2023-2024學(xué)年上海市部分學(xué)校高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023.2024學(xué)年上海市部分學(xué)校高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共4小題，共18.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知直線。：3x-（a+2）y+6=0,直線，2：ax+（2a-3）y+2=0,則“a=-9”是

*〃，2”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

2.某高中共有學(xué)生1200人，其中高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)比為6：5：4,現(xiàn)用分層抽樣

的方法從該校所有學(xué)生中抽取一個容量為60的樣本，則高三年級應(yīng)該抽取人.（）

A.16B.18C.20D.24

3.已知角a的終邊不在坐標(biāo)軸上，則下列一定成等比數(shù)列的是（）

A.sina,cosa,tanaB.sina,tana,cosa

C.sin2a,cosa,tan2aD.cos2a,sin2a?tan2a

4.對于某一集合4若滿足a、b.任取a、b、都有“a、b、c為某一三角形的

三邊長”，則稱集合力為“三角集”，下列集合中為三角集的是（）

A.{x|x^AABC的高的長度}B.{x|0}

C.{x\\x-1|+|x—3|=2}D.{x\y=log2（3x—2）}

二、填空題（本大題共12小題，共54.0分）

5.已知集合/={1,3,%},集合B={7,1}.若/uB=4,則實(shí)數(shù)％=.

6.復(fù)數(shù)z=i（2-i）,則|z|=.

7.已知%>1,求％的最小值是___.

x-1

8.已知拋物線y2=2p%（p>0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,貝Up的值為.

9.在（2%+1）5的二項展開式中，/的系數(shù)是.

10.已知向量五=（一m,1,3）,b=（2,n,1）?若云〃石，則小九的值為.

11.在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，若角。的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與工軸的非負(fù)半軸重合，終邊

與以點(diǎn)。為圓心的單位圓交于點(diǎn)則sin（28-方的值為.

12.將圓錐的側(cè)面展開后得到一個半徑為2的半圓，則此圓錐的體積為.

13.某個品種的小麥麥穗長度（單位：an）的樣本數(shù)據(jù)如下:10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、

9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為.

14.函數(shù)y=3$仇2%+2/3s譏xcosx+cos?%,xe[0,，]的值域?yàn)?

15.從5名志愿者中選出4名分別參加測溫、掃碼、做核酸和信息登記的工作(每項1人)，其中

甲不參加測溫的分配方案有種.(結(jié)果用數(shù)值表示)

16.在面積為2的平行四邊形中4BCD中，ND4B=3點(diǎn)P是4。所在直線上的一個動點(diǎn)，則

O

而2+正之一麗.正的最小值為.

三、解答題(本大題共5小題，共78.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題14.0分)

若數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列，則稱數(shù)列｛a“｝為調(diào)和數(shù)列.若實(shí)數(shù)a、b、c依次成調(diào)和數(shù)列，則稱b是

an

a和c的調(diào)和中項.

(1)求加1的調(diào)和中項；

(2)已知調(diào)和數(shù)列｛%｝,%=6,a4-2,求｛即｝的通項公式.

18.(本小題14.0分)

已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)/'(x)=ax2—bx+1.

(1)若/(x)<0的解集為｛x[x<或x>1｝,求實(shí)數(shù)a、b的值.

(2)若實(shí)數(shù)a、6滿足6=a+1,求關(guān)于x的不等式f(x)<0的解集.

19.(本小題14.0分)

如圖所示，四棱錐P—4BCD中，底面4BCD為菱形，且直線P4，平面4BCD,又棱24=4B=2,

E為C。的中點(diǎn)，JLABC=60°.

(I)求證：直線后4_1_平面。48；

(n)求直線4E與平面PCD所成角的正切值.

20.(本小題18.0分)

已知橢圓r：\+3=l(a>b>0)的長軸長為242，離心率為?，直線/與橢圓r有兩個不

同的交點(diǎn)4，B

(1)求橢圓廠的方程；

(2)若直線1的方程為：y=x+t,橢圓上點(diǎn)M(-|W)關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)N(與M不重合)在橢

圓「上，求t的值；

(3)設(shè)P(-2,0),直線PA與橢圓廠的另一個交點(diǎn)為C,直線PB與橢圓廠的另一個交點(diǎn)為D,若點(diǎn)

C,。和點(diǎn)Q(C)三點(diǎn)共線，求%的值.

21.(本小題18.0分)

已知函數(shù)/'(x)=(2—a)lnx+:+2ax(a<0).

