高中數(shù)學(xué) 冪函數(shù) 知識(shí)點(diǎn)精講及重點(diǎn)題型訓(xùn)練

3.3幕函數(shù)

?知識(shí)導(dǎo)圖

nItH*I

0桌函數(shù)-

MttJHI

事函數(shù)與二次函數(shù)

!二次函數(shù)

?知識(shí)點(diǎn)精講

重難點(diǎn)暴函數(shù)

(1)幕函數(shù)的定義

一般地，形如的函數(shù)稱為基函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù).

(2)常見(jiàn)的5種暴函數(shù)的圖象

(3)募函數(shù)的性質(zhì)

①幕函數(shù)在(0,十℃)上都有定義；

②當(dāng)a>0時(shí)，塞函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上單調(diào)遞增;

③當(dāng)a<0時(shí)，幕函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1),且在(0,+oo)上單調(diào)遞減.

重點(diǎn)題型

重難點(diǎn)題型突破1求幕函數(shù)的解析式

嘉函數(shù)的解析式是一個(gè)累的形式，且需滿足：

（1）指數(shù)為常數(shù)；（2）底數(shù)為自變量；（3）系數(shù)為1.

例1.（1）、（2022?江蘇?無(wú)錫市教育科學(xué)研究院高二期末）已知幕函數(shù)＞=/（無(wú)）的圖像過(guò)點(diǎn)，,字］,則〃16）=

A.—B.—C.—4D.4

44

【答案】B

【分析】利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再代入計(jì)算可得；

【詳解】解：設(shè)/（x）=x",依題意/（2）=2。=苧=2U，所以。=一5，

所以所以/（16）=162=（不）2="

故選：B

（2）.（2022秋?云南曲靖?高一校考期末）己知幕函數(shù)/（x）=（k+2）x”的圖象過(guò)點(diǎn)（2,：,則左-a的值為

（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】C

【分析】根據(jù)幕函數(shù)定義求得也再根據(jù)圖象過(guò)的點(diǎn)求得即可得答案.

【詳解】由題意〃x）=（左+2）x。是幕函數(shù)，則后+2=1,;"=-1,

即=X。，將（2,￡|代入可得2a=1,.-.?=-1,

故左一a二0,

故選：C

【變式訓(xùn)練1-1】、（2022?江蘇?揚(yáng)州中學(xué)高二階段練習(xí)）若塞函數(shù)=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)倒,亞可，則函數(shù)

〃x）的解析式是（）

4I

A.=/

_42

C?=D./(%)=/

【答案】A

【分析】根據(jù)嘉函數(shù)/(x)=x"的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,標(biāo))求解.

【詳解】解：因?yàn)槟己瘮?shù)〃x)=x"的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,游)，

4,4

所以”=2"，解得。=§，

4

所以/(X)=戶.

故選：A)

【變式訓(xùn)練1-2】、(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))(多選題)已知幕函數(shù)〃x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,收)，則()

A./(x)的定義域?yàn)椋?,+“)B./(x)的值域?yàn)樨?。)

C.是偶函數(shù)D.“X)的單調(diào)增區(qū)間為［0,+功

【答案】ABD

【分析】根據(jù)已知條件求出幕函數(shù)/(x)的解析式，然后利用幕函數(shù)的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選

項(xiàng).

【詳解】設(shè)〃x)=/(aeR),則〃2)=2"=正，可得。=；,則/卜)=￡=6，

對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)=有x20,則函數(shù)/(x)的定義域?yàn)椋?,+功，A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，/(x)=V^>0,則函數(shù)/(x)的值域?yàn)椋?,+功，B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)/(x)=?的定義域?yàn)椋?,+s),定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，C錯(cuò);

對(duì)于D選項(xiàng)，的單調(diào)增區(qū)間為［0,+司，D對(duì).

故選：ABD.

重難點(diǎn)題型突破2懸函數(shù)的圖像及其性質(zhì)的應(yīng)用

累函數(shù)的圖像及其性質(zhì)的應(yīng)用

1.寢函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由于a值的不同而比較復(fù)雜，一般從兩個(gè)方面考查：

①a的正負(fù)：當(dāng)a>0時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)，在第一象限的圖象上升；當(dāng)a<0時(shí)，圖象不過(guò)原點(diǎn)，在第一象限

的圖象下降，反之也成立.

