2022-2023學(xué)年河北省保定市愛和城教育集團(tuán)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2022-2023學(xué)年河北省保定市愛和城教育集團(tuán)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試

卷

1.下列分解因式正確的是（）

A.2x2—xy-%=2x(%—y—1)

B.—xy2+2xy—3y=—y(xy—2%—3)

C.x(x—y)—y(x—y)=(%—y)2

D.x2—x—3=x(x—1)—3

2.下列命題中，是真命題的是()

A.兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

B.兩條對角線相等的四邊形是矩形

C.兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形

D.兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

3.不論x取何值，下列代數(shù)式的值不可能為0的是（）

1

A.x+1B.x2-1C.(x+I)2D.

x-1

4.正多邊形的每一個外角都等于30。，則這個多邊形的邊數(shù)為（)

A.6B.9C.12D.15

5.已知QVb,下列式子一定成立的是（）

A.—a<—bB.-ac2>-be2C.a+l>b+lD.ma>mb

6.下列分式中，最簡分式是（）

A10R2abx+1

AB

-后-要L3%+3x2+l

7.若Q+b=3,a—b5,則爐一小的值為（）

A.-12B.12C.-15D.15

8.若順次連接四邊形ABC。各邊的中點所得四邊形是菱形，則四邊形A8CO一定是（）

A.菱形B.對角線互相垂直的四邊形

C.矩形D.對角線相等的四邊形

2x-|-1<%—1

9.不等式組-上+；>。的解集表示在數(shù)軸上正確的匙）

A.B.

-3-2-1

C.

一一

-3-2-102332—1023

10.如圖，在△ABC中，AB=5,AC=6,BC=7,點D,E,尸分別是A8,BC,

A

CA的中點，連接OE、EF,則四邊形AOEF的周長為（）

A.6

B.9

C.11

D.13

11.如圖,在RtZkABC中，NB4C=90。，且4B=6,AC=8,點。是斜邊上的一個動點，過點。分別作

DM，48于點M,DNLAC于點N,連接MN,則線段MN的最小值為（）

A.4.8B.5C.3.6D.5.4

12.若一次函數(shù)y=依+b的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式2匕-b>0的解集

為（）

A.x-5

B.x>

C.x<3

D.久>—3

13.如圖1,將一個邊長為。的正方形紙片剪去兩個小矩形，得到一個“與

”的圖案，如圖2所示，再將剪下的兩個小矩形拼成一個新的矩形，如圖3所示,則新矩形的周長可表示

為（）

圖1圖2圖3

A.2ci-3bB.4a—8bC.2a—4bD.4a-10b

14.某服裝加工廠計劃加工400套運動服，在加工完160套后,采用了新技術(shù)，工作效率比原計劃提高了20%,

結(jié)果共用了18天完成全部任務(wù).設(shè)原計劃每天加工x套運動服，根據(jù)題意可列方程為（）

160,400160,400-160

-----i----------------18-----I----------------18

x(l+20%)xx(l+20%)x

r160400-160400400-160

,~+20%x=18~+(l+20%)x

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，nOABC的頂點A在x軸上，OC=2,/40C=60。且以點。為圓心，任意

長為半徑畫弧，分別交04、OC于點。、E；再分別以點。、點E為圓心，大于的長度為半徑畫弧，兩

弧相交于點尸，過點。作射線OF,交BC于點P,則點尸的坐標(biāo)為()

A.(2,C)B.(<3,3)C.(<3,2)D.(3,「)

16.如圖，四邊形ABC。中，AD//BC,AD=8cm,BC=12cm,M是BC上一點，_

AED

且BM=9cm,點E從點A出發(fā)以lcm/s的速度向點。運動，點f從點C出發(fā)，以3cm/sAI

的速度向點B運動，當(dāng)其中一點到達(dá)終點，另一點也隨之停止，設(shè)運動時間為t(s),/V

則當(dāng)以4、M、E、尸為頂點的四邊形是平行四邊形時，，的值是()//\

A.1B.3C.3或?D.|或；BFMC

17.分解因式：a2(%—y)+9(y—%)=.

18.若關(guān)于x的分式方程%=」+2的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是.

19.一組正方形按如圖所示的方式放置，其中頂點當(dāng)在y軸上，頂點G，E],E2,C2,E3,E4,C3…在x軸

上，已知正方形4遇住1。1的邊長為1,48傳1。=60。，2c2〃83c3，則正方形3c3D3的邊長是

>貝U正方形4023B2023c202302023的邊長是.

