高數(shù)d26一元函數(shù)積分學(xué)二(62p)省公開課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

第二章五、歷年試題解析第三節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一元函數(shù)積分學(xué)(二)(62)第1頁令已知機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束五、歷年試題解析且f(1)=0,則f(x)=___.解:則代入由f(1)=0,得c=0.故應(yīng)填注釋:了解和不定積分.處理這類問題方法是先作變量代換求出本題考查對(duì)于導(dǎo)函數(shù)然后積分就可求得例1.(04.4分)題型(一)

不定積分計(jì)算(3-38)第2頁例2.(99.3分)解:F(x)是f(x)原函數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù),則().則因?yàn)閒(x)原函數(shù)F(x)可表示為:故(A)正確選項(xiàng).(A)當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí),F(x)必是偶函數(shù).(B)當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí),F(x)必是奇函數(shù).(C)當(dāng)f(x)是周期函數(shù)時(shí),F(x)必是周期函數(shù).(D)當(dāng)f(x)是單調(diào)增函數(shù)時(shí),F(x)必是單調(diào)增函數(shù).A注釋:本題考查原函數(shù)概念及變上限函數(shù)表示法.經(jīng)過舉例即知選項(xiàng)(C)與(D)均不正確.對(duì)于選項(xiàng)(A),(3-29)第3頁例3.(93.5分)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解法1:被積函數(shù)是兩類函數(shù)相乘,

應(yīng)使用分部積分法.

原式=

計(jì)算

原式=又(3-15)第4頁機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解法2:則令本題考查不定積分換元積分法與分部積分法.注釋:第5頁解法1:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.(01.6分)求(3-33）第6頁解法2:令則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注釋:本題考查不定積分分部積分法和換元積分法.第7頁例5.(94,5分)求原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解法1:(3-18)第8頁解法2:由半角公式得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁解法3:用萬能代換,令則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注釋:本題考查三角函數(shù)有理式不定積分.第10頁

設(shè)f(x)連續(xù),則f(x)=_____________.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束題型(二)定積分積分計(jì)算例1.(89.3分)

且解:令則f(x)=x+2a.代入得由此得則f(x)=x–1.應(yīng)填x–1.

x–1

注釋:本題考查定積分計(jì)算.本題關(guān)鍵是搞清是個(gè)常數(shù),只要定出這個(gè)常數(shù),

f(x)就可求得.(3-6)第11頁例2.(90.5分)求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束原式=注釋:本題考查定積分分部積分法.(3-9)第12頁例3.

(92.5分)設(shè)解:求機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束令則原式=且x=1時(shí),t=–1,

注釋:本題考查定積分換元積分法.

x=3時(shí),t=1.(3-11)第13頁例4.(98.6分)原式=解:因?yàn)樗詸C(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束求由夾逼原理可知,而(3-26)第14頁例5.(00.3分)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解法1:解法2:由定積分幾何意義知,注釋:定積分表示圓所圍成面積此圓半徑為1,其面積為故本題考查定積分換元積分法.解法2利用定積分應(yīng)填表達(dá)了填空題解題技巧,應(yīng)注意掌握.幾何意義求解,(3-31)第15頁例6.(07.4分)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注釋:應(yīng)填解:本題考查定積分分部積分法.(3-42)第16頁例7.(02.3分)注釋:解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1本題考查廣義積分計(jì)算.應(yīng)填1.(3-34)第17頁例8.(05.11分)曲線C方程為y=f(x),如圖,點(diǎn)(3,2)是它一個(gè)拐點(diǎn),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束直線分別是曲線C在點(diǎn)(0,0)與(3,2)處切線,其交點(diǎn)為(2,4),設(shè)函數(shù)f(x)含有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),計(jì)算定積分解:由點(diǎn)(3,2)是曲線y=f(x)拐點(diǎn)知,由直線分別是曲線

y=f(x)在點(diǎn)(0,0)與(3,2)處切線知,(3-41)第18頁機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束利用定積分分部積分法可得:注釋:本題是綜合題.解題關(guān)鍵是從圖上得到上述條件.第19頁機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束題型(三)變上限積分例1.(87.8分)求正常數(shù)a與b,使等式成立.解:由洛必達(dá)法則知:原式=所以b=1.原式=注釋:本題考查帶有變上限積分未定式極限,求這但要注意洛必達(dá)法則類極限普通都是用洛必達(dá)法則,與等價(jià)無窮小代換結(jié)合,以簡(jiǎn)化運(yùn)算.(3-2)第20頁機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)f(x)為已知連續(xù)函數(shù),例2(87.3分)其中s>0,t>0,則I值().(A)依賴于s和t;(B)依賴于s,t,x;(C)依賴于t和x,不依賴于s;(D)依賴于s,不依賴于t.解:可見I值只與s相關(guān),故選項(xiàng)(D)正確.D注釋:本題表面上看是變上限積分,實(shí)際上只需作變量代換并利用定積分概念即可得到結(jié)果.(3-3)第21頁例3(88.3分)且f(7)=_____.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束等式令x=2,得解:設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù),兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得:應(yīng)填注釋:本題考查變上限積分求導(dǎo).則而令

