高中數(shù)學(xué)競賽問題及教學(xué)研究市公開課一等獎省賽課獲獎?wù)n件

高中數(shù)學(xué)競賽及教學(xué)研究主講人：

傅海倫教授/博導(dǎo)(山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院)0531-8618849813065002025年03月24日

數(shù)學(xué)競賽系列講座第1頁內(nèi)容提要：一、開展高中數(shù)學(xué)競賽意義二、山東省高中生數(shù)學(xué)競賽路徑和渠道三、年高中數(shù)學(xué)競賽考試范圍四、數(shù)學(xué)競賽教學(xué)問題五、研究賽題，掌握數(shù)學(xué)奧林匹克技巧六、注意幾個數(shù)學(xué)競賽題方法第2頁一、開展高中數(shù)學(xué)競賽意義（1）符合素質(zhì)教育要求。數(shù)學(xué)競賽能配合素質(zhì)教育，發(fā)覺和發(fā)展學(xué)生專長，有利于數(shù)學(xué)專長生培養(yǎng)，選拔和培養(yǎng)智力超常和有數(shù)學(xué)天賦青少年。（2）搞數(shù)學(xué)競賽，不但能夠拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)知識，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，并能極大地激發(fā)一個人潛能。（3）高等學(xué)校喜愛數(shù)學(xué)競賽獲獎學(xué)生，便于學(xué)生深入深造，造就一批優(yōu)異數(shù)學(xué)人才。（4）作為一項賽事，同時還能夠提升數(shù)學(xué)教師本身業(yè)務(wù)素質(zhì)和綜合數(shù)學(xué)能力。第3頁（5）特殊照料政策。按現(xiàn)在政策：級、級同學(xué)參加27屆、28屆冬令營能夠保送，省一等獎也能夠保送。級同學(xué)參加27屆冬令營只有加20分而無保送資格。到年冬令營（第29屆東令營），即年以后入學(xué)同學(xué)，只有進(jìn)入國家集訓(xùn)隊才有保送資格（普通是冬令營金牌、少部分高分銀牌）。高校自主招生錄用率要看大學(xué)招生政策。第4頁《山東省年普通高考照料政策》（四）高級中等教育階段取得以下獎項且同時符合保送生資格應(yīng)屆高中畢業(yè)生，如未被保送錄用參加高考錄用時在其統(tǒng)考成績總分基礎(chǔ)上增加20分投檔，由學(xué)校審查決定是否錄用。1．全國中學(xué)生學(xué)科奧林匹克競賽省賽區(qū)（競賽范圍以教育部年普通高等學(xué)校招收保送生方法中公布競賽名稱為準(zhǔn)）一等獎以及全國決賽一、二、三等獎取得者；第5頁2．全國青少年科技創(chuàng)新大賽（含全國青少年生物和環(huán)境科學(xué)實踐活動）或“明天小小科學(xué)家”獎勵活動或全國中小學(xué)電腦制作活動一、二等獎取得者；3．在國際科學(xué)與工程大獎賽或國際環(huán)境科研項目奧林匹克競賽中獲獎?wù)摺５?頁二、山東省高中生數(shù)學(xué)競賽路徑和渠道1、《山東省高中數(shù)學(xué)競賽暑期培訓(xùn)暨高中數(shù)學(xué)夏令營》由山東數(shù)學(xué)會、山東省數(shù)學(xué)競賽委員會組織。每年舉行，期間舉行數(shù)學(xué)競賽，并按競賽成績選拔出部分優(yōu)異選手(參加培訓(xùn)營員40%左右)可直接參加本年度全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽。參考對象：山東省各普通高中數(shù)學(xué)競賽優(yōu)異選手，為確保質(zhì)量，每年限額500人左右。

