導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義(課件)高二數(shù)學(xué)（北師大版2019選擇性）

2.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義溫故知新1.平均變化率

對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，設(shè)自變量x從x0變化到x0＋?x，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f(x0)變化到f(x0＋?x).這時(shí)，x的變化量為?x，y的變化量為

?y＝f(x0＋?x)－f(x0).我們把比值

，即叫做函數(shù)y＝f(x)從x0到x0＋?x的平均變化率.2.瞬時(shí)變化率

溫故知新2.1、導(dǎo)數(shù)的定義：

一般地，函數(shù)y=f（x）在x=x0處的瞬時(shí)變化率是：我們稱它為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)（derivative），記作或，即2、根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟：

2.算比值：

1.求增量：

3.取極限：

由導(dǎo)數(shù)的定義可知,求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的一般方法:求函數(shù)的改變量2.求平均變化率3.求值口訣：一差、二化、三極限1．函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是(

)A．在該點(diǎn)的函數(shù)的增量與自變量的增量的比B．一個(gè)函數(shù)C．一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù)D．函數(shù)在這一點(diǎn)到它附近一點(diǎn)之間的平均變化率答案：C解析：由導(dǎo)數(shù)的定義可知，函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是平均變化率的極限值，是個(gè)常數(shù)．故選C.鞏固提升

答案：A解析：由f(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)的定義知，應(yīng)選A.故選A.例1:一條水管中流過的水量y（單位:m3）與時(shí)間x（單位:s）的函數(shù)關(guān)系為y=f(x)=3x.求函數(shù)y=f(x)在z=2處的導(dǎo)數(shù)f＇(2)，并解釋它的實(shí)際意義.

當(dāng)x趨于2,即△x趨于0時(shí)，平均變化率總是3,所以f'(2)=3m3/s.

導(dǎo)數(shù)f'(2)表示當(dāng)x=2s時(shí)水量的瞬時(shí)變化率，即水流的瞬時(shí)速度.也就是說,如果水管中的水保持以x=2s時(shí)的瞬時(shí)速度流動(dòng)的話,每經(jīng)過1s,水管中流過的水量為3m3.例2:一名食品加工廠的工人上班后開始連續(xù)工作，生產(chǎn)的食品量y(單位:kg)與其工作時(shí)間x(單位:h)的函數(shù)關(guān)系為y=f(x).假設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=l和x=3處的導(dǎo)數(shù)分別為f'(1)=4和f'(3)=3.5,試解釋它們的實(shí)際意義.解:f'(1)=4表示該工人上班后工作1h的時(shí)候，其生產(chǎn)速度（即工作效率）為4kg/h.也就是說，如果保持這一生產(chǎn)速度,那么他每時(shí)可以生產(chǎn)4kg的食品.

f'(3)=3.5表示該工人上班后工作3h的時(shí)候，其生產(chǎn)速度為3.5kg/h.也就是說，如果保持這一生產(chǎn)速度，那么他每時(shí)可以生產(chǎn)3.5kg的食品.例3:服藥后，人體血液中藥物的質(zhì)量濃度c(單位:μg/mL)是時(shí)間t(單位:min)的函數(shù)c=c(t).假設(shè)函數(shù)c=c(t)在t=10和t=100處的導(dǎo)數(shù)分別為c'(10)=l.5和c'(100)=-0.6,試解釋它們的實(shí)際意義.解:c'(10)=l.5表示服藥后10min時(shí)，血液中藥物的質(zhì)量濃度上升的速度為1.5μg/(mL?min).也就是說，如果保持這一速度，每經(jīng)過1min,血液中藥物的質(zhì)量濃度將上升1.5μg/mL.c'(100)=-0.6表示服藥后100min時(shí)，血液中藥物的質(zhì)量濃度下降的速度為0.6μg/(mL?min).也就是說，如果保持這一速度，每經(jīng)過1min,血液中藥物的質(zhì)量濃度將下降0.6μg/mL.練習(xí)1:(1)求函數(shù)y=x2在x=1處的導(dǎo)數(shù);(2)求函數(shù)y=x+1/x在x=2處的導(dǎo)數(shù).練3:求y=f(x)=x2+1在x=1處的導(dǎo)數(shù).QPy=x2+1xy-111OjMDyDx練習(xí)4.已知函數(shù)f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a.