x=2是解題關(guān)鍵.(3-4)第22頁機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束且則解:設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù),例4.

(90.3分)由知故選項(xiàng)(A)正確.A注釋:本題考查變上限積分求導(dǎo).用直接法解此題.(3-8)第23頁令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5(93.3分)解:解得則F(x)單調(diào)降低區(qū)間為注釋:本題考查變上限積分求導(dǎo)和函數(shù)單調(diào)性判定.單調(diào)降低區(qū)間為_________.函數(shù)(3-12)第24頁例6.(93.3分)解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)則當(dāng)x→0時(shí),因?yàn)樗詰?yīng)選(B).(A)等價(jià)無窮小;(B)同階但非等價(jià)無窮小;(C)高階無窮小;(D)低階無窮小.B注釋:本題考查變上限積分求導(dǎo)及無窮小比較.

f(x)是g(x)().故當(dāng)x→0時(shí),

f(x)是g(x)同階但非等價(jià)無窮小.(3-13)第25頁例7.(94.5分)第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)在求注釋:值.解:本題考查變上限積分求導(dǎo)和參數(shù)方程求導(dǎo)數(shù).(3-17)第26頁例8(95.3分)因?yàn)樽⑨?本題考查變上限積分求導(dǎo).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束所以應(yīng)填注意:解:在變上限積分中,

t是積分變量,x是參變量,一經(jīng)取定不再改變,故可提到積分號(hào)外面.另外,因?yàn)榉e分是“積不出來”,所以積分無須計(jì)算!(3-19)第27頁例9(96.3分)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解:f(0)=0,且當(dāng)x→0時(shí),設(shè)f(x)

有連續(xù)導(dǎo)數(shù),無窮小,是同階則k等于().

(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.約去xC(3-20)第28頁機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束分子

而分式極限存在且為非零常數(shù),

則k=3

.故應(yīng)選(C).

本題考查變上限積分求導(dǎo),注釋:洛必達(dá)法則及無窮小階比較.第29頁機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例10.(97.3分)則F(x)().設(shè)本題考查變上限積分法導(dǎo)數(shù)及定積分性質(zhì).注釋:(A)為正常數(shù);(B)為負(fù)常數(shù);(C)恒為零;(D)不為常數(shù).解:因?yàn)閯t而故選項(xiàng)(A)正確.A(3-23)第30頁(A為常數(shù)),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例11.(97.6分)設(shè)f(x)連續(xù),求并討論在x=0處連續(xù)性.解:由題設(shè)知

(0)=0,f(0)=0.令xt=u,由導(dǎo)數(shù)定義知?jiǎng)t有因?yàn)樗栽趚=0處連續(xù).注釋:本題考查定積分換元積分法,變上限積分求導(dǎo),導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo),函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)性.即有(3-24)第31頁例12.(98.3分)設(shè)f(x)連續(xù),則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注釋:本題考查變上積分求導(dǎo).解:則t=0時(shí),t=x時(shí),u=0.故選項(xiàng)(A)正確.A這類問題通常是通過變量代換將被積函數(shù)中參變量x換到積分限上去.(3-25)第32頁例13.(99.3分)當(dāng)t=0時(shí),u=x;機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解:t=x時(shí),u=0,則有

應(yīng)填

注釋:本題考查換元積分法和變上限積分求導(dǎo).

