2024年高考數學高頻考點題型總結一輪復習 數列的概念（精練：基礎+重難點）

2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結

第27練數列的概念（精練）

刷真題明導向

一、單選題

1.（2022?全國?統考高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛

行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數列也｝：4=1+一,「十〃」，

cc.g'

a2

4=］+----—

%+-------p，…，依此類推，其中&eN*（左=1,2,）.貝I］（）

a?H----

a3

A.bx<b5B.b3<bsC.be<b2D.b4</?7

【答案】D

【分析】根據%eN*（左=1,2,…），再利用數列也｝與巴的關系判斷也｝中各項的大小，即可求解.

【詳解】［方法一］：常規(guī)解法

因為4eN*住=1,2,）,

1,--1->-----1-----

所以％<%+一,%1,得到伍〉打，

%%+一

a2

11

CC,H>H--------；_

同理%%+L，可得”2<4，4>4

a3

1111

—>---------1—,%--------Y~</-!-----------1—

又因為%a2+］a2+—a2+1，

。3---H---

%%

故〃2<々，

以此類推，可得打>…，…3,故A錯誤；

4>&>4，故B錯誤；

11

屋〉1

2

4+r,得仇<生,故C錯誤；

%+…一

11

axH------------------>ax-\----------------------

%+-------j-%+…-------「，得b4Vb7,故D正確.

-----CCg-I-----

%ai

［方法二］:特值法

不妨設4=1，則瓦=2必=1,b3=|,b4=|,b5=^,b6=^b7=^,b8=ff,

ZjJo132134

b4Vb7故》正確.

2.（2020?北京?統考高考真題）在等差數列也｝中，4=-9,%=T.記北=…。"（"=12…），則數列｛口（）.

A.有最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項D,無最大項，無最小項

【答案】B

【分析】首先求得數列的通項公式，然后結合數列中各個項數的符號和大小即可確定數列中是否存在最大項和最小

項.

【詳解】由題意可知，等差數列的公差”二名子二嚇二？，

5—15—1

則其通項公式為：a“=q+（〃—l）d=—9+（〃—l）x2=2〃—11,

注意至！I<%<。3<。4<。5<0<〃6=1<%<，

且由豈<0可知方<0（拈6,ieN）,

由，=4>1（此7,ieN）可知數列仍｝不存在最小項，

1i-l

由于q=-9,a?=—7,%=—5,以4=—3,%=—1’4=1，

故數列｛瑁中的正項只有有限項：乙=63,《=63x15=945.

故數列｛北｝中存在最大項，且最大項為1.

故選:B.

【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式，等差數列中項的符號問題，分類討論的數學思想等知識，屬于中等題.

3.（2021.全國?統考高考真題）等比數列｛4｝的公比為g,前”項和為S",設甲：q〉0,乙：｛'｝是遞增數列，則

（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【分析】當4>0時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當｛5｝是遞增數列時，必有?！?gt;0成立即可說明4>。成

立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案.

【詳解】由題，當數列為-2,-4,-8,-時，滿足“>0,

但是｛S“｝不是遞增數列，所以甲不是乙的充分條件.

若｛Sj是遞增數列，則必有%>。成立，若">0不成立，則會出現一正一負的情況，是矛盾的，則4>0成立，所

以甲是乙的必要條件.

故選:B.

【點睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程.

4.(2023?全國?統考高考真題)已知等差數列｛%｝的公差為得，集合S=、osa“geN*｝,若5=｛°,6｝,則而=()

A.-1B.--C.0D.士

22

【答案】B

【分析】根據給定的等差數列，寫出通項公式，再結合余弦型函數的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.