②幕函數(shù)的指數(shù)與圖象特征的關(guān)系

當(dāng)今0,1時(shí)，塞函數(shù)產(chǎn)球在第一象限的圖象特征如下:

aa>l0<?<1a<0

a；片Vk

圖象1

()\17?|ixi士

特殊點(diǎn)過(guò)(0,0),(1,1)過(guò)(0,0),(1,1)過(guò)(1,1)

凹凸性下凸上凸下凸

單調(diào)性遞增遞增遞減

尸2

舉例y=x2y=x—1、y=x92

例2.（1）、（2023秋?遼寧葫蘆島?高一?？计谀ǘ噙x題）已知哥函數(shù)/（X）在（-8,0）上單調(diào)遞減，則/（X）

的解析式可能為（）

A./（x）=1B.f（x）=x3C.=fD./（x）=x2022

【答案】ACD

【分析】根據(jù)暴函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】幕函數(shù)〃x）=J/（x）=x2,〃x）=/°22均在（一鞏0）上單調(diào)遞減，

募函數(shù)〃x）=d在（_鞏0）上單調(diào)遞增.

故選：ACD.

（2）.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，下列3個(gè)幕函數(shù)的圖象，則其圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（）

A.[B.l,②y=

@y=X~,?y=x2,（S）y=x3?y=X~（S）y=x2

C.?L?^③y=xTD.①u=G，?y=x~\③u—C

Vy=*X/vyv=jvxy人y人

【答案】A

【分析】根據(jù)指函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐個(gè)判定，即可求解.

【詳解】由函數(shù)>!是反比例函數(shù)，其對(duì)應(yīng)圖象為①；

函數(shù)了=苫3=?的定義域?yàn)椋ā悖?6），應(yīng)為圖②；

因?yàn)榱?）的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)，故應(yīng)為圖③.

故選：A.

【變式訓(xùn)練2-1】、（2023?高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)y=（x-iy在（-叫⑼上是減函數(shù)，則加的取值范圍

是.

【答案】（-8,1]

【分析】依題意函數(shù)y=（x-l）4是由》=/向右平移1個(gè)單位得到，再由幕函數(shù)的性質(zhì)判斷了=尤4的單調(diào)性,

即可得到y(tǒng)=（x-1）4的單調(diào)性，從而求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=（x-l）4是由y=/向右平移1個(gè)單位得到，

函數(shù)了=，為偶函數(shù)，且函數(shù)在（0,+。）上單調(diào)遞增，則在（-。⑼上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)y=（x-l）4在（L+⑹上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，

又函數(shù)y=（x-l）4在（-鞏M上是減函數(shù)，所以“￡1,即機(jī)的取值范圍是（-叫1].

故答案為：（-8,1]

【變式訓(xùn)練2-2】、（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）給定一組函數(shù)解析式：

3232311

@y=;②>=③?y=x;⑤）二l5；⑥>=%]；⑦y=

如圖所示一組函數(shù)圖象.圖象對(duì)應(yīng)的解析式號(hào)碼順序正確的是（）

C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①

【答案】C

【分析】根據(jù)暴函數(shù)的圖象的性質(zhì)判斷各圖象對(duì)應(yīng)解析式的形式，即可得答案.

【詳解】圖象（1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)，且不過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞減，故y一尤T滿足；

y-x

2

圖象（2）關(guān)于丁軸對(duì)稱，為偶函數(shù)，且不過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞減，故y=滿足；

圖象（3）非奇非偶函數(shù)，且不過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞減，故了滿足；

2

圖象（4）關(guān)于丁軸對(duì)稱，為偶函數(shù)，且過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞增，故＞滿足；

1

圖象（5）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)，且過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞增，故丫_/滿足；

圖象（6）非奇非偶函數(shù)，且過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞增，而增長(zhǎng)率隨x增大遞減，故了=?滿足;

3

圖象（7）非奇非偶函數(shù)，且過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞增，而增長(zhǎng)率隨x增大遞增，故丫一工?滿足;

y-A

故圖象對(duì)應(yīng)解析式順序?yàn)棰蔻堍邰冖撷佗?

故選：C

2.利用基函數(shù)的單調(diào)性比較暮值大小的技巧：

結(jié)合暴值的特點(diǎn)利用指數(shù)嘉的運(yùn)算性質(zhì)化成同指數(shù)累，選擇適當(dāng)?shù)哪己瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.