(1)當(dāng)。=0時，求/(x)的極值；

(II)當(dāng)a<0時，討論f(x)的單調(diào)性;

(皿)若對任意的aG(-3,-2),勺,X2￡[1,3],恒有(m+ln3)a-2伍3>|/(勺)一/(&)|成立,

求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：直線小3%-(a+2)y4-6=0,直線ax4-(2a-3)y+2=0,

(3,(2fl-3)+(a+2),Q=0

vG//^2t-2-(a+2)-6-(2a-3)^0,解得a=-9.

則“a=-9”是“Z"%”的充要條件,

故選：C.

根據(jù)直線平行，充分必要條件的定義，判斷即可.

本題考查直線平行，充分必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】4

【解析】解：高三年級學(xué)生的人數(shù)所占的比例為小工=2,

6十5十415

故應(yīng)從高三年級抽取的學(xué)生的人數(shù)為：60x^=16,

故選：4.

用樣本容量乘以高三年級學(xué)生的人數(shù)所占的比例，即為所求.

本題主要考查分層抽樣的定義和方法，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解:因?yàn)閟in2a=cos2a?taMa,所以cos?。,s譏a,tan2a一定成等比數(shù)列,故選:D.

根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，三項成等比數(shù)列的關(guān)系即可判斷.

本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系，等比數(shù)列的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：對于4：當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀?B4C無限小時，且

底邊上的高比較大，BE1AC,CF1AB,如圖所示：

顯然BE+CFCAD,故BE、CF、4D不滿足三角形的三邊，故

選項A錯誤；

對于B：由W<0,解得1Wx<2,任取與，且與2犯，則2M

+x2<4,0<xr—x2<又14%3V2,

所以％1-%2<%3V久1+即選項B成立；

對于C：因?yàn)椤?|4~\x—31=2>當(dāng)％Ml時，一(x—1)—(%—

3)=2,解得x=l；

當(dāng)x23時，(x-l)+(x-3)=2,解得x=3；當(dāng)l<x<3時(x-l)-(x-3)=2,即2=2恒

成立，所以l<x<3；

綜上可得1<%<3,BP[x||x-1|+|x-3|=2}={x|l<x<3},

令。=/?=1,c=3,顯然a+b<c,不滿足a,b,c為某一三角形的三邊長，故選項C錯誤；

對于。：因?yàn)閥=log2(3x-2),所以3x-2>0,解得工>|,所以{%|y=log2(3x-2))={x\x>|],

令a=b=l,c=3,顯然a+b<c,不滿足a,b,c為某一三角形的三邊長，故選項。錯誤.

故選:B.

利用特殊三角形判斷選項A,解分式不等式即可證明選項B；利用零點(diǎn)分段法解方程，求出選項C

所對應(yīng)集合，再利用特殊值排除選項G根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)求出選項。的集合，再利用特殊值排除

選項。.

本題以新定義為載體，綜合考查了不等式及方程的解，三角形的邊長關(guān)系，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)

用，屬于中檔題.

5.【答案】或0

【解析】解：集合4={1,3,行，集合B={%2,1},AUB=4

BQA,

■■X2=3或=X,

解得x=±q,或x=0,或x=1(舍).

故答案為：±V"?或o.

由4UB=4得BU4從而/=3或/=x,再由集合中元素的互異性能求出結(jié)果.

本題考查集合的運(yùn)算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】<5

【解析】解：???z=i(2-i)=l+2i,

???\z\=Vl2+22=5-

故答案為：<5.

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化筒，再由復(fù)數(shù)模的計算公式求解.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】5

【解析】【分析】

直接利用關(guān)系式的變換和基本不等式，求出最小值.

本題考查的知識要點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，基本不等式，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：由于x>l,所以x-l>0,

所以x+言=(%-1)+言+122J(x-1).言+1=5，

當(dāng)且僅當(dāng)x=3時，等號成立.

故答案為：5

8.【答案】4

【解析】解：由于拋物線/=2Px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),

所以與=2,p=4.

故答案為：4.

根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求得p的值.

本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】80

【解析】【分析】

本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具.

利用二項展開式的通項公式寫出第r+1項，令x的指數(shù)為3求出展開式中/的系數(shù).

【解答】

解:設(shè)求的項為。+1=%(2x)5-r,

今r=2,

333

T3=2C1x=80x.

???二的系數(shù)是80.

故答案為：80.

10.【答案】-2

【解析】解:va.//b>且k=(一m,1,3),b=(2,n,1)>

/.-一-m=-1=一3,

2n1

解得m=-6,n=I，

mn=—2

故答案為：-2.

根據(jù)向量共線定理的坐標(biāo)式，建立方程，即可求解.

