E(20,9.2)代入得，20*+21.2=9.2,

：??=-0.6,

?φ.j=-0.6x+21.2.

把尸6.2代入得，

-0.6x+2L2=6?2,

,x=25,

ΛF(25,6?2).

設(shè)拋物線解析式為：y=αx2+ftx+L2,

把E(20,9.2),正(25,6.2)代入得，

'400α+20b+1.2=9.2/Ja=-0.04

625。+258+1.2=6.2'解之得,'=1.2'

2

.*..y=-0.04x+1.2x+1.2,

設(shè)向上平移0.4m,向左后退了〃m,恰好把水噴到尸處進(jìn)行滅火由題意得

j=-0.04(x+Λ)2+1.2(x+Λ)+l?2+0.4,

把尸(25,6.2)代入得，

6.2=-0.04×(25+Λ)2+1.2(25+Λ)+l?2+0.4,整理得：A2+20Λ-10=0,

解之得：ΛI(xiàn)=-ιo+√i^iδ,Λ?=-ιo-√ITδ(舍去).

...向后退了(JΠ6-l())m

故答案是：√∏o-ιo

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的實際應(yīng)用，設(shè)直線AE的解析式為:y=Ax+2L2.

把E(20,9.2)代入求出直線解析式，從而求出點F的坐標(biāo).把E(20,9.2),F(25,6.2)代入y=αx2+Z>x+l?2求出二次函數(shù)

解析式.設(shè)向左平移了Gm,表示出平移后的解析式，把點尸的坐標(biāo)代入可求出A的值.

17、1

【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗時，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，列出方

程求解.

【詳解】由題意可得，?=0.2,

n

解得，n=l.

故估計n大約有1個.

故答案為1.

【點睛】

此題主要考查了利用頻率估計概率，本題利用了用大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率.關(guān)鍵是根據(jù)紅球的頻率

得到相應(yīng)的等量關(guān)系.

18、-6或-5≤m<-3或-1<∕"≤1或2

【分析】若。P在運(yùn)動過程中只與菱形ABCD的一邊相切，則需要對此過程分四種情況討論，根據(jù)已知條件計算出m

的取值范圍即可.

【詳解】解：由B點坐標(biāo)(1,√3)?及原點O是AB的中點可知AB=2,直線AB與X軸的夾角為60°,

又Y四邊形ABCD是菱形，

ΛAD=AB=BC=CD=2,

設(shè)DC與X軸相交于點H,則0H=4,

(1)當(dāng)。P與DC邊相切于點E時，連接PE,如圖所示，

由題意可知PE=G,PE±DC,ZPHE=60o,

ΛPH=2,

.?.此時點P坐標(biāo)為(-6,0),所以此時加=-6.

(2)當(dāng)。P只與AD邊相切時，如下圖，

VPD=√3,ΛPH=1,

,此時m——59

當(dāng)。P繼續(xù)向右運(yùn)動，同時與AD,BC相切時，PH=I,所以此時機(jī)=-3,

.?.當(dāng)—5≤m<-3時，OP只與AD相切；

(3)當(dāng)OP只與BC邊相切時，如下圖，

OP與AD相切于點A時，OP=I,此時m=-l,

OP與AD相切于點B時，OP=L此時m=l,

.?.當(dāng)-l<mWl,OP只與BC邊相切時；

(4)當(dāng)OP只與BC邊相切時，如下圖,

由題意可得OP=2,

二此時m—1.

綜上所述，點P的橫坐標(biāo)m的取值范圍-6或-5≤∕w<-3或T<∕九≤l或2.

【點睛】

本題考查圓與直線的位置關(guān)系，加上動點問題，此題難度較大，解決此題的關(guān)鍵是能夠正確分類討論，并根據(jù)已知條

件進(jìn)行計算求解.

三、解答題(共66分)

19、(1)1；(2)①Xi=-2,X2=6;②XI=,×2=—~~—.

55

【分析】(D根據(jù)二次根式的乘法公式、30。的余弦值、60。的正切值和乘方的性質(zhì)計算即可；

(2)①利用直接開方法解一元二次方程即可；

②利用公式法：X=二"J吐4ac解一元二次方程即可

2a

【詳解】(1)√12-2cos30o-tan60°+(-1)2018

=2√3-2×--√3+l

2

=1

(2)①；(x-2)2-16=0,

二(χ-2)2=16,

.".X-2=4或X-2=-4,

解得：Xi=-2,X2=6；

(2)Va=5,b=2,C=-1,

Λ?=b2-4ac=22-4×5×(-1)=24>0,

l—b+?∕b^—4ac—2±V24-2±2?fb_-1±?[6

貝RnU尤=--------------=----------=---------=--------，

la2×5105

Hn—1+\/6—1—y∣6

即Xl=--------，X2=--------.

55

【點睛】

此題考查的是含特殊角的銳角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算和解一元二次方程，掌握二次根式的乘法公式、30。的余弦值、60°

的正切值、乘方的性質(zhì)和利用直接開方法和公式法解一元二次方程是解決此題的關(guān)鍵.

20、(1)40海里；(2)3小時.

【分析】（1）作α）?LAB,在RtZ?ACQ中，由Nc40=30°知CD=LAC,據(jù)此可得答案;

2

（2）根據(jù)BC=—C匕D中求得BC的長，繼而可得答案.

sinZCBD

【詳解】解：（1）如圖，過點C作酸_LAB交AB延長線于O.

月（港口）天海警船）

在Rt2XACQ中，VZADC=90o,NC40=30°，AC=8（）海里,

二點C到直線A3距離CD=LAC=40(海里).