20.(1)先化簡，再求值：(號一1)十焉為，其中x的值從不等式組｛羨仔11<4的整數(shù)解中選取;

(2)解不等式;x并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

-4-3-2-I01234

21.已知：如圖所示，平行四邊形ABCQ的對角線AC,相交于點O,EF經(jīng)過點。并且分別和AB,CD

相交于點E,F,點G,H分別為0A,0C的中點.求證：四邊形EHFG是平行四邊形.

22.如圖，等腰Rt△ABC中，BA=BC,乙IBC=90。，點。在AC上，將△ABC繞點8沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90。

后，得到ACBE,連接

⑴求NDCE的度數(shù)；

(2)若48=4。，CD=3AD,求QE的長.

23.閱讀下列材料：整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法：下面是某同學(xué)對多項式(7+2x)(/+

2%+2)+1進(jìn)行因式分解的過程.將“尤2+2x”看成一個整體,令/+2x=y,則原式=y2+2y+1=(y+

1)2再將“y”還原即可.

解：設(shè)/+2x=y.

原式=y(y+2)+1(第一步)

=y2+2y+1(第二步)

=(y+l)2(第三步)

=(/+2x+1/(第四步).

問題：(1)①該同學(xué)因式分解的結(jié)果不正確，請直接寫出正確的結(jié)果；

②根據(jù)材料1,請你模仿以上方法嘗試對多項式(7一6x+8)(x2-6%+10)+1進(jìn)行因式分解；

(2)根據(jù)材料1,請你模仿以上方法嘗試計算：

(1-2-3-------2020)x(2+3+?--+2021)-(1-2-3-------2021)x(24-3+?--+2020).

24.如圖，A。是AABC的角平分線，過點。分別作AC、AB的平行線，交AB于點E,交AC于點F.

(1)求證：四邊形AE。尸是菱形.

(2)若4F=13,AD=24.求四邊形AEQF的面積.

A

E,

B----------D-------C

25.“七?一”建黨節(jié)前夕，某校決定購買4,B兩種獎品，用于表彰在“童心向黨”活動中表現(xiàn)突出的學(xué)生.已

知A獎品比8獎品每件多25元，預(yù)算資金為1700元，其中800元購買A獎品，其余資金購買B獎品，且

購買B獎品的數(shù)量是A獎品的3倍.

(1)求A,B獎品的單價：

(2)購買當(dāng)日，正逢該店搞促銷活動，所有商品均按原價八折銷售，故學(xué)校調(diào)整了購買方案：不超過預(yù)算資

金且購買A獎品的資金不少于720元，A,B兩種獎品共100件，求購買4,B兩種獎品的數(shù)量，有哪幾種

方案？

26.探究與應(yīng)用

(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1,△ABC為等邊三角形，點。為A8邊上的一點，/.DCE=30°,將線段CD繞點C

順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段CF,連接AREF,請直接寫出下列結(jié)果：

圖1圖2圖3

①NEAF的度數(shù)為；

②OE與EF之間的數(shù)量關(guān)系為；

(2)【類比探究】如圖2,AABC為等腰直角三角形，44cB=90。，點。為AB邊上的一點，LDCE=45°,

將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CF,連接4只EF.

則線段AE,ED,CB之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

(3)【拓展應(yīng)用】如圖3,△ABC是一個三角形的余料，小張同學(xué)量得NACB=120。，AC=BC,他在邊AB

上取了￡＞、E兩點,并量得=15。、4DCE=60°,這樣CD、CE將△4BC分成三個小三角形，則\BCD：

SADCE:SMCE=------------

答案和解析

I.【答案】c

【解析】解：A、公因式是x,應(yīng)為2^2-xy-x=x(2x-y-1),錯誤；

B、符號錯誤，應(yīng)為-xy2+2盯-3y=-y(xy-2x+3),錯誤：

C、提公因式法，正確；

右邊不是積的形式，錯誤；

故選：C.

根據(jù)提公因式法和公式法進(jìn)行判斷求解.

本題考查了多項式的因式分解，符號的變化是學(xué)生容易出錯的地方，要克服.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了真命題的概念以及平行四邊形，菱形，矩形，正方形的判定定理，熟記這些判定定理才能正確

的判斷正誤.

真命題就是判斷事情正確的語句.兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；兩條對角線相等且平分的

四邊形是矩形；對角線互相垂直平分的四邊形是菱形；兩條對角線互相垂直相等且平分的四邊形是正方形.