27r2冗2冗

【詳解】依題意，等差數列｛七｝中，a?=fl1+(?-l)-y=yn+(a1-y),

2冗27r

顯然函數〉=8$［可”+(勾-■1)］的周期為3,而〃eN*,即cosa“最多3個不同取值，又｛cos%|〃eN*｝=｛a,b｝,

貝！I在cos4,cosa2,cosa3中,cosax=cosa2wcosa3或cos%wcosa2=cosa3,

27rjr

于是有cos9=cos(ed■-—),即有0+(0+—)=2kji,ksZ,解得夕=也一§,左￡Z,

.j..71..71.4jT.71-2?7rl、山

所以1keZ,ab=cos(E--)cosrz--)+—J=-cos(E--)cosku--coskucosy.故選：B

二、填空題

5.(2020?浙江?統考高考真題)我國古代數學家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數列的求和問題，如數列，的詈；

就是二階等差數列，數列1嗎的前3項和是.

【答案】10

【分析】根據通項公式可求出數列｛%｝的前三項，即可求出.

【詳解】因為?！?皿⑴，所以卬=19=3,%=6.

2

即S3=%+%+q=1+3+6=10.

故答案為：10.

【點睛】本題主要考查利用數列的通項公式寫出數列中的項并求和，屬于容易題.

6.(2020.全國.統考高考真題)數列｛見｝滿足4*2+(T)Z=3〃T，前16項和為540,則％=.

【答案】7

【分析】對“為奇偶數分類討論，分別得出奇數項、偶數項的遞推關系，由奇數項遞推公式將奇數項用4表示，由

偶數項遞推公式得出偶數項的和，建立為方程，求解即可得出結論.

【詳解】??+2+(-1)"??=3n-l,

當〃為奇數時，。0+2=。,+3”-1;當“為偶數時，an+2+a?=3n-l.

設數列｛見｝的前”項和為S.,

S]6=%+。2+/+。4++。16

=Q]+/+%+〃15+(%+〃4)+(〃14+〃16)

=q+(%+2)+(〃]+10)+(4+24)+(%+44)+(q+70)

+31+102)+(6+140)+(5+17+29+41)

=86+392+92=80+484=540,

..=7.

故答案為：7.

【點睛】本題考查數列的遞推公式的應用，以及數列的并項求和，考查分類討論思想和數學計算能力，屬于較難題.

7.(2022.北京.統考高考真題)已知數列｛%｝各項均為正數，其前"項和S“滿足為。=9(n=1,2,).給出下列四

個結論：

①｛4｝的第2項小于3；②｛〃“｝為等比數歹U；

③｛4｝為遞減數列；④｛%｝中存在小于焉的項.

其中所有正確結論的序號是.

【答案】①③④

99

【分析】推導出為=-------,求出生、%的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數列單調性的定義可判

4%

斷③.

【詳解】由題意可知，VHGN\%＞。，

當H=1時，〃；=9,可得〃1=3；

9999

當〃22時，由S〃=一可得Si=——,兩式作差可得為=-------,

anan-lan冊一1

999

所以，一二一一%,貝！)一一%=3,整理可得雨+32—9=0,

an-\an〃2

因為外＞。，解得%=*!＜3,①對；

假設數列｛4｝為等比數列，設其公比為4,則%=%/，即[春]=

所以，5；=5應，可得Y(l+q)2=?f(l+q+/),解得4=。，不合乎題意,

故數列｛4｝不是等比數列，②錯;

當時，%=2-2=9色1-，）>0,可得所以，數列｛4｝為遞減數列，③對;

anan-X冊冊一1

〃

假設對任意的幾eN*,a>,則H0Gooo>100000x^^=1000,

991

所以，^IOOOOO="7—1nnn<7737,與假設矛盾，假設不成立，④對.

1000001UUU1UU

故答案為：①③④.

【點睛】關鍵點點睛：本題在推斷②④的正誤時，利用正面推理較為復雜時，可采用反證法來進行推導.

【A組在基礎中考查功底】

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛見｝滿足?！?」一=1,若%o=2,則4=（）

an+\

A.-1B.士C.-D.2

22

【答案】B

【分析】根據遞推公式逐項求值發(fā)現周期性，結合周期性求值.

