2022-2023學年天津市南開中學高三年級下冊第四次月考數(shù)學試題

2023屆高三第四次月考

數(shù)學

一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1,已知集合0={1，2,3,4,5},A={1,2},B={2,3,4},則集合A（”）=（）

A.{1}B.{2}C.{1,2,5}D.

{1,2,3,4)

2.“l(fā)ga>lgZ?”是“(a-2)3>(/?-2)3”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C充要條件D.既不充分又不必要條件

?2

3.函數(shù)〃6=中■的圖象大致為()

4.學校組織班級知識競賽，某班的12名學生的成績（單位：分）分別是：

73,74,76,82,82,87,90,91,92,94,96,98,則這12名學生成績的75%分位數(shù)是（）.

A.92B.87C.93D.91

/]0.62

5.已知。=—,b=log±--,c=4,則a,b,c的大小關(guān)系是（）.

[223

A.c<b<aB.b<a<c

C.a<c<bD.h<c<a

6.已知一個正四棱柱所有棱長均為3,若該正四棱柱內(nèi)接于半球體，即正四棱柱的上底面的

四個頂點在球面上，下底面的四個頂點在半球體的底面圓內(nèi)，則半球體的體積為（）.

A生色兀B.54&C.27逐兀D.

2

276兀

7已知函數(shù)/（x）=cos2x+2sinxcosx（xwR）,有下述三個結(jié)論：

①/（力的最小正周期是萬；

②“X）在區(qū)間（看馬上單調(diào)遞減；

③將/（x）的圖象上所有點向左平行移動g個單位長度后,得到函數(shù)g（力=血sin2x的圖

O

象.

其中所有正確結(jié)論的編號是（）

A①B.②C.①②D.①②③

22

8.已知雙曲線:一與=l（a>0/>0）的右焦點尸與拋物線的焦點重合，過戶作

a~b~

與一條漸近線平行的直線/,交另一條漸近線于點A,交拋物線y2=8x的準線于點B,若

三角形AO8（。為原點）的面積36，則雙曲線的方程為（）

2222

A,土-士=1B,工-匕=1C.-——V2=1D.

1244123-

9

r2尸一1

3

9.已知函數(shù)=2%+4X2-8X，0<%<2,若函數(shù)g(x)=a|.f(x)|+l有4個零

x1-2x-\,x<OWu>2

點，則實數(shù)。的取值范圍是（）.

B.(-1,0)0-?0

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.

10.復數(shù)z滿足五=3+4i（i是虛數(shù)單位），則復數(shù)z為.

11.在（?-十）的展開式中，石的系數(shù)是.

12.直線/經(jīng)過點尸（5,5）且和圓C：f+y2=25相交，截得弦長為4逐，則/的方程

是.

13.某電視臺舉辦知識競答闖關(guān)比賽，每位選手闖關(guān)時需要回答三個問題.第一個問題回答

正確得10分，回答錯誤得。分；第二個問題回答正確得20分，回答錯誤得0分；第三個問

題回答正確得30分，回答錯誤得-20分.規(guī)定，每位選手回答這三個問題的總得分不低于

、2

30分就算闖關(guān)成功.若某位選手回答前兩個問題正確的概率都是耳，回答第三個問題正確

的概率是且各題回答正確與否相互之間沒有影響.則該選手僅回答正確兩個問題的概率

是;該選手闖關(guān)成功的概率是.

14.已知a〉0,b>0,a+b^l,則5a+〃+4"2的最小值為.

ah

15.如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，P是對角線AC上一點，且=則

DPBP=，若點M為線段8D（含端點）上的動點，則M尸的最小值為

三、解答題：

4

16.在—ABC中，角所對的邊分別為a,Z\c.己知a=5,6=6,cosB=-y.

（1）求A的值；

（2）求c的值;

（3）求sin（23+A）的值.

17.如圖所示的幾何體中，四邊形4BCD為矩形，A/7,平面A8CD,EF//AB,A￡>=2,

AB=AF=2EF=1，點尸為棱。廠的中點.

(1)求證：8E〃平面APC；

(2)求直線OE與平面BCF所成角的正弦值；

(3)求平面ACP與平面BC尸的夾角的余弦值.

2y1

18.已知橢圓。：二+=l（Q>〃>0）其離心率為右焦點為尸，兩焦點與短軸兩端

arb2

點圍成的四邊形面積為2G.

(1)求橢圓。的標準方程：

(2)直線/與橢圓有唯一的公共點M在第一象限，此直線/與y軸的正半軸交于點N,

3

直線NF與直線OM交于點P且S&OFP=~S^OFN，求直線/的斜率.