【解答】

解：4兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故本選項正確.

B、兩條對角線相等且平分的四邊形是矩形：故本選項錯誤.

C、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形；故本選項錯誤.

。、兩條對角線互相垂直相等且平分的四邊形是正方形.故本選項錯誤.

故選：A.

3.【答案】D

【解析】解：4、當(dāng)％=-1時，x+1=0,故不合題意；

B、當(dāng)％=±1時，%2—1=0,故不合題意；

C、當(dāng)％=-1時，(乂+1)2=0,故不合題意；

。、分子是I,而1#0,則二7K0,故符合題意；

故選：D.

分別找到各式為0時的x值，即可判斷.

本題考查了分式的值為零的條件，代數(shù)式的值.若分式的值為零，需同時具備兩個條件：(1)分子為0;(2)分

母不為0.這兩個條件缺一不可.

4.【答案】C

【解析】解：依題意，得

多邊形的邊數(shù)=360°+30°=12,

故選：C.

正多邊形的每一個外角都等于30。，而多邊形的外角和為360。，則：多邊形邊數(shù)=多邊形外角和+一個外角度

數(shù).

本題考查了多邊形內(nèi)角與外角.關(guān)鍵是明確多邊形的外角和為定值，即360。，而當(dāng)多邊形每一個外角相等

時，可作除法求邊數(shù).

5.【答案】B

【解析】解：A,a<b,-a>-b,故該選項不正確，不符合題意；

B、a<b,■■■—ac2>—be2,故該選項正確，符合題意；

a<b,■-a+1<b+1,故該選項不正確，不符合題意；

Ds"a<b,當(dāng)m<0時，ma>mb,故該選項不正確，不符合題意.

故選：B.

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)即可進(jìn)行解答.

本題主要考查了不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握不等式的基本性質(zhì).不等式性質(zhì)1：不等式的兩邊同

時加上(或減去)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變.不等式性質(zhì)2：不等式的兩邊同時乘(或除以)同一

個正數(shù)，不等號的方向不變.不等式性質(zhì)3：不等式的兩邊同時乘(或除以)同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.

6.【答案】D

【解析】解：4盆中，分子和分母有公因數(shù)5,不是最簡分式，故本選項不符合題意；

8.驍中，分子和分母有公因式不是最簡分式，故本選項不符合題意；

=W中，分子和分母有公因式x+1,不是最簡分式，故本選項不符合題意；

?巖中，分子和分母沒有公因式，是最簡分式，故本選項符合題意.

故選：D.

根據(jù)最簡分式的定義：在化簡結(jié)果中，分子和分母已沒有公因式，這樣的分式稱為最簡分式，逐一判斷即

可.

此題考查的是最簡分式的判斷，掌握最簡分式的定義是解題關(guān)鍵.

7.【答案】C

【解析】解："a+b=3,a—b=5,

b2—a2=(b+a)(b—a)=—(a+b)(a-b)=-3x5=-15,

故選：C.

把爐一a?因式分解后，利用整體代入即可求得答案.

此題考查了用平方差公式因式分解以及代數(shù)式求值，熟練掌握-匕2=(a+b)(a_b)是解題的關(guān)鍵.

8.【答案】D

【解析】解：:E,F,G,"分別是邊4。，AB,CB,OC的中點，E

EH=^AC,EHHAC,FG=^AC,FG//AC,EF=^BD,EF//BD,GH=：BD,

GH//BD,:公入,

???EH//FG,EH=FG,歲G

???四邊形是平行四邊形，

假設(shè)/C=BD,

???EH=^AC,EF=^BD,

則EF=EH,

???平行四邊形EFGH是菱形，

即只有具備AC=BC即可推出四邊形是菱形，

故選：D.

根據(jù)三角形的中位線定理得到EH〃FG,EH-FG,EH=^AC,EF=^BD,要使四邊形EFG”為菱形，得

出EF=EH,即可得到答案.

本題主要考查對菱形的判定，三角形的中位線定理，平行四邊形的判定等知識點的理解和掌握，靈活運用

性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

9.【答案】B

【解析】解：解不等式2x+lWx-l,得：x<-2,

解不等式一gx+l>0,得：x<2,

在數(shù)軸上表示為????j,r,

-3-2-10123

故選：B.

分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定

不等式組的解集.