1,c

【詳解】由％+——=1，，=2得

a

?+i

a

49=1-'=1一;=；，〃48=1--=i-2=-l,a47=l--=1+1=2=a50f

〃502L”49”48

所以數列｛見｝的周期為3,所以q=&9=；.

故選：B

2.（2023?甘肅?模擬預測）記數列｛4｝的前"項和為S“，且S“=久%-1）,則4=（）

A.4B.2C.1D.-2

【答案】A

【分析】由岳=4,52=%+4列方程組求值即可.

【詳解】因為耳=q=2（%-1）,解得q=2.

又因為邑=%+。2=2（。2-1），解得出=4.

故選：A.

3.（2023?全國?高三專題練習）數列｛%｝滿足q=迨=123,...,26）,aM6=a,,若讓字母表中的分別依次對應數

字1-26,將數列｛%｝的一些排成一列就會對應一個字符串；如：aI,a2,a3,對應字符串而c,若存在某數列中出現

了電⑼，則這個數列對應的字符串可能是下面的（）

A.fudanB.danhuaC.boxueD.wensi

【答案】D

【分析】利用周期性求解即可.

【詳解】由題意可知數列｛4｝以26為周期，

所以021="77x26+19="19=S，僅有D中包含字母s,

故選：D

4.（2023?全國?高三專題練習）按一定規(guī)律排列的單項式：a,-a2,a3,-a4,a5,-a6,第w個單項式是（）

A.a"B.-a"

C.（-I）"'%D.（-l）"a"

【答案】C

【分析】根據所給的6項，找出排列規(guī)律即可.

【詳解】解：因為前6項為：a,-a?，d，—a,，"，—a，，

所以第n項為（-1）"”".

故選：C.

5.（2023秋?山西大同?高三統考階段練習）等比數列｛凡｝的前幾項和S“=m+2x3",則旭=（）

A.-2B.2C.1D.-1

【答案】A

【分析】求出數列的通項公式，根據通項公式確定參數的值.

【詳解】q=d=6+機，當心2時，G=S.-S.T=4X3"T,

因為｛%｝是等比數列，所以4x3-=6+加，得根=-2,所以A正確.

故選：A.

6.（2023?廣西南寧?南寧二中?？家荒＃盗校ǎ凉M足?！?1=~1^-，。3=可，則。2。21=（）

215

A.-B.——C.-D.3

322

【答案】B

【分析】首先根據遞推公式，求數列中的項，并得到數列的周期，再求。2⑼的值.

112_1

【詳解】由題可知，%+[=匚7巳=匚工=§,得“2=一5,4='%=?=5=4,...數列｛4,｝是以3為周期的

周期數列，???〃2021=々2+3x673=%=一]?

故選：B.

a"

7.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛q｝的通項公式是%=比逅，貝支%｝（）

A.不是單調數列B.是遞減數列C.是遞增數列D.是常數列

【答案】C

【分析】由與0比較即可得出答案.

3〃+33〃6_

【詳解】因為%，，=而看_而照=（4〃+6）（4〃+2）>°'

所以｛見｝是遞增數列.

故選：C.

8.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛%｝的通項公式為%7^71,則｛4｝中的最大項為（

A.第6項B.第12項C.第24項D.第36項

【答案】C

a,

【分析】作商當3>1時，an+l>an.反之..解出〃的值即可.

a?

【詳解】因為為>。令也>1,得型、居>1,解得"z",-1223.8.

an517/2+1512-502

aa

所以當14〃W23時，an+l>an,即知>23>22>，，%，

當時，an+l>an,gpa24>a2S>a26>.,因此當”=24時，?！白畲?

故選：C.

9.（2023?全國?高三專題練習）若數列｛q｝是遞增數列，則｛q｝的通項公式可能是（）

12

A.〃〃=—B.cin—Yi—8n

c.%=2-"D.??=（-4

【答案】A

【分析】根據數列通項公式的函數性質即可判斷.