(3-28)第33頁例14.(98.6分)設(shè)f(x)是區(qū)間[0,1]上任一非負(fù)連續(xù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù).(1)試證存在使得在區(qū)間上以為高矩形面積等于在區(qū)間上以y=f(x)為曲邊曲邊梯形面積.(2)又設(shè)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo),證實(shí)(1)中是唯一.分析:先寫出欲證式子:存在將此式湊成羅爾定理結(jié)論(3-27)第34頁形式并滿足對(duì)應(yīng)條件,即結(jié)構(gòu)

(x),為了證實(shí)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注釋:本題考查羅爾定理,變上限積分求導(dǎo),函數(shù)單調(diào)性.唯一性,只要證實(shí)單調(diào),即證為定號(hào)即可.證:令則

(x)在[0,1]上滿足羅爾定理?xiàng)l件,所以存在使這就證實(shí)了唯一性.第35頁

在點(diǎn)

(0,0)處切線相同,并求極限機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例15.(02.7分)已知兩曲線y=f(x)與寫出此切線方程,分析:可求得然后用導(dǎo)數(shù)即可.解:由題設(shè)條件知f(0)=0,故所求切線方程為y=x.兩曲線y=f(x)與

在點(diǎn)

(0,0)處切線相同,定義求極限(3-35)第36頁例16(04.4分)把排列起來,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束時(shí)無窮小量使排在后面是前一個(gè)高階無窮小,則正確排列次序是().(A)

,

,

;(B)

,

,

;(C)

,

,

;(D)

,

,

.解:因?yàn)樗詴r(shí)

是比

高階無窮小量.因?yàn)樗詴r(shí)

是比

高階無窮小量.故選項(xiàng)(B)正確.B(3-39)第37頁例17.

(08.10分)證實(shí)函數(shù)設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束且(Ⅱ)當(dāng)f(x)是以2為周期周期函數(shù)時(shí),(Ⅰ)利用定義證實(shí)函數(shù)可導(dǎo),所以有也是以2為周期周期函數(shù).(Ⅰ)證:對(duì)任意x,因?yàn)閒(x)是連續(xù)函數(shù),(3-44)第38頁其中

介于x與x+x之間,所以函數(shù)F(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束又因?yàn)閒(x)連續(xù)性,所以有當(dāng)x0時(shí),

x.且要證實(shí)G(x)是以2為周期函數(shù),(Ⅱ)證:即要證實(shí)對(duì)任意x,都有G(x+2)=G(x).因?yàn)榧从蠫(x+2)–G(x)=0.所以第39頁機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束因?yàn)閒(x)是以2為周期函數(shù),所以證畢.注釋:本題考查微積分基本定理證實(shí),周期函數(shù)變上限積分.所以即有所以G(x)是以2為周期函數(shù).第40頁例18.

(09.4分)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[–1,3]上圖形為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則函數(shù)圖形為().(3-45)第41頁機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束由題設(shè)知,當(dāng)則有注釋:本題考查變上限積分性質(zhì)與其導(dǎo)函數(shù)關(guān)系.故選項(xiàng)(A)錯(cuò)誤.時(shí),因?yàn)閺亩鳩(x)單調(diào)增,解:因?yàn)閯tF(0)=0,顯然選項(xiàng)(C)錯(cuò)誤.又因?yàn)闀r(shí),則當(dāng)時(shí),故選項(xiàng)(B)錯(cuò)誤.由排除法,選項(xiàng)(D)正確.第42頁題型(四)定積分性質(zhì)(積分中值定理)本題要證存在分析:設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù),(0,1)內(nèi)可導(dǎo),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.(91.7分)證實(shí)在(0,1)內(nèi)存在一點(diǎn)c,且首先應(yīng)聯(lián)想到羅爾定理,所以證實(shí)關(guān)鍵是要找出使f(x)函數(shù)值相等兩個(gè)點(diǎn).證:由積分中值定理知即有又也即有f(x)在[0,

]上滿足羅爾定理?xiàng)l件,所以存在證畢.（3-10）第43頁例2.(00.6分)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)函數(shù)f(x)在[0,

]上連續(xù),且試證:在(0,

)最少存在兩個(gè)不一樣點(diǎn)分析:結(jié)構(gòu)函數(shù)顯然若能證實(shí)在[0,

]有三個(gè)零點(diǎn),由羅爾定理知在(0,

)上最少存在兩個(gè)不一樣點(diǎn)即因?yàn)镕(0)=0,F(

)=0,使所以只要證實(shí)在(0,)內(nèi)最少還有F(x)一個(gè)零點(diǎn)即可.（3-21）第44頁證:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則設(shè)知最少又因若不然,則在(0,