19.設(shè){q}是公比大于0的等比數(shù)列，也}是等差數(shù)列，已知4=1,%=勺+2,

4=4+4，a5=b4+2b6.

(1)求數(shù)列{q},數(shù)列出}的通項公式；

(2)設(shè)c.=(—1)。也+(合)(：；+1)，求數(shù)列{%}的前2〃項和

20.已知函數(shù)/(x)=lnx+or,在點?處的切線方程為y=3x-l.

(1)求”的值；

(2)已知左《2,當x>l時，+恒成立，求實數(shù)々的取值范圍；

(3)對于在(0』)中的任意一個常數(shù)〃，是否存在正數(shù)%,使得6小則--2+|片<i,請

說明理由.

2023屆高三第四次月考

一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合"={12345},A={1,2},B={2,3,4}；則集合A的)=()

A.{1}B,{2}C.{1,2,5}D.

{1,2,3,4)

【答案】A

2.“尼。>尼匕”是“((7—2)3>S—2)3”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

?2

3.函數(shù)/（?=中■的圖象大致為（）

【答案】c

4.學校組織班級知識競賽，某班的12名學生的成績（單位：分）分別是：

73,74,76,82,82,87,90,91,92,94,96,98,則這12名學生成績的75%分位數(shù)是（）.

A.92B.87C.93D.91

【答案】C

1、-0.62

-,b=log,-,c=4/，則a也C的大小關(guān)系是（）.

（2）23

A.c<b<aB.h<a<c

C.a<c<bD.h<c<a

【答案】B

6.已知一個正四棱柱所有棱長均為3,若該正四棱柱內(nèi)接于半球體，即正四棱柱的上底面的

四個頂點在球面上，下底面的四個頂點在半球體的底面圓內(nèi)，則半球體的體積為（）.

A.旦旦乳B.54石兀C.27瓜nD.

2

27屆

【答案】A

7.已知函數(shù)/（%）=以%2為+25111%以九%（工611）,有下述三個結(jié)論:

①/（x）的最小正周期是乃；

②/（X）在區(qū)間（%■，］■

上單調(diào)遞減;

③將/（x）的圖象上所有點向左平行移動二個單位長度后，得到函數(shù)g（x）=&sin2x的圖

象.

其中所有正確結(jié)論的編號是（）

A.①B.②C.①②D.①②③

【答案】C

22

8.已知雙曲線:一與=l（a>0/>0）的右焦點尸與拋物線的焦點重合，過戶作

a~b~

與一條漸近線平行的直線/,交另一條漸近線于點A,交拋物線V=8x的準線于點B,若

三角形AO8（。為原點）的面積36，則雙曲線的方程為（）

2222

A,土-士=1B,工-匕=1C.-——V2=1D.

1244123-

9

r2尸一1

3

【答案】D

9.已知函數(shù)/(x)=/-X+?2_8X，<X<,若函數(shù)g(x)=4/(x)|+］有4個零

x2-2x-l,x<0或x>2

點，則實數(shù)。的取值范圍是（）.

B.(-l,0)of-1-,0

【答案】A

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.

10,復數(shù)z滿足石=3+4i（i是虛數(shù)單位），則復數(shù)z為.

【答案】4+3i

11.在的展開式中，石的系數(shù)是.

7

【答案】一

3

12.直線/經(jīng)過點P（5,5）且和圓C：f+y2=25相交，截得弦長為46，則/的方程

是______

【答案】x—2y+5=0或2x—y—5=0

13.某電視臺舉辦知識競答闖關(guān)比賽，每位選手闖關(guān)時需要回答三個問題.第一個問題回答

正確得10分，回答錯誤得0分；第二個問題回答正確得20分，回答錯誤得0分：第三個問

題回答正確得30分，回答錯誤得-20分.規(guī)定，每位選手回答這三個問題的總得分不低于

2

30分就算闖關(guān)成功.若某位選手回答前兩個問題正確的概率都是g,回答第三個問題正確

的概率是，，且各題回答正確與否相互之間沒有影響.則該選手僅回答正確兩個問題的概率

是;該選手闖關(guān)成功的概率是.

41

【答案】y

14.已知。>0,b>0,a+h=\,則5"'+4"二的最小值為

ab

【答案】12

2

15.如圖，在邊長為1的正方形ABC。中，P是對角線AC上一點，且=則

DP-BP=，若點例為線段8。（含端點）上的動點，則“p.MB的最小值為

121

【答案】①.——②.——

258

三、解答題：

4

16.在一ABC中，角所對的邊分別為a,Z?,c.已知。=5,b=6,cosB=-y

(1)求A的值;

(2)求。的值;

(3)求sin（23+A）的值.