【詳解】對于A,a?=--（neN*）,易知｛g｝是遞增數列；A正確；

n

22

對于B,an=n-8n=（n-4）-16（neN*）,當幾44時，數列｛風｝遞減，

當〃〉4時，數列｛4｝遞減，B錯誤；

對于C,故數列｛4｝是遞減數列，C錯誤；

對于D,q=（-4，數列｛4｝是擺動數列，不具單調性，D錯誤.

故選：A

10.（2023?全國?高三專題練習）設數列｛4｝滿足4+1=口上，且％=彳，則。2022=（）

1—42

A.—2B.—C.!D.3

32

【答案】D

【分析】由題意首先確定數列為周期數列，然后結合數列的周期即可求得最終結果.

1+%1+3

【詳解】由題意可得:

1—%1—3

2

1+6!31+(-2)=1

1-%1-(-2)3

據此可得數列｛%｝是周期為4的周期數列,

則“2022=^505x4+2=%=3.

故選：D

11.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛?！埃秊檫f增數列，前〃項和S.=/+〃+x,則實數彳的取值范圍是（）

A.B.（-co,2）C.（^?,0］D.（-<?,0）

【答案】B

【分析】根據S“可求%=2〃,（〃22）,要使｛4｝為遞增數列只需滿足的>4即可求解.

【詳解】當時，cin=Sn-S“_1="2+〃+4_［（“-］）+（〃-1）+彳］=2n,

故可知當時，｛%｝單調遞增，故｛%｝為遞增數列只需滿足4>4,即4>2+2=4<2

故選：B

12.（2023?遼寧鞍山?鞍山一中?？级＃┚胚B環(huán)是一種流傳于我國民間的傳統智力玩具.它用九個圓環(huán)相連成串，以

解開為勝.它在中國有近兩千年的歷史，《紅樓夢》中有林黛玉巧解九連環(huán)的記載.周邦彥也留下關于九連環(huán)的名句“縱

妙手、能解連環(huán).”九連環(huán)有多種玩法，在某種玩法中:已知解下1個圓環(huán)最少需要移動圓環(huán)1次，解下2個圓環(huán)最少

需要移動圓環(huán)2次，記％（3都9,〃eN*）為解下〃個圓環(huán)需要移動圓環(huán)的最少次數，且貝懈下8

個圓環(huán)所需要移動圓環(huán)的最少次數為（）

987654321

A.30B.90C.170D.341

【答案】C

【分析】根據%=為一2+21,逐個代入〃=2/=4,〃=6,〃=8,即可求解.

【詳解】由題，々8=%+2，。6=。4+2‘，4=。2+2^=2+2^,所以4=2+2^+2’+2’=170.

故選.：C

13.（2023秋?江西贛州?高三贛州市贛縣第三中學?？计谥校┮阎獢盗校?｝滿足：

且數列｛%｝是遞增數列，則實數a的取值范圍是（）

A.（2,3）B.［2,3）C.Iy,3jD.（1,3）

【答案】C

【分析】首先分別確定每段的單調性，然后結合的>4可得答案.

【詳解】當〃46時，有3-a>0,即。<3；當">6時，有

又斯〉/，即。>10—6a,綜上，有了<a<3,

故選：C.

,、”3

14.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛4｝的通項公式為％=上，則取得最大值時”為（）

A.2B.3C.4D.不存在

【答案】B

【分析】先求得％，%，%，%，利用導數求得當〃N4時，?！钡膯握{性，從而確定正確答案.

【詳解】依題意q=［，4=1，。4=1^，

構造函數/（x）=-|r（x>4）,

3-3.3'.皿3x2（3-xln3）

，（尤）=

y

由于xN4,ln3>l,xln3>4,所以/'（x）<0在［4,”）上恒成立,

所以“X）在區(qū)間[4,a）上遞減，

所以當時，｛%｝是單調遞減數歹（J,

所以4的最大值為%=L

所以取得最大值時n為3.