2

(2)在RtZkCSO中，?.?ZCZ)B=90o,ZCBD=90o-37°=53°,

CD40

BC=-------------*——=50（海里）,

sinZCBD0.8

.?.海警船到達(dá)事故船C處所需的時間大約為：50÷40=-（小時）.

4

【點睛】

此題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知三角函數(shù)的定義.

21、（1）證明見解析；（2）246

【解析】試題分析：（1）首先證明AABC是等邊三角形，進(jìn)而得出NAEC=90。，四邊形AECF是平行四邊形，即可

得出答案；

（2）利用勾股定理得出AE的長，進(jìn)而求出菱形的面積.

試題解析：（1）；四邊形ABCD是菱形，

二AB=BC,

XVAB=AC,

Λ?ABC是等邊三角形，

TE是BC的中點，

ΛAE±BC,

ΛZAEC=90o,

,.,E>F分別是BC、AD的中點,

11

.?.AF=-AD,EC=-BC,

22

V四邊形ABCD是菱形,

，AD〃BC且AD=BC,

，AF〃EC且AF=EC,

：.四邊形AECF是平行四邊形，

又；NAEC=90。，

.?.四邊形AECF是矩形；

(2)在RtAABE中，AE=√62-32=3百，

所以，S菱形ABCD=6x3?/?=18?/??

考點：L菱形的性質(zhì)；2..矩形的判定.

22、(1)①在，②且；(2)無變化，證明見解析；(2)66或竺好.

225

11AP

【分析】問題解決：(1)①根據(jù)三角形中位線定理可得：BD=CD=-BC=6,AE=CE=-AC=245,即可求出言的

22BD

值；

②先求出8。AE的長，即可求出?一的值；

BD

(2)證明4EC4S2?OC5,可得絲==

BDCD2

問題再探：(2)分兩種情況討論，由矩形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)可求50的長.

【詳解】問題解決：

(1)①當(dāng)α=0°時.

'JBC=2AB=3,

ΛAB=6,

22

ΛAC=y∣?g_1_β(j=y∣G+12,=6逐9

??,點。、E分別是邊3C、AC的中點，

工BD=CD=LBC=6,AE=CE=-AC=IJ5>DE=-AB9

222

.AE3√5√5

??-----=-------=—.

BD62

故答案為：蟲；

2

②如圖1.

A

V將AEOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，

.?.CD=6,CE=2y∕5,

ΛAfi=AC+CE=9√5?BD=BC+CD=1S,

.AE9√5√5

??---------------------.

BD182

故答案為：見.

2

(2)如圖2,

圖2

AfT

當(dāng)0?！堞?lt;260o時，一的大小沒有變化.證明如下:

BD

?：/ECD=NACB,

：./ECA=NDCB,

τ7..ECAC\[5

乂?----=----=---，

CDBC2

：AECAsADCB,

.AEEC也

"BD~CD~2"

問題再探：

(2)分兩種情況討論：

①如圖2.

DE

VAC=6√5,CD=6,CDLAD,

AO=y∣AC2-CD2=7(6√5)2-62=3.

'：AD=BC,AB=DC,

.?.四邊形ABCD是平行四邊形.

VZB=90o,

.?.四邊形AHa）是矩形,

：.BD=AC=6百

②如圖4,連接8。，過點。作AC的垂線交AC于點Q,過點8作AC的垂線交AC于點P.

???4D=JAC2一CZ)2=3.

2222

在RtACDE中，DE=VCE-CD=λ∕(3λ∕5)-6=2,

：.AE=AD-DE=3-2=9,

由（2）可得：M=且

BD2

9-18√5

?RO=逅=丁

T

綜上所述：8。=66或竺吾.

故答案為：6石或史普.

【點睛】

本題是幾何變換綜合題，考查了勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，正確作出輔助線，利用分類

討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵.

23、⑴詳見解析，8(T3),C(-3,T),D(4,-3)；⑵50；⑶P(∕,α)

【分析】(1)根據(jù)題意再表格中得出B、C、D,并順次連接A、B,C,。各點即可畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，寫出點3,C,

。的坐標(biāo)即可.

(2)可證得四邊形ABCD是正方形，根據(jù)正方形的面積公式：正方形的面積=對角線X對角線÷2即可得出結(jié)果.

(3)觀察(1)可以得出規(guī)律，旋轉(zhuǎn)后的點的坐標(biāo)和旋轉(zhuǎn)前的點橫縱坐標(biāo)位置相反，且縱坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù).

【詳解】解：(1)如圖，

3(-4,3),C(-3,-4),D(4,-3)

(2)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：

OA=OB=OC=OD,ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°

ΛACBD,ACVBD

.?.四邊形ABCD為正方形

A(3,4),：.OA=5

.CIOxlO

??SABCD_2_2__50

（3）根據(jù)題⑴可得出P（-A4）

【點睛】

本題主要考查的是作圖和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題目要求準(zhǔn)確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

24、（問題呈現(xiàn)）相等的弧所對的弦相等；同弧所對的圓周角相等；有兩組邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等;

（理解運(yùn)用）1;（變式探究）DB=CD+BAi證明見解析；（實踐應(yīng)用）10或夜.

【分析】（問題呈現(xiàn)）根據(jù)圓的性質(zhì)即可求解；

（理解運(yùn)用）CD=DB+BA,BPCD=6-CD+AB,BPCD=6-CD+4,解得：CD=S,即可求解；

（變式探究）證明AMABgZkMGB