例3.(1)、(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))已知幕函數(shù)［(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,32),若++>0,貝

的取值范圍為()

A.(2,+co)B.(1,+co)C.(0,+(?)D.(-l,+°o)

【答案】C

【分析】利用待定系數(shù)法求出幕函數(shù)的解析式，可得其為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，/(?+1)+/(-1)>0

可轉(zhuǎn)化為〃根據(jù)單調(diào)性即可求解.

【詳解】設(shè)幕函數(shù)V=/(》)=x",其圖象過(guò)點(diǎn)(2,32),所以2a=32,解得c=5,

所以f(x)=x5.

因?yàn)閥(_x)=(T)5=_/(x),所以/(力=，為奇函數(shù),且在R上單調(diào)遞增，

所以/(4+1)+/(-1)>0可化為+=

可得。+1>1,解得。>0,所以。的取值范圍為(0,+。).

故選:C.

(2).(2020?全國(guó)高一專題練習(xí))下列關(guān)系中正確的是

【答案】D

【分析】

利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和賽函數(shù)的單調(diào)性比較即可.

【詳解】

/、X1/

因?yàn)槭菃握{(diào)遞減函數(shù)，1<|,所以

211

因?yàn)槟缓瘮?shù)了=工3在(0,+8)上遞增，-<-；

即電—，故選D

【點(diǎn)睛】

同底指數(shù)幕比較大小常用的方法是利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，不同底數(shù)指數(shù)幕比較大小一般應(yīng)用事函數(shù)的單

調(diào)性.

【變式訓(xùn)練3-1】、(2019?江西九江?高二期末(理))設(shè)"=ee,b=-c=e^,則。也c大小關(guān)系是

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】c

【分析】

由幕函數(shù)的單調(diào)性可以判斷出。力的大小關(guān)系，通過(guò)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以判斷出a，c的大小關(guān)系，比較仇C

的大小可以轉(zhuǎn)化為比較eln兀與兀的大小，設(shè)/(x)=elnx-x求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性可

以判斷出eln兀與兀的大小關(guān)系，最后確定三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.

【詳解】

7Ie

解:由累函數(shù)和指數(shù)函數(shù)知識(shí)可得7te>ee,e>e,即c>a.

下面比較瓦c的大小,即比較eln兀與兀的大小.設(shè)〃x)=elnx-x,則/8)==，

在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+00)上單調(diào)遞減，

/(e)>/(7t),gpelne-e>elnjt-Tt,即eIn兀<兀,

■<兀,即c>b,即c>6>a,故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了幕函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)變形、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造函數(shù)判斷函數(shù)值大小是解題的關(guān)鍵.

22

【變式訓(xùn)練3-2】、(2022秋?湖南郴州?高一安仁縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))若(〃?+1尸<(3-2機(jī)>，則加的取

值范圍是.

【答案】(一°°，|JU(4,+8)

【分析】根據(jù)題意，由基函數(shù)的性質(zhì)列出不等式，求解即可得到結(jié)果.

【詳解】函數(shù)丫一藍(lán)為偶函數(shù)，且當(dāng)X>0時(shí)，單調(diào)遞增，

則(m+1)3<(3-2mY可得|加+[<|3-2時(shí),

2

解得根或機(jī)>4

即加的取值范圍是1=°,|)口(4,+00)

故答案為：

重難點(diǎn)題型突破3易函數(shù)型復(fù)合函數(shù)

例4.(2022秋?山西高一校聯(lián)考階段練習(xí))己知哥函數(shù)〃x)=(蘇一加一11卜1在(0,+◎上是減函數(shù)，meR.

⑴求/(x)的解析式；

⑵若(3_0)±>(3。-1)上，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(l)/(x)=4

(2)1<a<3

【分析】(1)根據(jù)幕函數(shù)的定義和單調(diào)性進(jìn)行計(jì)算；(2)結(jié)合(1)中的參數(shù)，根據(jù)嘉函數(shù)的單調(diào)性和定義

域計(jì)算.

7/?2-—11—1

一一,

{m-l<0

解得m=-3,于是/(x)=%-4

(2)根據(jù)幕函數(shù)的單調(diào)性，/在定義域(0,+8)上單調(diào)遞減，

由(3-〃)於>(3a-1)^o(3-a尸>(3a-Ip，

即h(3-a)>h(3a-1),于是0<3-。<3〃一1,

解得l<a<3