第7頁臨沂一中連續(xù)三年協(xié)辦（年、年、年）《山東省年高中數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)暨高中數(shù)學(xué)夏令營》。時間：每年7月份中下旬。第8頁2、全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽“全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽”是教育部同意，由中國科協(xié)主管，中國數(shù)學(xué)會主辦一項針對高中學(xué)生傳統(tǒng)競爭活動，創(chuàng)辦于1981年。第9頁（1）聯(lián)賽宗旨：全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽宗旨是：在選拔在數(shù)學(xué)方面有突出專長同學(xué)，讓他們進(jìn)入全國著名高等學(xué)府，而且選拔成績比較優(yōu)異同學(xué)進(jìn)入更高級別競賽，直至國際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）。而且經(jīng)過競賽方式，培養(yǎng)中學(xué)生對于數(shù)學(xué)興趣，讓學(xué)生們興趣數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生們鉆研精神，獨(dú)立思索精神以及創(chuàng)新精神。第10頁（2）政策：為了促進(jìn)拔尖人才盡快成長，教育部要求：在高中階段取得全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽省、市、自治區(qū)賽區(qū)一等獎?wù)弑闳〉帽Ｋ椭攸c大學(xué)資格。對于沒有保送者，在高考中加分，加分情況依據(jù)各省市政策而定，有些省、市、自治區(qū)保留了競賽獲獎?wù)吒呖技?分到20分不等。第11頁依據(jù)考試結(jié)果評選出各省級賽區(qū)級一、二、三等獎。其中一等獎由各省負(fù)責(zé)閱卷評分，然后將一等獎考卷寄送到主辦方（中國數(shù)學(xué)會），由主辦方復(fù)評，最終由主管單位（中國科協(xié)）負(fù)責(zé)最終評定并公布。二、三等獎由各個省自己決定。為嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)，中國數(shù)學(xué)會每年限定一等獎名額1000名左右，并劃分到各省、市、自治區(qū)。對二、三等獎取得者，各省、市、自治區(qū)又出臺了不一樣政策，其中包含自主招生資格等優(yōu)惠錄用政策。第12頁依據(jù)復(fù)賽成績，各省、市、自治區(qū)賽區(qū)一等獎排名靠前同學(xué)可參加冬令營，冬令營復(fù)賽中就評出省級一等獎，每個省有40個左右，冬令營人數(shù)普通每省最多5名，組成中國數(shù)學(xué)奧林匹克（CMO）。冬令營考是國家級，一等獎有30個左右，選取其中前25人左右組成集訓(xùn)隊，經(jīng)過幾個月培訓(xùn)，選出6名國家隊隊員，在夏天去參加IMO（國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽）。第13頁（3）對年第53屆IMO中國國家集訓(xùn)隊分析

年中國數(shù)學(xué)奧林匹克國家集訓(xùn)隊由56人組成（不包含特批隊員），其中男選手55人，女選手1人，可見男生在這一領(lǐng)域絕對優(yōu)勢。56人中，高三選手45人，高二選手11人（入選本屆冬令營4位高一和1位初三選手未能入選）。由此可見：要進(jìn)入國家集訓(xùn)隊這一層面，大量訓(xùn)練和相當(dāng)積累是前提，更主要是高三、高二選手在心理成熟度和解題技巧上有著較為顯著優(yōu)勢。

第14頁以下是這56位集訓(xùn)隊隊員省市分布情況：湖北8人、上海8人、北京5人、廣東5人、湖南5人、江蘇4人、遼寧4人、四川3人、浙江3人、河北2人、江西2人、天津2人、福建1人、河南1人、吉林1人、山西1人、陜西1人。第15頁能夠看出：湖北、上海、北京、廣東、湖南位居前列，充分顯示出它們無愧為“競賽數(shù)學(xué)大省”稱號，同時也表達(dá)出他們在人才培養(yǎng)，日常訓(xùn)練、組織和選拔等方面強(qiáng)大實力，尤其是他們擁有國內(nèi)第一流教練員隊伍。

第16頁更值得一提是，廣東隊?wèi){借三劍客出眾發(fā)揮，一舉奪得本屆CMO團(tuán)體第一，捧走陳省身杯。我們大膽預(yù)測：在未來6位國家隊隊員中，來自這幾個大省將占據(jù)二分之一以上名額。另外，江蘇、遼寧、四川和浙江實力也不可小覷，他們也將是國家隊名額有力爭奪者。第17頁在這里要提是吉林隊，今年他們沒能正常發(fā)揮，入選集訓(xùn)隊人數(shù)偏少，其余省市皆在正常范圍內(nèi)。第18頁因為年CMO試題難度較前二年有所下降，故一等獎分?jǐn)?shù)線有了一定提升，且滿分人數(shù)有6人之多，他們都是高三選手，這從另一角度也證實了：在CMO這一層面上更需要是選手實力和成熟度。IMO試題是每小題7分，共6題，總分42分。每小題7個得分點，每個得分點為1分。而CMO是IMO得分3倍，每小題為21分，總分126分，自然每個得分點為3分，所以選手得分一定是3倍數(shù)第19頁上海入選8名集訓(xùn)隊隊員中有4位是來自上海中學(xué)，該校也是當(dāng)前我國唯一一所連續(xù)4年有學(xué)生獲IMO金牌（其中有二個滿分）中學(xué)，可見該校實力強(qiáng)大。該校主要由馮志剛（上海中學(xué)副校長、上海市數(shù)學(xué)特級教師、中國數(shù)學(xué)奧林匹克委員會委員，中國數(shù)學(xué)奧林匹克國家隊副領(lǐng)隊）親自掛帥，進(jìn)行日常訓(xùn)練。第20頁本屆冬令營組員中唯一一位來自上海初三選手竇澤皓，此次CMO成績?yōu)?3分，獲銀獎，并列二等獎第一名，盡管有些遺憾（未能進(jìn)入集訓(xùn)隊），但作為一名初三選手，能在如此高水平大賽中，取得一枚含金量極高銀牌，已實屬不易。年3月12日——27日中國數(shù)學(xué)會在江西南昌大學(xué)附中進(jìn)行多輪、愈加激烈國家隊選拔。第21頁（4）聯(lián)賽試題模式（年起實施）自年起，全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題新規(guī)則以下：聯(lián)賽分為一試、加試（即俗稱“二試”）。各個省份自己組織“預(yù)賽”、“初試”、“復(fù)賽”等等，都不是正式全國聯(lián)賽名稱及程序。由全國高中數(shù)學(xué)競賽組委會統(tǒng)一命題。一試和加試均在每年10月中旬第一個周日舉行。第22頁一試：命題以高中數(shù)學(xué)教學(xué)綱領(lǐng)為準(zhǔn)?？荚嚂r間為早晨8：00—9：20，共80分鐘。試題分填空題和解答題兩部分，滿分120分。其中填空題8道，每小題8分；解答題3道，分別為16分、20分、20分。（年舊規(guī)則和年之前舊規(guī)則略去。）第23頁加試（二試）：命題以高中數(shù)學(xué)競賽綱領(lǐng)為準(zhǔn)考試時間為9：40—12：10，共150分鐘。試題為四道解答題，前兩道每小題40分，后兩道每小題50分，滿分180分。試題內(nèi)容涵蓋平面幾何、代數(shù)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)等。（年舊規(guī)則和年之前舊規(guī)則略去。）第24頁三、年高中數(shù)學(xué)競賽考試范圍