)內(nèi)或恒為正,或恒為負(fù),均與矛盾.因?yàn)闀r(shí),故由此證得再對(duì)F(x)在[0,

]和[

,]上分別應(yīng)用羅爾定理,存在即證畢.第45頁例3(94.3分)解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)則有().所以有P<M<N.分析:題中三個(gè)積分積分區(qū)間都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以(A)N<P<M;(B)M<P<N;(C)N<M<P;(D)P<M<N.首先應(yīng)考慮被積函數(shù)奇偶性.由被積函數(shù)奇偶性可知:M=0.選項(xiàng)(D)正確.D（3-16）第46頁機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束題型(五)定積分應(yīng)用(幾何)例1.(87.3分)由曲線y=lnx與兩直線y=(e+1)?x及y=0所圍成平面圖形面積是________.解:分析:求平面圖形面積題普通應(yīng)先畫圖,然后確定積分表示式.注釋:依題意畫圖.所求圖形面積為:得交點(diǎn)坐標(biāo)為(e,1).由以y為積分變量,本題考查用定積分求面積,本題以y為積分變量計(jì)算簡(jiǎn)單!（3-1）第47頁機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束雙紐線例2(93.3分)所圍成區(qū)域面積用定積分表示為().解:所圍成圖形關(guān)于x軸y軸都對(duì)稱,A所求面積應(yīng)為第一象限4倍.而雙紐線極坐標(biāo)方程為雙紐線設(shè)雙紐線在第一象限所圍面積為則有所求面積為在第一象限

取值范圍是所以選項(xiàng)(A)正確.(雙紐線圖形見書P346圖(14))（3-14）第48頁例3(03.10分)在點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(1)求D面積A;解:過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=lnx切線,(2)求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積V.依題意畫圖以下.所求圖形面積為(1)設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為該切線與曲線y=lnx及x軸圍成平面圖形D.則曲線lnx切線方程為因?yàn)樵撉芯€過原點(diǎn),所以有即有該切線方程為（3-36）第49頁機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束體積微元為圖中陰影部分窄條繞直線x=e旋轉(zhuǎn)所得(2)用微元法.旋轉(zhuǎn)體體積為注釋:本題考查平面圖形面積和旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算.處理這類問題關(guān)鍵是熟練掌握定積分微元法.第50頁例4.

(07.4分)如圖,連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[?3,?2],機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束分別是直徑為2下、上半圓周.則以下結(jié)論正確是[2,3]上圖形分別是在區(qū)間[–2,0],[0,2]上圖形C直徑為1上、下半圓周,().且（3-43）第51頁解:

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

注釋:本題考查定積分幾何意義.由所給圖形知f(x)是奇函數(shù),由排除法應(yīng)選(C).則是偶函數(shù).從而所以選項(xiàng)(A),(B),(D)均不正確,第52頁令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5(97.3分)解:由題設(shè)條件對(duì)f(x)圖形進(jìn)行分析,則有().設(shè)在區(qū)間[a,b]上f(x)>0,易知曲線f(x)在x軸上方,單調(diào)下降且為凹弧,并依題意畫示意圖.表示曲邊梯形ABCD面積,表示矩形ABCE表示梯形ABCD面積,顯然有故選項(xiàng)(B)正確.B面積,（3-21）第53頁例6.(88.9分)面圖形面積機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),(a,b)內(nèi)3倍.依題意畫示意圖以下:在(a,b)內(nèi)存在唯一

,

y=f(x)與兩直線y=f(

),x=a所圍平面圖形面積是曲線y=f(x)與兩直線y=f(

),x=b所圍平證實(shí):且在使曲線分析:（3-5）第54頁先用變上限積分表示機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束結(jié)構(gòu)輔助函數(shù)然后由題設(shè)使問題轉(zhuǎn)化為證實(shí)函數(shù)

F(x)在(a,b)內(nèi)有唯一零點(diǎn)

問題.證:令其中顯然F(x)在[a,b]上連續(xù).第55頁又有第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束于是即由連續(xù)函數(shù)介值定理知,使F(

)=0,最少存在一點(diǎn)即使

唯一性可由F(x)單調(diào)性得到.所以F(x)在[a,b]上單調(diào)增加,故在(a,b)內(nèi)只有一個(gè)

,證畢.第56頁例7(96.5分)求心形線注釋:本題考查極坐標(biāo)表示曲線弧長(zhǎng)計(jì)算.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束全長(zhǎng),其中a>0是常數(shù).解題解:分析:心形線是一條關(guān)于x軸對(duì)稱封閉曲線,當(dāng)曲線由極坐標(biāo)r=r(

)表示時(shí),弧微分由對(duì)稱性可知,所求心形線全長(zhǎng)為關(guān)鍵是要記住用定積分求弧長(zhǎng)公式,并能正確確定參數(shù)改變范圍0≤

≤

.（3-21）第57頁機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束抓斗抓起污泥重N,

為去除井底污泥,例1(99.6分)井底,用纜繩將抓斗放入抓起污泥后提出井口.已知井深30m