故選：B

15.（2023?全國?武功縣普集高級中學校聯考模擬預測）《天才引導的過程一數學中的偉大定理》的作者威廉?鄧納

姆曾寫道：“如果你想要做加法你需要0,如果你想要做乘法你需要1,如果你想要做微積分你需要e,如果你想要

做幾何你需要兀，如果你想要做復分析你需要i,這是數學的夢之隊，他們都在這個方程里”.這里指的方程就是：

e%cosy+isiny），令x=0,>=兀，貝!Ie加=T,令x=0,>=血，則eiOT=cos“兀+isin”兀，若數列｛4｝滿足為=6皿，

S”為數列｛4｝的前〃項和，則下列結論正確的個數是（）

①｛。"｝是等比數列②a2n=a；③S21=1（4）an+2=an

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據題意可知%=[['為震冊，進而即可根據所給式子逐一判斷.

〃為奇數

1,九為偶數

【詳解】a—elnn=cos〃兀+isinnrc=cos〃兀=

n—1）〃為奇數

故｛%｝是公比為-1的等比數列，A正確,

。2"=Lan=1，,a2n=B正確，

52]=4=-1,故C錯誤，

由｛4｝的定義可知氏+2=4，故D正確，

故選：C

16.（2023?全國?高三專題練習）數列｛4｝滿足q=4，??+i=1則/023=（）

a

2n

A.；B.-1C.2D.3

【答案】A

【分析】由遞推公式可得數列｛q｝是T=3的周期數列，從而得解.

【詳解】?“用=1-,，且q=[，

an2

所以數列｛4｝是T=3的周期數列，

所以。2023=4=g.

故選：A

17.(2023?全國?高三專題練習)已知｛4｝為遞增數列，前〃項和S“=2"+2"+"則實數力的取值范圍是()

A.(-00,2]B.(-℃,2)C.(一8,4]D.(-<?,4)

【答案】D

【分析】由題意先算4,再利用S“=2"+2/?+2,求出“22時的通項公式，再利用數列的單調性，即可解決問題

【詳解】當〃=1時,%=5]=4+X,

,1

當〃22時，an=S“-S“_\=2"+2/+%_[2"T+2(“一1)2+幾]=2-+4n-2,

由｛%｝為遞增數列，只需滿足外>%，即8>4+3解得幾<4,

則實數幾的取值范圍是(-8,4),

故選：D.

18.(2023秋?河南?高三安陽一中校聯考階段練習)已知數列｛4｝的前〃項和S“=".若7<%<1。，則左=()

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【分析】先求得劣,然后根據7<%<1。求得上的值.

【詳解】依題意

當〃=1時，%=-10；

222

當“22時，Sn=n-lb?,Sn^=(w-1)-ll(n-l)=n-13M+12,

兩式相減得見=2〃-12(”22),4也符合上式，

所以=2/7-12,

4wN*,由7<2左一12<10解得9<k<11,所以左=10.

故選：B

19.(2023?全國?高三專題練習)記5”為數列｛4｝的前"項和，"對任意正整數〃，均有%<0”是“｛S,,｝為遞減數列”

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據。,與S”的關系，利用作差法，可得充分性，取特殊例子，可得必要性，即得答案.

【詳解】當。時，貝！|S「S,T=a“<0（/22,aeN*）,:.S“<S…貝!對任意正整數n,均有4,<0”是“母｝為

遞減數列”的充分條件；

如數列｛見｝為。，-1,-2,-3,T,.,顯然數列｛Sj是遞減數列，但是％不一定小于零，還有可能大于或等于零，所以

“對任意正整數n,均有<0”不是“｛S,,｝為遞減數列”的必要條件，

因此“對任意正整數n,均有%<0”是“｛S.｝為遞減數列”的充分不必要條件.

故選：A.