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大

小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

10.【答案】C

【解析】解：,:點D,E,尸分別是AB,BC,CA的中點，

???AD=2.5,AF=^AC=3,DE、E尸是△4BC的中位線，

EF=^AB=2.5,DE=^AC=3,

???四邊形ADEF的周長=4。+DE+EF+4F=2.5+3+2+2.5+3=11,

故選：c.

根據(jù)線段中點的概念分別求出A。、AF,根據(jù)三角形中位線定理分別求出。E、EF,計算即可.

本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

11.【答案】A

【解析】解：???^BAC=90°,且AB=6,AC=8,

BC=VBA2+AC2=?62+82=10,

■■DMLAB,DN1AC,

:./.DMA=乙DNA=4BAC=90°,

四邊形0MAN是矩形，

MN=AD,

.?.當(dāng)4。IBC時，AO的值最小，

此時，S^ABC=^AB-AC=^BC-AD,

???MN的最小值為4.8,

故選：A.

由勾股定理求出8c的長，再證明四邊形。MAN是矩形，可得MN=AD,根據(jù)垂線段最短和三角形面積即

可解決問題.

本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

基本知識，屬于中考?？碱}型.

12.【答案】A

【解析】解：由題意得，一次函數(shù)丫=/￡%+/J的圖象經(jīng)過(3,0),k<0,

3k+b=0,

b=—3k,

?,?不等式可化為：2kx+3k>0,

解得x<-1

故選：A.

根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得到b=-3k,k<0,解不等式得到答案.

本題考查的是一次函數(shù)與不等式，掌握一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、一元一次不等式的解法是解題的關(guān)

鍵.

13.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意得新矩形的周長為：2[a-b+(a-3b)]=4a—8b.

故選：B.

根據(jù)題意列出關(guān)系式，去括號合并即可得到結(jié)果.

此題考查了整式的加減，以及列代數(shù)式，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

14.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，

列方程.本題要注意采用新技術(shù)前后工作量和工作效率的變化.根據(jù)采用新技術(shù)前用的時間+采用新技術(shù)后

所用的時間=18列出方程即可.

【解答】

解：采用新技術(shù)前用的時間可表示為：國天，采用新技術(shù)后所用的時間可表示為：離探天.

工口—r一160400—160vc

方程可表示為：+=18

—(l+20%)x-

故選B.

15.【答案】D

【解析】解：延長8c交)，軸于4,

由題意得：OP平分N40C,

???乙BOP=4POA,

???BC//OA,

:.Z.AOP=乙CPO,

???Z-COP=Z.CPO,

???OC=CP=2,

???0OABC的頂點A在x軸上，OC=2,Z.AOC=60°,

???8C_Ly軸，Z,COH=30°,

CH=^OC=1,

OH=VOC2-CH2=HP=HC+PC=1+2=3,

???點P點坐標(biāo)為(3,15),

故選：D.

由作法得OP平分N40C,結(jié)合平行線的性質(zhì)證明NCOP=NCP。得至IJCP=CO=2,延長8c交)，軸于H,

可得BCly軸，ZCOW=30",進(jìn)而可求得CH=1,OH=C，由此即可得到答案.

本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖(作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線

段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線).也考查了平行四邊形的性質(zhì)、含30。的

直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

16.【答案】D

【解析】解：①當(dāng)點F在線段上，4E=FM時，以A、M、E、尸為頂點的四邊形是平行四邊形，

則有t=9+3-12,解得t=|,

②當(dāng)F在線段CM上，=時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，

則有t=12-9-3t,解得t=',

綜上所述，t=?或。時，以A、M.E、尸為頂點的四邊形是平行四邊形.

42

故選：D.

分兩種情形由平行四邊形的判定列出方程即可解決問題.

本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會用分類討論的思想

思考問題.

17.【答案】(x-y)(a+3)(a-3)

【解析】解：a2(x-y)+9(y-x)

=(%—y)(a2—9)

=(x-y)(a+3)(a—3),

故答案為：(x—y)(a+3)(a—3),

先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答.

本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式.

18.【答案】m>2且mH3

【解析】解：方程兩邊同時乘以(％-1)得：

3尤=m+2(x—1),

解得：%=m—2,

??.x為非負(fù)數(shù)，

m-2>0,解得m>2,

,?x1,

??m—21,即m豐3,

m的取值范圍是m>2且m羊3,

故答案為：m>2且m豐3.

先解分式方程，利用機表示出x的值，再由x為非負(fù)數(shù)求出他的取值范圍即可.

本題考查的是根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，可以正確用機表示出x的值是解題的關(guān)鍵.