71

【答案】（1）-

6

⑵3百一4

(3)7-246

50

【解析】

31

【分析】（1）先求出sinB=-,利用正弦定理求出sinA=—，即可求出A；

52

（2）先利用和差角公式求出sinC=拽二利用正弦定理求出c；

10

（3）利用二倍角公式和和差角公式即可求解.

【小問I詳解】

4/I--------3

因為cos8=——,BG(0,乃)，所以sinB=A/1-COS2B

5

56

因為。=5,/?=6,由正弦定理一區(qū)—W：sinA3,所以sinA=7.

sinAsinBi2

因為Ae(O,%),a<b,所以A=色.

6

【小問2詳解】

,,、，.C3,71

由(1)知：sinfi——,A.——

56

因為A+B+C=不，所以sinC=sin[zr—(A+B)]=sin(A+8)

=sinAcosB+cosAsinB=-x

2

u36-4

6x_______

由正弦定理上-=」一得：，=她吧=——-W—=3^-4.

sinBsinCsin83

5

【小問3詳解】

3兀

由(1)知：sinB——,A=一.

56

3424

所以5抽28=25皿8(：058=2乂丁(-《)=-石.

cos2fi=2cos2fi-l=2x(-1)2-l=^.

FTI、1./cn“、.r,,__.24^3717—24-\/3

所以sm(2B+A)=sin2BcosA+cos2BsinA=-~x—+—x—=--------.

25225250

17.如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，A尸J_平面ABC。，EF//AB,AD=2,

AB=AF=2EF=1，點P為棱。下的中點.

(1)求證：BE〃平面APC；

(2)求直線OE與平面BC尸所成角的正弦值；

(3)求平面ACP與平面BCF的夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵叵

14

⑶漢1

3

【解析】

【分析】（1）連接B。，交AC于點O,由中位線定理和線面平行判定定理即可證明結(jié)果；

（2）建立空間直角坐標系，寫出坐標，求得平面BC尸的法向量，根據(jù)線面角公式即可求

得直線DE與平面8CF所成角的正弦值；

（3）由（2）可知平面8C尸的法向量，再求得平面APC的法向量，利用空間向量法即可

求出結(jié)果.

【小問1詳解】

證明：連接80,交AC于點0,又P,0分別為QF和。8的中點,

所以BF//PO,

因為POu平面APC,平面4PC,所以B/〃平面APC；

由Q)得ADJ_AE，AD.LAB，

所以以A為原點，AB,AD,AF所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系,

3(1,0,0),0(0,2,0),叫,0,1),C(l,2,0),F(0,0,1),

UUUl

所以8C=(0,2,0),BF=(-1,0,1),

設(shè)平面BCF的法向量〃=(x,y,z),

x=i

n?BC=02y=0解得(y=o,

n?BF=0-x+0+z=0

z=1

又叫*Zl)

設(shè)直線OE與平面BCr所成角的正弦值e,

-+0+1V42

所以sin。=cos(%2

"TT

所以直線OE與平面BC尸所成角的正弦值這；

14

【小問3詳解】

解：由(2)AC=(1,2,0),AP=(0』,；［，A￡=f1,O,l

設(shè)平面APC的法向量為n=(x,y,z),

x+2y+0=0

n-AC=O即，1

則《令y=-l,則z=2，x=2,

n-AP=QO+y+-z=O

所以平面APC的法向量〃=(2,—1,2%

所以卜os(/wz)|=鼠：=當，

所以平面ACP與平面BCF的夾角的余弦值為逆

3

22

18.已知橢圓C:*+我=1（。＞8＞0）其離心率為右焦點為尸，兩焦點與短軸兩端

點圍成的四邊形面積為

(1)求橢圓C的標準方程：

(2)直線/與橢圓有唯一的公共點〃在第一象限，此直線/與y軸的正半軸交于點N,

3

直線NF與直線OM交于點P且SNFP=~SAOFN,求直線I的斜率.

22

【答案】⑴工+匕=1

43

【解析】

【分析】(1)由已知可得出關(guān)于。、b,。的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓C

的標準方程；

(2)由題意可知，直線/的斜率存在且不為零，設(shè)直線/的方程為丁=依+，〃，且相。0,

將直線/的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，由△=()可得出療=4二+3,列出韋達定理，求出點

3

M、N的坐標，進而求出點P的坐標，由已知可得出＞p=-M,，可求得Am=—1,結(jié)合

旭2=4公+3可求得女的值.