一試：

全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試競賽綱領(lǐng)，完全按照全日制中學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)綱領(lǐng)》中所要求教學(xué)要求和內(nèi)容，即高考所要求知識范圍和方法，在方法要求上略有提升，其中概率和微積分初步不考。第25頁1、平面幾何基本要求：掌握初中數(shù)學(xué)競賽綱領(lǐng)所確定全部內(nèi)容。補(bǔ)充要求：面積和面積方法。幾個主要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理（過三角形外接圓上異于三角形頂點任意一點作三邊垂線，則三垂足共線。此線常稱為西姆松線）。幾個主要極值：到三角形三頂點距離之和最小點（費(fèi)馬點）。到三角形三頂點距離平方和最小點（重心）。三角形內(nèi)到三邊距離之積最大點（重心）。第26頁幾何不等式。簡單等周問題。了解下述定理：在周長一定n邊形集合中，正n邊形面積最大。在周長一定簡單閉曲線集合中，圓面積最大。在面積一定n邊形集合中，正n邊形周長最小。在面積一定簡單閉曲線集合中，圓周長最小。幾何中運(yùn)動：反射、平移、旋轉(zhuǎn)。復(fù)數(shù)方法、向量方法。平面凸集、凸包及應(yīng)用。第27頁2、代數(shù)在一試綱領(lǐng)基礎(chǔ)上另外要求內(nèi)容：周期函數(shù)與周期，帶絕對值函數(shù)圖像。三倍角公式，三角形一些簡單恒等式，三角不等式。第二數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)有一個與自然數(shù)n相關(guān)命題，假如：（1）當(dāng)n＝1時，命題成立；（2）假設(shè)當(dāng)n≤k時命題成立，由此可推得當(dāng)n＝k+1時，命題也成立。那么，命題對于一切自然數(shù)n來說都成立。能夠證實第二數(shù)學(xué)歸納法和第一數(shù)學(xué)歸納法是等價，。遞歸，一階、二階遞歸，特征方程法。第28頁函數(shù)迭代，求n次迭代，簡單函數(shù)方程。n個變元平均不等式，柯西不等式，排序不等式及應(yīng)用。復(fù)數(shù)指數(shù)形式，歐拉公式，棣莫佛定理，單位根，單位根應(yīng)用。圓排列（從n個不一樣元素中不重復(fù)地取出m（1≤m≤n）個元素在一個圓周上，叫做這n個不一樣元素圓排列。假如一個m-圓排列旋轉(zhuǎn)能夠得到另一個m-圓排列，則認(rèn)為這兩個圓排列相同），有重復(fù)排列與組合，簡單組合恒等式。第29頁一元n次方程（多項式）根個數(shù)，根與系數(shù)關(guān)系，實系數(shù)方程虛根成對定理。簡單初等數(shù)論問題，除初中綱領(lǐng)中所包含內(nèi)容外，還應(yīng)包含無窮遞降法，同余，歐幾里得除法，非負(fù)最小完全剩下類，高斯函數(shù)，費(fèi)馬小定理，歐拉函數(shù)，孫子定理，格點及其性質(zhì)。第30頁3、立體幾何多面角，多面角性質(zhì)。三面角、直三面角基本性質(zhì)。正多面體，歐拉定理。體積證法。截面，會作截面、表面展開圖。第31頁4、平面解析幾何直線法線式，直線極坐標(biāo)方程，直線束及其應(yīng)用。二元一次不等式表示區(qū)域。三角形面積公式。圓錐曲線切線和法線。圓冪和根軸。第32頁5、其它