本題考查向量共線定理的坐標(biāo)式，方程思想，屬基礎(chǔ)題.

11.【答案】

【解析】解：由題意知，cosd=-|,

所以sin(29-今=-COS26=-(2cos26-1)=1-2cos20=1-2X(-|)2=

故答案為:去

運(yùn)用三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及二倍角公式計算即可.

本題主要考查二倍角的三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】?兀

【解析】【分析】

本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，側(cè)面展開圖，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖的弧長為圓錐底面周長得出圓錐底面半徑，勾股定理得出圓錐的高，代入

體積公式計算即可.

【解答】

解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,則2nr=2兀，.,?丁=1.

，圓錐的IWJh=V22—I2=A/-3.

???圓錐的體積V=^nr2h=

故答案為：浮兀.

13.【答案】10.8

【解析】解:數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、

11.7,共有12個,

所以12x80%=9.6,

所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是第10個數(shù)即：10.8.

故答案為：10.8.

將數(shù)據(jù)從小到大排序后，運(yùn)用百分位數(shù)的運(yùn)算公式即可.

本題考查百分位數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】[1,4]

【解析】解：y=3sin2x+2\/~^sinxcosx+cos2%=2sin2x+2V_3sinxcosx+1=1—cos2x+

y/~3sin2x+1=y/~3sin2x—cos2x+2=2sin(2x-1)+2,

因?yàn)閤e[0,芻，

所以〃-旌V片]，

所以sin(2x—S)61],

所以2sin(2x—看)+26[1,4].

故答案為：[1,4].

結(jié)合二倍角公式、輔助角公式可得y=2sin(2x-J)+2,再根據(jù)x6[0,芻及三角函數(shù)的性質(zhì)求值

域即可.

本題考查了三角恒等變化、三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】96

【解析】解：從5名志愿者中選出4名分別參加測溫、掃碼、做核酸和信息登記的工作(每項1人),

則甲不參加測溫的分配方案有盤房=96種，

故答案為：96.

由排列、組合及簡單計數(shù)問題，結(jié)合乘法原理求解即可.

本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，重點(diǎn)考查了乘法原理，屬基礎(chǔ)題.

16.[答案]2A/--3

【解析】解：取BC的中點(diǎn)Q,連接PQ,

則而+正=2而，

則而-PC=\[(PB+PC)2-(PB-PC)2]=1(4|PQ|2-|CB|2),

~PB2+PC2-RB-PC=(PB+PC)2-3PB-PC=4|PQ|2-^(4|PQ|2-|CB|2)

4

22

=\PQ\+l\BC\>2\PQ\-^-\BC\=^~1\PQ\-\BC\>>^SABCD=2c.

當(dāng)且僅當(dāng)|PQ|=?|BC|且PQ1BC時取等號.

故答案為：2c.

取BC的中點(diǎn)Q,連接PQ,可得麗之+時一方.同=?翅|2+:|正『，結(jié)合基本不等式與四邊

形面積公式可得最小值.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題.

17.【答案】解：設(shè)加1的調(diào)和中項為b,依題意得：3、21依次成等差數(shù)列，

5D

所以：==2、即b=

b22

(2)依題意，｛；｝是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

an

3d=AQd="

所以a/+3T)d=t+(吁1)巨明

故M=磊，

【解析】(1)根據(jù)題意得到3、p1成等差數(shù)列，從而得到方程，求出b=：,得到答案；

(2)根據(jù)題意得到??｝是等差數(shù)列，設(shè)出公差，由通項公式基本量計算得到公差，進(jìn)而得到｛an｝的

通項公式.

本題是新定義題型，主要考查利用定義求等差數(shù)列通項公式，等差中項的應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)v/(x)<0的解集為｛洌尤<一：或x>1｝,

???a<0,與1是一元二次方程ax?-bx+l=0的兩個實(shí)數(shù)根，

(2),??b=a+1,關(guān)于％的不等式/(%)<0化為：ax2一(a+1)%4-1<0,

因式分解為：(ax-1)(%—1)<0,

當(dāng)a=1時，，化為(％—I)2<0,則第G0；

當(dāng)時，i<l,解得3<XV1，不等式的解集為｛%弓<%V1｝；

OVa<l時，i>1,解得，>%>1,.,?不等式的解集為>1｝；

。<0時，不等式(ax-1)(%-1)<0化為：(%-：)(x—1)>0,解得％>1或％V，

不等式的解集為｛%|%V%或%>1｝.