【小問1詳解】

c1

e=—=—

a2a-2

L2b2=26,解得%=聲,

解：由題意可得《

2

a2^c2+h2C=1

,2

因此，橢圓C的標準方程為：—+^-=1

43

【小問2詳解】

解：由題意可知，直線/的斜率存在且不為零，設(shè)直線/的方程為丫=履+%，且加。0,

y=kx+m

聯(lián)立《尤2y2,消去y并整理，得（3+4/）*2+8初a+4m2—12=0,

---1---=1

43

A=64A:2w2-4（4Z:2+3）（W-12）=0,可得nr=3+4%2,

8km_8k4m2-12

由韋達定理可得X+Z4%2+3-m'X'X~~4k2+3

2in2_“24k3

%+必=&（芭+%2）+2加=---------,則點M

mmm

4k,、

---->0

m攵<03

因為點P在第一象限，貝叫，則《加〉。‘直線OM的方程為"一元、'

2>o

，機

在直線/的方程中，令x=0可得y=加，即點N（0,/n）,易知點尸（1,0）,

kNF=0[=-m,則直線N尸的方程為y=-〃z（x-l）,

4km

3x=------

V-----X4km-34km3m

聯(lián)立，4k可得《即點P

3m4km-34km-3

y

4km-3

333/TI3加I

因為5用?>=孑5"制，，即力=3%，即一丁工=亍，可得Am=T，則m=一7,

774%加一37k

將〃2=—1代入蘇=4二+3可得（4/-1）（公+1）=0,貝此2=；,

k<0,解得女.

2

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用三角形面積之間的等量關(guān)系求出直線的斜率，解題的關(guān)

鍵在于求出點P的坐標，將三角形面積的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩點坐標之間的關(guān)系，進而構(gòu)建

等式求解.

19.設(shè)｛4｝是公比大于0的等比數(shù)列，｛%｝是等差數(shù)列，已知4=1,4=4+2,

a4=b3+b5,%=d+2b6.

（1）求數(shù)列｛/｝,數(shù)列也｝的通項公式;

⑵設(shè)J二（一1廣%伉+（丁;卜：；），求數(shù)列｛&｝的前2〃項和七.

【答案】(1)a“=2"T,b?=n

⑵―

【解析】

【分析】（1）先根據(jù)等比數(shù)列的通項公式列方程，求得公比，可求得其通項公式，繼而根據(jù)

等差數(shù)列的通項公式列方程，求得首項和公差，可得其通項公式;

（b——1

（）由（）的結(jié)論可得%（廣'。也+

21=-1/，、的表達式，分別利用錯位相

（4+1）（6用+1）

減法和裂項求和法，即可求得T2II.

【小問1詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,q>0,設(shè)等差數(shù)列｛2｝的公差為其

q=1,4=42+2,?*-q-=q+2,

},,_|

：q>(),，q=2,an=axq''~=2.

2々+6。=8

a=b+b,a=b+2b,,

43554634+13d=16

4=1

b=/?)+(H-1)J=n.

d=ln

【小問2詳解】

由⑴得「（—小〃.2"七（—）、*1.（_2）”M（-2）、；-

、）（2'i+l）（2"+l）I）（2"-'+1）（2,,+1）

人,川1R一（"2）”1

令%=〃.（—2）’凡一嚴而可

記數(shù)列｛%｝前2〃項和為A,數(shù)列電］的前2n項和為B,

A=1x(-2)°+2x(-2)'+3x(-2)2+L+2〃.(—2戶\①

則-2A=lx(-2)'+2x(—2p+3x(-2)'+L+2“.(-2戶，②

①一②得，3A=(—2)°+(—2)|+(—2)2+L+(-2)2H-l-2/r(-2)2n

=臼上亡—2戶」一匕％22"，

1+2''33

11+6〃

4=------------4",

99

_(n-2)-2H1-1_n-\n

又瓦一(2=+1乂2"+1)—2,,-|+1-2"+1，

B=仇+P［+L+/?2?

2n

__邛+［，

：.T=A+B=---.

27"I994"+1

20.已知函數(shù)/(x)=lnx+，a,在點處的切線方程為y=3x-l.

（1）求“的值；

（2）己知攵<2,當x>l時，—j）+2x-l恒成立，求實數(shù)左的取值范圍;

人2