我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P__________________，割線P0P____________________位置.這個(gè)確定位置的直線P0T稱為拋物線f(x)＝x2在點(diǎn)P0(1,1)處的切線．觀察

如圖，當(dāng)點(diǎn)P(x,x2)沿著拋物線f(x)=x2趨近于點(diǎn)P0(1,1)時(shí)，割線P0P有什么變化趨勢(shì)?T無限趨近于一個(gè)確定的無限趨近于點(diǎn)P0時(shí)2.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義

PQoxyy=f(x)割線切線T請(qǐng)看當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線逐漸向點(diǎn)P接近時(shí),割線PQ繞著點(diǎn)P逐漸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況.1.割線的斜率2.切線的斜率

函數(shù)圖象在點(diǎn)P0(x0,f(x0))處的斜率xyO121234PP0T割線斜率與切線斜率

導(dǎo)數(shù)的幾何意義思考：導(dǎo)數(shù)f

′(x0)的幾何意義是什么？割線P0P的斜率k切線P0T的斜率k0點(diǎn)P→點(diǎn)P0函數(shù)

y＝f(x)在x=

x0處的導(dǎo)數(shù)f

′(x0)曲線y＝f(x)在點(diǎn)P0(x0,f(x0))處切線的斜率k0導(dǎo)數(shù)f

′(x0)的幾何意義PxyOT即求切線方程的方法例4已知函數(shù)y=x2及自變量xo=-2.（1） 分別對(duì)△x=l,0.5,0.1求y=x2在區(qū)間[xo,xo+△x]上的平均變化率，并畫出過點(diǎn)(xo,f(xo))的相應(yīng)割線；（2） 求函數(shù)y=x2在xo處的導(dǎo)數(shù)，并畫岀曲線y=x2在點(diǎn)(xo,f(xo))處的切線.

例4已知函數(shù)y=x2及自變量xo=-2.（1） 分別對(duì)△x=l,0.5,0.1求y=x2在區(qū)間[xo,xo+△x]上的平均變化率，并畫出過點(diǎn)(xo,f(xo))的相應(yīng)割線；（2） 求函數(shù)y=x2在xo處的導(dǎo)數(shù)，并畫岀曲線y=x2在點(diǎn)(xo,f(xo))處的切線.例5

：求函數(shù)y=f(x)=2x3在x=l處的切線的方程.

例6求曲線y＝-2x2+1在點(diǎn)(1,-1)處的切線方程.解：設(shè)f(x)＝-2x2+1所以所求切線方程為y-(-1)=(-4)(x-1),即4x+y-3=0.解決切線問題的關(guān)鍵:利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率k0=f′(x0).點(diǎn)斜式

變式:如圖已知曲線,求:(1)點(diǎn)P處的切線的斜率;(2)點(diǎn)P處的切線方程.

yx-2-112-2-11234OP即點(diǎn)P處的切線的斜率等于4.

(2)在點(diǎn)P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域與函數(shù)f(x)的定義域相同．(

)(2)在導(dǎo)數(shù)的定義中，Δx，Δy都不可能為零．(

)(3)直線與曲線相切，則直線與已知曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．(

)(4)函數(shù)f(x)＝0沒有導(dǎo)函數(shù)．(

)××××當(dāng)堂檢測(cè)2．函數(shù)y＝x2在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為(

)A．2xB．2＋ΔxC．2D．1答案：C

3．設(shè)f′(x0)＝0，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線(

)A．不存在

B．與x軸平行或重合C．與x軸垂直

D．與x軸斜交答案：B解析：∵f′(x0)＝0，∴點(diǎn)(x0，f(x0))處切線的斜率為0.故選B.4．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是(

)A．0>f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)<f′(xB)<0C．f′(xA)＝f′(xB)D．f′(xA)>f′(xB)>0答案：B解析：f′(xA)和f′(xB)分別表示函數(shù)圖象在點(diǎn)A，B處的切線斜率，故f′(xA)<f′(xB)<0.故選B.5．已知直線y＝3x＋1與曲線y＝x3＋ax＋3相切于點(diǎn)(1，4)，則a＝________．0解析：∵切點(diǎn)(1，4)在曲線y＝x3＋ax＋3上，∴4＝13＋a＋3，∴a＝0.5．求曲線f(x)＝x2＋1在點(diǎn)A(1，2)處的切線方程．

6．拋物線y＝x2＋4在點(diǎn)(－2，8)處的切線方程為________．y＝－4x

7.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（）A.f′(1)>f′(2)>f′(3)>0B.f′(1)<f′(2)<f′(3)<0C.0<

f′(1)<f′(2)<f′(3)D.f′(1)>f′(2)>0>f′(3)