抽屜原理。

容斥原理。

極端原理。集合劃分。覆蓋。梅涅勞斯定理托勒密定理西姆松線存在性及性質(zhì)。賽瓦定理及其逆定理。第33頁四、數(shù)學(xué)競賽教學(xué)問題1、明確競賽目標(biāo)作為一個數(shù)學(xué)教育活動數(shù)學(xué)競賽，對于推進(jìn)教學(xué)改革和提升教學(xué)質(zhì)量，有著多方面主要意義，發(fā)揮數(shù)學(xué)課堂教學(xué)難以取代作用。當(dāng)前，尤其是不把取得好競賽結(jié)果作為唯一目標(biāo)，而應(yīng)在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生能力，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)方法和思維習(xí)慣。要幫助學(xué)生養(yǎng)成良好數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，掌握正確數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，促使中學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)更加好地銜接。第34頁2、堅持競賽教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)（1）普及與提升相輔相成《高中數(shù)學(xué)競賽綱領(lǐng)（修訂稿）》要求：在“普及基礎(chǔ)上不停提升”。在此方針指導(dǎo)下，全國數(shù)學(xué)競賽活動方興未艾，尤其是連續(xù)幾年我國選手在國際數(shù)學(xué)奧林匹克中取得了可喜成績，使廣大中小學(xué)師生和數(shù)學(xué)工作者為之振奮，熱忱不停高漲，數(shù)學(xué)競賽活動進(jìn)入了一個新階段。第35頁教學(xué)重點：1）激發(fā)學(xué)生求知欲望，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。2）促進(jìn)思維能力發(fā)展，著重培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，要使學(xué)生逐步學(xué)會分析、綜合、歸納、演繹、概括、抽象、類比等主要思想方法。同時，要重視培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思索和自學(xué)能力。3）培養(yǎng)良好思維品質(zhì)、思維習(xí)慣和探索精神，有利于發(fā)揮學(xué)生創(chuàng)造才能。第36頁（2）課內(nèi)與課外相得益彰課堂教學(xué)是課外活動基礎(chǔ)，課外培優(yōu)是課堂學(xué)習(xí)延伸和補(bǔ)充?！陡咧袛?shù)學(xué)競賽綱領(lǐng)（修訂稿）》要求：對學(xué)有余力學(xué)生，要經(jīng)過課外活動或開設(shè)選修課等各種方式，充分發(fā)展他們數(shù)學(xué)才能。教學(xué)重點應(yīng)放在鞏固和擴(kuò)大學(xué)生在課內(nèi)所學(xué)知識，拓寬解題思緒，增強(qiáng)學(xué)生解題能力和利用數(shù)學(xué)知識處理實際問題能力。第37頁3、重視對學(xué)生選拔選拔優(yōu)異學(xué)生要具備三個素質(zhì):聰明或天賦——是成功基礎(chǔ)；勤奮與堅持——通向成功必經(jīng)之路；良好心理素質(zhì)與思維習(xí)慣——成功保障。但這并學(xué)生非與生俱來，要在教學(xué)及學(xué)生學(xué)習(xí)過程中逐步培養(yǎng)，所以要想學(xué)生在競賽中取得優(yōu)異成績，除了要有堅實基礎(chǔ)知識和很強(qiáng)邏輯思維能力外，還必須培養(yǎng)學(xué)生良好心理素質(zhì)。第38頁（1）早動手，選好苗