19.【答案】J(孕產(chǎn)22

【解析】解：48住1。=60°,48停1。1=90。,

=30°,

Z.D1C1E1

11

='Ci

???D1E1。]=

^2^2=2,

■:B1CJ/B2c2,

乙=60°,

Z-B1C1O=B2c2E2

...B2c2=普X2=?，

正方形4282c2。2的邊長為?，

同理可求正方形/B3c3。3的邊長為（苧）2=g，

.?.正方形4n%。。"的邊長為（?）“T，

二正方形42023B2023c2023。2023的邊長為（《32。22,

故答案為：|；（孕產(chǎn)22.

利用正方形的性質(zhì)，結(jié)合含30度的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理得出正方形的邊長，進(jìn)而得出變化規(guī)律

即可得出答案.

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，含30度的直角三角形的性質(zhì)，得出正方形的邊長變化規(guī)律是解

題關(guān)鍵.

20.【答案】解⑴：（念7+檢

=1X_1].（%+1）2

-x（x+1）（X+l）（x—1）

1%+1x+1

+1X+Lx—1

—xx+1

~x+1x—1

X

=~x^'

解不等式組｛屋n,

解得：—14％wI,

,:x,x+1,%—1在分母上，

%H±1,0,

，當(dāng)x=2時，原式=—2；

z—1

（2）9-1工紅一;,

移項得，＜1—

合并同類項得，一1xS；，

oZ

解得：x>—3,

在數(shù)軸上表示如圖所示，

-4-3-2-I01234

【解析】（1）直接將括號里面通分化筒，進(jìn)而利用分式混合運算法則計算，進(jìn)而解不等式組，得出符合題意

的x的值，進(jìn)而得出答案；

（2）根據(jù)移項，合并同類項，化系數(shù)為1的步驟解一元一次不等式，再將解集表示在數(shù)軸上即可求解.

本題考查了分式的化簡求值，解一元一次不等式組，熟練掌握分式的運算法則以及解不等式組是解題的關(guān)

鍵.

21.【答案】證明：如圖所示，

???點。為平行四邊形ABC。對角線AC,8。的交點，

???0A—OC,0B—0D.

G,”分別為。4,0C的中點，

11

0G=件，0H=在，

0G=0H.

又

???z.1=z.2.

在^OFB#AOFD中，

Z1=42

OB=0D

Z3=44

OEB沼△OFD,

A0E=OF.

四邊形EHFG為平行四邊形.

【解析】要證四邊形EaFG是平行四邊形，需證OG=OH,OE=OF,可分別由四邊形4BCZ）是平行四邊

形和△OFD得出.

此題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形是解題關(guān)鍵.

22.【答案】解：（1）???等腰Rt/iaBC中，BA=BC,"BC=90。，

/.BAD=Z.ACB=45°,

???將△4BD繞點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90。后，得到△CBE,

：.BD=BE,乙DBE=90°,

Z.ABD=/-CBE>

在△48。和小CBE中，

AB=CB

乙ABD=Z.CBE,

BD=BE

???△480g48CE(SAS),

???乙BAD=乙BCE=45°,

???乙DCE=乙ACB+乙BCE=45°+45°=90°；

(2)vAC=44，CD=3AD,

.-.AD=<7,CD=3S，

???△ABD迫4BCE,

AD=CE=V_2?

在RtAOCE中：DE=VDC2+CE2=J(3^)2+(7-2)2=2V5.

【解析】(1)根據(jù)題意證明AABD畛ABCE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

(2)根據(jù)題意求出A。C。的長度，然后根據(jù)(1)中全等三角形的性質(zhì)得出4D=CE,根據(jù)勾股定理求解即可.

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意證明AAB。也ABCE,根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)求解是解本題的關(guān)鍵.

23.【答案】(1)①(x+l)t

②設(shè)/-6x=y,

原式=(y+8)(y+10)+1

=y2+18y+80+1

=(y+9)2

=(%2—6x+9)2

=(x-3)4；

⑵設(shè)1-2-3-------2020=y,

原式=y(2+3+…+2021)-(y-2021)(2+3+…+2020)

=y(2+3+???+2020)+2021y-y(2+3+???+2020)+2021(2+3+-+2020)

=2021y4-2021(2+3+???+2020)

=2021(y+2+3+…+2020)

=2021(1-2-3-------2020+2+3+…+2020)

=2021x1

=2021.