20.（2023?全國?高三專題練習）記數列｛4｝的前w項和為S”，已知向量相=（%,S“），w=（l,2）,若％=2,且）//：,

則對于任意的〃eN*,下列結論正確的是（）

A.an+l=-anB.2a?+1=3anC.Sn+l=S?D,2s用=3S”

【答案】D

[S.,H=1

【分析】根據向量共線的坐標表示得到S“=2%M，再根據%?計算可得.

電22

【詳解】解：因為"7=（a.+i，S”），〃=（1,2）且加//〃，

所以S,=2a“+i，當〃=1時5=2%,又％=2,所以電=1,

當2時S,1=2?！?，所以S,-S,T=2a”+「2見，即見=24+1-2見，

所以3%=2%,“22,又。1=2%,故A、B錯誤；

又S.=2a用，所以S“=2（S”+「S”），即2sx=3S“，故C錯誤，D正確；

故選：D

2

21.（2023?北京?高三專題練習）已知數列｛4｝滿足%/%an=n,〃eN*,則數列｛4｝（）

A.有最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項D,無最大項，無最小項

【答案】A

【分析】根據遞推公式求得?！埃俑鶕?｝的單調性，即可判斷和選擇.

【詳解】因為，"eN*,所以當〃=1時，fl]=I2=1;

。n2

當時，4%的1=（〃-1）一，故4=；----7T1+>1,

（〃一1）

因為函數/(x)=一[在區(qū)間[2,—)上單調遞減，

所以當“22,〃cN*時，｛%,｝是遞減數列.

又出=4,所以為44,且%?1=%,故數列｛4｝的最小項為％=1,最大項為%=4.

故選：A.

,、f(3-a)n-8,n<6,、

22.(2023?全國?高三專題練習)已知數列｛為滿足：?！?…/(”eN*),且數列%｝是遞增數列，則

[a>o

實數。的取值范圍是()

A.(2,3)B,釁)C.(y,3)D.(1,3)

【答案】C

【分析】仿照分段函數的單調性求解，同時注意。6<%.

3—。>0

【詳解】由題意,解得當<”3.故選：C.

_,7

6(3-cz)-8<a7

23.(2023?全國?高三專題練習)已知數列｛a?｝的通項公式為《=n2-3An,則“幾<1”是“數列｛%｝為遞增數列”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據充分條件和必要條件的定義，結合數列的單調性判斷

【詳解】若數列｛4｝為遞增數列，

2

則?K+i-a?=[(?+1)-32(M+1)^-(zr-32n)

—2〃+1—3A>0,

即32<2^+1

由〃$N*,所以有3Xv2xl+l=3o2<l,

反之，當彳<1時，an+l-a?>Q,則數列｛《｝為遞增數列，

所以“4<1”是“數列｛%｝為遞增數列”的充要條件，

故選：C.

24.(2023?北京?101中學校考三模)設S?為數列｛4｝的前〃項和.若S“="-+。，則“a=0”是“2%=g+%”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據給定條件，結合4=S“-S,i（"22）,利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.

【詳解】S“為數列｛4｝的前n項和，且S“=n2-n+a,

2

當4=0時，Sn=n-n9a2=S2-S1=29a3=S3-S2=4,a4=S4-S3=6,貝！]2〃3=%+〃4，

當awO時，有。2=S2-S]=2,a3=S3-S2=4,a4=S4-S3=6,貝[）2〃3=%+。4，

所以“a=0”是“2%=a2+a4”的充分不必要條件.

故選：A

25.（2023?全國?高三專題練習）數列｛%｝滿足%="2+加+2,若不等式%>為恒成立，則實數上的取值范圍是（）

A.[-9,-8]B.[-9,-7]C.（-9,-8）D.（-9,-7）

【答案】B

【分析】由4+2利用二次函數的性質計算可得答案.

2

【詳解】an=n+kn+2=]〃+R+2，

???不等式42%恒成立，

.*.3.5<--<4.5,

2

解得-94左4-7,

故選：B.