“選苗要準(zhǔn)，要早”，這是競賽出成績必由之路。從初一到高三全方面展開數(shù)學(xué)課外活動，形如“金字塔”式選尖培優(yōu)。（2）推薦與選拔相結(jié)合第39頁“尖子生”，普通每科均“尖”，科與科間競爭也較激烈，雖提倡合作，卻也不諱談競爭。初中年級教師負(fù)責(zé)把尖子生推薦給高一年級，再依據(jù)平時觀察，可進(jìn)行兩到三次選拔性測試，命題形式參考當(dāng)年全國聯(lián)賽題。第40頁（3）引導(dǎo)學(xué)生樹立正確競賽觀1）樹立競爭意識。要使學(xué)生正確對待考試分?jǐn)?shù)與名次，樹立在競爭中求發(fā)展和提升思想。2）樹立“以我為主”觀念。要引導(dǎo)學(xué)生對自己優(yōu)勢和劣勢作自我評價取長補(bǔ)短，發(fā)展自我。同時，以激勵為主，重視興趣激發(fā)。3）正確對待失敗與挫折。要使學(xué)生對學(xué)業(yè)上成功與失敗有全方面認(rèn)識，有競爭也就有失敗，幫助學(xué)生分析成功與失敗原因找到問題。減輕失敗壓力。所以，搞競賽，心理輔導(dǎo)要跟進(jìn)。第41頁4．合理安排，團(tuán)結(jié)協(xié)作每年級設(shè)有備課組長，由備課組長安排輔導(dǎo)，學(xué)科組長從中協(xié)調(diào)，普通按章節(jié)進(jìn)行，每位教師負(fù)責(zé)其中最“拿手”一章，團(tuán)結(jié)協(xié)作，各展所長，各顯其能。固定活動時間和地點。由學(xué)科組和年級備課組長商議好，級組幫助，再報教誨處，每七天可安排一個晚上，約三個課時，確保不受干擾，長久堅持。第42頁5、加強(qiáng)對競賽內(nèi)容系統(tǒng)培訓(xùn)培訓(xùn)普通可分：基礎(chǔ)訓(xùn)練階段專題訓(xùn)練階段強(qiáng)化綜合訓(xùn)練階段實用性階段(模擬考試)以上四個階段，培訓(xùn)強(qiáng)調(diào)重點不一樣。第43頁基礎(chǔ)訓(xùn)練階段這一階段教學(xué)任務(wù)是經(jīng)過常規(guī)教學(xué)與課外活動相結(jié)合，比較系統(tǒng)地傳授競賽數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)競賽知識、問題和方法，使學(xué)生水平到達(dá)全國高中聯(lián)賽一試要求，這些在平時課堂教學(xué)中穿插進(jìn)行。重視書本及其中問題延伸。其實書本東西對于整個高中內(nèi)容來說算不了什么，不過一定要學(xué)好，因為基礎(chǔ)對于整個高中競賽來說非常主要，比如三角變形，假如要真成為一個好MO一員，你要練到光用眼看就能看到3、4步之后是什么。第44頁堅持訓(xùn)練內(nèi)容與教學(xué)內(nèi)容同時。既不脫離教材，又不是教材重復(fù)，做到高考、競賽兩不誤，充分注意到學(xué)生年紀(jì)特征、知識結(jié)構(gòu)和心理思維發(fā)展水平，以激發(fā)興趣、拓廣知識、培養(yǎng)能力為目標(biāo)。在高一輔導(dǎo)時，普通可同時選講以下內(nèi)容：

①集合論、初等數(shù)論基礎(chǔ)知識及其應(yīng)用；

②邏輯推理、雜題求解方法與技巧；

③立體幾何解題策略，立體幾何建系法。

④函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用；

⑤三角函數(shù)變換與三角方程。高一初步接觸數(shù)學(xué)競賽書。第45頁高二，同時輔導(dǎo)專題可列為：

①幾個主要不等式及其應(yīng)用；

②最值問題求解，求導(dǎo)要極其精熟。

③數(shù)列綜合題解答；

④數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用；

⑤觀察、歸納、猜測、證實；

第46頁

⑥周期數(shù)列與遞歸數(shù)列；

⑦圓錐曲線定義、性質(zhì)及應(yīng)用；

⑧解析幾何最值及求法；

⑨復(fù)數(shù)問題選講；

⑩排列組合問題求解方法。

第47頁高二能夠系統(tǒng)鉆研競賽書了，要選幾本競賽書作為輔助，并比較。平時要建立一個本子，記下好題及好心得（這工作能夠高一就開始）。一定得堅持做，還要出去取經(jīng)。第48頁高三了，預(yù)計開學(xué)1個月以后，就要準(zhǔn)備聯(lián)賽了，這之前天天用模擬題練手，順便回顧，這時候高二本本就起大作用了。這時候不要太拼命，積攢精力，保持好睡眠，天天開心。第49頁專題訓(xùn)練階段:這一階段主要任務(wù)是依據(jù)競賽綱領(lǐng)要求進(jìn)行專題講座，深化第一試培訓(xùn)，并使學(xué)生數(shù)學(xué)知識到達(dá)全國高中聯(lián)賽要求。比如組合數(shù)學(xué)部分就能夠安排以下專題：組累計數(shù)基本方法、組合數(shù)學(xué)中存在性問題證實方法，組合最大(小〕值問題，染色問題解題方法，組合數(shù)學(xué)中操作變換等等。另外，這一階段除了一些數(shù)學(xué)知識專題講座外，還應(yīng)進(jìn)行一些數(shù)學(xué)思想方法專題講座。第50頁專題輔導(dǎo)重視方法，做好：練→講→測→評其方式為“布置任務(wù)→學(xué)生自學(xué)→教師精講→學(xué)生再練習(xí)→測試→師生評講”。

課前先布置練習(xí)，集中進(jìn)行精講，也可由學(xué)生講，教師補(bǔ)充、總結(jié)、引導(dǎo)，然后再布置一定課后練習(xí)，為下一課作準(zhǔn)備，同時按知識塊命題進(jìn)行測試，以利鞏固提升。第51頁強(qiáng)化訓(xùn)練階段這一階段主要任務(wù)是給一些在全國高中聯(lián)賽有希望取得很好成績學(xué)生和可能進(jìn)人“冬令營”優(yōu)異學(xué)生以上層次學(xué)生強(qiáng)化訓(xùn)練。這一階段訓(xùn)練由四個部分組成：（1）高中聯(lián)賽加試題訓(xùn)練；（2）(冬令營)營前訓(xùn)練；（3）營后訓(xùn)練；（4）進(jìn)行重點與難點針對性訓(xùn)練。這一階段實質(zhì)是給學(xué)生進(jìn)行解難題訓(xùn)練。第52頁突出以下幾類問題：①函數(shù)與不等式；