【解析】(1)由/(%)V0的解集為｛%[%V或%>1｝,可得QV0,與1是一元二次方程Q/-

hx+l=0的兩個實(shí)數(shù)根，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得出.

(2)由b=a+1,關(guān)于x的不等式/(x)<?；癁椋篴x2-(a+l)x+1<0,因式分解為：(ax-l)(x-

1)<0,對a分類討論即可得出.

本題考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了分類討論方法、推

理能力與計算能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)證明：v/.ADE=/.ABC=60°,ED=1,AD=2,

??.△4EC是以乙4ED為直角的直角三角形；

XvAB//CD,EAJLAB；

又P4_L平面ABC。，E4u平面力BC。，

???EA1PA-.

S.ABQPA=A,AB,P4u平面P4B,

???EA，平面P4B；

(2)如圖所示，連接PE,過4點(diǎn)作4H1PE于H點(diǎn)，

因?yàn)镻A_L平面4BCC,CDu平面4BCD,

所以CO1PA,

又???CCJ.E4且PAnEA=A,PA,E4u平面PAE,

CDJL平面PAE；

又AHu平面PAE,

.-.AH1CD；

又AHIPE,且CDClPE=E,

AH1平面PCO,

NAEP為直線4E與平面PCD所成角

在Rt△PAE中，???PA=2,AE=VAD2-DE2=V_3.

.?nPA22/3

?11tan^AEP=AE=71=--

【解析】本題考查了空間中的垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了空間想象能力與邏輯思維能力，是

基礎(chǔ)題目.

(1)只需證明直線E414B,且E41P4即可；

(2)先證明AH1平面PCD,得出41EP為直線4E與平面PCD所成角，在Rt△P4E中計算tan乙4EP的

值.

20.【答案】解：⑴由橢圓「：務(wù)，=l(a>b>0)的長軸長為2「,離心率為?,可得2a=2/3,

即Q=A/-3,

又e=￡=冬，解得c=q,則b=V3—2=1,

a3

2

則橢圓「的方程為^■+y2=1：

(2)聯(lián)立+：；2*=3可得4/+6tx+3產(chǎn)-3=0,

由4=36戶-16(3/-3)>0,可得一2<tV2.

設(shè)N(a,y()),則=-+、。)=\("。一|)+3解得%o=,-3Vo=《一即N(g—一|)，

又N在橢圓上，可得超T)2+(￡—|)2=L解得t=2(舍去)或t=

則2=1;

(3)設(shè)4(%1，為),3(%2，丫2)，可得資+3*=3,%3+3退=3,

又P(—2,0),

則直線P4的方程為y=含。+2),與橢圓方程/+3y2=3聯(lián)立，

可得(7+4/)％2+(12—4xf)x—(7x1+12%J=0,

則x”c=一受著，即有和=一筌詈，yc=含(心+2)=君五，

Bnr,r_7打+12力、

即0(—7+4必'7+4%i)'

同理可得D(-筌巖，懸)，

又QT，?所以近=(看，第濡>?=(品Q筌翦)，

由題意可得近〃而，

|.||i1.2,2_7_4_2_2y「7_44.1

人14(7+4勺)?2(7+4X2)-2(7+4%!)'4(7+軌2)'

化簡可得%-、2=2(X1-*2)，

則孑=2,即有k的值為2.

xl-x2

【解析】(1)由橢圓的長軸長和離心率，可得a,c的值，再由a,b,c的關(guān)系，可得b,進(jìn)而得到

橢圓的方程；

(2)聯(lián)立直線，的方程與橢圓方程，運(yùn)用判別式大于0,可得t的范圍，再由點(diǎn)關(guān)于直線的對稱的知

識，求得N的坐標(biāo)，代入橢圓方程求得t的值；

(3)設(shè)做與,yQ,B(x2,y2),結(jié)合橢圓方程，求得直線P4的方程，與橢圓方程聯(lián)立，解得C的坐標(biāo)，

同理可得。的坐標(biāo)，由向量共線的坐標(biāo)表示，化簡整理，結(jié)合直線的斜率公式，可得所求值.

本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線和橢圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于難題.

21.【答案】解：(I)依題意知/。)的定義域?yàn)?0,+8),

當(dāng)a=0時，/(%)=2lnx+f'(x)=|-^=箏，

令(㈤=0,解得x=：,

當(dāng)0cxeg時，yz(x)<o；

當(dāng)x>凱寸，f'(x)>0.

又=2/n|+2=2-2ln2,

.,?/(x)的極小值為2-2，n2,無極大值.

(H)/(x)=y-1+2a

_2ax2+(2-a)x-l_(2X-1)(QX+