26.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛%｝滿足見+]=log2（a“+l）,若｛為｝是遞增數列，則為的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（0,72）C.（-1,0）D.。,+8）

【答案】A

【分析】作出函數丫二十和y=l°g2（x+l）的圖象，結合圖象分析求解.

【詳解】因為｛%｝是遞增數列，所以即a”<log2（a“+l）.

如圖所示，作出函數丁二天和丫二^^^+^的圖象，

由圖可知，當xe（O,l）時，尤<log?（x+l）,且log?（尤+l）e（O,l）.

故當q式0,1）時，<log2（<^+1）=02,且名式。」），

依此類推可得4<a2<a3<

滿足｛4｝是遞增數列，即4的取值范圍是（0,1）.

故選:A.

二、填空題

27.（2。23?廣東深圳?統考模擬預測）已知數列｛加的通項公式由q,則小…s一.

【答案】

【分析】根據給定的通項公式寫出〃用和?！?2,再經計算即可得解.

.-n〃+1〃+2n

【詳解】an^an+l*an+2=--------?----

〃+1〃+2〃+3n+3

故答案為:

28.（2023?高三課時練習）已知數歹￡%｝的前〃項和S"=3/-2〃+l,則數列｛%｝的通項公式為

2,〃=1

【答案】a=

n6n—5,n>2

【分析】利用?！芭c5”關系即得.

【詳解】因為鼠=3狀-2〃+1,

當九=1時，ax=Sx=3-2+1=2,

2

當時，cin=Sn-Sn_x-3/—2n+1—13(〃—I)—2(〃-1)+1]=6n—5,

2,幾=1

所以為=

6n—5,n>2

2,n=l

故答案為：凡二

6n—5,n>2

“4=2,a?=1--^-("22),貝！|星022=

29.（2023?全國?高三專題練習）已知S"是數列｛4｝的前w項和,

an-\

【答案】1011

【分析】根據遞推式計算可知數列｛%｝具有周期性，即可解出.

【詳解】因為%=2,a“=1-二一（WN2）,所以%=-1外=:馮=2,%=4,g=-1,因此數列｛%｝具有周期性，7=3,

an-l22

332022

?1+?2+?3=~>故$2022=5X^—=1011.

故答案為：1011.

30.（2023?全國?高三專題練習）記數列｛4｝的前〃項和為S“，若q=產右，則使得S“取得最小值時〃的值為____.

3〃一49

【答案】16

【分析】根據數列的單調性，即可判斷S“的最小時〃的值.

【詳解】由a“=#、得%=弓+，當〃416時，單調遞減，且「二<0，

3〃一49333/Z-49[3w-49J3M-49

當”=1時，4<0,故當“W16時，??<0,當"217時，—-—>0,且4>0,

3〃-49

所以當〃=16時，S”最小.

故答案為：16

31.（2023?全國?高三專題練習）在一個數列中，如果V〃GN*,都有劭。人也叫2=網/為常數），那么這個數列叫做等

積數列，上叫做這個數列的公積.已知數列｛4“｝是等積數列，且。/=1,02=2,公積為8,則（7/+々2+。3+...+。/2

【答案】28

【分析】依題意得數列｛an｝是周期為3的數列，再由al=La2=2,公積為8,求出a3=4,然后根據周期可求得

結果

【詳解】因為數列｛an｝是等積數列，且al=La2=2,公積為8,

所以ala2a3=8,所以a3=4,

同理可得a4=l,a5=2,a6=4,......

所以數列｛an｝是周期為3的數列，

因此al+a2+a3+―+al2=4（al+a2+a3）=4x（l+2+4）=28.

故答案為：28

32.（2023?全國?高三專題練習）若數列｛加｝的前”項和St滿足：5?+5?,=5,?+?,且幻=1,則如。的值為.

【答案】1

【分析】根據題意，令加=1,代入計算，即可得答案.

【詳解】因為s“+s“=s,"+“，令”，=1可得s“+H=%,

所以S向-篦=E=4=1對于任意?eN*都成立，

所以。,+i=1,所以％o=1.