②復(fù)數(shù)與數(shù)列；

③三角函數(shù)與三角變換；

④立體幾何問題選講；

⑤解析幾何問題選講；

⑥組累計數(shù)；

⑦最值問題求解；

⑧解競賽題技巧。第53頁實用性階段(模擬考試)每到全國聯(lián)賽前一個月，由科組長安排，動員全組力量，主要是高三教師及負(fù)責(zé)數(shù)學(xué)競賽教師，集中進(jìn)行賽前集訓(xùn)。（1）出５～１０套高質(zhì)量模擬試題，讓學(xué)生按照各級競賽要求在要求時間內(nèi)進(jìn)行模擬考試。要注意賽題特點，選擇例題要有“經(jīng)典性、綜合性、靈活性、針對性”。從近幾年試卷來看，試題格調(diào)、難度、考點都較為穩(wěn)定?？荚囍埃瑢⑼暾骖}吃透是非常有益。第54頁（2）重視講評和批改——及時對學(xué)生解答進(jìn)行認(rèn)真講評和批改.方便發(fā)覺問題，找出各個學(xué)生微弱步驟查漏補(bǔ)缺。（3）討論——師生共同對問題解答進(jìn)行討論，比較各種解題規(guī)律和思維特征，并將獲取信息作為下一步選題依據(jù)。這么做目標(biāo)有兩個:一是能夠增強(qiáng)學(xué)生臨場考試經(jīng)驗。二是能夠發(fā)覺學(xué)生知識和思想方法缺點，及時填補(bǔ)。第55頁五、研究賽題，掌握數(shù)學(xué)奧林匹克技巧

1、對教師要求（1）熟悉競賽規(guī)則，適應(yīng)競賽新要求。比如，《高中數(shù)學(xué)競賽綱領(lǐng)（修訂稿）》中所列出內(nèi)容，是教學(xué)要求，也是競賽最低要求。在競賽中對一樣知識內(nèi)容了解程度與靈活利用能力，尤其是方法與技巧掌握熟練程度，有更高要求。（2）通曉競賽內(nèi)容，抓住知識主干和層次水平。第56頁（3）教師要注意對歷年賽題重復(fù)研究，爭取給出有別于標(biāo)準(zhǔn)答案更加好處理方法，并注意研究相關(guān)競賽教研信息。（4）不?？偨Y(jié)和積累主要數(shù)學(xué)競賽思想方法，使學(xué)生能夠靈活利用。高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽用到技巧，即所謂數(shù)學(xué)奧林匹克技巧，它們是：結(jié)構(gòu)、映射、遞推、分類、染色、極端、對稱、配對、特殊化、普通化、數(shù)字化、有序化、不變量、整體處理、變換還原、逐步調(diào)整、奇偶分析、優(yōu)化假設(shè)、輔助圖表等等，各技巧再配以賽題為例，且要求學(xué)生熟練掌握。這是輔導(dǎo)學(xué)生最真實、最富啟發(fā)性材料，頗有實效。第57頁（5）研究自主招生命題規(guī)律比如，“北約”試題。“北約”聯(lián)盟院校包含北大、北航、北師大、廈大、山東大學(xué)、武漢大學(xué)、華中科大、中山大學(xué)、川大、蘭州大學(xué)、港大等11所高校?！氨奔s”試題習(xí)慣格調(diào)，即題目描述簡單，假如想到了，解答就三四行事情。但整體而言，向高考偏轉(zhuǎn)風(fēng)向已經(jīng)形成。“北約”試題一向考究“頓悟”，普通情況下并不強(qiáng)調(diào)非常繁雜計算，一旦抓住問題本質(zhì)，往往就能順利解答。再一個就是重視數(shù)形結(jié)合。

第58頁今年“北約”依然由北大出題，不過閱卷權(quán)移交給了考試院。依據(jù)考試院要求，今年試題形式上有了一些改變——出現(xiàn)了選擇題。但“北約”試題一貫格調(diào)并無本質(zhì)改變。選擇題難度不高，3個代數(shù)，分別包括到數(shù)列，函數(shù)，方程，另3個分別為解析幾何，平面幾何（跟三角相關(guān)）和組合問題，大致上利用直觀思想就能夠處理。第59頁對數(shù)學(xué)名題改造，成為競賽題：如費(fèi)馬猜測問題：：“當(dāng)n是一個大于2正數(shù)時，不定方程xn+yn=zn沒有正整數(shù)解。”