【解析】(1)①最后再利用完全平方公式將結(jié)果分解到不能分解為止；

②根據(jù)材料，用換元法進(jìn)行分解因式；

(2)設(shè)1-2-3-------2020=y,則原式=2021(y+2+3+…+2020),再將y代入即可求解.

本題考查了因式分解-換元法，公式法，也是閱讀材料問題，熟練掌握利用公式法分解因式是解題的關(guān)鍵.

24.【答案】(1)證明：???&B//DF,AC]1DE,

???四邊形/是平行四邊形.

???AD是△ABC的角平分線，

:.Z.BAD=Z-DAC.

又???4C〃0E,

:.Z.ADE=Z-DAC.

??.Z.ADE=4BAD.

??.EA=ED.

???四邊形AED尸是菱形.

(2)解：連接E尸交AO于點0.

???EF=2F0.

1

???A。==12.

vAD1EF.

在Rt△A0F中，由勾股定理得OF=VAF2-AO2=V132-122=5.

0E=OF=5.

二四邊形AEDF的面積=^ADxOF+^ADxOE="x24x5+gx24X5=120.

【解析】⑴先證明四邊形AED尸是平行四邊形.再證明NADE=4BAD.可得瓦4=ED,則結(jié)論得證;

(2)連接EF交AQ于點。.求出OE=。5=5,則四邊形AEQF的面積可求出.

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識點，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

25.【答案】解：(1)設(shè)A獎品的單價為x元，則B獎品的單價為(X—25)元，

由題意得：g^x3=1700^00,

xx—25

解得：x=40,

經(jīng)檢驗，%=40是原方程的解，

則％-25=15,

答：A獎品的單價為40元，則8獎品的單價為15元；

(2)設(shè)購買A種獎品的數(shù)量為m件，則購買B種獎品的數(shù)量為(100-Tn)件，

由取音得f40X0.8Xm>720,

由虺息付：(40x0.8xm+15x0,8x(100-m)<1700,

解得：22.5Wm<25,

???Tn為正整數(shù)，

???zn的值為23,24,25,

有三種方案：

①購買A種獎品23件，B種獎品77件；

②購買4種獎品24件，B種獎品76件；

③購買4種獎品25件，8種獎品75件.

【解析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，

列出分式方程；(2)找出不等關(guān)系，列出一元一次不等式組.

(1)設(shè)A獎品的單價為x元，則B獎品的單價為(久-25)元，由題意：預(yù)算資金為1700元，其中800元購買

A獎品，其余資金購買8獎品，且購買8獎品的數(shù)量是A獎品的3倍.列出分式方程，解方程即可；

(2)設(shè)購買A種獎品的數(shù)量為〃?件，則購買8種獎品的數(shù)量為(100-/n)件，由題意：不超過預(yù)算資金且購

買A獎品的資金不少于720元，列出一元一次不等式組，解不等式組即可.

26.【答案】120°DE=EF1：門：2

【解析】解：(1)①NE4F的度數(shù)為120°,理由如下:

???線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CF,

：.CD=CF,乙FCD=60°,

為等邊三角形，

???乙4cB=乙FCD=60°,BC=AC,

4ACB-乙ACD=乙FCD-^ACD,BPzDCB=AFCA.

在小DCB與△FCA中，

CD=CF

乙DCB=/.FCA,

BC=AC

DCBaFCA(SAS),

■-■Z.CAF=/B=60".

???△ABC為等邊三角形，

.1.乙CAB=60",

4FAE=Z.FAC+/.CAB=120°.

故答案為：120。；

②結(jié)論：DE=EF,理由如下：

???線段C。繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CF,

???乙FCD=60°,CD=CF,

■：乙DCE=30°,

：?乙FCE=乙DCF-乙DCE=30°.

在與中,

CF=CD

Z-FCE=乙ECD,

CE=CE

FCE^LDCE(SAS),

???EF=ED.

故答案為：DE=EF；

(2)結(jié)論：AE2^DB2=DE2,理由如下：

???△/8C是等腰直角三角形，乙ACB=90。,

???4C=BC,Z-BAC=^B=45°,

由旋轉(zhuǎn)知，CD=CF,Z,DCF=90°,

v4DCF=乙BCA,

???Z.DCF-Z-ACD=乙BCA—/L.ACD,

BPz>lCF=乙BCD,

在△AC尸和△BCD中，

AC=BC

vZ-ACF=乙BCD,

CF=CD

???△ACF之△BCD(SAS),

:.Z.CAF=LB=45°,AF=DBf

???LEAF=ABAC+乙CA