故答案為：1

33.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛。"｝滿足%+%+,+%=2"eN*）,則.

[2,n=l

【答案】…

[2,n>2

【分析】根據?！昂蚐”的關系可得.

【詳解】記數列｛%｝的前n項和為5?,則由題知5“=2",當〃=1時，q=2；當W2時，％=S“-九二2〃—2〃T=2〃T,

所以…(2,，n"=”l

_,12,n=l

故口案為：2

34.（2023?全國?高三專題練習）已知數列q=（"1獷是嚴格遞減數列，"為正整數，則實數上的取值范圍是

【答案】（-叫1）

【分析】根據題意＜4對任意恒成立即可求出.

【詳解】因為%=（%-1）"是嚴格遞減數列,

所以"〃+1＜4,對任意〃cN*恒成立,

即（左-1）（〃+1）2＜（后-1）”2對任意“€”-恒成立，解得上＜1.

故答案為:（TO」）.

35.（2023,全國?高三專題練習）已知數列｛?！埃凉M足4+%+eN"）,則氏=

【答案】2n

【分析】根據數列的前〃項和與第〃項的關系進行求解即可.

【詳解】因為％+g+…+?！?"2+?(1),

所以當“22時，有％+%++an-l=(〃-1)~+”—1⑵,

(1)-(2),得%=2w,

當〃=1時，卬=2也適合a“=2w,

故答案為：2n

36.（2023?全國?高三專題練習）數列｛q｝滿足4=2,%=；,若對于大于2的正整數"，見=廠二，則

1-4

〃102=-

【答案】I

【分析】先由遞推關系式求出｛%,｝的周期，再由周期性求出％02即可.

［詳解］由題意知：“2一百__1，/_匚而_5，%一1_2,%_匚工__1,

2

故｛〃〃｝是周期為3的周期數列，貝（1%02=%＜34=%=g.

故答案為：

37.（2023?全國?高三專題練習）若數列｛凡｝的前w項和S,=7，則其通項公式為

0,〃二1

【答案】％=1

一〃,H>2,HGN*

S?,n=l

【分析】根據4=「.即可解出.

[Sn-Sn.vn>2

【詳解】當九=1時，4=5=0；

當時，a=S-S_=當"=1時，不滿足上式，所以,

nnnAnn-In-n

0,H=1

1*

------,n>2,nGN

、〃一n

0,H=1

故答案為：an=\1

,n>2,HeN*

38.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛4｝的通項公式為4=/+力7（其中幾是常數），若數列｛%｝為嚴格增數

列，則2的取值范圍為.

【答案】（-3,”）

【分析】由題意。向-4,>。對任意”eN*恒成立，從而可得答案.

【詳解】數列｛%｝為嚴格增數列，貝！J%「%,=（〃+以+X（〃+1）-川-加=2〃+1+2>0

所以2“+1+2>0,即九>-2〃-1對任意〃eN*恒成立

所以2>—3

故答案為：（-3收）

39.（2023?全國?高三專題練習）能說明命題“若無窮數列｛凡｝滿足—>1（〃=1，2,3,..）,則｛4｝為遞增數列”為假命

an

題的數列｛%｝的通項公式可以為4=.

【答案】-?

【分析】根據給定條件，數列｛%｝首項為負并且是遞減數列，寫出符合該條件的一個通項作答.

【詳解】因無窮數列｛4｝滿足—>1（〃=1，2,3,）,當卬>。時，an+l>an,數列｛4｝為遞增數列，給定命題是真命

an

題，

當q<0時，an+l<an,數列｛%｝為遞減數列，給定命題是假命題，

一（

‘f.""I"+D"+1Ya

因此，取為=一〃，顯然有---=-------=---->1,n+i=-（n+l）<-n=an9

61n—nn

所以%=f.

故答案為：-?

40.（2023?全國?高三專題練習）數列｛q｝的通項公式為q=p"2+”（peR）,若凡包<4，則p的一個取值為.