改為：證實若x+y為質(zhì)數(shù)，則對奇數(shù)n，xn+yn=zn不可能有整數(shù)解。第60頁勾股定理普通化推廣：證實：當(dāng)n大于2時，任意直角三角形斜邊長n次冪在于兩直角邊n次冪和。著名歐拉—伯努利錯放信箋問題。改造為：某人給6個不一樣收信人寫了6封信，而且準(zhǔn)備了6個寫有收信人地址信封，有多少種投放信箋方法，使每封信與信封上收信人都不相符？第61頁斐波那契數(shù)列：（年浙江省溫州市搖籃杯高一數(shù)學(xué)競賽試卷）第17題：已知斐波那契數(shù)列{Fn}滿足：F1=1，F(xiàn)2=1，F(xiàn)n+2=Fn+1+Fn（n∈N*），若數(shù)列{Fn+1+λFn}是等比數(shù)列（λ為實常數(shù)）．

（1）求出全部λ值，并求數(shù)列{Fn}通項公式；

（2）求證：第62頁三角形三邊關(guān)系定理和Fibonacci數(shù)列一個聯(lián)絡(luò)：年競賽題：用三根小木棒能夠搭建成一個三角形條件是：任意兩邊之和都要大于第三邊。這里有一根長度為144cm木棒，將其截成n（n>2）段，每段長度均大于1cm，那么這n小段木棒任意三段都不能搭建成三角形時，求n最大值。第63頁思緒：使用狹義斐波那契數(shù)列前10項，將第10項添上1即可。分析：不組成三角形條件就是任意兩邊之和不超出最大邊。截成鐵絲最小為1，所以能夠放2個1，第三條線段就是2(為了使得n最大，所以要使剩下來鐵絲盡可能長，所以每一條線段總是前面相鄰2段之和)，依次為：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各數(shù)之和為143，與144相差1，所以能夠取最終一段為56，這時n到達(dá)最大為10。第64頁這里，“每段長度大于1”這個條件起了控制全局作用，正是這個最小數(shù)1產(chǎn)生了Fibonacci數(shù)列，假如把1換成其它數(shù)，遞推關(guān)系保留了，但這個數(shù)列消失了。在年10月舉行全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽（江蘇卷）中，相關(guān)于Fibonacci數(shù)列改造后證實題。第65頁改編為排列組合問題：

有一段樓梯有10級臺階,要求每一步只能跨一級或兩級,要登上第10級臺階有幾個不一樣走法?

這就是一個斐波那契數(shù)列：登上第一級臺階有一個登法；登上兩級臺階，有兩種登法；登上三級臺階，有三種登法；登上四級臺階，有五種登法……

1，2，3，5，8，13……所以，登上十級，有89種走法。

第66頁再如，抽屜原理應(yīng)用：從1947年匈牙利IMO試題：世界上任何6人，總有3人相互認(rèn)識或相互不認(rèn)識。升級為：世界上10人中，總有4人相互不認(rèn)識，或3人相互認(rèn)識。再到：17位數(shù)學(xué)家通信問題。第67頁在各種競賽題中，往往抽屜標(biāo)準(zhǔn)考得不少，但普通不會很顯著讓人看出來，結(jié)構(gòu)抽屜才是抽屜標(biāo)準(zhǔn)中最難東西。普通來說，題目中一旦出現(xiàn)了“總有”“最少有”“總存在”之類詞，就暗示著我們：要結(jié)構(gòu)抽屜了。（5）必要外出學(xué)習(xí)與充電，開展教授輔導(dǎo)講座。第68頁主要參考書目：專題突破階段：1.《抽屜標(biāo)準(zhǔn)及其它》常庚哲

2.《談?wù)勗鯓訉W(xué)好數(shù)學(xué)》蘇步青

3.《函數(shù)方程》田增倫

4.《幾何不等式》單壿

5.《一百個數(shù)學(xué)問題》[波蘭]史坦因豪斯

6.《又一百個數(shù)學(xué)問題》[波蘭]史坦因豪斯

7.《從單位根談起》蔣聲

8.《從√2談起》張景中9.《從正五邊形談起》嚴(yán)鎮(zhèn)軍

10.《矩陣對策初步》張盛開第69頁11.《趣味圖論問題》單壿

12.《母函數(shù)》史濟(jì)懷

13.《射影幾何趣談》馮克勤

14.《數(shù)學(xué)萬花鏡》[波]史坦因豪斯著裘光明譯

15.《遞歸數(shù)列》陳家聲徐惠芳16.《從平面到空間》蔣聲

17.《平面向量和空間向量》呂學(xué)禮

18.《幾何變換》蔣聲

19.《一些不像“幾何”幾何學(xué)》沈信耀

20.《復(fù)合推理與真值表》戴月仙

21.《數(shù)學(xué)歸納法》華羅庚

22.《凸圖形》吳立生莊亞棟第70頁23.《三角恒等式及應(yīng)用》張運(yùn)籌

24.《三角不等式及應(yīng)用》張運(yùn)籌

25.《抽屜標(biāo)準(zhǔn)及其它》常庚哲

26.《初等極值問題》程龍

27.《圖論中幾個極值問題》管梅谷

28.《趣味圖論問題》單樽

29.《矩陣對策初步》張盛開

30.《從單位根談起》蔣聲

31.《形形色色曲線》蔣聲

32.《反射和反演》嚴(yán)鎮(zhèn)軍

33.《極坐標(biāo)與三角函數(shù)》陳福泰第71頁34.《反證法》孫玉清

35.《棋盤上數(shù)學(xué)》單樽

程龍

36.《談?wù)剶?shù)學(xué)中無限》谷超豪

37.《含糊數(shù)學(xué)》劉應(yīng)明任平38.《覆蓋》（單墫）39.《基礎(chǔ)數(shù)論經(jīng)典題解300例》（王元等）40.《趣味圖論問題》（單墫）

41.《怎樣列方程解應(yīng)用題》趙憲初

42.《面積關(guān)系幫你解題》張景中

43.《圓和二次方程》馬明44.《幾何作圖不能問題》邱賢忠沈宗華

45.《從勾股定理談起》盛立人嚴(yán)鎮(zhèn)軍

46.《不等式》張弛

第72頁47.《不等式證實》吳承鄫李紹宗

48.《奇數(shù)和偶數(shù)》常庚哲蘇淳

45.《數(shù)學(xué)探奇》(西班牙)米蓋爾.德.古斯曼著周克希譯

46.《三角形趣談》楊世明

47.《思維技巧》吳宣文

48.《魔方》朱兆毅沈慶海著

49.《集合及其子集》（單墫）

50.《幾何變換與幾何證題》（蕭政綱）

51.《近代歐氏幾何學(xué)》（R.A.Johnson）

52.《平面幾何中小花》（單墫）第73頁復(fù)習(xí)階段（綜合，針對思想方法）：

*《從特殊性看問題》（蘇淳）

*《組合恒等式》（史濟(jì)懷）

*《解析幾何技巧》（單墫）

*《結(jié)構(gòu)法解題》（余紅兵嚴(yán)鎮(zhèn)軍）

*《漫話數(shù)學(xué)歸納法》（蘇淳）*《組合幾何》（單墫）

*《函數(shù)方程》（張偉年,楊地蓮,鄧圣福）

*《怎樣證實三角恒等式》（克西）

*《柯西不等式與排序不等式》（南山）

第74頁重視中小學(xué)常見數(shù)學(xué)模型握手問題通信問題機(jī)器零件供給站點設(shè)置問題最優(yōu)化問題密碼問題費(fèi)馬點問題火車站不一樣站點上車問題用料最省問題第75頁六、注意幾個數(shù)學(xué)競賽題方法1、類比喻法（1）從線段與角類比：設(shè)P1（x1,y1）、P2(x2,y2)，假如點P(x,y)分線段P1P2之比為λ，則由定比分點公式可得P點坐標(biāo)為：角定比分點坐標(biāo)公式：∠XOA=α∠XOB=β，若記λ=∠AOP/∠POB則，第76頁例1（1）已知梯形上、下兩底面邊長分別是a，b，夾在兩腰之間且平行于底邊線段到上、下兩底邊距離之比為m：n，求此線段長。第77頁（2）已知臺體上、下兩底面面積分別是P，Q，平行于底面截面到上、下兩底距離比為m：n，則此截面面積。第78頁2、代數(shù)幾何化方法例2：對一些有序?qū)崝?shù)對（a，b）方程組最少有一個解，且每一個解均是有序整數(shù)對（x，y）試問這么有序數(shù)對（a，b）有多少個？第79頁分析：方程整數(shù)解為x=±1、y=±7或x=±5、y=±5或x=±7、y=±1，組合后共12組。這么有序數(shù)對有C+C=78個，但直線方程解不能過（0，0），所以故符合題意有序數(shù)對（a，b）有78-6=72個。第80頁3、幾何概型第81頁4、注意模式識別模式“1”求和：求解形如sinα+sin2α+…+sinnα或cosα+cos2α+…+cosnα（其中n是自然數(shù)）值，都能夠利用結(jié)構(gòu)思想,利用復(fù)數(shù)求解.假如聯(lián)絡(luò)到棣美弗定理和共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)求解。第82頁例3已知a，a，…，a均為正數(shù)，且a1＋a2＋…＋an=1，求證：＋＋…＋≥．設(shè)M=＋＋…＋，結(jié)構(gòu)M輔助對偶式：N=＋＋…＋，＋∵M(jìn)－N=M＋N=第83頁例4設(shè)a＞0，b＞0，a＋b=1，求證：＋≤．證實：設(shè)A=＋，結(jié)構(gòu)A輔助對偶式：B=－，則有A2≤A2＋B2=4(a＋b)＋4=8，∴A≤．第84頁例5：已知若x，y，z∈R+，xyz（x+y+z）=1，求表